高等數學（5-8章）全冊配套完整課件

高等數學（5-8章）全冊配套完整課件第五章積分學不定積分定積分定積分第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質機動目錄上頁下頁返回結束定積分的概念及性質

第五章一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.機動目錄上頁下頁返回結束矩形面積梯形面積解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積得機動目錄上頁下頁返回結束3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積機動目錄上頁下頁返回結束2.變速直線運動的路程設某物體作直線運動,且求在運動時間內物體所經過的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個小段上物體經2)常代變.得已知速度機動目錄上頁下頁返回結束n

個小段過的路程為3)近似和.4)取極限.上述兩個問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結構式相同:特殊乘積和式的極限機動目錄上頁下頁返回結束二、定積分定義(P225)任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數在區(qū)間上的定積分,即此時稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作機動目錄上頁下頁返回結束積分上限積分下限被積函數被積表達式積分變量積分和定積分僅與被積函數及積分區(qū)間有關,而與積分變量用什么字母表示無關,即機動目錄上頁下頁返回結束定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值各部分面積的代數和機動目錄上頁下頁返回結束定理1.定理2.且只有有限個間斷點可積的充分條件:(證明略)例1.

利用定義計算定積分解:將[0,1]n

等分,分點為取機動目錄上頁下頁返回結束注注目錄上頁下頁返回結束[注]

利用得兩端分別相加,得即例2.

用定積分表示下列極限:解:機動目錄上頁下頁返回結束說明:機動目錄上頁下頁返回結束根據定積分定義可得如下近似計算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森機動目錄上頁下頁返回結束公式,復化求積公式等,并有現成的數學軟件可供調用.三、定積分的性質(設所列定積分都存在)(k為常數)證:=右端機動目錄上頁下頁返回結束證:

當時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠取

c

為分點,于是機動目錄上頁下頁返回結束當a,b,c

的相對位置任意時,例如則有機動目錄上頁下頁返回結束6.

若在[a,b]上則證:推論1.

若在[a,b]上則機動目錄上頁下頁返回結束推論2.證:即7.

設則機動目錄上頁下頁返回結束例3.

試證:證:

設則在上,有即故即機動目錄上頁下頁返回結束8.

積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質7可得根據閉區(qū)間上連續(xù)函數介值定理,使因此定理成立.性質7目錄上頁下頁返回結束說明:

可把故它是有限個數的平均值概念的推廣.機動目錄上頁下頁返回結束

積分中值定理對因例4.

計算從0秒到T秒這段時間內自由落體的平均速度.解:

已知自由落體速度為故所求平均速度機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質3.積分中值定理機動目錄上頁下頁返回結束矩形公式梯形公式連續(xù)函數在區(qū)間上的平均值公式近似計算思考與練習1.

用定積分表示下述極限:解:或機動目錄上頁下頁返回結束思考:如何用定積分表示下述極限提示:極限為0!機動目錄上頁下頁返回結束2.P233題33.P233題8(2),(4)題8(4)解:設則即機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)

P2332(2),46(3),(4);7(3);8(1),(5)

第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束二、積分上限的函數及其導數三、牛頓–萊布尼茲公式一、引例第二節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束微積分的基本公式

第五章一、引例在變速直線運動中,已知位置函數與速度函數之間有關系:物體在時間間隔內經過的路程為這種積分與原函數的關系在一定條件下具有普遍性.機動目錄上頁下頁返回結束二、積分上限的函數及其導數則變上限函數證:則有機動目錄上頁下頁返回結束定理1.

若說明:1)定理1證明了連續(xù)函數的原函數是存在的.2)變限積分求導:同時為通過原函數計算定積分開辟了道路.機動目錄上頁下頁返回結束例1.

求解:原式說明目錄上頁下頁返回結束例2.確定常數a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得例3.

證明在內為單調遞增函數.證:只要證機動目錄上頁下頁返回結束三、牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)

機動目錄上頁下頁返回結束證:根據定理1,故因此得記作定理2.函數,則例4.

計算解:例5.

計算正弦曲線的面積.解:機動目錄上頁下頁返回結束例6.

汽車以每小時36

km的速度行駛,速停車,解:

設開始剎車時刻為則此時刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當汽車停住時,即得故在這段時間內汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設汽車以等加速度機動目錄上頁下頁返回結束車到停車走了多少距離?內容小結則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導公式公式目錄上頁下頁返回結束作業(yè)第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束P2403;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);12備用題解：1.設求定積分為常數,設,則故應用積分法定此常數.機動目錄上頁下頁返回結束2.求解：的遞推公式(n為正整數).由于因此所以其中機動目錄上頁下頁返回結束二、定積分的分部積分法第三節(jié)不定積分機動目錄上頁下頁返回結束一、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和分部積分法

第五章一、定積分的換元法

定理1.

設函數單值函數滿足:1)2)在上證:

所證等式兩邊被積函數都連續(xù),因此積分都存在,且它們的原函數也存在.是的原函數,因此有則機動目錄上頁下頁返回結束則說明:1)當

<

,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必換限

,原函數中的變量不必代回.3)換元公式也可反過來使用,即或配元配元不換限機動目錄上頁下頁返回結束例1.

計算解:

令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束且例2.

計算解:

令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結束且例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零機動目錄上頁下頁返回結束二、定積分的分部積分法

定理2.

則證:機動目錄上頁下頁返回結束例4.

計算解:原式=機動目錄上頁下頁返回結束例5.

證明證:令

n

為偶數

n

為奇數則令則機動目錄上頁下頁返回結束由此得遞推公式于是而故所證結論成立.機動目錄上頁下頁返回結束內容小結

基本積分法換元積分法分部積分法換元必換限配元不換限邊積邊代限機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.提示:

令則2.

設解法1解法2對已知等式兩邊求導,思考:若改題為提示:兩邊求導,得機動目錄上頁下頁返回結束得3.

設求解:(分部積分)機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)P2491(4),(10),(16);6;11(4),(9),(10)習題課目錄上頁下頁返回結束備用題1.

證明證：是以

為周期的函數.是以

為周期的周期函數.機動目錄上頁下頁返回結束解：2.右端試證分部積分積分再次分部積分=左端機動目錄上頁下頁返回結束二、無界函數的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數有界推廣一、無窮限的反常積分機動目錄上頁下頁返回結束反常積分(廣義積分)反常積分

第五章一、無窮限的反常積分引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結束定義1.

設若存在,則稱此極限為

f(x)的無窮限反常積分,記作這時稱反常積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散

.類似地,若則定義機動目錄上頁下頁返回結束則定義(c

為任意取定的常數)只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:

上述定義中若出現機動目錄上頁下頁返回結束它表明該反常積分發(fā)散.引入記號則有類似牛–萊公式的計算表達式:機動目錄上頁下頁返回結束例1.

計算反常積分解:機動目錄上頁下頁返回結束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質,否則會出現錯誤.例2.

證明第一類p

積分證:當p=1時有當p≠1時有當p>1時收斂;p≤1

時發(fā)散.因此,當p>1

時,反常積分收斂,其值為當p≤1

時,反常積分發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結束例3.

計算反常積分解:機動目錄上頁下頁返回結束二、無界函數的反常積分引例:曲線所圍成的與

x軸,y

軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結束定義2.

設而在點a

的右鄰域內無界,存在,這時稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b

的左鄰域內無界,若極限數f(x)在[a,b]上的反常積分,記作則定義機動目錄上頁下頁返回結束則稱此極限為函若被積函數在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類說明:而在點

c

的無界函數的積分又稱作第二類反常積分,無界點常稱鄰域內無界,為瑕點(奇點).例如,機動目錄上頁下頁返回結束間斷點,而不是反常積分.則本質上是常義積分,則定義注意:

若瑕點的計算表達式:則也有類似牛–萊公式的若

b

為瑕點,則若a

為瑕點,則若a,b

都為瑕點,則則可相消嗎?機動目錄上頁下頁返回結束下述解法是否正確:,∴積分收斂例4.

計算反常積分解:

顯然瑕點為

a,所以原式機動目錄上頁下頁返回結束例5.

討論反常積分的收斂性.解:所以反常積分發(fā)散.例6.證明反常積分證:當

q=1時,當

q<1時收斂;q≥1時發(fā)散.當

q≠1時所以當

q<1

時,該廣義積分收斂,其值為當

q

≥1

時,該廣義積分發(fā)散

.機動目錄上頁下頁返回結束例7.解：求的無窮間斷點,故I為反常積分.機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.反常積分積分區(qū)間無限被積函數無界常義積分的極限2.兩個重要的反常積分機動目錄上頁下頁返回結束說明:(1)

有時通過換元,反常積分和常義積分可以互相轉化.例如,(2)

當一題同時含兩類反常積分時,機動目錄上頁下頁返回結束應劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.

(3)

有時需考慮主值意義下的反常積分.其定義為P256題1(1),(2),(7),(8)機動目錄上頁下頁返回結束常積分收斂.注意:

主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反思考與練習P2561(4),(5),(6),(9),(10);2;3第五節(jié)目錄上頁下頁返回結束提示:P256題2求其最大值.作業(yè)備用題

試證,并求其值.解:令機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束二、無界函數反常積分的審斂法第五節(jié)反常積分無窮限的反常積分無界函數的反常積分一、無窮限反常積分的審斂法機動目錄上頁下頁返回結束反常積分的審斂法

函數

第五章一、無窮限反常積分的審斂法定理1.若函數機動目錄上頁下頁返回結束證:根據極限收斂準則知存在,定理2.

(比較審斂原理)且對充,則機動目錄上頁下頁返回結束證:

不失一般性,因此單調遞增有上界函數,機動目錄上頁下頁返回結束說明:

已知得下列比較審斂法.極限存在,定理3.(比較審斂法1)機動目錄上頁下頁返回結束例1.

判別反常積分解:的斂散性.機動目錄上頁下頁返回結束由比較審斂法1可知原積分收斂.思考題:

討論反常積分的斂散性.提示:

當x≥1時,利用可知原積分發(fā)散.定理4.(極限審斂法1)機動目錄上頁下頁返回結束則有:1)當2)當證:根據極限定義,對取定的當x

充分大時,必有,即滿足當機動目錄上頁下頁返回結束可取必有即注意:此極限的大小刻畫了例2.

判別反常積分的斂散性.解:機動目錄上頁下頁返回結束根據極限審斂法1,該積分收斂.例3.

判別反常積分的斂散性.

解:根據極限審斂法1,該積分發(fā)散.定理5.機動目錄上頁下頁返回結束證：則而定義.

設反常積分機動目錄上頁下頁返回結束則稱絕對收斂;則稱條件收斂.例4.

判斷反常積分的斂散性.解:根據比較審斂原理知故由定理5知所給積分收斂(絕對收斂).無界函數的反常積分可轉化為無窮限的反常積分.二、無界函數反常積分的審斂法機動目錄上頁下頁返回結束由定義例如因此無窮限反常積分的審斂法完全可平移到無界函數的反常積分中來.定理6.(比較審斂法2)定理3目錄上頁下頁返回結束瑕點,有有利用有類似定理3與定理4的如下審斂法.使對一切充分接近a的

x(x>a).定理7.(極限審斂法2)定理4目錄上頁下頁返回結束則有:1)當2)當例5.判別反常積分解:利用洛必達法則得根據極限審斂法2,所給積分發(fā)散.例6.判定橢圓積分定理4目錄上頁下頁返回結束散性.解:由于的斂根據極限審斂法2,橢圓積分收斂.類似定理5,有下列結論:機動目錄上頁下頁返回結束例7.

判別反常積分的斂散性.解:稱為絕對收斂.故對充分小從而據比較審斂法2,所給積分絕對收斂.則反常積分三、函數1.定義機動目錄上頁下頁返回結束下面證明這個特殊函數在內收斂.令機動目錄上頁下頁返回結束綜上所述,2.性質(1)遞推公式機動目錄上頁下頁返回結束證:(分部積分)注意到:(2)機動目錄上頁下頁返回結束證:(3)余元公式:(證明略)(4)機動目錄上頁下頁返回結束得應用中常見的積分這表明左端的積分可用函數來計算.例如,內容小結1.兩類反常積分的比較審斂法和極限審斂法

.2.若在同一積分式中出現兩類反常積分,習題課目錄上頁下頁返回結束可通過分項使每一項只含一種類型的反常積分,只有各項都收斂時,才可保證給定的積分收斂.3.

函數的定義及性質.思考與練習P263題1(1),(2),(6),(7)P264題5(1),(2)作業(yè)P2631(3),(4),(5),(8)2;3習題課一、與定積分概念有關的問題的解法機動目錄上頁下頁返回結束二、有關定積分計算和證明的方法定積分及其相關問題

第五章一、與定積分概念有關的問題的解法1.用定積分概念與性質求極限2.用定積分性質估值3.與變限積分有關的問題機動目錄上頁下頁返回結束例1.求解:

因為時,所以利用夾逼準則得因為依賴于且1)思考例1下列做法對嗎?利用積分中值定理原式不對!機動目錄上頁下頁返回結束說明:2)

此類問題放大或縮小時一般應保留含參數的項.

如,P265題4解：將數列適當放大和縮小，以簡化成積分和：已知利用夾逼準則可知(考研98)例2.

求機動目錄上頁下頁返回結束思考:提示:由上題機動目錄上頁下頁返回結束故練習:

1.求極限解：原式2.

求極限提示：原式左邊=右邊機動目錄上頁下頁返回結束例3.估計下列積分值解:

因為∴即機動目錄上頁下頁返回結束例4.

證明證:

令則令得故機動目錄上頁下頁返回結束例5.設在上是單調遞減的連續(xù)函數，試證都有不等式證明：顯然時結論成立.(用積分中值定理)當時,故所給不等式成立.機動目錄上頁下頁返回結束明對于任何例6.解：且由方程確定y

是x

的函數,求方程兩端對x求導,得令x=1,得再對y求導,得機動目錄上頁下頁返回結束故例7.求可微函數f(x)使?jié)M足解:

等式兩邊對

x

求導,得不妨設f(x)≠0,則機動目錄上頁下頁返回結束注意f(0)=0,得機動目錄上頁下頁返回結束例8.

求多項式f(x)

使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊求導:可見f(x)應為二次多項式,設代入①

式比較同次冪系數,得故①機動目錄上頁下頁返回結束再求導:二、有關定積分計算和證明的方法1.熟練運用定積分計算的常用公式和方法2.注意特殊形式定積分的計算3.利用各種積分技巧計算定積分4.有關定積分命題的證明方法思考:

下列作法是否正確?機動目錄上頁下頁返回結束例9.

求解:

令則原式機動目錄上頁下頁返回結束例10.

求解:機動目錄上頁下頁返回結束例11.

選擇一個常數

c,使解:

令則因為被積函數為奇函數,故選擇c使即可使原式為0.機動目錄上頁下頁返回結束例12.

設解:

機動目錄上頁下頁返回結束例13.若解:

令試證:則機動目錄上頁下頁返回結束因為對右端第二個積分令綜上所述機動目錄上頁下頁返回結束例14.

證明恒等式證:

令則因此又故所證等式成立.機動目錄上頁下頁返回結束例15.試證使分析:要證即故作輔助函數機動目錄上頁下頁返回結束至少存在一點證明:

令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不為0,從而不變號,因此故所證等式成立.機動目錄上頁下頁返回結束故由羅爾定理知,存在一點思考:

本題能否用柯西中值定理證明?如果能,怎樣設輔助函數?要證:提示:設輔助函數例15目錄上頁下頁返回結束例16.設函數f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導,且(1)在(a,b)內

f(x)>0;(2)在(a,b)內存在點

,使

(3)在(a,b)內存在與

相異的點

,

使(03考研)機動目錄上頁下頁返回結束證:

(1)

由f(x)在[a,b]上連續(xù),知

f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內單調增,因此(2)

設滿足柯西中值定理條件,于是存在機動目錄上頁下頁返回結束即(3)

因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中結論得因此得機動目錄上頁下頁返回結束例17.設證:

設且試證:則故

F(x)單調不減,即②成立.②機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)(總習題五)P2642(3),(5);4;5(1);7(2),(5);10第四節(jié)目錄上頁下頁返回結束第六章利用元素法解決:定積分在幾何上的應用定積分在物理上的應用定積分的應用第一節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束定積分的元素法一、什么問題可以用定積分解決?二、如何應用定積分解決問題?

第六章表示為一、什么問題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)

有關的2)U

對區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過“大化小,常代變,近似和,取極限”定積分定義機動目錄上頁下頁返回結束一個整體量;二、如何應用定積分解決問題?第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達式第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的積分表達式這種分析方法成為元素法

(或微元分析法)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束四、旋轉體的側面積(補充)三、已知平行截面面積函數的立體體積第二節(jié)一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長機動目錄上頁下頁返回結束定積分在幾何學上的應用

第六章一、平面圖形的面積1.直角坐標情形設曲線與直線及

x

軸所圍曲則機動目錄上頁下頁返回結束邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為例1.

計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:

由得交點機動目錄上頁下頁返回結束例2.

計算拋物線與直線的面積.解:

由得交點所圍圖形為簡便計算,選取

y

作積分變量,則有機動目錄上頁下頁返回結束例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數方程應用定積分換元法得當a=b

時得圓面積公式機動目錄上頁下頁返回結束一般地,當曲邊梯形的曲邊由參數方程

給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數值則曲邊梯形面積機動目錄上頁下頁返回結束例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:機動目錄上頁下頁返回結束2.極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機動目錄上頁下頁返回結束對應

從0變例5.計算阿基米德螺線解:點擊圖片任意處播放開始或暫停機動目錄上頁下頁返回結束到2

所圍圖形面積.例6.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)心形線目錄上頁下頁返回結束心形線(外擺線的一種)即點擊圖中任意點動畫開始或暫停

尖點:

面積:

弧長:參數的幾何意義例7.

計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積機動目錄上頁下頁返回結束例8.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.機動目錄上頁下頁返回結束答案:二、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內接折線,當折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)機動目錄上頁下頁返回結束則稱(1)曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長(P168)機動目錄上頁下頁返回結束(2)曲線弧由參數方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長機動目錄上頁下頁返回結束(3)曲線弧由極坐標方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):(自己驗證)機動目錄上頁下頁返回結束例9.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長.解:機動目錄上頁下頁返回結束下垂懸鏈線方程為例10.

求連續(xù)曲線段解:的弧長.機動目錄上頁下頁返回結束例11.

計算擺線一拱的弧長.解:機動目錄上頁下頁返回結束例12.

求阿基米德螺線相應于0≤

≤2

一段的弧長.解:(P349公式39)小結目錄上頁下頁返回結束三、已知平行截面面積函數的立體體積設所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對應于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為機動目錄上頁下頁返回結束上連續(xù),特別,當考慮連續(xù)曲線段軸旋轉一周圍成的立體體積時,有當考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉一周圍成的立體體積時,有機動目錄上頁下頁返回結束例13.

計算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉而轉而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標方程則(利用對稱性)機動目錄上頁下頁返回結束方法2

利用橢圓參數方程則特別當b=a

時,就得半徑為a的球體的體積機動目錄上頁下頁返回結束例14.

計算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x

軸,y

軸旋轉而成的立體體積.解:

繞x

軸旋轉而成的體積為利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結束繞

y

軸旋轉而成的體積為注意上下限!注注目錄上頁下頁返回結束分部積分注(利用“偶倍奇零”)柱殼體積說明:

柱面面積機動目錄上頁下頁返回結束偶函數奇函數機動目錄上頁下頁返回結束例15.

設在

x≥0時為連續(xù)的非負函數,且形繞直線x＝t

旋轉一周所成旋轉體體積,證明:證:利用柱殼法則機動目錄上頁下頁返回結束故例16.

一平面經過半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解:

如圖所示取坐標系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積.機動目錄上頁下頁返回結束思考:

可否選擇y

作積分變量?此時截面面積函數是什么?如何用定積分表示體積?提示:機動目錄上頁下頁返回結束垂直x

軸的截面是橢圓例17.

計算由曲面所圍立體(橢球體)解:它的面積為因此橢球體體積為特別當

a=b=c

時就是球體體積.機動目錄上頁下頁返回結束的體積.例18.

求曲線與x

軸圍成的封閉圖形繞直線y＝3旋轉得的旋轉體體積.(94考研)解:

利用對稱性,故旋轉體體積為在第一象限機動目錄上頁下頁返回結束四、旋轉體的側面積

(補充)設平面光滑曲線求積分后得旋轉體的側面積它繞x軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的側面積.取側面積元素:機動目錄上頁下頁返回結束側面積元素的線性主部.若光滑曲線由參數方程給出,則它繞

x

軸旋轉一周所得旋轉體的不是薄片側面積△S的機動目錄上頁下頁返回結束注意:側面積為例19.

計算圓x

軸旋轉一周所得的球臺的側面積S.解:

對曲線弧應用公式得當球臺高h＝2R

時,得球的表面積公式機動目錄上頁下頁返回結束例20.

求由星形線一周所得的旋轉體的表面積S.解:

利用對稱性繞

x

軸旋轉星形線目錄上頁下頁返回結束星形線星形線是內擺線的一種.點擊圖片任意處播放開始或暫停大圓半徑

R＝a小圓半徑參數的幾何意義(當小圓在圓內沿圓周滾動時,小圓上的定點的軌跡為是內擺線)內容小結1.平面圖形的面積邊界方程參數方程極坐標方程2.平面曲線的弧長曲線方程參數方程方程極坐標方程弧微分:直角坐標方程上下限按順時針方向確定直角坐標方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小機動目錄上頁下頁返回結束3.已知平行截面面面積函數的立體體積旋轉體的體積繞

x

軸:4.旋轉體的側面積側面積元素為(注意在不同坐標系下ds的表達式)繞

y

軸:(柱殼法)機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A

及邊界長s.提示:

交點為弧線段部分直線段部分機動目錄上頁下頁返回結束以x

為積分變量,則要分兩段積分,故以

y為積分變量.2.試用定積分求圓繞x

軸上半圓為下求體積:提示:方法1

利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結束旋轉而成的環(huán)體體積

V

及表面積S.方法2

用柱殼法說明:上式可變形為機動目錄上頁下頁返回結束上半圓為下此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).求側面積:利用對稱性機動目錄上頁下頁返回結束上式也可寫成上半圓為下它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.作業(yè)P2792(1),(3);3;4;5(2),(3);8(2);9;10;

22;

25;27;30第三節(jié)目錄上頁下頁返回結束面積及弧長部分：

體積及表面積部分：P27913;14;15(1),(4);17;18補充題:

設有曲線過原點作其切線,求由此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x

軸旋轉一周所得到的旋轉體的表面積.備用題解：1.

求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其它.機動目錄上頁下頁返回結束又故在區(qū)域分析曲線特點2.

解:與x

軸所圍面積由圖形的對稱性,也合于所求.

為何值才能使與x

軸圍成的面積等機動目錄上頁下頁返回結束故3.求曲線圖形的公共部分的面積.解：與所圍成得所圍區(qū)域的面積為機動目錄上頁下頁返回結束設平面圖形A

由與所確定,求圖形A繞直線x＝2旋轉一周所得旋轉體的體積.提示：選x為積分變量.旋轉體的體積為4.機動目錄上頁下頁返回結束若選y為積分變量,則第三節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側壓力三、引力問題四、轉動慣量(補充)機動目錄上頁下頁返回結束定積分在物理學上的應用

第六章一、變力沿直線所作的功設物體在連續(xù)變力

F(x)作用下沿x

軸從x＝a移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為機動目錄上頁下頁返回結束例1.一個單求電場力所作的功.解:當單位正電荷距離原點r

時,由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為說明:機動目錄上頁下頁返回結束位正電荷沿直線從距離點電荷

a

處移動到b處(a<b),在一個帶+q電荷所產生的電場作用下,例2.體,求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S的活塞從點a

處移動到點b

處(如圖),作的功.建立坐標系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強

p

與體積V

成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為機動目錄上頁下頁返回結束力為在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一定量的氣例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐標系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設水的密度為機動目錄上頁下頁返回結束(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,面積為A的平板二、液體側壓力設液體密度為

深為h

處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受側壓力問題就需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結束平板一側所受的壓力為??小窄條上各點的壓強例4.

的液體,

求桶的一個端面所受的側壓力.解:

建立坐標系如圖.所論半圓的利用對稱性,側壓力元素端面所受側壓力為機動目錄上頁下頁返回結束方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內盛半桶密度為說明:當桶內充滿液體時,小窄條上的壓強為側壓力元素故端面所受側壓力為奇函數(P350公式67)機動目錄上頁下頁返回結束三、引力問題質量分別為的質點,相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質點的連線若考慮物體對質點的引力,則需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結束例5.設有一長度為l,線密度為

的均勻細直棒,其中垂線上距a

單位處有一質量為

m

的質點

M,該棒對質點的引力.解:

建立坐標系如圖.細棒上小段對質點的引力大小為故垂直分力元素為機動目錄上頁下頁返回結束在試計算利用對稱性棒對質點引力的水平分力機動目錄上頁下頁返回結束故棒對質點的引力大小為棒對質點的引力的垂直分力為說明:2)

若考慮質點克服引力沿y

軸從a

處1)

當細棒很長時,可視

l

為無窮大,此時引力大小為方向與細棒垂直且指向細棒.移到b

(a<b)處時克服引力作的功,機動目錄上頁下頁返回結束則有引力大小為機動目錄上頁下頁返回結束注意正負號3)當質點位于棒的左端點垂線上時,四、轉動慣量(補充)質量為m

的質點關于軸

l

的轉動慣量為的質點系若考慮物體的轉動慣量,則需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結束關于軸

l

的轉動慣量為例6.⑴

求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉動慣量;⑵

求圓盤對直徑所在軸的轉動慣量.解:

⑴建立坐標系如圖.設圓盤面密度為

.小圓環(huán)質量對應于的小圓環(huán)對軸l

的轉動慣量為故圓盤對軸l

的轉動慣量為機動目錄上頁下頁返回結束設有一個半徑為R,質量為M

的均勻圓盤,平行y軸的細條關于y

軸的轉動慣量元素為細條質量:故圓盤對y

軸的轉動慣量為機動目錄上頁下頁返回結束⑵取旋轉軸為

y

軸,建立坐標系如圖.內容小結(1)先用微元分析法求出它的微分表達式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來表示整體量

Q,并計算之.1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量Q

的步驟:2.定積分的物理應用:變力作功,側壓力,引力,轉動慣量等.機動目錄上頁下頁返回結束條、段、環(huán)、帶、(99考研)思考與練習提示:

作x軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由機動目錄上頁下頁返回結束抓起污x

提升dx

所作的功為米重50N,提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m∕s,污泥以20N∕s的速度從抓斗縫隙中漏掉克服纜繩重:抓斗升至x

處所需時間:機動目錄上頁下頁返回結束克服抓斗自重:2.設星形線上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方,提示:

如圖.在點O處有一單位質點,求星形線在第一象限的弧段對這質點的引力.機動目錄上頁下頁返回結束同理故星形線在第一象限的弧段對該質點的習題課目錄上頁下頁返回結束引力大小為作業(yè):

P2872,3,5,9,12銳角

取多大時,薄板所受的壓力P

最大.備用題斜邊為定長的直角三角形薄板,垂直放置于解:

選取坐標系如圖.設斜邊長為l,水中,并使一直角邊與水面相齊,則其方程為問斜邊與水面交成的機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束故得唯一駐點故此唯一駐點即為所求.由實際意義可知最大值存在,即習題課1.定積分的應用幾何方面:面積、體積、弧長、表面積.物理方面:質量、作功、側壓力、引力、2.基本方法:微元分析法微元形狀:條、段、帶、片、扇、環(huán)、殼等.轉動慣量.機動目錄上頁下頁返回結束定積分的應用

第六章例1.

求拋物線在(0,1)內的一條切線,使它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解:

設拋物線上切點為則該點處的切線方程為它與x,y

軸的交點分別為所指面積機動目錄上頁下頁返回結束且為最小點.故所求切線為得[0,1]上的唯一駐點機動目錄上頁下頁返回結束例2.

設非負函數曲線與直線及坐標軸所圍圖形(1)求函數(2)

a

為何值時,所圍圖形繞x

軸一周所得旋轉體解:(1)由方程得面積為2,體積最小?即故得機動目錄上頁下頁返回結束又(2)旋轉體體積又為唯一極小點,因此時V

取最小值.機動目錄上頁下頁返回結束例3.

證明曲邊扇形繞極軸證:

先求上微曲邊扇形繞極軸旋轉而成的體積體積微元故旋轉而成的體積為機動目錄上頁下頁返回結束故所求旋轉體體積為例4.求由與所圍區(qū)域繞旋轉所得旋轉體體積.解:

曲線與直線的交點坐標為曲線上任一點到直線的距離為則機動目錄上頁下頁返回結束例5.

半徑為R,密度為的球沉入深為H(H>2R)的水池底,

水的密度多少功?解:建立坐標系如圖.則對應上球的薄片提到水面上的微功為提出水面后的微功為現將其從水池中取出,需做微元體積所受重力上升高度機動目錄上頁下頁返回結束因此微功元素為球從水中提出所做的功為“偶倍奇零”機動目錄上頁下頁返回結束例6.

設有半徑為R

的半球形容器如圖.(1)以每秒a

升的速度向空容器中注水,求水深為為h(0<h<R)時水面上升的速度.(2)設容器中已注滿水,求將其全部抽出所做的功最少應為多少?

解:

過球心的縱截面建立坐標系如圖.則半圓方程為設經過t

秒容器內水深為h,機動目錄上頁下頁返回結束(1)求由題設,經過t

秒后容器內的水量為而高為

h

的球缺的體積為半球可看作半圓繞y

軸旋轉而成體積元素:故有兩邊對t

求導,得at

(升)

,機動目錄上頁下頁返回結束(2)將滿池水全部抽出所做的最少功為將全部水提對應于微元體積:微元的重力:薄層所需的功元素故所求功為到池沿高度所需的功.機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)P2882;3;6;7;9機動目錄上頁下頁返回結束數量關系

—第七章第一部分向量代數第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—

點,

線,

面基本方法

—

坐標法;向量法坐標,方程（組）空間解析幾何與向量代數四、利用坐標作向量的線性運算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影機動目錄上頁下頁返回結束向量及其線性運算

第七章表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,機動目錄上頁下頁返回結束規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個向量經平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面

.記作－a;機動目錄上頁下頁返回結束二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加.機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束2.向量的減法三角不等式機動目錄上頁下頁返回結束3.向量與數的乘法

是一個數,規(guī)定:可見

與a

的乘積是一個新向量,記作總之:運算律:結合律分配律因此機動目錄上頁下頁返回結束定理1.

設

a

為非零向量,則(

為唯一實數)證:“”.,?。健狼以僮C數

的唯一性.則a∥b設a∥b取正號,反向時取負號,,a,b

同向時則b

與

a

同向,設又有b＝

a,機動目錄上頁下頁返回結束“”則例1.

設M

為解:ABCD對角線的交點,已知

b＝

a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機動目錄上頁下頁返回結束ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念機動目錄上頁下頁返回結束Ⅰ向徑在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數組(稱為點

M

的坐標)原點O(0,0,0);機動目錄上頁下頁返回結束坐標軸:坐標面:機動目錄上頁下頁返回結束2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點

M

則沿三個坐標軸方向的分向量.的坐標為此式稱為向量

r

的坐標分解式

,任意向量r

可用向徑OM

表示.機動目錄上頁下頁返回結束四、利用坐標作向量的線性運算設則平行向量對應坐標成比例:機動目錄上頁下頁返回結束例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機動目錄上頁下頁返回結束例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:

設M

的坐標為如圖所示及實數得即機動目錄上頁下頁返回結束說明:由得定比分點公式:點

M為AB

的中點,于是得中點公式:機動目錄上頁下頁返回結束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與機動目錄上頁下頁返回結束例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點機動目錄上頁下頁返回結束例5.

在z

軸上求與兩點等距解:

設該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?離的點.機動目錄上頁下頁返回結束提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.已知兩點和解:求機動目錄上頁下頁返回結束2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱

=∠AOB(0≤

≤

)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角

,

,

為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作機動目錄上頁下頁返回結束方向余弦的性質:機動目錄上頁下頁返回結束例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量機動目錄上頁下頁返回結束例8.設點A

位于第一卦限,解:已知作業(yè)

P3003,5,13,14,15,18,19角依次為求點A

的坐標.則因點A

在第一卦限,故于是故點A

的坐標為向徑OA

與x

軸y軸的夾第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束備用題解:

因1.

設求向量在x

軸上的投影及在y軸上的分向量.在y

軸上的分向量為故在x

軸上的投影為機動目錄上頁下頁返回結束2.設求以向量行四邊形的對角線的長度.該平行四邊形的對角線的長度各為

對角線的長為解：為邊的平機動目錄上頁下頁返回結束*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數量積二、兩向量的向量積機動目錄上頁下頁返回結束數量積向量積*混合積

第七章一、兩向量的數量積沿與力夾角為的直線移動,1.定義設向量的夾角為

,稱

記作數量積(點積).引例.

設一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為機動目錄上頁下頁返回結束記作故2.性質為兩個非零向量,則有

機動目錄上頁下頁返回結束3.運算律(1)交換律(2)結合律(3)分配律事實上,當時,顯然成立;機動目錄上頁下頁返回結束例1.

證明三角形余弦定理證:則如圖.設機動目錄上頁下頁返回結束4.數量積的坐標表示設則當為非零向量時,由于兩向量的夾角公式,得機動目錄上頁下頁返回結束例2.

已知三點

AMB.解:則求故機動目錄上頁下頁返回結束為

).求單位時間內流過該平面域的流體的質量P(流體密度例3.

設均勻流速為的流體流過一個面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時間內流過的體積的夾角為且為單位向量機動目錄上頁下頁返回結束二、兩向量的向量積引例.

設O為杠桿L的支點,有一個與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個向量

M:的力F作用在杠桿的P點上,則力F