人教版七年級數(shù)學下冊《實際問題與二元一次方程組（第3課時）》示范教學設(shè)計

實際問題與二元一次方程組（第3課時）教學目標1．鞏固列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟，會用列表的方式分析問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系，能列二元一次方程組解決方案設(shè)計類問題．2．在解決問題的過程中，體會列表在正確理解題意、分析較復雜的數(shù)量關(guān)系、順利列出方程組中的作用，知道有些問題設(shè)間接未知數(shù)便于分析問題、列方程組，滲透應(yīng)用意識，體會方程組是解決實際問題的有效工具．教學重點會用表格輔助分析問題；能設(shè)間接未知數(shù)解決實際問題．教學難點能分析復雜問題中的數(shù)量關(guān)系．教學過程知識回顧如圖，長青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連．這家工廠從A地購買原料運回工廠，每噸運費159元，再把制成的產(chǎn)品從工廠運到B地銷售，每噸的運費為162元，試求鐵路、公路運價分別為多少元/(t·km)？【師生活動】教師提示：“多少元／(t·km)”指的是“每噸每千米多少元”，學生根據(jù)提示獨立思考作答．【答案】解：設(shè)鐵路、公路運價分別為x元/(t·km)和y元/(t·km)．由題意，得方程組解得答：鐵路、公路運價分別為1.2元/(t·km)和1.5元/(t·km)．【設(shè)計意圖】復習前面學過的列二元一次方程組解決簡單的實際問題，鞏固基礎(chǔ)，激發(fā)學生的學習興趣，引出本節(jié)課學習的“列二元一次方程組解決復雜的實際問題”．新知探究一、探究學習【問題】如圖，長青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連．這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運回工廠，制成每噸8000元的產(chǎn)品運到B地．已知公路運價為1.5元/(t·km)，鐵路運價為1.2元/(t·km)，且這兩次運輸共支出公路運費15000元，鐵路運費97200元．這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？【思考】要求“這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？”我們必須知道什么？【師生活動】教師帶領(lǐng)學生分析題目的關(guān)鍵信息：銷售款與產(chǎn)品數(shù)量有關(guān)，原料費與原料數(shù)量有關(guān)，而公路運費和鐵路運費與產(chǎn)品數(shù)量和原料數(shù)量都有關(guān)．因此，我們必須知道產(chǎn)品數(shù)量和原料數(shù)量．教師提問：怎樣設(shè)未知數(shù)？學生獨立思考，設(shè)出未知數(shù)：設(shè)制成xt產(chǎn)品，購買yt原料．教師追問：本題涉及的量較多，這種情況下常用列表的方式分析問題．本題涉及哪兩類量呢？學生小組討論作答：一類是公路運費、鐵路運費、價值；另一類是產(chǎn)品數(shù)量、原料數(shù)量．【設(shè)計意圖】使學生明確在直接設(shè)要求的量為未知數(shù)不容易列方程組時，應(yīng)設(shè)間接未知數(shù)；讓學生認識到，解較復雜的實際問題時，可以用列表的方式分析問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系．【思考】你能根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系完成下表嗎？產(chǎn)品xt原料yt合計公路運費/元鐵路運費/元價值/元【師生活動】學生先獨立思考，教師給出題中涉及的數(shù)量關(guān)系：總價＝單價×數(shù)量，運輸費＝數(shù)量×運價×距離．學生根據(jù)數(shù)量關(guān)系，小組討論，完成表格：產(chǎn)品xt原料yt合計公路運費/元1.5×20x1.5×10y1.5(20x＋10y)鐵路運費/元1.2×110x1.2×120y1.2(110x＋120y)價值/元8000x1000y解得所以化工廠從A地購買了400t原料，制成300t產(chǎn)品運往B地．【思考】這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？【師生活動】學生獨立思考，找一名學生代表回答：銷售款【思考】你發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系了嗎？如何列方程組并求解？【師生活動】學生獨立思考，列出方程組：【答案】解：設(shè)制成xt產(chǎn)品，購買yt原料．由題意，得方程組化簡，得解得則銷售款：8000x＝8000×300＝2400000（元）；原料費：1000y＝1000×400＝400000（元）；運輸費：15000＋97200＝112200（元）；2400000－(400000＋112200)＝1887800（元）．這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多1887800元．【歸納】從以上探究可以看出，方程組是解決含有多個未知數(shù)問題的重要工具．用方程組解決問題時，要根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程組，求出方程組的解后，應(yīng)進一步考慮它是否符合問題的實際意義．若在直接設(shè)要求的量為未知數(shù)不容易列方程（組）時，應(yīng)設(shè)間接未知數(shù)，求得未知數(shù)的值后再計算要求的量．【設(shè)計意圖】通過問題，引導學生學會利用表格分析復雜問題，找出兩個相等關(guān)系，并能根據(jù)兩個相等關(guān)系列出二元一次方程組，讓學生體會列表在正確理解題意、分析較復雜的數(shù)量關(guān)系、順利列出方程組中的作用，加深對數(shù)學建模思想的理解．【問題】一個農(nóng)機服務(wù)隊有技術(shù)員工和輔助員工共15人，技術(shù)員工人數(shù)是輔助員工人數(shù)的2倍．服務(wù)隊計劃對員工發(fā)放獎金共計20000元．按每名技術(shù)員工A元和每名輔助員工B元兩種標準發(fā)放，其中A，B均不小于800，且A不小于B，并且A，B都是100的整數(shù)倍．（注：農(nóng)機服務(wù)隊是一種農(nóng)業(yè)機械化服務(wù)組織，為農(nóng)民提供耕種、收割等有償服務(wù)．）（1）求該農(nóng)機服務(wù)隊中技術(shù)員工和輔助員工的人數(shù)；（2）求本次獎金發(fā)放的具體方案．【師生活動】教師給出分析，學生獨立思考，完成填空．【分析】（1）①由“服務(wù)隊有技術(shù)員工和輔助員工共15人”得相等關(guān)系：技術(shù)員工人數(shù)＋輔助員工人數(shù)＝15．由“技術(shù)員工人數(shù)是輔助員工人數(shù)的2倍”得相等關(guān)系：技術(shù)員工人數(shù)＝輔助員工人數(shù)×2．②設(shè)該農(nóng)機服務(wù)隊有技術(shù)員工x人，輔助員工y人，根據(jù)①中的相等關(guān)系可列方程組解得即該農(nóng)機服務(wù)隊有技術(shù)員工10人，輔助員工5人．②因為A≥B≥800，且A，B都是100的整數(shù)倍，所以當B＝800時，A＝1600；當B＝900時，A＝1550（A不是100的整數(shù)倍，舍去）；當B＝1000時，A＝1500；當B＝1100時，A＝1450（A不是100的整數(shù)倍，舍去）；當B＝1200時，A＝1400；當B＝1300時，A＝1350（A不是100的整數(shù)倍，舍去）；當B＝1400時，A＝1300（A＜B，舍去）；由此再取下去都不符合題意．所以本次獎金發(fā)放的具體方案有3種：方案1：技術(shù)員工每人1600元，輔助員工每人800元；方案2：技術(shù)員工每人1500元，輔助員工每人1000元；方案3：技術(shù)員工每人1400元，輔助員工每人1200元．【歸納】要求兩個量，且已知兩個相等關(guān)系，一般列二元一次方程組即可求解；若要求兩個量，且只知一個相等關(guān)系，則一般列二元一次方程，然后根據(jù)問題的實際情況討論得出符合題意的結(jié)果．【設(shè)計意圖】讓學生體會列二元一次方程組解決方案設(shè)計類問題的一般步驟．二、典例精講【例題】某工廠去年的總產(chǎn)值比總支出多500萬元．由于今年總產(chǎn)值比去年增加15％，總支出比去年節(jié)約10％，因此，今年總產(chǎn)值比總支出多950萬元．今年的總產(chǎn)值和總支出各是多少萬元？【師生活動】學生獨立思考，并小組討論，嘗試進行解答，教師給予指導．【分析】解決此類問題要先明確幾個基本關(guān)系：（1）增長量＝原有量×增長率；（2）原有量＝現(xiàn)有量－增長量；（3）現(xiàn)有量＝原有量×(1＋增長率)．再根據(jù)相等關(guān)系列方程組．【答案】解：設(shè)去年總產(chǎn)值是x萬元，總支出是y萬元，列表如下：總產(chǎn)值/萬元總支出/萬元差/萬元去年xy500今年(1＋15％)x(1－10％)y950由題意，得解得所以(1＋15％)x＝2300，(1－10％)y＝1350．答：今年的總產(chǎn)值是2300萬元，總支出是1350萬元．【歸納】畫表格巧解增長率問題在此類數(shù)量關(guān)系比較復雜的增長率題目中，僅靠想象尋找相等關(guān)系或列方程組，難免會出現(xiàn)顧此失彼的情況，如果能借助表格分析，將