《概率》全冊(cè)配套課件

《概率》全冊(cè)配套課件§1隨機(jī)事件與隨機(jī)變量一.隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件試驗(yàn)是對(duì)自然現(xiàn)象進(jìn)行的觀察和各種科學(xué)實(shí)驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn):

隨機(jī)試驗(yàn)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察和實(shí)驗(yàn).常見隨機(jī)試驗(yàn)(1)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;

(2)可以弄清試驗(yàn)的全部可能結(jié)果;(3)試驗(yàn)前不能預(yù)言將出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。電話呼叫試驗(yàn)拋硬幣其它試驗(yàn)隨機(jī)事件就是在隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情,簡(jiǎn)稱事件。必然事件：隨機(jī)試驗(yàn)中肯定發(fā)生的事件,記為

。不可能事件：隨機(jī)試驗(yàn)中肯定不發(fā)生的事件，記為

。在概率統(tǒng)計(jì)中用大寫字母A,B,C

以及A1,A2,

…An,···

等表示事件?；臼录?在一次試驗(yàn)中必發(fā)生一個(gè)且僅發(fā)生一個(gè)的最簡(jiǎn)單事件.注意:基本事件具有相對(duì)性。復(fù)合事件：由若干基本事件組合而成的事件?；臼录衫斫鉃椤安荒茉俜纸狻钡氖录?。拋硬幣測(cè)量身高電話呼叫試驗(yàn)紙牌試驗(yàn)二.樣本空間基本事件A1單點(diǎn)集{ω1}基本事件A2單點(diǎn)集{ω2}············一一對(duì)應(yīng) 將聯(lián)系于試驗(yàn)的每一個(gè)基本事件，可以用一個(gè)包含一個(gè)元素ω的單點(diǎn)集來(lái)表示。所有基本事件對(duì)應(yīng)元素的全體所組成的集合,稱為試驗(yàn)的樣本空間（Ω）。摸球試驗(yàn)拋硬幣樣本空間的元素稱為樣本點(diǎn)（ω）。

復(fù)合事件是樣本空間的一個(gè)子集。一次試驗(yàn)之后,必定出現(xiàn)基本事件中的一個(gè),假定它對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)是ω,對(duì)任意事件A,若ω∈A,稱事件A發(fā)生,否則稱A沒(méi)有發(fā)生。樣本空間Ω對(duì)應(yīng)的事件是必然事件,空集?對(duì)應(yīng)的事件是不可能事件。摸球試驗(yàn)為了能運(yùn)用數(shù)學(xué)的手段研究隨機(jī)現(xiàn)象,需進(jìn)一步將所有的元素(即樣本點(diǎn))ω?cái)?shù)量化。即例子()vXRn陳hendie@三、隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算隨機(jī)事件的關(guān)系及運(yùn)算實(shí)際上就是集合的關(guān)系及運(yùn)算。(1)包含關(guān)系A(chǔ)

B，即事件A發(fā)生，必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,稱事件B包含事件A，或A是B的子事件。從集合的角度：若ω∈Aω∈B 如果兩個(gè)事件互相包含,稱為事件相等。對(duì)任意事件A,有

A。(2)和事件事件A與B的和事件記為A∪B從集合的角度:A∪B={ω|ω∈A或ω∈B}。例子從隨機(jī)事件角度：A∪B是事件{A與B至少有一個(gè)發(fā)生}參見例子(3)積事件事件A與B的積事件記為A∩B或AB。從集合的角度:A∩B={ω|ω∈A且ω∈B}。從隨機(jī)事件角度:A∩B是事件{A與B同時(shí)發(fā)生}。參見例子(4)互不相容事件若AB=

,稱A、B為互不相容或互斥事件,即事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生。顯然,

與任何事件互不相容。

A1,A2,···,An中任意兩個(gè)互不相容,稱n個(gè)事件A1,A2,···,An互不相容（兩兩互斥）。事件列A1,A2,···互不相容是指其中任意有限個(gè)事件互不相容。性質(zhì)：同一試驗(yàn)的基本事件互不相容。參見例子(5)對(duì)立事件（逆事件）若AB=

,且A∪B=

,稱A、B互為對(duì)立事件（逆事件）,記為B=從隨機(jī)事件角度:事件{A不發(fā)生}。顯然,在一次試驗(yàn)中,與A必發(fā)生且僅發(fā)生一個(gè),非此即彼。從集合的角度:參見例子(6)差事件事件A與B之差A(yù)－B從隨機(jī)事件角度:A－B是事件{事件A發(fā)生且B不發(fā)生}。參見例子從集合的角度:顯然有

甲乙兩人向同一目標(biāo)射擊:設(shè)A={甲命中目標(biāo),乙未命中目標(biāo)},則其對(duì)立事件

(d):{甲未命中或乙命中}A=()(c):{甲未命中}(b):{甲乙均命中}(a):{甲未命中且乙命中}

(7)隨機(jī)事件（集合）運(yùn)算律德·摩根律:交換律:A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。結(jié)合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C）;(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C)吸收律:參見例子例題E1

從10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10的小球中任取一個(gè),記錄所得小球的號(hào)碼.12310987654?隨機(jī)試驗(yàn)E2

拋一枚硬幣，將會(huì)出現(xiàn)正面還是反面？隨機(jī)試驗(yàn)E5檢驗(yàn)出N件產(chǎn)品中的次品。E6測(cè)量某團(tuán)體人員的身高。E4測(cè)量某零件長(zhǎng)度x和直徑y(tǒng)所產(chǎn)生的誤差。E3儀器上某種型號(hào)的電子元件使用時(shí)間已達(dá)300小時(shí)，檢測(cè)該元件還能使用多少小時(shí)？隨機(jī)試驗(yàn)

E1:某電話總臺(tái)一天接到的呼叫次數(shù).A={呼叫次數(shù)為偶數(shù)}；B={呼叫次數(shù)為奇數(shù)}；C={呼叫次數(shù)大于3}；Ai={呼叫次數(shù)為i},i=0,1,2,···

等等;都是隨機(jī)事件。W={呼叫次數(shù)不小于0}是必然事件,f={呼叫次數(shù)小于0}是不可能事件。隨機(jī)事件

E2拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。 在試驗(yàn)中，若根據(jù)硬幣出現(xiàn)正面或反面來(lái)決定球賽的首發(fā)權(quán)，把硬幣“出現(xiàn)正面H”和“出現(xiàn)反面T”這兩個(gè)可能結(jié)果看成隨機(jī)事件。故有：A={出現(xiàn)正面}，

B={出現(xiàn)反面}。

由于試驗(yàn)的目的，硬幣沿什么方向滾動(dòng)等結(jié)果將不被看成隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)事件

E3檢驗(yàn)出N件產(chǎn)品中的次品。E4測(cè)量某團(tuán)體人員的身高。隨機(jī)事件有：A={檢驗(yàn)到正品}；

B={檢驗(yàn)到次品}，等等。 用X表示人的身高，{X=x}表示“人的身高為x

m”則有：{X=x}x>0，{X>0}，{X<1.5}，{X>1.70}等等都是隨機(jī)事件。隨機(jī)事件

基本事件}復(fù)合事件復(fù)合事件E1:某電話總臺(tái)一天接到的呼叫次數(shù).A={呼叫次數(shù)為偶數(shù)}；B={呼叫次數(shù)為奇數(shù)}；C={呼叫次數(shù)大于3}；Ai={呼叫次數(shù)為i},i=0,1,2,···W={呼叫次數(shù)不小于0}是必然事件,f={呼叫次數(shù)為1.2}是不可能事件。

基本事件例2拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。 在試驗(yàn)中，若根據(jù)硬幣出現(xiàn)正面或反面來(lái)決定球賽的首發(fā)權(quán)，把硬幣“出現(xiàn)正面H”和“出現(xiàn)反面T”這兩個(gè)可能結(jié)果看成隨機(jī)事件。故有：A={出現(xiàn)正面}，

B={出現(xiàn)反面}。}基本事件

基本事件例4測(cè)量某團(tuán)體人員的身高。用X表示人的身高，{X=x}表示“人的身高為xm

”則有：{X=x}x>0，{X>0}，{X<1.5}，{X>1.70}等等都是隨機(jī)事件?；臼录魷y(cè)量人的身高是為了判斷乘車購(gòu)票與否，則僅有三個(gè)基本事件：A={購(gòu)全票}，B={購(gòu)半票}，C={免票}。復(fù)合事件

基本事件的相對(duì)性例：從52張撲克中任意抽取一張。2）不考慮花色其基本事件集合為：3）考慮花色但不考慮點(diǎn)數(shù)其基本事件集合為：基本事件的相對(duì)性1）考慮其點(diǎn)數(shù)及其花色。基本事件集合為：

E1從10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10的小球中任取一個(gè),記錄所得小球的號(hào)碼,這就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。A={取得的小球號(hào)碼為偶數(shù)}，B={號(hào)碼為奇數(shù)},C={號(hào)碼大于3}；Ai

={號(hào)碼為i},i=1,2,···,10等等;都是隨機(jī)事件?；臼录篈i

={號(hào)碼為i}={ωi}={i},i=1,2,···,10。復(fù)合事件：A={號(hào)碼為偶數(shù)}={2,4,6,8,10}B={號(hào)碼為奇數(shù)}={1,3,5,7,9}；C={號(hào)碼大于3}={4,5,6,7,8,9,10}。

事件的集合表示

Ω={號(hào)碼不超過(guò)10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}此即為樣本空間，是一個(gè)必然事件。

f={號(hào)碼等于0}，它不包含任何基本事件，從而不包含任何樣本點(diǎn)，是不可能事件。.0}{2,4,6,8,1}{

AW∪==號(hào)碼為偶數(shù).}{1,3,5,7,9}{

BW∪==號(hào)碼為奇數(shù)事件的集合表示

E2拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。A={出現(xiàn)正面}，B={出現(xiàn)反面}。基本事件我們可以令A(yù)={出現(xiàn)正面}={H}，B={出現(xiàn)反面}={T}。而樣本空間Ω={H，T}。

事件的集合表示E5檢驗(yàn)N件產(chǎn)品中的次品數(shù)。E4測(cè)量某零件長(zhǎng)度x和直徑y(tǒng)所產(chǎn)生的誤差。E2拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。 若用X表示拋一次硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的次數(shù)，則X(H)=1，X(T)=0。 若用Y表示檢查N件產(chǎn)品中的次品數(shù)，我們有Y(k)=k。則生的誤差和直徑所產(chǎn)分別表示測(cè)量零件長(zhǎng)度和用,yxee},),{(+∞<<-∞+∞<<-∞=Wyxyxeeee

事件的數(shù)字化BA從集合的角度參見示圖例從10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10的小球中任取一個(gè),記錄所得小球的號(hào)碼。A={球的號(hào)碼為4的倍數(shù)}={4，8},B={球號(hào)碼為偶數(shù)}={2，4，6，8，10}。則：

包含關(guān)系BA從集合的角度參見示圖例從10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10的小球中任取一個(gè),記錄所得小球的號(hào)碼。A={球的號(hào)碼是不大于3的奇數(shù)}={1，3},B={球的號(hào)碼是不大于4的偶數(shù)}={2，4}C={球的號(hào)碼不超過(guò)4}={1，2，3，4}。則：和事件例對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直至命中為止。設(shè)：A={擊中目標(biāo)}；B={前k次擊中目標(biāo)}。則

和事件從集合的角度參見示圖例從10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10的小球中任取一個(gè),記錄所得小球的號(hào)碼。A={球的號(hào)碼是奇數(shù)}={1，3，5，7，9},B={球的號(hào)碼大于5}={6，7，8，9，10}C={球的號(hào)碼是7或9}={7，9}。則：BA積事件例對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直至命中為止。設(shè)：D={進(jìn)行了k次射擊}；Ai={第i次射擊命中目標(biāo)}，i=1,2…Bi

={第i次射擊未命中目標(biāo)},i=1,2…則D=B1B2…Bk-1Ak

積事件事件的互斥從集合的角度參見示圖AB例從10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10的小球中任取一個(gè),記錄所得小球的號(hào)碼。A={球的號(hào)碼是奇數(shù)}={1，3，5，7，9},B={球的號(hào)碼是不大于4的偶數(shù)}={2，4}。則：A與B是互不相容的事件。例對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直至命中為止。設(shè)：Dk

={進(jìn)行了k次射擊}，k=1,2…Ai={第i次射擊命中目標(biāo)}，i=1,2…Bj

={第j次射擊未命中目標(biāo)},j=1,2…則：Dk，k=1,2…是互不相容的事件列。Ai、Bi，i=1,2…是互不相容的事件列。

事件的互斥對(duì)立事件從集合的角度參見示圖A例從10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10的小球中任取一個(gè),記錄所得小球的號(hào)碼。A={球的號(hào)碼是奇數(shù)}={1，3，5，7，9},B={球的號(hào)碼是偶數(shù)}={2，4，6，8，10}。則：A與B是對(duì)立事件。

從集合的角度參見示圖例從10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10的小球中任取一個(gè),記錄所得小球的號(hào)碼。A={球的號(hào)碼是奇數(shù)}={1，3，5，7，9},B={球的號(hào)碼不大于4}={1，2，3，4}。則：A-B={5，7，9}。AB差事件例測(cè)量某團(tuán)體人員的身高。 用X表示人的身高，{X=x}表示“人的身高為x米”

事件{X≤1.7}-{X≤1.5}={1.5<X≤1.7}表示事件“人的身高介于1.5與1.7之間”。

差事件例證明(A-AB)∪B=A∪B證明:差事件性質(zhì)對(duì)偶律分配律吸收律吸收律分配律事件的運(yùn)算

設(shè)ABC為三個(gè)隨機(jī)事件,試用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件.A發(fā)生,B,C都不發(fā)生.A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生.A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生.A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生.解:1)

一、概率概率是刻劃隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。事件A的概率記為P(A)常規(guī)定0

P(A)1

P(Ω)=1P(?)=0它不依主觀變化而變化例如如何計(jì)算概率?摸球試驗(yàn)拋骰子試驗(yàn)

§1.2概率二、古典概率賭徒分賭金問(wèn)題定義:設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),若它滿足以下兩個(gè)條件： (1)僅有有限多個(gè)基本事件； (2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等。則稱E

古典概型的試驗(yàn)。古典概率的起源

擲骰子試驗(yàn)例如：定義：設(shè)試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，Ai，i=1,2,…,n是基本事件,則由樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)所含樣本點(diǎn)的數(shù)目基本事件總數(shù)所含基本事件個(gè)數(shù)AAAP==)(所確定的概率稱為事件A的古典概率.鴿籠問(wèn)題摸彩試驗(yàn)注：在古典概率的計(jì)算中常用到排列組合的知識(shí)，如乘法原理、加法原理等等。用樣本空間求概率古典概率具有如下三個(gè)性質(zhì)： (1)對(duì)任意事件A，有0≤P(A)≤1； (2)P(W)=1； (3)若A1，A2，…，An互不相容，則

===miimiiAPAP11)()(U思考：古典概率能否解決所有的隨機(jī)問(wèn)題？拋硬幣試驗(yàn)儀器壽命試驗(yàn)例如：三、頻率定義：在相同條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，稱比值為事件A發(fā)生的頻率。nmAfn=)(頻率從一定程度上反映了事件發(fā)生可能性的大小。它隨著試驗(yàn)的次數(shù)、試驗(yàn)者的不同會(huì)有所不同。拋硬幣試驗(yàn)頻率的應(yīng)用例如：注：頻率不是概率，但在某種意義下，頻率穩(wěn)定于概率。四、概率的公理化定義定義：設(shè)E的樣本空間為W，對(duì)于E的每個(gè)事件A，均對(duì)應(yīng)于唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，其對(duì)應(yīng)規(guī)則為1.(非負(fù)性)對(duì)任一事件A,有0≤P(A)≤1; 2.(規(guī)范性)P(W)=1; 3.(可列可加性)E的事件列A1,A2,…,互不相容,則

∞=∞==11)()(iiiiAPAPU由公理化定義可以得到如下重要性質(zhì):基本性質(zhì):1.不可能事件的概率為0,即P(f)=0;2.(有限可加性)若試驗(yàn)E的事件組A1,A2,…,Am互不相容,則有

===miimiiAPAP11)()(U3.對(duì)立事件概率和為1,即P(A

)+P(A)=1;成立.則有滿足和若事件概率單調(diào)性

)()()(

),()(

,

)(

.4APBPABPBPAPBABA-=-≤∩概率加法定理:對(duì)試驗(yàn)E的任意兩個(gè)事件A和B有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)BAAB概率的公理化定義及性質(zhì)，為概率的計(jì)算提供了更完善的理論依據(jù).古典概率是公理化定義的特例.抽檢試驗(yàn)例如：補(bǔ)充例題多除少補(bǔ)例1拋一顆均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)情況。我們通過(guò)實(shí)踐與分析可得：出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6的可能性都是相等的。概率的客觀性

例2從10個(gè)標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,10的小球中任取一個(gè),記錄所得小球的號(hào)碼。12310987654?我們可得：摸出任一號(hào)碼的小球的可能性是相同的，這是客觀存在的事實(shí)。概率的客觀性

例3拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。通過(guò)實(shí)踐與分析可得：硬幣出現(xiàn)正面的可能性等于它出現(xiàn)反面的可能性。歷史上幾位著名科學(xué)家的試驗(yàn)結(jié)果:實(shí)驗(yàn)者拋擲次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)m/n德.摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998頻率

例4圓周率p

的計(jì)算。劉徽(公元263年，割圓術(shù))p

=3927/1250=3.1416。祖沖之(429~500)3.1415926<p

<3.1415927。威廉.向克斯：用20年時(shí)間于1872年將p算到小數(shù)后707位。法格遜懷疑向克斯的結(jié)果，用了一年的時(shí)間，發(fā)現(xiàn)向克斯p只有前527位是正確的。法格遜猜想：在p的數(shù)值中各數(shù)碼0,1,…9出現(xiàn)的可能性大小應(yīng)當(dāng)相等。1973年，法國(guó)學(xué)者讓·蓋尤對(duì)p的前100萬(wàn)位小數(shù)中各數(shù)碼的頻率統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，盡管各數(shù)字出現(xiàn)也有起伏，但頻率都穩(wěn)定于1/10。頻率的應(yīng)用

有兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏s局就算贏了，當(dāng)賭徒A贏a局(a<s)，而賭徒B贏b局(b<s)時(shí)，賭博中止，那賭本應(yīng)怎樣分才合理呢？在三年後，即1657年，荷蘭的另一數(shù)學(xué)家Higgins

亦用自己的方法解決了這一問(wèn)題，更寫成了《論賭博中的計(jì)算》一書，這就是概率論最早的論著，他們?nèi)颂岢龅慕夥ㄖ?，都首先涉及了?shù)學(xué)期望﹝mathematicalexpectation﹞這一概念，并由此奠定了古典概率論的基礎(chǔ)。而且他們給出了該問(wèn)題的正確解法。古典概率

這是一個(gè)古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)。因?yàn)樵撛囼?yàn)的基本事件有6個(gè)：{wi}={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}i=1,2,..,6而且基本事件{w1}、{w2},...{w6}發(fā)生的可能性相等。古典概率

例1拋一顆均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)情況。例7一個(gè)鴿場(chǎng)養(yǎng)了n只鴿子，每只鴿子都等可能的飛入N個(gè)鴿籠中的任意一個(gè)去住(n≤N)，求下事件發(fā)生的概率。（1）指定的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子去??；（2）恰好有n個(gè)鴿籠，每個(gè)各有一只鴿子。分析：在解決這類問(wèn)題時(shí)，當(dāng)樣本點(diǎn)很少時(shí)，我們可以把它全部寫出來(lái)，再來(lái)計(jì)算所求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)。當(dāng)樣本點(diǎn)很多時(shí)，我們可以利用排列組合的知識(shí)求出樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)。古典概率解：設(shè)A={指定的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子}

B={恰好有n個(gè)鴿籠，每個(gè)各有一只鴿子}由乘法原理可知，基本事件總數(shù)為Nn。指定的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子，有n!個(gè)不同的住法。故n!)(NnAP=從N個(gè)鴿籠中任意選出n個(gè)，有種不同的方法，選出的n個(gè)鴿籠各有一只鴿子，有n!個(gè)不同的住法。故CnN)!(!!)(nNNNNnCBPnnnN-==古典概率

例8袋中有10個(gè)小球，4個(gè)紅的，6個(gè)白的，求（1）有放回地從中依次取3球,取得“2紅1白”的概率。（2）不放回地從中依次取3球,取得“2紅1白”的概率。解:設(shè)想10個(gè)球依次編為1，2，3，…10。（1）有放回抽樣。樣本點(diǎn)總數(shù)為N=10×10×10=103642××23C數(shù)為r

=所求事件包含的樣本點(diǎn)

是三次抽取中選出兩次取到紅球23C288.010643223=××=C)(

=NrAP所以古典概率（2）無(wú)放回抽樣。解法一：N=10×9×8=P31034××23Cr

=6×r)(

=NAP=0.3r)(

=NAP=0.3×24Cr

=16C解法二：N=C310注意：例子中的基本事件的結(jié)構(gòu)有什么變化。古典概率

例9拋一枚質(zhì)量分布不均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。這不是一個(gè)古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)。因?yàn)樵撛囼?yàn)的基本事件只有兩個(gè)：{w1}={出現(xiàn)正面H},{w2}={出現(xiàn)反面T}。但基本事件{w1}、{w2}發(fā)生的可能性不相等。概率的公理化定義

例10

儀器上某種型號(hào)的電子元件使用時(shí)間已達(dá)30小時(shí)，測(cè)該元件還能使用多少小時(shí)？該試驗(yàn)不是古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)，因?yàn)樗臉颖究臻g有無(wú)數(shù)多個(gè)樣本點(diǎn)。概率的公理化定義

例11設(shè)50件產(chǎn)品中有5件是次品，其余的是合格品，從中任取3件，求選到的3件產(chǎn)品中有次品的概率。解法一：設(shè)A={選到的3件產(chǎn)品中有次品}，Ai={選到的3件產(chǎn)品中有i件次品}，i=1,2,3。則A1，A2，A3互不相容。并且有A=A1∪A2∪

A3。所以有2761.0≈350353501452535024515++=CCCCCCCC)()()()(321++=APAPAPAP概率的公理化定義有解法二：考慮A的對(duì)立事件

A={選到的3件產(chǎn)品全是合格品}7239.0≈)(350345=CCAP從而2761.0=7239.01-≈)(1)(-=APAP概率的公理化定義

利用樣本空間求P例:將兩顆均勻骰子拋擲一次,求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和不為7,11的概率.解:設(shè)Ω={(1,1)(1,2)…(6,6)}A={兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,11}p(A)=8/36=2/9所求概率p=（36-8）/36=7/9能將樣本空間定義為:Ω={2,….,12}嗎?為什么?

例n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐,求其中甲乙二人坐在一起(相鄰)的概率.補(bǔ)充例題解法一:

n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐,共有(n-1)!種不同坐法.甲乙二人坐在一起有2*(n-2)!種坐法.所求概率p=解法二:

設(shè)甲已經(jīng)坐好,考慮乙的坐法.乙的每一種可能坐法對(duì)應(yīng)一個(gè)基本事件,共有(n-1)種可能.甲乙坐在一起有2種坐法.所求概率p=2/(n-1)補(bǔ)充例題例:從5雙不同的鞋子中任取4只,求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一對(duì)的概率.解:設(shè)A={4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一對(duì)}解法1:直接計(jì)算.A解法2:利用p(A)=1-p()補(bǔ)充例題

一、條件概率

在計(jì)算事件的概率時(shí)，一個(gè)事件與另一個(gè)事件有一定的聯(lián)系。

我們把已知事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的可能性的客觀度量稱為條件概率，記為P(A|B)。抽簽試驗(yàn)例如：§3條件概率條件概率與無(wú)條件概率之間沒(méi)有確定的大小關(guān)系。對(duì)條件概率P(A|B)的理解：

1)一般情況下，條件概率較原來(lái)概率發(fā)生了變化。P(A|B)P(A)

2)條件概率與積事件的概率有別。條件概率有先后次序之分,積事件無(wú)先后次序之分.3)條件概率可通過(guò)原來(lái)的概率計(jì)算得到。

定義：設(shè)A，B是隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(B)>0，稱)()()|(BPABPBAP=為在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率。條件概率的性質(zhì):

注意：由于條件概率易與概率混淆，故在應(yīng)用中，不僅會(huì)算，還要會(huì)判斷問(wèn)題是否涉及條件概率。二、乘法公式

定理：設(shè)P(B)>0，則有P(AB)=P(B)P(A|B)若P(A)>0，有P(AB)=P(A)P(B|A).注：該公式是概率計(jì)算中的重要公式。關(guān)鍵是分清題目中的條件概率.

更一般地有，若P(A1

A2…An-1

)>0，則P(A1A2…An-1An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)空戰(zhàn)試驗(yàn)例如：三、全概率公式當(dāng)事件的概率計(jì)算很復(fù)雜時(shí),我們可以對(duì)基本事件進(jìn)行分類計(jì)算.有朋自遠(yuǎn)方來(lái)引例:

定義：設(shè)W為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，B1，B2,…，Bn為E的一組事件，若(1)Bi∩Bj

=f，i≠j；

(2)B1∪B2∪

…∪Bn=W。稱B1，B2，…，Bn為W的一個(gè)有限劃分.

定理（全概率公式）：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本為W，A

W，B1，B2，…，Bn為W的一個(gè)有限劃分，且P(Bi)>0,i=1,2,…,n;則有∪∑==niiiBAPBPAP1)|()()(證明：B1，B2，…，Bn為W的一個(gè)有限劃分W=B1∪B2∪…∪

Bn從而有A=A∩W=A∩（B1∪B2∪…∪

Bn）吸收律Uni=1iAB)(=分配律注:該公式常用在預(yù)測(cè)推斷中，又稱為事前概率.抽檢試驗(yàn)例如：抽簽的公平性又因?yàn)?ABi)∩

(ABj)=A∩(BiBj)=Af=f,i≠j由概率的有限可加性∑====niiniiABPABPAP11)()()(U因?yàn)镻(Bi)>0,i=1,2,…,n，利用乘法公式得∑==niiiBAPBPAP1)|()()(某儀器有三個(gè)燈泡，燒壞第一、二、三燈泡的概率分別為0.1,0.2,0.3，并且相互獨(dú)立。當(dāng)燈泡未被燒壞時(shí)儀器正常工作。當(dāng)燒壞一個(gè)燈泡時(shí)儀器發(fā)生故障的概率為0.5，兩個(gè)為0.6三個(gè)為0.9。求儀器發(fā)生故障的概率。對(duì)此問(wèn)題我們給出的劃分應(yīng)為：思考：在應(yīng)用中，我們常遇到：在已知結(jié)果已經(jīng)發(fā)生的條件下，去找出最有可能導(dǎo)致它發(fā)生的原因。四、貝葉斯公式

定理（貝葉斯公式）：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本為W，A

W，B1，B2，…，Bn為W的一個(gè)有限劃分，且P(Bi)>0,i=1,2,…,n;則有∪∑==niiijjjBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(證明：P(Bj|A)=P(ABj)P(A)P(Bj)P(A|Bj)P(A)=貝葉斯公式用來(lái)計(jì)算事后概率。在實(shí)際應(yīng)用中，如果把事件A看成“結(jié)果”，把事件B1，B2，…，Bn看成導(dǎo)致該結(jié)果的可能的“原因”?！敖Y(jié)果”發(fā)生了，P(Bj|A)即為“原因”Bj導(dǎo)致該結(jié)果發(fā)生的概率。實(shí)際中的例子有很多：設(shè)備維修，計(jì)算機(jī)診病等等。病情診斷試驗(yàn)例如：例1100件產(chǎn)品中有5件不合格，其中3件是次品，2件是廢品，現(xiàn)從中任取一件，試求（1）抽得廢品的概率p1;

（2）已知抽得不合格品，它是廢品的概率p2。解：令A(yù)={抽得廢品}，B={抽得不合格品}。有52)|(2==BAPp1002)(1==APp注意到1002)(,1005)(==ABPBP有)()(1005100252)|(BPABPBAP===條件概率

例2甲乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，求它被甲射中的概率。解：令A(yù)={目標(biāo)被甲擊中}，B={目標(biāo)被擊乙中}，C={目標(biāo)被擊中}。有8.05.06.05.06.0)()()()()(=×-+=-+==ABPBPAPBAPCPU所求概率為75.08.06.0)()()()()|(=====CPAPCPACPCAPp條件概率

乘法公式例3兩架飛機(jī)進(jìn)行空戰(zhàn)，甲機(jī)首先開火，擊落乙機(jī)的概率為0.2，若乙機(jī)未被擊落，進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.3，若甲機(jī)又未被擊落，它再次向乙機(jī)開火，并擊落它的概率為0.4。試求這幾個(gè)回合中（1）甲機(jī)被擊落的概率p1；（2）乙機(jī)被擊落的概率p2。解：設(shè)A={甲機(jī)首次攻擊擊落乙機(jī)}

B={乙機(jī)擊落甲機(jī)}

C={甲機(jī)第二次攻擊擊落乙機(jī)}所以有P(A)=0.2,4.0)|(,3.0)|(==BACPABP（1）甲機(jī)被擊落的概率24.03.08.0)|()()(1=×===ABPAPBAPp（2）乙機(jī)被擊落的概率424.0=4.0)3.01)(2.01(2.0×--+=)|()]|(1)][(1[)(--+=BACPABPAPAP)|()|()()(+=BACPABPAPAP2)()()(+==CBAPAPCBAAPpU

乘法公式例4甲盒中有5個(gè)紅球,6個(gè)白球;乙盒中有3個(gè)紅球,4個(gè)白球.現(xiàn)拋一枚均勻硬幣,若出現(xiàn)正面,則從甲盒中任取一球,反之從乙盒中任取一球.試求取出白球的概率p。解：設(shè)A={取出白球}，B={甲盒中任取一球}={H}。從而A={從甲盒中取出一白球}∪{從乙盒中取出一白球}。=(AB)∪(AB)于是5584.0217421116≈×+×=)()|()()|(+=BPBAPBPBAP)()()(+==BAPABPAPpBBA#全概率公式例5某工廠有4個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,其產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的15%、20%、30%和35%，各車間的次品率依次為0.05、0.04、0.03及0.02?，F(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，問(wèn)恰好抽到次品的概率是多少？解：設(shè)Ai={恰好取到第i個(gè)車間的產(chǎn)品}，i=1,2,3,4

B={任取一件，恰好取到次品}。.02.0)|(,03.0)|(,04.0)|(,05.0)|(1121====ABPABPABPABP.35.0)(30.0)(20.0)(15.0)(

4321====A,PA,PA,PAP故有由全概率公式0315.0)|()()(41==∑=iiiABPAPBP全概率公式

例6設(shè)袋中有n個(gè)紅球，m個(gè)白球。三人依次不放回地各取出一個(gè)球。求他們?nèi)〉眉t球的概率各為多少？解：設(shè)Ai={第i個(gè)人取到紅球}，i=1,2,3,)(1nmnAP+=nmn+=nmnnmmnmnnmn-+×++-+-×+=111AAPAPAAPAPAP+=)|()()|()()(1211212全概率公式由全概率公式可得劃分限這四個(gè)事件構(gòu)成一個(gè)有我們把時(shí)求,,,,,)(212121213AAAAAAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAPAP++)|()|()()|()|()(

213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAP+=)|()|()()|()|()(

213121213121AAAPAAPAAAPAAP++)|()()|()(

2132121321AAAPAAPAAAPAAPAP+=)|()()|()()(21321213213---nmnnmnmmnnmnnmnnmn-+-+++-+-++=21)1)((22211×

××nmnnmnnmmnmm+=-+-+-++211

××全概率公式

例7設(shè)某醫(yī)院用某一種方法診斷肝癌，由于各種原因，被診斷為患有肝癌的患者未必患有肝癌。令A(yù)={被檢查者確實(shí)患有肝癌}，B={被檢查者診斷為患有肝癌}?，F(xiàn)有一病人被該方法診斷為肝癌,求此人確是患者的概率。假設(shè)P(A)=0.0004（患者的比例很?。?，

P(B|A)=0.95（對(duì)肝癌病人的診斷準(zhǔn)確率很高），

P(B|A)=0.9（對(duì)非肝癌病人的診斷準(zhǔn)確率也很高),解：從題設(shè)可得.9.01)|(,0004.01)(1)(-=-=-=ABPAPAP貝葉斯公式根據(jù)貝葉斯公式有0038.0≈)9.01()0004.01(95.00004.095.0×0004.0--+=××)|()()|()()|()()(+=ABPAPABPAPABPAPBAP注：診斷有病的人確實(shí)患病的可能性很小。貝葉斯公式

一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性在一般情況下,P(A|B)≠P(A).P(A|B)=P(A)（*）成立.即事件A發(fā)生的可能性大小不受事件B的影響,我們稱A與B相互獨(dú)立.

定義：設(shè)A，B是試驗(yàn)E的兩個(gè)事件，若滿足P(AB)=P(A)P(B)（**）稱事件A與B相互獨(dú)立.

注：當(dāng)P(B)>0時(shí)公式（*）與（**）是等價(jià)的.§4事件的獨(dú)立性但若

定理：若事件A和B相互獨(dú)立，則下列三對(duì)事件A，B；A，B；A，B也相互獨(dú)立.證明：僅對(duì)第三種情形證明。因?yàn)镻(AB)=P(A)P(B))()(BPAP=)](1)][(1[BPAP--=)()()()(1BPAPBPAP+--=)]()()([1

ABPBPAP-+-=)(1)()(BAPBAPBAP-==UU故?,),|()|(,1)(),(0,,是否相互獨(dú)立請(qǐng)問(wèn)且是兩個(gè)隨機(jī)事件設(shè)BAABPABPBPAPBA=<<

結(jié)論：A和B相互獨(dú)立。因?yàn)?()()(BPAPABP==>)()]()([)](1)[(APABPBPAPABP-=-=>)()()()(APABPAPABP==>)(AP)()()()|()|(ABPAPABPABPABP===>此結(jié)論也可用來(lái)判斷兩個(gè)事件的獨(dú)立性思考二、n個(gè)事件的獨(dú)立性在多個(gè)事件中，是否存在類似的獨(dú)立性呢？擲四面體試驗(yàn)例如

定義：設(shè)A1，A2，…，An為試驗(yàn)E的事件，若對(duì)任意的s（1<s≤n）及1≤i1<i2<…<is≤n，有P(Ai1Ai2…Ais）=P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais）（*）成立，則稱事件組A1，A2，…，An相互獨(dú)立

.

若對(duì)一切1≤i1<i2

≤n，有P(Ai1Ai2）=P(Ai1)P(Ai2)成立，則稱事件組A1，A2，…，An兩兩獨(dú)立

.

定理：若事件組A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則將A1，A2，…，An中的任意多個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件后，所得到的個(gè)事件仍然相互獨(dú)立.例如“三個(gè)臭皮匠，頂個(gè)諸葛亮”“有志者事竟成”系統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)事件的獨(dú)立性在實(shí)際生活中有著廣泛的用途。

2）事件組A1，A2，…，An相互獨(dú)立事件組A1，A2，…，An兩兩獨(dú)立注：1）（*）共包含2n-n-1

個(gè)等式。試求A1，A2，…，An至少有一個(gè)發(fā)生的概率.其中0

<P(Ai)=pi

<1，若（1）A1，A2，…，An

互不相容，

（2）A1，A2，…，An相互獨(dú)立.（1）當(dāng)A1，A2，…，An

互不相容時(shí),由概率的有限可加性可得P=P(A1)+

P(A2)+

…+P(An)=p1+p2+

…+pn（2）若A1，A2，…，An相互獨(dú)立，由加法定理可得P=P{A1∪A2∪…∪An}

=1-P{A1A2…

An}

=1-P{A1

}P{A2

}

…

P{An}=1–(1-p)n例1設(shè)同時(shí)擲兩個(gè)均勻的四面體一次，每一個(gè)四面體的四面分別標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，4。令A(yù)={甲四面體向下的一面是偶數(shù)}，

B={乙四面體向下的一面是奇數(shù)}，

C={兩個(gè)四面體向下的一面同為奇數(shù)或偶數(shù)}。由古典概率定義有P(A)=P(B)=P(C)=8/16=1/2P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4P(ABC)=P(f)=0從而有P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)(*)

P(BC)=P(B)P(C)事件的獨(dú)立性即A、B、C中任意兩個(gè)都是相互獨(dú)立的。我們稱A、B、C兩兩獨(dú)立。另一方面P(A|BC)=0≠1/2=P(A)若（*）式成立，并且P(A|BC)=P(A)，有P(ABC)=P(A|BC)P(BC)=P(A)P(B)P(C)我們稱A、B、C

相互獨(dú)立。這說(shuō)明事件A發(fā)生的可能性大小會(huì)受到B與C的“聯(lián)合”影響。事件的獨(dú)立性

例2三個(gè)臭槍手向一個(gè)神槍手比武.他們都獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊,三個(gè)臭槍手的命中率分別為0.5,0.55,0.60，神槍手的命中率為0.90.問(wèn)哪一方勝出的可能性大?解：令A(yù)i={第i個(gè)臭槍手命中目標(biāo)}，i=1,2,3。則有

A1、A2、A3相互獨(dú)立。于是由加法定理可得p=P(A1∪A2∪A3

)=P(A1)+P(A2

)+P(A3

)-P(A1A2)-P(A1A3

)-P(A2A3

)+P(A1A2A3

)=0.5+0.55+0.60–0.5×0.55–0.5×0.60-0.60×0.55+0.5×0.55×0.60=0.91事件的獨(dú)立性

三個(gè)臭槍手勝出的可能性大.例3某人做一次試驗(yàn)獲得成功的概率僅為0.2，他持之以恒，不斷重復(fù)試驗(yàn)，求他做10次試驗(yàn)至少成功一次的概率？做20次又怎樣呢？解：設(shè)他做k次試驗(yàn)至少成功一次的概率為pk，

Ak={第k次試驗(yàn)成功}，k=1，2，…則p10=P(A1∪A2∪…∪A10

)

=1-(1-0.2

)10≈0.8926

p20=P(A1∪A2∪…∪A20

)

=1-(1-0.2

)20≈0.9885

=1-P(A1)P(A2)…P(A10

)

=1-P(A1)P(A2)…P(A20

)事件的獨(dú)立性一般，將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行k次，每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率p（0<p<1）則A至少出現(xiàn)一次的概率為pk=1–(1–p)k并且1)1(1[limlim=--=kkkppk→∞k→∞事件的獨(dú)立性

例4(可靠性問(wèn)題)設(shè)有6個(gè)元件，每個(gè)元件在單位時(shí)間內(nèi)能正常工作的概率均為0.9，且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立，試求下面系統(tǒng)能正常工作的概率。124365解：設(shè)Ak={第k個(gè)元件能正常工作}，k=1，2，…，6

A={整個(gè)系統(tǒng)能正常工作}=(A1∪A2)(A3

∪A4)(A5

∪A6)

A1

，A2，…，A6設(shè)相互獨(dú)立，可以證明A1∪A2，A3

∪A4，A5

∪A6也相互獨(dú)立。事件的獨(dú)立性所以有970299.0])9.01(1[32≈--=)]()(1)][()(1)][()(1[654321---=APAPAPAPAPAP)](1)][(1)][(1[654321---=AAPAAPAAP)()()()(654321=AAPAAPAAPAPUUU事件的獨(dú)立性

第二章隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、隨機(jī)變量

定義：設(shè)E的樣本空間為W，對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)w

W，都有唯一實(shí)數(shù)X(w)與之對(duì)應(yīng),且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，事件{w|X(w)≤x}都有確定的概率，則稱X(w)為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X.摸彩賭博隨機(jī)變量的好處：(1)將樣本空間數(shù)值化、變量化(但不同于通常變量)，(2)可以完整地描述隨機(jī)試驗(yàn),(3)可以借用其它高數(shù)工具來(lái)解決隨機(jī)問(wèn)題.二、分布函數(shù)從上例中可看到對(duì)任一實(shí)數(shù)x→P{w|X(w)≤x}，這是一個(gè)函數(shù).定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,x是任意實(shí)數(shù),稱函數(shù)F(x)=P{X

≤x}=P{w:X(w)≤x}為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，F(xiàn)(x)也記為FX(x)

.

注:（1）分布函數(shù)F(x)的函數(shù)值表示事件“隨機(jī)點(diǎn)X落在(－∞,x]內(nèi)”的概率.OxxX（2）F(x)的改變量DF=F(x+Dx)-F(x)=P{x<X≤x+Dx}是事件“隨機(jī)點(diǎn)X落在(x,x+Dx]內(nèi)”概率.Oxxx+DxX摸彩試驗(yàn)例如射擊試驗(yàn)儀器壽命問(wèn)題分布函數(shù)的性質(zhì):（1）F(x)為單調(diào)不降函數(shù)，即若

x1

≤x2

，則有F(x1)≤F(x2)

.（2）0≤F(x)≤1，且limF(x)=0,limF(x)=1

.x→-∞x→+∞（3）F(x)是右連續(xù)函數(shù)，即F(x+0)=F(x)

.分布函數(shù)的性質(zhì)可以用來(lái)確定某一函數(shù)是否為一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，還可以用來(lái)求解分布函數(shù).分布函數(shù)的確定例如例1

一個(gè)莊家在一個(gè)簽袋中放有8個(gè)白、8個(gè)黑的圍棋子。規(guī)定：每個(gè)摸彩者交一角錢作“手續(xù)費(fèi)”，然后從一個(gè)袋中摸出五個(gè)棋子,按下面“摸子中彩表”給“彩金”。摸到五個(gè)白四個(gè)白三個(gè)白其它彩金2元1元5角共樂(lè)一次解：用“i”表示摸出的五個(gè)棋子中有i個(gè)白子，則試驗(yàn)的樣本空間為W={0，1，2，3，4，5}用Y(單位:元)表示賭徒摸一次得到的彩金，則有Y(i)=0，i=0，1，2Y(3)=0.5，Y(4)=1，Y(5)=2Y是定義在W上的隨機(jī)變量，對(duì)于每一個(gè)

i，都有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)。

并且5001.0

0128.01282.03589.01}2,1,0{}0{=---===PYP0128.0}5{}2{51658====CCPYP1282.0}4{}1{5164818====CCCPYP3589.0}3{}5.0{5163828====CCCPYP對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，{Y(w)≤x}實(shí)際表示一個(gè)隨機(jī)事件，從而有確定的概率。例如1)(}5{==≤WPYP9872.00128.01}4,3,2,1,0{}2.1{=-==

PYP0)(}5.0{==-≤PYPf

總結(jié)：從本例中可看到，隨機(jī)變量Y完整地描述了試驗(yàn)的全過(guò)程，而不必對(duì)每一個(gè)事件進(jìn)行重復(fù)討論。進(jìn)一步，我們可以把高等數(shù)學(xué)工具用在對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的分析。

例2.一袋中有依次標(biāo)有-1、2、2、2、3、3數(shù)字的六個(gè)球，從中任取一球，試寫出球上號(hào)碼X的分布函數(shù)。解：由題意有31}3{,21}2{,61}1{=====-=XPXPXP當(dāng)x<-1時(shí),F(x)=P{X≤x}=P(f)=0。x-123xX當(dāng)-1≤

x<2時(shí),F(x)=P{X≤x}=P{X=-1

}=1/6。x-123xX當(dāng)2≤x<3時(shí),F(x)=P{X≤x}=P{X=-1

}+P{X=2

}=2/3。x-123xX當(dāng)3≤

x

時(shí),F(x)=P{X≤x}=P{W

}=1。x-123xX綜上所述,可得

<

<

--<=313232216110)(xxxxxFx1O-123F(x)1這是一個(gè)右連續(xù)的單調(diào)不降階梯函數(shù)，在不連續(xù)點(diǎn)處的階躍值恰為P{X=k},k=-1,2,3。

例3.一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離。試求X的分布函數(shù)。解：由題意有當(dāng)x<0時(shí),F(x)=P{X≤x}=P(f)=0。當(dāng)x

≥2時(shí),F(x)=P{X≤x}=P(W)=1。當(dāng)0≤x<2時(shí),由題意知P{0<X≤x}=kx2

其中k為一常數(shù)。Xx由題意可得1=P{0<X≤2

}=4k→

k=?。x1O2從而有F(x)=P{X≤x}=P{X≤0

}+P{0<X≤x}=241x所以分布函數(shù)為:≥<

<=.2,1;20,4;0,0)(2xxxxxFF(x)1

例4.使用了t小時(shí)的電子管在以后的Dt小時(shí)內(nèi)損壞的概率等于lDt+o(Dt),其中l(wèi)>0為一常數(shù),試寫出電子管的壽命T的分布函數(shù)。解：由題意當(dāng)t<0時(shí),F(t)=P{T≤t}=0。當(dāng)t

≥0時(shí),設(shè)Dt>0，由題設(shè)條件有P{T≤t+Dt|T>t}=lDt+o(Dt),F(t+Dt)=P{T

≤t+Dt}=

P{T

≤t}

+P{t<T

≤t+Dt}

從而有

DF=F(t+Dt)-F(t)=P{t<T

≤t+Dt}又因?yàn)閧t<T

≤t+Dt}={T>

t}{T

≤t+Dt}

DF=P{T>

t}P{T

≤t+Dt|T>

t}=[1-F(t)][lDt+o(Dt)]求解方程得分布函數(shù).0,0;0,e1)(<≥-=-tttFtl令

Dt→0時(shí)，得到關(guān)于函數(shù)F(t)的微分方程=-=0)0()](1[)(FtFdttdFl

解：

例5.隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為xeex11xxF<

<

=d;;a)(dcxxbx++ln1d1c1b0a=-===,,,求a,b,c,d第二節(jié)離散型隨機(jī)變量一、離散型隨機(jī)變量的分布律稱X是離散型隨機(jī)變量，并稱pi=P{X=xi}，i=1,2,…為X的分布律.

定義：如果隨機(jī)變量X至多取可列無(wú)窮個(gè)數(shù)值：x1,x2,…,pi=P{X=xi},滿足（1）pi≥0；（2）∑pi

=1.i=1∞我們常用表格表示分布律：Xx1x2…xi…P{X=xi}p1p2…pi…產(chǎn)品檢驗(yàn)試驗(yàn)例如

對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，由概率可加性得

{X≤x}=∪{X=

xi}，從而有xi≤x

P{X≤x}=P[∪{X=

xi}]=∑P{X=

xi}xi≤xxi≤x

所以分布函數(shù)

F(

x)