圓的相關(guān)概念與性質(zhì) 講義-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)原卷版

考點19.圓的相關(guān)概念與性質(zhì)（精講）

【命題趨勢】

圓的相關(guān)概念及性質(zhì)在中考數(shù)學(xué)中，小題通?？疾閳A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四

邊形等基礎(chǔ)考點，難度一般在中檔及以下，而在解答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特

殊四邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上。在整個中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，

分值在8T0分左右，屬于中考中的中檔考題。所以考生在復(fù)習(xí)這塊考點的時候，要充分掌握圓的基本性質(zhì)

的各個概念、性質(zhì)以及推論。

【知識清單】

1.與圓有關(guān)的概念（☆）

1）圓：平面上到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的所有點組成的圖形。

2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑,直徑是圓內(nèi)最長的弦。

3）?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，符號：；小于半圓的弧叫劣弧,大于半圓的弧叫優(yōu)弧。

4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。

5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角。

6）弦心距：圓心到弦的距離，叫弦心距。

7）同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做圓圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓；同心圓：圓心相同，半徑不

相等的兩個圓叫做同心圓。

8）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧,度數(shù)或長度相等的弧不一定是等弧。

2；二圓的相關(guān)性質(zhì)及推理（☆☆☆）

1）圓的對稱性

（1）圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形。其中直徑所在的直線都是圓的對稱軸；圓心是圓的對稱中心，

將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。

（2）圓是一個特殊的對稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對稱性推出。

2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧。

解題技巧：關(guān)于垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂

線，構(gòu)造直角三角形。

3）推論

1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；

2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

3）如圖，可得①過圓心；②ABEICD；③CE=DE；@AC=AD；⑤BC=BD。

總結(jié)：垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦

不是直徑）；（4）平分弦所對的優(yōu)??；（5）平分弦所對的劣弧。若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中

三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運用該定理。

4）弧、弦、圓心角的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相笠，那么它們

所對應(yīng)的其余各組量分別相等。

解題技巧：運用這些相等關(guān)系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化。

5）圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的二生。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角,90。的圓周角所對的弦是直徑。

注意：圓的一條弧（弦）只對著一個圓心角，對應(yīng)的圓周角有無數(shù)個，但圓周角的度數(shù)只有兩個，這兩個

度數(shù)和為180。。

6）圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個頂點均在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。這個圓叫做這

個四邊形的外接圓。

性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形對角互補;（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。

解題技巧：（1）在證明圓周角相等或弧相等時，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）當(dāng)已知

圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角；（3）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比

如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余

進(jìn)行轉(zhuǎn)化等。

【易錯點歸納】

1.求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)。

2.圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的

圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角。

【核心考點】

核心考點1.圓的有關(guān)概念

例1：（2023?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）下列說法中正確的是（）

A.直徑是弦，半圓不是弧B.相等的圓心角所對的弧也相等

C.周長相等的兩個圓是等圓D.圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸

變式1.（2023?江蘇宿遷?九年級校聯(lián)考期中）下列說法中，正確的是（）

A.半圓是弧，弧也是半圓B.長度相等的弧是等弧C.弦是直徑D.在一個圓中，直徑是最長的弦

變式2.（2023?福建??？级＃┥钪薪?jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進(jìn)井里去，這是因為（）

A.同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B.同一個圓所有的直徑都相等

C.圓的周長是直徑的萬倍D.圓是軸對稱圖形

例2：（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由

兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心。的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正

確的是（）

A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形

變式1.（2023上?河北滄州?九年級?？计谥校┤鐖D，由點尸引出的上4、PB、PC、PD為。的四條弦，其

中最長的是（）

A.PAB.PBC.PCD.PD

變式2.（2023,浙江紹興?校聯(lián)考三模）計算機處理任務(wù)時，經(jīng)常會以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分

比.下面是同一個任務(wù)進(jìn)行到不同階段時進(jìn)度條的示意圖：若圓半徑為1,當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時，線

段的長度記為d（x）.下列描述正確的是（)

A.1(25%)=1B.當(dāng)工>50%時,d(x)>\

C.當(dāng)占＞尤2時，］任）＞〃（%2）D.當(dāng)占+%=1。0%時，△（無i）=d（無2）

例3：（2023年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了

解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅?釋器》記載：“肉倍好,

謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)."如圖1,"肉"指邊（陰影部分），"好"指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)

看，這兩種玉器的"肉"與"好"未必符合該比例關(guān)系.

⑴若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為;

（2）利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）.

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)"及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合"肉好若一"？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好"，請畫出內(nèi)孔.

變式1.（2021?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正

方形的對角線之比為3：1,則圓的面積約為正方形面積的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

變式2.（2023?山東德州?統(tǒng)考二模）《墨子?天文志》記載："執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓."度方知圓，感悟數(shù)

學(xué)之美.如圖，正方形ABCD的面積為2,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形A'3'C'D,若

AB'.AB=2:\,則四邊形AB'C'。'的外接圓的周長為.

例4：（2022?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，在。中，弦AC〃半徑O3,/3OC=40。，則/AOC的度數(shù)

為__________

變式1.（2023,湖南,校考二模）如圖，點A,B,C均在上，若/A=48。，NC=15。，貝i14=（）

IB

C

A.48°B.78°C.63°D.49°

變式2.（2023年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點A,B,C,。均在直線/上，點尸在直線/外，則經(jīng)過其

中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（）

P.

ABCD

A.3個B.4個C.5個D.6個

例5：（2024上?北京豐臺?九年級統(tǒng)考期末）如圖，點。為線段A3的中點，ZACB=ZADB=90°,連接OC,

OD.則下面結(jié)論不一定成立的是（）

A.OC=ODB.NBDC=NBACC.ZBCD+ZBAD=180°D.AC平分Z3AD

變式1.（2023上?江蘇無錫?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，線段A3為。的直徑，點C在的延長線上，

AB=4,3C=2,點尸是：O上一動點，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RtPCD,且使NDCP=60°,

連接。。，則。。長的最大值為（）

A.V19B.2.y/3C.273+1D.4

變式2.（2023?廣東汕頭?統(tǒng)考一模）如圖，在等腰RtABC中，AC=3C=30，點P在以斜邊A3為直徑

的半圓上，M為尸C的中點.當(dāng)點尸沿半圓從點A運動至點8時，點〃運動的路徑長是.

核心考點2.圓的相關(guān)性質(zhì)及推理

例5：（2023?四川德陽?模擬預(yù)測）下列語句中，正確的是（）

①相等的圓周角所對的弧相等；②同弧或等弧所對的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦

所對的??；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形.

A.①②B.②③C.②④D.④

變式1.（2023上?內(nèi)蒙古呼和浩特?九年級?？计谥校┫铝忻}錯誤的有（）個

A.弧長相等的兩段弧是等??；B.過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條?。籆.圓是軸對稱圖形，任何一條

直徑都是它的對稱軸；D.如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上.

A.1B.2C.3D.4

變式2.（2024上?河南新鄉(xiāng)?九年級統(tǒng)考期末）有下列命題：①不在同一條直線上的三個點確定一個圓；②

相等的圓心角所對的弦相等；③同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A心角等于該弧所對的圓周角的一半；④三角形內(nèi)

切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三邊垂直平分線的交點；⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補.其中真命題的個數(shù)

有個.

例6：（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長，"老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖

②是從正面看到的一個"老碗"（圖①）的形狀示意圖.A8是。的一部分，。是A8的中點，連接。。，

與弦A3交于點C,連接Q4,OB.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,貝|。的半徑。4為（）

圖①

A.13cmC.17cmD.26cm

變式1.（2023年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，OA,OB,OC都是?。的半徑，AC,03交于點O.若

AD^CD=8,OD=6,則5。的長為（）.

A.5B.4C.3D.2

變式2.（2024?四川涼山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）建設(shè)中的“樂西高速”是樂山市與西昌市的重要通道，建成后將極大

改善區(qū)域內(nèi)交通運輸條件，并對沿途各縣的經(jīng)濟發(fā)展有極大地促進(jìn)作用，如圖是其中一個在建隧道的橫截

面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，若M是回。中弦的中點，經(jīng)過圓心。交回。于點￡,且

CD=8m,EM=8m,貝靦。的半徑為（）m

A.5B.6.5C.7.5D.8

例7：（2023?遼寧撫順?校聯(lián)考一模）如圖，四邊形A3。內(nèi)接（O,AC平分254。，則下列結(jié)論正確的是

A.AB=ADB.BC=CDC.AB^ADD.ABCA=ZDCA

變式1.（2023?安徽滁州?校聯(lián)考一模）如圖，AB是回。的直徑，點C為圓上一點，AC=4點,。是弧AC

的中點，AC與BD交于點E.若E是8。的中點，則8C的長為（）

EC

A.5B.3C.2D.1

變式2.（2023?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，在。中，弦AD、相交于點E,連接OE,已知AB=C￡>.

⑴求證：3E=DE；（2）如果O的半徑為5,AD±CB,DE=1,求AE的長.

例8：（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在。中，半徑?；ハ啻怪?，點C在劣弧上.若

()

A.23°B.24°C.25°D.26°

變式1.（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）如圖,48,C是3。上的三點，若NAOC=90。，ZACB=25°，

25°C.40°D.50°

變式2.（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AC,3c為的兩條弦，D,G分別為AC,8C的中

點，。的半徑為2.若NC=45。，則。G的長為（）

3

C.D.72

2

例9:（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在。中，弦AB,CD相交于點尸，若NA=48。，ZAP?=80°,

則33的度數(shù)為（）

C.48°D.52°

變式1.（2023?河北滄州?統(tǒng)考二模）某圓形舞臺，圓心為0.A,8是舞臺邊緣上兩個固定位置，由線段A5

及優(yōu)弧ACB（點C是該弧中點）圍成的區(qū)域是表演區(qū).如圖1，在A處安裝一臺監(jiān)控器，其監(jiān)控的度為70。.如

圖2,若再加一臺該型號的監(jiān)控器，可以監(jiān)控到表演區(qū)的整個區(qū)域，則下列方案可行的是（）

甲：在B處放置；乙：在M處放置；丙：在N處放置

A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙D.甲、乙、丙

變式2.（2023?遼寧撫順?統(tǒng)考一模）如圖，ABC是。的內(nèi)接三角形，為。的直徑，。平分/ACB,

交＜。于點。，連接AD,點E在弦。上，且ED=AD,連接AE.

⑴求證：ZBAE=NCAE；(2)若—3=60。，AB=8,求AE的長.

例10:（2023年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，AD是O的直徑，弦BC交"）于點E,連接A5,AC,

若/應(yīng)1￡）=30。，則/ACB的度數(shù)是（）

A.50°B.40°C.70°D.60°

變式1.（2023年廣東省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是。的直徑，ZBAC=50°,則（）

c.50°D.80°

變式2.（2023,江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，A2是1。的直徑，點C是BD的中點，CEJ.AB于點E,BD

交CE于點F⑴求證：CF=BF；⑵若BE=OE=3,求AD的長度?

例11:（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O,E為BC延長線上一點.若

NOCE=65。，則—30。的度數(shù)是（）

C.130°D.140°

變式1.（2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB是。的直徑，D,C是。上的點，/ADC=115。,

A.25°B.30°C.35°D.40°