高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）正弦定理和余弦定理

第七節(jié)正弦定理和余弦定理

1基礎(chǔ)卻織妥打牢強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識能否憶起］

1.正弦定理

分類內(nèi)容

定理sin「sin歹sin廣2班是△胸外接圓的半徑）

①w=27fein/,b-27fcinB、c-2AsinC，

變形

②sinA:sinB.，sinC-a'-bcy

公式abc

③sin=—sin夕二礪sinC=—

解決的①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和另一角，

問題②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角

2.余弦定理

分類內(nèi)容

在△Z8C中，有才=4+3-2bcco?_A；

定理

廿-#—ZaccosB；c-3+4-2abcos_C

t)+c-aac-1J

cosA-門i\cosB-八；

變形2.beLac

公式a+IJ-c

cos.C-cZa7b

解決的①已知三邊，求各角；

問題②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角

3.三角形中常用的面積公式

⑴s二1?劭（力表示邊女上的高）；

..111

（2）S=~bcsix\A=~acsixiB=~absin.C；

（3）S=（r（a+6+c）（r為三角形的內(nèi)切圓半徑）.

［小題能否全?。?/p>

1.（?廣東高考）在中，若4/=60°,48=45°,BC=3p則/C=()

A.4-73

由正弦定理得：系=系

解析：選B

2.在△加「中，a=，5,b=1,c=2,則/等于()

A.30°B.45°

C.60°D,75°

一—?!j+c-a1+4-31

解析：選C'.'cos'二一——=2X1X2=》

Xv00〈/<180°,.?.4=60°.

3.（教材習(xí)題改編）在△/歐中，若a=18,6=24,4=45°,則此三角形有（）

A.無解B.兩.解

C.一解D.解的個(gè)數(shù)不確定

ab

解析：選B

sinAsinB

b24。

/.sin6二-sin=777sin45

a18

sinB=3.

又〈4J.8有兩個(gè).

4.（?陜西高考）在△板'中，角4B,。所對邊的長分別為a,b,c.若a=2,B=/c=2事,則6

解析：由余弦定理得=a：+c2-2accosB=4+12-2X2X2-^3X^^=4,所以6=2.

答案：2

5.中，5=120°,AC=7,AB=5,則△/回的面積為.

解析：設(shè)歐=x,由余弦定理得49=25+f-10xcos120°,

整理得3+5x-24=0,即x=3.

11y[315J3

因此SxABC二~ABXBCXsinB=~X3X^X^-=—.

~15m

答案：一f-

(1)在三角形中，大角對大邊，大邊對大.角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即

在△/a1中，給50力儀in給sinB.

⑵在△/回中，已知a、6和4時(shí)，解的情況如下：

A為鈍角

月為銳角

或直角

Ccc

ZL—

圖形、/\

AB4、、、—“A/B

a-6sin

關(guān)系式bsinA<a<ba^ba>b

A

解的個(gè)

一解兩解一解一解

數(shù)

視I福頻考點(diǎn)要通卡八―抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得拔高分I掌握程度

利用正弦、余弦定理解三角形

典題導(dǎo)入

［例1］(?浙江高考)在△/回中，內(nèi)角4B、C的對邊分別為a,b,c,且加in/=/zcosB

(1)求角6的大?。?/p>

(2)若6=3,sinC-2sinA,求a,c的值.

［自主解答］⑴由6sin/=/acos夕及正弦定理

「二二b得sin^=A/3COSB,

sinZsin6eY'

所以tan8=G所以

o

(2)由sinC-2sinA及「1仆得c=2a

sinAsinC

由6=3及余弦定理I)-ac-2乃ccosB,

得9=才+?-ac.

所以a=十，c=2y[3.

>>>一題多變

在本例⑵的條件下，試求角A的大小.

jab

角W'■?----------=-----------

用牛''sinAsinB

asinB小，Si41

??.sinA=~^=-g—=?

JI

由題悟法

1.應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形.解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)

注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷.

2.已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不

唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.

以題試法

「△/氏7的三個(gè)內(nèi)角4B,。所對的邊分別為a,b,c,asin^sinB+bcos2A^y[2a.

⑴求?

(2)若/=4+十才，求8

解：(1)由正弦定理得，

sin2^sinB+sinBcosA=qsinA,即

sinB(sinA+cos2^)=y[^sinA.

故sinB=鎘sinA,所以J二丑

1+^3a

(2)由余弦定理和c=ID+/才，得cosB=

2c.

由⑴知bz=2a,

故d=(2+小)次可得cos5=

又cosB>0,故cos^=2'所以6=45°.

利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀

典題導(dǎo)入

［例2］在△/8C中a,b,。分別為內(nèi)角4B,C的對邊，且2asin/=(2力+c)sin8+(2c+0sinC

(1)求A的大?。?/p>

⑵若sin6+sinC=l,試判斷△/6C的形狀.

［自主解答］(1)由已知，根據(jù)正弦定理得2J=(26+c)?6+(2c+6)c,即J=萬+1+6c.

由余弦定理得冒二片+c-2方ccosA,

1

s--

co20<A180Q,/.J=120°.

3

(2)由⑴得sin，=sir?8+sin2C+sin6sinC=4-

又sinB+sinC-1,

解得sinB-sin。二

v0°<^<60°,0°<6<60°,故方二C

△/8C是等腰的鈍角三角形.

由題悟法

依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，主要有如下兩種方法：

(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而

判斷三角形的形狀；

(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)

角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用4+6+"這個(gè)結(jié)論.

［注意］在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解.

以題試法

2.(?安徽名校模擬)已知△/a1的三個(gè)內(nèi)角4B,。所對的邊分別為a,b,c,向量卬=(4,-1),Z7

,2力、7

coscos2A,且必?〃=].

(1)求角A的大??；

⑵若6+c=2a=2唾,試判斷△/a'的形狀.

解：(1)-：m=(4,-1),z?=^cos21,cos2/),

2/1+cos

.?.力?n-4cos~一cos22=4?--------(2cosA-1)=-2cosA+2cosZ+3.

7

-

加?“=

X-.->

一2'+

7

顆22/2

X2-

s-

s1

co/-

2*

JI

,「0〈水兀，

(2)在△/回中，a=IJ+c2-2Z?ccosA,_3_a=yf3,

-*?(A/3)2=Z?2+c-2bc?~=Z?2+c2-be.(J)

又,：b+c=2小,

8=24-c,代入①式整理得1-240+3=0,解得c=十，b=小,于是a=Z?=c=45,即

△/回為等邊三角形.

2與三角形面積有關(guān)的問題

典題導(dǎo)入

［例3］(?新課標(biāo)全國卷)已知a,b,c分別為△/回三個(gè)內(nèi)角4B,。的對邊，acosC+y［3asinC

-b-c=0.

⑴求A;

(2)若a=2,△/回的面積為十，求6,c

［自主解答］(1)由acosC+，§asin。-6-。二0及正弦定理得sinAcosC+y/SsinAsinC-sinB

-sinC-0.

因?yàn)锽=Ji-A-C,

所以，5sinZsinC-cos/sinC-sinC-0.

由于sin今0,所以5也。-石］='1.

JI

又0</<Jt,故/二7.

(2)的面積S=]6csin/=/,故6c=4.

而a=b'+c-2Z?ccosA,故6'+d=8.

解得b=c=2.

由題悟法

1,正弦定理和余弦定理并不是孤立的.解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理選用，有時(shí)還需要交替使用.

1

常

最

?6用

2.在解決三角形問題中，面積公式S=ga6sinC=^bcsw2-a1n

CS因?yàn)楣街屑扔羞?/p>

也有角，容易和正弦定理、余弦定理結(jié)合應(yīng)用.

以題試法

3.(?江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在△45C中，5cos2J=cos2/1-cosA.

(1)求角A的大小；

⑵若a=3,sin8=2sinC,求SA的.

解：(1)由已知得］(2cos2/-1)=cos2J-cosA,

解得c=班，b=2p

所以SA放='16csin/=/xZ/x/x坐

用?解題Ml練要高嗎―抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

4級全員必做題

1?在△/阿中，a、6分別是角/、8所對的邊，條件“a〈b”是使"cos冷cosB”成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選C水排力〈慶，cos4>cosB.

2.（泉州模擬）在△/勿中，a,b,c分別是角力,B,C所對的邊.若/=刀，6=1,△/回的面積

?0

則a的值為（

A.1B,2

c.乎D.小

11兀\[3-9

解析：選D由已知得/sin^=-XlXcXsiny=^-,解得c=2、則由余弦定理可得才=4+1-

2X2X1Xcos—=3=a-小.

o

3.（?“江南十?！甭?lián)考）在中，角4B,。所對的邊分別為2b,已知石=24，c=2y[2,

tanA2c/、

1+-_

tanBb貝?L

A.30°B.45°

C.45°或135°D.60°

+otnAQz0

解析：選B由1和正弦定理得

tanDo

cos/sinB+sinAcosB-2sinCeosA,

即sinC-2sinCeosA,

1

-貝H

2u=60

2^/3_2^/2

由正弦定理得

sinAsinC

,亞

貝IJsinC=2"

又c〈a,則以60°,故C=45°.

4.（?陜西高考）在中，角4瓦。所對邊的長分別為a,b,c,若旨+爐=23,則cos。的

最小值為（）

乎￥

艮

l1

A.±

axD-_

l'O

解析：選C由余弦定理得#+9一/二2己6coscXc--^a+Z?2）,得2aZ?cos。=萬（3+層），即cos

*3」

4ab，akT2

.5.（,上海高考）在△46C中，若sin?/+sir?樂sit?"則的形狀是（）

A.銳角三角形B,直角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

解析：選c由正弦定理得一+次所以cosC=-r--<0,所以C是鈍角，故是鈍角三

乙a。

角形.

6.在△上中,角力、B、C所對的邊分別是a、b、c.若6=22sin及則角力的大小為.

解析：由正弦定理得sin8=2sin/sinB,vsinB#0,

.'.sinJ=1,.".J=30°或4=150°.

答案：30°或150°

7.在△板中，若a=3,bf,4=2，則。的大小為.

O

,../sinY

Z?sinAo1兀5兀

解析：由正弦定理可知sinB=------=---------=~,所以6=不"或7-（舍去），所以C=n-A-B

aO1600

JIJIJI

二JI--------..........=-------

362,

JI

答案：y

8.（?北京西城期末）在△板中，三個(gè)內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c.若6=2噂，6=5，sin

C=坐,貝Uc=；a=.

解析：根據(jù)正弦定理得;^=￡三、貝IJc="注=2$,再由余弦定理得B=a+c-2accosB,

S.L11DSJL11（_/S_LIID

即#-4a-12=0,（a+2）（a-6）=0,解得a=6或-2（舍去）.

答案：2班6

1

貝

6+c-7cos夕--n6-

9.（?北京高考）在△/回中，若a=2,-,-4J-

解析：根據(jù)余弦定理代入4=4+（7-6）2-2X2X（7-.6）x[-；）解得6=4.

答案：4

10.的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,asinA+csinC-yf^asinC-AsinB.

⑴求6；

(2)若A=75°,6=2,求a,c.

解：（1）由正弦定理得a+c-y[2ac=6.

由余弦定理得廿-ac-2accosB.

故cosB二號,因此夕二45。.

(2)sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°

4

,sinA乖+#

故女二bX-..----------

sinB

sinCsin60°

乖.

11.（?北京朝陽統(tǒng)考）在銳角三角形/況■中，a,b,。分別為內(nèi)角4B,。所對的邊，且滿足筋且-

26sinA=0.

（1）求角8的大??；

⑵若a+c=5,且a>c,6二巾，求4月?AC?的值.

解：⑴因?yàn)椋╝-26sinA=0,

所以sin力-2sin咫inA=0,

因?yàn)閟inZWO,所以sinB=%.

ji

又方為銳角，所以6=彳.

J

__JII—

⑵由⑴可知，8=刀.因?yàn)?=y]7.

o

JI

根據(jù)余弦定理，得7-aQ+cQ-2accos—,

整理,得理+c)2-3ac=7.

由已知a+c=5,得HC=6.

又於G故a=3,c=2.

ID+c-a7+4-9J7

于是cos/=2bc=^T=14,

所以Aq?AC=|AB|-ACcosA=cbcosA

=2義77*t=1.

12.（?山東高考）在△/6C中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin6(tanA+tan6)

tanAanC.

（1）求證：落b、c成等比數(shù)列；

⑵若a=l,c=2,求△/比的面積S

解：⑴證明：在中，由于sin8（tan4+tan。=

tanJtanC,

sinAsin。sinAsinC

所以sin

cosAcosC)cosAcosC

因此sin8(sinAcosC+cos/sin6)=sinZsinC、

所以sin咫in(Z+0)-sin/sinC.

又Z+5+C=Ji

所以sin(/+0=sinB,

因此sir?8二sin/sinC.

由正弦定理得爐二四,

即況b,。成等比數(shù)列.

(2)因?yàn)閍-1,c=2,所以6=鏡，

a2+c2-1}12+22-23

由余弦定理得COSB=-2ac-=2X1X2=4)

因?yàn)?<B<兀，所以sinB=yjl-cos2^=

故△48。的面積5-pcsin^^-XlX2X^-=-Y，

B級重點(diǎn)選做題

1.（-湖北高考）設(shè)的內(nèi)角4B,。所對的邊分別為a,b,c若三邊的長為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù),

且A>B>C,3b=20acosA,則sinA'sinB：sin。為()

A.4：3：2B.5：6：7

C.5：4：3D.6：5：4

解析：選D由題意可得a>b>c,且為連續(xù)正整數(shù)，設(shè)。二億6二〃+1,3二刀+2(〃>1,且力GN*),貝IJ

〃+l2+772-77+22

由余弦定理可得3(〃+1)=205+2)-------2n刀+1---化---簡---得-----13/7-60=0,“EN*,解得

77=4,由正弦定理可得sinA:sinB:sin。=a：6：c=6：5：4.

A+B7

2.（?長春調(diào)研）在△/歐中，角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知4sin92-^--cos2c二0且a

+b=5,c=?則△/8C的面積為

A+B7

解析：因?yàn)?si?nw—-cos2C=~,

7

所以2[1—cos(/+面]一2cos七+1=-,

c2「72n1

2+2cos。-2cosc+1=5，cosC-cosC+~=0,

_11al)-l

解得cos5.根據(jù)余弦定理有cosC=~=———,

ab-a2+ZJ2-7,Zab-a+Z?2+2ab-7=(a+Z?)2-7=25-7=18,ab-6,所以△/回的面積二/己左]]!

16呼答

莖案.3小

口木?2

3.在△板中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(26-c)cos/-acosC=0.

(1)求角A的大小；

⑵若a=/,S”平,試判斷△/肉的形狀，并說明理由.

解：(1)法一：由(26-c)cosA-acos。=0及正弦定理，得

(2sinB-sin0)cosA-sinAcosC-0,

2sinBcos4-sin(/+0=0,

sin8(2cosA-1)=0.

兀,/.sin8W0,

1

cosA=

JI

*/0<J<n,.,.A=—

O

法二：由(2b-c)cosA-acosC-0,

2,222,j22

、b7+c-aa+b-c

及余弦定理，得(26-c)?———-a?———=0,

乙。。LaU

22

整

得

理+A

c-a-,COS

'：0<A<Ji,.,.A=—

/、13#

(2)?「5k板'=26csin/二甫-,

1兀3\[3

即/Asirry二寸

bc=3,(T

a-ID+c-2Z?ccosA,a=y[3,A=—,

o

:.甘+/=6,②

由①②得6=0=娟，

.?.△/6C為等邊三角形.

|今師各選題|

1.已知a,b,c分別是△/回的三個(gè)內(nèi)角4B,C所對的邊.若a=l,b=pA+C=2B,則sinC

夕1

一

---o或1-

解析：在△/回中，A+C=2B,.-.5=60°.X-.-sinA=-2-30X50

90°,.-.sin（7=1.

答案：1

2.在△板中，a=26cosC,則這個(gè)三角形一定是（