概率、統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第4課時(shí)概率、統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題

［典例精研?核心考點(diǎn)］重難解惑?直擊高考

考點(diǎn)一以統(tǒng)計(jì)圖表為載體的概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題

［典例1］(2022?新高考n卷)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某

種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

頻率/組距

0.023---------------------

0.020-------------------------------

0.017------------------------------------

0.012---------1-

0.006------------------------------------------

0.002

0.001~!一十一寸一1一十~--二______.

0102030405060708090年齡/歲

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作

代表)；

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口

占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%,從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),

求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者

的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001).

［解］(1)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡元=(5*0.001+15X0.002+25X0.012

+35X0.017+45X0.023+55X0.020+65X0.017+75X0.006+85X0.002)X10

=47.9(歲).

⑵設(shè)2=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)｝,則尸⑷=1一尸(%)=1—(0.001

+0.002+0.006+0.002)X10=1-0.11=0.89.

(3)設(shè)5=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患這種疾?。?則由

條件概率公式，得P(C⑻=需=0.1%*片10=000J4375心0.0014.

P\B)16%

名師點(diǎn)評(píng)該類(lèi)問(wèn)題常常借助圖形或表格，將文字、圖表、數(shù)據(jù)等融為一體，考

查考生的直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，求解的關(guān)鍵是立足題干提取信息，結(jié)合統(tǒng)計(jì)

的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析或結(jié)合概率模型求解相應(yīng)概率.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了了解學(xué)生參與活動(dòng)的情

況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生一個(gè)月（30天）完成鍛煉活動(dòng)的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分

布表：

天數(shù)[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]

人數(shù)4153331116

⑴由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，學(xué)生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布

其中〃近似為樣本的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值），且。=6.1,若全校有3000

名學(xué)生，求參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過(guò)21天的人數(shù)（精確到1）；

（2）調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［15,30］的學(xué)生中有30

名男生，天數(shù)在［0,15）的學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對(duì)當(dāng)月參加“每天鍛煉1小

時(shí)”活動(dòng)不低于15天的學(xué)生授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱(chēng)號(hào).請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面列聯(lián)表：

活動(dòng)天數(shù)

性別合計(jì)

[0,15)[15,30]

男生

女生

合計(jì)

并依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”

稱(chēng)號(hào)有關(guān)聯(lián).如果結(jié)論是有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響.

參考數(shù)據(jù)：若X?N",/），則尸口一心0.6827,

尸〃+2o■戶0.9545,

尸（u—3<7WXW〃+3O）q0.9973.

附.？2=_____<ad-bcY__

叫(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

[解](1)由頻數(shù)分布表知

1

/z=^X(4X2.5+15X7.5+33X12.5+31X17.5+11X22.5+6X27.5)=14.9,

則矛?N(14.9,6.12),

:尸〃一oWXW〃+Q心0.6827,

.,.尸(X>21)=P(X>14.9+6.1)=^|^=0]5865,

A3000X0.15865=475.95=476,

??.參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過(guò)21天的人數(shù)約為476.

（2）由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在［0,15）的人數(shù)為4+15+33=52,

?.?參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［0,15）的學(xué)生中有20名男生，

，參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［0,15）的學(xué)生中女生人數(shù)為52-20=

32.

由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在［15,30］的人數(shù)為31+11+6=48,

?.?參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［15,30］的學(xué)生中有30名男生，

參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在［15,30］的學(xué)生中女生人數(shù)為48-30

=18.

列聯(lián)表如下:

活動(dòng)天數(shù)

性別

[0,15)[15,30]合計(jì)

男生203050

女生321850

合計(jì)5248100

零假設(shè)為Ho：學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱(chēng)號(hào)無(wú)關(guān),

2100x(30x32-20x18)2

^5.769>3.841,

50x50x52x48

依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷//o不成立,

即可以認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱(chēng)號(hào)有關(guān),

而且此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到，男生、女生中活動(dòng)天數(shù)不低于15天的頻率分別為4

=0.6和0.36,可見(jiàn)男生中獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱(chēng)號(hào)的頻率是女生中獲得“運(yùn)動(dòng)

達(dá)人”稱(chēng)號(hào)頻率的當(dāng)心1.67倍，于是依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以認(rèn)

為男生獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率大于女生，即男生更容易獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱(chēng)號(hào).

考點(diǎn)二概率'統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問(wèn)題

［典例2］（2023?新高考I卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：

若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲

每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投

籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.求：

(1)第2次投籃的人是乙的概率.

(2)第z,次投籃的人是甲的概率.

(3)已知：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且尸(X=1)=1—P(X=0)=勿,i=1,2,…，

n,則￡(9而)=Y，小記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為

Y,求E(Q.

［解］(1)記''第2次投籃的人是乙”為事件2,“第1次投籃的人是甲”為事件8,

則A=BA+BA,

所以P(Z)=P(及4+月4)=P(B4)+P(a2)=P(B)P(4|B)+P(R)P(4出)=0.5X(1

-0.6)+0.5X0.8=0.6.

(2)設(shè)第，次投籃的人是甲的概率為口，由題意可知，夕"1=2*0.6+(1—

21

㈤X(1—0.8),即口+1=0.電+0.2=/+丁

所以p，+i_；=(［?一；),

又pi—所以數(shù)列｛pt—；｝是以3為首項(xiàng)，|為公比的等比數(shù)列，

在、，i-1

所以P，一1,=1ZX(ZJ2\,

3O\3/

所以+.

(3)設(shè)第z次投籃時(shí)甲投籃的次數(shù)為X,則X的可能取值為0或1,當(dāng)X,=0時(shí)，

表示第z,次投籃的人是乙，當(dāng)X=1時(shí)，表示第z,次投籃的人是甲，所以P(X=1)

=Pi,P(Xi=0)=l—pi,所以￡(X)=P"

后為+劉+為+…+的，

則E(Y)=E(X\+Xi+X^-\PX7)=pi+&+p3H\-pn,

由(2)知，A=|+1x(I),

所以E(y)=pi+pz+p3H----F/??=^+1xi+1++,,,+(1)+1x

名師點(diǎn)評(píng)解答此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是借助概率知識(shí)(如相互獨(dú)立事件的概率公式、條件

概率的公式等)建立尸〃+1與Pn的遞推關(guān)系，然后利用數(shù)列知識(shí)(一般是構(gòu)造法)求

解.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.(2024?山東青島開(kāi)學(xué)考試)某籃球賽事采取四人制形式.在一次戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中，

甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳

球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人.〃次傳球后，記事件“乙、丙、

丁三人均接過(guò)傳出來(lái)的球”發(fā)生的概率為尸".

⑴求尸3；

(2)當(dāng)〃=3時(shí)，記乙、丙、丁三人中接過(guò)傳出來(lái)的球的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X

的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)當(dāng)時(shí)，證明：P“=3+|F“-I一+.

［解］(1)乙、丙、丁三人每次接到傳球的概率均為《3次傳球后，事件“乙、丙、

丁三人均接過(guò)傳出來(lái)的球”發(fā)生的概率為尸3=禺x(1)3=|,

(2)由題意知，X的可能取值為1,2,3,

3

P(X=1)=3X(|)=1

P(X=3)=房xQ)3=1,

2

尸(X=2)=1~P(X=l)-P(X=3)=j,

X的分布列為

X123

122

p

939

1??IQ

￡(^)=lX-+2X-+3X-=-

(3)證明：〃次傳球后乙、丙、丁三人均接過(guò)他人傳球，有兩種情況，

第一種：〃一1次傳球后乙、丙、丁三人均接過(guò)他人傳球，這種情況的概率為P”

-1;

第二種：〃一1次傳球后乙、丙、丁中只有兩人接過(guò)他人傳球，第〃次傳球時(shí)將

球傳給剩余一人，這種情況的概率為(1—Pn-l-3X+)x|.

所以，當(dāng)〃》4時(shí)，Pn=Pn-i+(l—Pn_X—3X|=|+

所以=［+|尸?-l-

【教師備選資源】

(2019?全國(guó)I卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥

更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)

比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)

果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠

多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題，約

定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1

分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1

分，甲藥得一1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治

愈率分別記為a和川，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，口0=0,1,…，8)表示“甲藥的累

計(jì)得分為z,時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則po=O,小=1,Pi=aPi

」+奶+⑦+i(i=l,2,…，7),其中a=P(X=—1),b=P(X=0),c=P(X=l).假

設(shè)a=0.5,8=0.8.

(i)證明:3+i—口｝?=0,1,2,…，7)為等比數(shù)列;

(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

［解］(1)由題意可知X所有可能的取值為一1,0,1.

P(X=_l)=(l—a)四

尸(X=0)=3+(l—a)(l一份，

尸(X=l)=a(l一份.

則X的分布列為

X-101

P(1—a"a￡+(l—a)(l一份a(l一份

(2)Va=0.5,夕=0.8,

.*.a=0.5X0.8=0.4,6=0.5X0.84-0.5X0.2=0.5,c=0.5X0.2=0.1.

⑴證明：,.,夕尸(2口-1+6.+。跖+1。=1,2,???,7),

即口=0.42_1+0.5口+0.5+1?=1,2,…，7),

整理可得：5pi=4pi-i+pi+i(i=i,2,7),

：.pi+\—pi=A{pi-2,…，7),

又po=piWO,

???{Pi+i-Pi}?=0，1，2,…，7)是以“為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列?

(ii)由⑴知：pi+i~Pi=(pi—po)?4i=pi?4Z,

76

:.p8-pi=pi?4,PLP6=P1?4,(P1-p0)=pi?4°.

,CTr1—48A8_1Q

作和可得：ps-po=pi,(40+41+...+47)=^-^?1=-^-/?1=1,，pi=目，

：.p4=p4-p0=pi-(4°+41+42+43)=凈1=9x6=*=擊?

P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,

乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為2=囁七0.0039,此時(shí)得出錯(cuò)誤

結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理.

-考點(diǎn)三概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的交匯問(wèn)題《規(guī)范解答

［典例3］(12分)根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有X個(gè)孩子的概率模型為:

X1230

a

Pa磯—p)a(l-p)2

P

其中a＞0,0＜夕＜1.每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為;且相互獨(dú)立，

事件4表示一個(gè)家庭有i個(gè)孩子(i=0,1,2,3),事件8表示一個(gè)家庭的男孩比

女孩多(例如：一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩，則該家庭男孩多).

1

(1)若夕=5，求a及尸(8)；

(2)為了調(diào)控未來(lái)人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)?受到各種因素的影響(例如生育保險(xiǎn)的增

加，教育、醫(yī)療福利的增加等).

①若希望尸(X=2)增大，如何調(diào)控p的值？

②是否存在夕的值使得￡(&=常請(qǐng)說(shuō)明理由.

［規(guī)范解答］(1)由題意得/a+a(—p)+a(l—2)2=1,2=也解得a=^?1分

區(qū)因?yàn)樯相?1三片?三;「

打理垃三磁(J土Cj(|)3=|.........................................................................4分

失分點(diǎn)：不會(huì)概率建模導(dǎo)致相應(yīng)的概率求解錯(cuò)誤

所以P(8)=\1>(1\]ll()=1x^+ix-^+ix^=|(z=l,2,3).??5分

(2)①由已知§+。+研1一2)+。(1—p)2=1,

切入點(diǎn)：建立a與p的等量關(guān)系

變形整理得，工=p2—32+工+3.........................................................................6分

ap

1

可設(shè)一價(jià))=。2—3。+；+3,0V。V1,

所以/'(。)=勿3要2r........................................................................................7分

故g。)在(0，D上單調(diào)遞減，

因?yàn)間(o)=—i,所以gg)vo,所以13)vo,

關(guān)鍵點(diǎn)：視“p”為變量，建立函數(shù)/①)，g(p)

故/(/?)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以增加夕的取值，'會(huì)減小，a增大，即P(X=2)

增大?...............................................................9分

②假設(shè)存在P使E(X)=^+2a+3a(1—p)=|,又因?yàn)閊=p2—32+；+3,

將上述兩等式相乘，化簡(jiǎn)整理得：5?3—6夕2+2=0,

設(shè)h(p)=5p3~6p2+2,0<p<1,

即〃0)=1522—122=32(52一4).....................................................................11分

所以〃①)在(0,§上單調(diào)遞減，在G，1)上單調(diào)遞增，故〃①)min=M()=||>0.

所以不存在p,使得E(X)=^............................................................................12分

名師點(diǎn)評(píng)該類(lèi)問(wèn)題常以實(shí)際生活中的概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)為背景，將概率、統(tǒng)計(jì)與

函數(shù)建模融合在一起，充分借助函數(shù)的性質(zhì)研究相關(guān)問(wèn)題的最值，可能涉及函數(shù)

的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，求解時(shí)注意合理轉(zhuǎn)化.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.(2021?新高考n卷)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一

個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2

代……該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1

個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).

(1)已知"o=O.4,0=0.3,P2=0.2,pj=0.1,求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程po

+夕1%+72%2+23了3=%的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)EQ0W1時(shí)，p=l,當(dāng)E(X)>1

時(shí)，7?<1；

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

［解］(1)￡(^)=OXO.4+1XO.3+2XO.2+3X0.1=1.

(2)法一(常規(guī)求導(dǎo))：

77O+/?1X+/?2X2+J03X3-x=0,x>0,

令/(X)=^o+/?1X+/>2X2+/73X3—X,

/'(x)=pi+2pvc+3/?3X2-1,

令g(x)=f'(x),則g'(x)=2P2+6/?3X三0,

??./◎)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)E(&=pi+2/2+323W1時(shí)，注意到XG(O,1］時(shí)，/(x)W/U)=pi+2必+3必

—1W0,

.../(X)在(0,1］上單調(diào)遞減，注意到/(1)=0,：.x=l,即夕=1.

當(dāng)￡(%)=21+2必+3夕3>1時(shí)，注意到/'(0)="一1<0,

r(l)=pi+222+323—1>0,

存在唯一的祝?(0,1)使/(祝)=0,且當(dāng)OVxVxo時(shí)，/'(x)V0,/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)XoVxVl時(shí)，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

注意到/(O)=po>O,/(1)=0,/./(xo)</(l)=O.

.,./(x)在(0,xo)上有一個(gè)零點(diǎn)XI,另一個(gè)零點(diǎn)為1,.".p=xi<l.

法二(巧妙因式分解)：

由題意知po+pi+22+23=1,E(X)=p1+2/?2+3J?3,

由/7O+/71X+/72X2+/?3X3=X=>7?O+/72X2+/?3X3-(1-/?1)X=O,

.,.；70+P2X1+/>3X3—(po+/72+/73)x=0=>7?o(1-X)+p?X(X—1)+T73X(X-l)(x+1)=0,

(X—1)［/73X2+(/72+p3)X-po］=0,

f(x)=P^+(/?2+/?3)X—7?0,/(x)的對(duì)稱(chēng)軸為X=—V~-<0,

2P3

注意到/(0)=-;?0<0,/(1)=2必+必一po=》+2必+3P3-l=￡(X)T,

當(dāng)E(X)W1時(shí)，/(1)WO,/(x)的正實(shí)根xoNl,原方程的最小正實(shí)根夕=1,

當(dāng)E(X)>1時(shí)，/(1)>0,/(x)的正實(shí)根xoVl,原方程的最小正實(shí)根夕=xo〈l.

(3)當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望小于等于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過(guò)多代繁

殖后臨近滅絕，當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望大于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過(guò)

多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能.

【教師備選資源】

踢健子在我國(guó)流傳很廣，有著悠久的歷史，是一項(xiàng)傳統(tǒng)民間體育活動(dòng).某次體育

課上，甲、乙、丙、丁四人一起踢毯子.僚子在四人中傳遞，先從甲開(kāi)始，甲傳

給乙、丙、丁的概率均為熱當(dāng)乙接到僚子時(shí)，乙傳給甲、丙、丁的概率分別為1

,；；當(dāng)丙接到徑子時(shí)，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為:，；，；；當(dāng)丁接到徑

子時(shí)，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為:，"假設(shè)建子一直沒(méi)有掉地上，經(jīng)過(guò)

36Z

〃次傳健子后，健子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為斯，bn,Cn，dn,已知

Ql=0.

⑴記丁在前2次傳僚子中，接到徑子的次數(shù)為X,求X的分布列；

⑵證明｛冊(cè)-｝為等比數(shù)列，并判斷經(jīng)過(guò)150次傳犍子后甲接到僚子的概率與I

的大小.

［解］(1)X的所有可能取值為0,1,

P(X=l)=1-+2X-1x-1=A-,

所以X的分布列為

X01

54

p

99

⑵當(dāng)〃三2且〃?N*時(shí)，

=

an-^bn-\

bn=^n-\+-zCn-\

金=石?！?1+力〃_1+于/〃_1,

=

-\+cn-\~\~dn-\)an-\-\~2an,

因?yàn)镃ln=-bn-\-\~-Cn-l~\~-dn-\,所以3斯+1=6〃+?！?&/,

3a力+i及—1,所以3a”I1,

因?yàn)?1=0,?2=-,所以3。"+斯_1=1,

1

所以

an-l-7§

所以｛冊(cè)一；｝是首項(xiàng)為一：，公比q=一；的等比數(shù)列,

11n—1

所以4

111

-十-

44

149

所匕乙以、,050=-黃1/-弓1\)+?；1=；1><

\3744'

故經(jīng)過(guò)150次傳讖子后甲接到趟子的概率大于2

4

課時(shí)分層作業(yè)(七十二)概率、統(tǒng)計(jì)的綜合

問(wèn)題

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

1.為調(diào)查我校學(xué)生的用電情況，學(xué)校后勤部門(mén)抽取了100間學(xué)生宿舍在某月的

用電量，發(fā)現(xiàn)每間宿舍的用電量都在50kW-h到350kW?h之間，將其分組為

[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350],得

到如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴為降低能源損耗，節(jié)約用電，規(guī)定：當(dāng)每間宿舍的月用電量不超過(guò)200kW?h

時(shí)，按每度0.5元收取費(fèi)用；當(dāng)每間宿舍的月用電量超過(guò)200kW?h時(shí)，超過(guò)部

分按每千瓦時(shí)1元收取費(fèi)用.用/(單位：kW?h)表示某宿舍的月用電量，用y(單

位：元)表示該宿舍的月用電費(fèi)用，求y與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在抽取的100間學(xué)生宿舍中，月用電量在區(qū)間［200,250)內(nèi)的學(xué)生宿舍有多少

間？

［解］(1)根據(jù)題意，得當(dāng)50W/W200時(shí)，月用電費(fèi)用為>=0.5/;

當(dāng)/>200時(shí)，月用電費(fèi)用為y=200X0.5+。一200)X1=7—100.

,…人(0.51,50Wt<200,

綜上，佰舍的月用電費(fèi)用為

It-100,t>200.

(2)因?yàn)樵掠秒娏吭冢?00,250)內(nèi)的頻率為50x=1-(0.0060+0.0036+0.0024+

0.0024+0.0012)X50=1-0.0156X50=0.22,所以月用電量在［200,250)內(nèi)的

宿舍有100X0.22=22(間).

2.(2024?湖北武漢江漢區(qū)開(kāi)學(xué)考試)某學(xué)校為了了解老師對(duì)“民法典”知識(shí)的

認(rèn)知程度，針對(duì)不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識(shí)競(jìng)答，滿分100分(95

分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有機(jī)人，按年齡分成5組，其中第

一組：［20,25),第二組：［25,30),第三組：［30,35),第四組：［35,40),第

五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這機(jī)人年齡的第75百分位數(shù);

⑵現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人，擔(dān)任“民法典”知識(shí)的宣

傳使者.

①若有甲（年齡23）,乙（年齡43）2人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第一組和第

五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人恰有一人被選上

的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1,第五組宣傳使者的

年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2,據(jù)此估計(jì)這他人中35?45歲所有人的年齡

的方差.

［解］（1）不妨設(shè)第75百分位數(shù)為a,

此時(shí)5X（0.01+0.07+0.06）+（4—35）X0.04=0.75,

解得a=36.25.

（2）由條件可知，第一、二、三、四、五組應(yīng)分別抽取2人，14人，12人，8人，

4人.

①第一?組應(yīng)抽取2人，記為A,甲，

第五組抽取4人，記為B,C,D,乙，

此時(shí)對(duì)應(yīng)的樣本空間為。=｛（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,甲），（A,乙），（B,

C）,（B,D）,（B,甲），（B,乙），（C,甲），（C,乙），（C,D）,（D,甲），（D,乙），

（甲，乙）｝,共15個(gè)樣本點(diǎn)，

記“甲、乙兩人恰有一人被選上”為事件〃，

此時(shí)/=｛（A,甲），（A,乙），（B,甲），（B,乙），（C,甲），（C,乙），（D,甲），

（D,乙）｝,共8個(gè)樣本點(diǎn)，

貝U甲、乙兩人恰有一人被選上的概率尸須=言

②設(shè)第四組，第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為幻口方差分別為§2,52,

此時(shí)元=36,7=42,$2=1,s'2=2,

設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為N,方差為sE

8x,4y8x36+4x42r。

此時(shí)Z=——F—=-----------=38,

121212'

"2_8（S2+（AZ）2）+4（S'2+（廣力2）

S12

_8（1+（36-38戶）+4（2+（42-38）2）_28

12-3'

故這機(jī)人中35—45歲所有人的年齡的方差為g.

3.(2024?黑龍江哈爾濱開(kāi)學(xué)考試)某校設(shè)置了籃球挑戰(zhàn)項(xiàng)目，現(xiàn)在從本校學(xué)生

中隨機(jī)抽取了60名男生和40名女生共100人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)出愿意接受挑戰(zhàn)和

不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況，具體數(shù)據(jù)如圖表:

□男生

□女生

(1)根據(jù)條件完成下列2X2列聯(lián)表:

接受挑戰(zhàn)情況

性別合計(jì)

愿意不愿意

男生

女生

合計(jì)

(2)根據(jù)2X2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生是否

愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān);

(3)挑戰(zhàn)項(xiàng)目共有兩關(guān)，規(guī)定：挑戰(zhàn)過(guò)程依次進(jìn)行，每一關(guān)都有兩次機(jī)會(huì)挑戰(zhàn),

通過(guò)第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn)，若甲參加第一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過(guò)的

概率均為;，參加第二關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過(guò)的概率均為3且每輪每次挑戰(zhàn)是否通

過(guò)相互獨(dú)立.記甲通過(guò)的關(guān)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式與數(shù)據(jù):

9n(ad—bc)2...

X7777777V7,7T9〃〃十b十C十Cl.

人(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

［解］(1)根據(jù)條件得2X2列聯(lián)表如表所示.

接受挑戰(zhàn)情況

性別合計(jì)

愿意不愿意

男生154560

女生202040

合計(jì)3565100

⑵零假設(shè)為〃0：該校學(xué)生是否愿意接受挑戰(zhàn)與性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),

K-f'?耕,日右,[9100x(15x20—20x45)2/「

經(jīng)計(jì)算得到%2=-；=6.593<6-635=xo.oi,

八35x65x60x40

依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分理由證據(jù)推斷為不成立，因此可

以認(rèn)為M成立，即認(rèn)為該校學(xué)生是否愿意接受挑戰(zhàn)與性別無(wú)關(guān).

(3)記甲第z,次通過(guò)第一關(guān)為4"=1,2),第z,次通過(guò)第二關(guān)為A(i=l,2),

由題意得，X的可能取值為0,1,2,

尸(X=0)=尸

尸(X=l)=尸(41B$2)+尸(&出8/2)=器xg+衿x|x?

尸(X=2)=尸(Zi8i)+P(Z1瓦82)+P(A[AiBx)+P(不加瓦82)

11,121,111,11215

=-X—十一X一X一十一X-X一十一X-X-X—=—

23233223223312’

故X的分布列為

X012

115

P

4312

11q7

所以￡（工）=0><（+1></+2乂卷=￡

4.(2023?廣東茂名二模)馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲?guó)數(shù)學(xué)家安德烈?馬爾可夫得名，

其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第〃+1次狀態(tài)的概率分布只跟第〃次的狀態(tài)

有關(guān)，與第〃一1,〃一2,〃一3,…次狀態(tài)是“沒(méi)有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙

兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒

子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行〃(〃?N*)次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為

X”,甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為念，恰有2個(gè)黑球的概率為從.求：

(1閔的分布列；

(2)數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(3間的期望.

[解](1)由題可知，Xi的可能取值為0,1,2.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可

知：P(Xi=0)=|x|=|,P(Xi=l)=|xi+|x|=|,P(Xi=2)=|x|=|,

故Xi的分布列為

X1012

252

p

999

(2)由全概率公式可知:

尸(不+1=1)=0(乂=1)?尸(X，+i=1曷=1)+P(X,=2)?P(不+尸1|不=2)+P("產(chǎn)

0)?尸(不+1=1及=0)

=GX扛"|>(X=1)+(1X1)P(X=2)+(1X|)P(X=O)

q7?

=#(怎=1)+7(不=2)+丁(不=0),

q7?

即tz?+i=-^+-^+-(l—an—bn),

12

所以斯+i=--an+~,

所以1—春=—[(an-§,

532

又ai=P(Xi=l)=d，ai

yD

3'以一芻為首項(xiàng)，以一二為公比的等比數(shù)列,

459

匕匕、，(-廣?(-獷

所以斯一三3=一石2

2?1\Tl

即an=~+--

(3)由全概率公式可得:

尸(不+I=2)=尸(的=1)?P(劉+尸2照=1)+P(%,=2)?P(劉+i=2照=2)+尸(X尸

0)-P(X+i=2|X=0)=(|x|)?P(羽=1)+Qx1)?P(X=2)+0XP(X,=0),

21

即兒+1=3即+/7,

__3,2(l\n

又許。+=x(一§)，

2

所以=；瓦+：+X

bn+1XE5-

2

又bi=P(X=2)=；,

11

所以從一三十三又

所以兒一'+'x(一3=0,

所以兒W，

所以￡(苞)=斯+2為+0*(1—an—bn)=Cln+2bn=1.

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

5.(2024?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)為了檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行

動(dòng)物與人體試驗(yàn).研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時(shí)間后測(cè)量小

白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組,

繪制頻率分布直方圖如圖所示，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其

中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110只，假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互

獨(dú)立.

(1)填寫(xiě)下面的2X2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否

認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).

指標(biāo)值

抗體合計(jì)

小于60不小于60

有抗體

沒(méi)有抗體

合計(jì)

(2)為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒(méi)有產(chǎn)生抗體的40

只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.

①用頻率估計(jì)概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p；

②以①中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種

試驗(yàn)，記〃個(gè)人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量X試驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

顯示，當(dāng)X=99時(shí)，P(㈤取最大值，求參加人體接種試驗(yàn)的人數(shù)〃.

參考公式.72=--------n(a"bc)2----苴中

,少么隊(duì).%(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八十"="丁。丁。丁々.

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

［解］(1)由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標(biāo)值分布為:

在［0,20）內(nèi)有0.0025X20X200=10（只）;

在［20,40）內(nèi)有0.00625X20X200=25（只）；

在［40,60）內(nèi)有0.00875X20X200=35（只）；

在［60,80）內(nèi)有0.025X20X200=100（只），

在［80,100］內(nèi)有0.0075X20X200=30（只）.

由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只,

而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只,

所以指標(biāo)值小于60且沒(méi)有抗體的小白鼠有20只，

同理，指標(biāo)值不小于60且沒(méi)有抗體的小白鼠有20只,

故列聯(lián)表如表所示.

指標(biāo)值

抗體合計(jì)

小于60不小于60

有抗體50110160

沒(méi)有抗體202040

合計(jì)70130200

零假設(shè)為面：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無(wú)關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得六筆黑蒜臀“945>3.841=x°g

根據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷為不成立，

即