構(gòu)造函數(shù)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

構(gòu)造函數(shù)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

口題型一導(dǎo)數(shù)型構(gòu)造函數(shù)

考向1利用/(X)與X構(gòu)造

[典例1](1)(2024?湖北武漢模擬)設(shè)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，/(—1)=0,

當x>0時，xf'(x)~f(x)<0,則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(—8,-l)U(0,1)

B.(—1,0)U(L+8)

C.(—8,-1)U(-1,0)

D.(0,1)U(1,+8)

⑵(2024?天津?qū)幒訁^(qū)模擬)已知/(x)是定義在R上的連續(xù)不斷的奇函數(shù)，且廣㈤

是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，若對于任意的x@(0,+8),都有〃⑴+獷'。)>。成立，且/(2)

=1，則不等式/⑴一卷>0的解集為.

(1)A(2)(2,+~)[(1)令g(x)=早，

則gG)="'T),

所以當x>0時，g'(x)<0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

又/(x)為奇函數(shù)，所以g(x)為偶函數(shù)，所以g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增.

又/(1)=—/(-1)=0,即g(l)=g(—1)=0.

…等價于優(yōu))1』⑴

v(X<0,

lg(x)<0=g(T),

即b>0,或，所以x<-l或0<x<l.

(%V11%<—1,

所以/(x)>0的解集為(一8,-l)U(0,1).故選A.

(2)令g(x)=x^(x),可得

g'(x)=2xf(x)+x-f'(x),

因為對于任意的xG(O,+8),都有?！觫?力口)〉。成立，可得g，(x)>0,所以函

數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

可得g(-x)=(~x)2f(-x)=~x2f(x)=-g(x),

所以g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

可得g(x)在(―8,0)上單調(diào)遞增，

因為/(x)在R上連續(xù)不斷，則g(x)在R上連續(xù)不斷，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)

遞增，

由不等式/(x)一分0,可化為x2f(x)-2>0,

即g(x)>2,

1

因為"2)=5,可得g(2)=2丁(2)=2,

所以g(x)>g(2),可得x>2,

所以不等式/(x)一/>0的解集為(2,+8).］

名師點評(1)出現(xiàn)相(X)+切以X)形式，構(gòu)造函數(shù)網(wǎng)x)=x/(x);

⑵出現(xiàn)礦(X)一相(X)形式，構(gòu)造函數(shù)尺%)=鋁.

［跟進訓(xùn)練］

1.已知偶函數(shù)/(x)(xW0)的導(dǎo)函數(shù)為廣(X),且滿足/(—1)=0,當x>0時，2f(X)

>xf'(x),則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是.

(-1,0)U(0,1)［構(gòu)造E(x)=%,則尸@)=/3?缶2f。),

當x>0時，x/',(x)-W)<0,可以推出當x>0時，尸(x)V0,F(x)在(0,+?=)

上單調(diào)遞減.

?.?/(X)為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，.?.尸(X)為偶函數(shù)，.?.內(nèi)乃在(一8,0)上單調(diào)遞

增.根據(jù)/(—1)=0可得F(—1)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖象

如圖所示，根據(jù)圖象可知/(x)>0的解集為(一1,0)U(0,1).］

考向2利用/(x)與e"(或即)構(gòu)造

［典例2］若定義在R上的函數(shù)/(x)滿足1(x)—4(x)>0,/(0)=l,則不等式/(x)

>e2v的解集為.

(01+8)［構(gòu)造網(wǎng)乃=詈，

則/，(兀)_e2"」(%)—2e2%f(%)_f'(%)-2y(%)

\Jg4xe2”'

,/函數(shù)/(x)滿足/(X)—V(x)>0,

則Fix)>0,F(x)在R上單調(diào)遞增.

又；/(0)=1，則尸(0)=1，?,?/(x)>e2T=詈>1QF(X)>E(0),根據(jù)單調(diào)性得X>0.］

名師點評(1)出現(xiàn)/'(x)+4(x)形式，構(gòu)造函數(shù)2(%)=。"夕(');

(2)出現(xiàn)/(%)—力Xx)形式，構(gòu)造函數(shù)尺%)=景.

［跟進訓(xùn)練］

2.(2024?重慶八中期末)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,廣⑴是其導(dǎo)函數(shù)，若/(x)+

r(x)>0,/(1)=1,則不等式/(x)>ei”的解集是()

A.(0,+8)B.(1,+8)

C.(—8,0)D.(0,1)

B[構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)?巴則g，(x)=[/<x)+/(x)]?e^X),

故g(x)在R上單調(diào)遞增，g(l)=e,/(x)>ei”可化為g(x)>e=g(l),

故原不等式的解集為(1,十8),故選B.］

考向3利用/(x)與sinx,cosx構(gòu)造

［典例3］(2023?重慶九龍坡區(qū)二模)已知偶函數(shù)/(x)的定義域為｛J,其導(dǎo)

函數(shù)為/'(x)，當0<x樣時,有/,(x)cosx+f(x)sinx>0成立,則關(guān)于x的不等式/(x)>V

(§?(：05%的解集為()

D.3

f(x)

C[令g(x)=

COS%

因為/(X)為偶函數(shù)，即/(—x)=/(x),

f(—x)/(%)

所以g(—x)=，

cos(―%)cosX=g(x)

因為0v1v1時，有/'(x)cosx+/(x)sinx>0成立,

f(x)cos%+/(%)sinx、

所以g'(x)=:>0,

cos2'X

故函數(shù)g(x)在(0,f上單調(diào)遞增，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，g(x)在0)上單調(diào)遞減,

?cosx可得四國=46),

5.cosxcos-\37

所以g(x)>g(或，所以或x<一a

即或一為<一/故選C.］

名師點評與sinx,cosx有關(guān)的導(dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性，其常見考查形式如下:

F(x)=/(x)sinx,F'(x)=/,(x)sinx+/(x)cosx；

F(x)=*F'(x)=f(%)sin%—/(%)cosx

sinxsm.2"x

F(x)=f(x)cosx,F\x)=f'(x)cosx-f(x)sinx；

E(x)=故，尸(x)=f(%)cos%+/(%)sin%

2

cosxCOS”X

［跟進訓(xùn)練］

3.定義在(0,D上的函數(shù)/(x),函數(shù)廣(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有/(x)V1(x)tanx

成立，則()

A.何(滬向3B./(l)<2fg)sin1

C.方黑)>/(9D-舟電

D[f(x)<ff(x)tanx^>f'(x)sinx—f(x)cosx>0,xG(o,9,令尸(x)=世

\2/sinx

f(%)sinx—f(x)cosx

貝IF\x)=

sm-"2x>0,

即函數(shù)F(x)在(0,習(xí)上單調(diào)遞增.

A項，F(xiàn)g)<Fg),即埋V”,

4J

???商以何圖，故A項錯誤;

之即日綽

B項,

6

,V(l)>2fQ)sin1,故B項錯誤；

c項，哨<哨，即祟v舞,

.??何②</6),故C項錯誤；

D項，正)V喏)，即以"〈縛，

OJ

.,.V3/Q)</Q),故D項正確.故選D.]

題型二依據(jù)數(shù)值特征構(gòu)造具體函數(shù)

[典例4](1)設(shè)a=9991n1001,b=1OOOln1000,c=1001In999,則下列選項正

確的是()

A.a>c>bB.c>b>a

C.b>a>cD.a>b>c

(2)(2021?全國乙卷)設(shè)〃=21n1.01,Z?=ln1.02,c=Vl?04-l,貝lj()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

(1)B(2)B[(1)設(shè)/(x)=(l000—x)ln(l000+x),x￡[—1,1],當工￡[—1,1]

時，/(x)=—ln(l000+x)+詈M<0,所以函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，所以/(—1)=1

0011n999>f(0)=1OOOln1000>f(l)=9991n1001,所以c>b>a.故選B.

(2)&-c=ln1.02-VL04+1,設(shè)/(x)=ln(x+1)—，1+2%+1,

則b—c=/(0.02),尸(x)=二一干+?,當x20時，x+1=

J'''J')x+12V1+2%Vl+2x?(%+l)''

下否,故當xNO時，廠(乃=；三0,所以/(x)在[0,+8)

V售J■十LiX,：\：XJ

上單調(diào)遞減，所以/(0.02)V/(0)=0,即b<c.

a-c=21n1.01-VL04+1,設(shè)g(x)=21n(x+1)—+4久+1,貝Ua—c=g(0.01),

g'(x)=Al—品后=3詈篇2當°WxV2時，V4T+T>7(%+1)2=X+1,

故當0WxV2時，g'(x)N0,所以g(x)在[0,2)上單調(diào)遞增,所以g(0.01)>g(0)=

0,故cVa,從而有bVcVa,故選B.]

名師點評當要比較的各數(shù)為某些函數(shù)的函數(shù)值時，要仔細觀察這些數(shù)值的共同

之處，構(gòu)造一個或兩個函數(shù)，使要比較的數(shù)成為該函數(shù)的函數(shù)值，然后利用函數(shù)

的單調(diào)性比較大小.

［跟進訓(xùn)練］

4.(1)已知a,b,cdg,+8),且野=—51na,竽=—31nb,(=-21nc,

貝女)

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

(2)實數(shù)e3,33/的大小關(guān)系為.

(1)A(2)e3<7i3<3,t［(1)設(shè)函數(shù)/(x)=xInx,/'(x)=1+lnx,當+8)

時，/8)>0,此時/(x)單調(diào)遞增，當xG(O,J時，/(x)<0,此時/(x)單調(diào)遞減，

上日二「I017/日1窘7i7，

由感I一n5=—51na,I—n3=—31nb,一1n2=—21nc,aIn6z=-ln1bInp=-ln1c

abc5533

因為所以領(lǐng)品也齊扣木

則aIna>cInc>bInA,且a,b,Q,+8),

所以a>c>b.故選A.

(2)設(shè)/(x)=W，則/(x)=亨，

當x>e時，/'(x)V0,

所以/(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(3)>/(兀)，即野〉手，

所以兀In3>31n兀，

所以In37l>ln兀3,即37l>7i3.

因為y=%3在(0,+8)上單調(diào)遞增，e<7i,

所以e3V兀3,所以e3V兀3V3".]

□題型三同構(gòu)函數(shù)

考向1雙變量結(jié)構(gòu)相同型

[典例5](多選)已知a,6GR,且2。>2b>1,則()

A.e^—eMna-]nbB.bIna<aInb

"bcfcsina—sinb

C.Ye"bD.4-<1

aa—b

CD［由2">2“>1,得a>b>0.對于A,設(shè).v=e“一Inx且xG(O,+°°),則了=68

-i故逐一2<0,J%i=e-l>o,即3/=^一：在G，1)上存在零點且y

=&工一，在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以y=ex—lnx在(0,+8)上不單調(diào)，貝ije。一

也戰(zhàn)西一Inb不一定成立，排除A;對于B,設(shè)了=?且％6(0,+?=),則_/=空:

當xG(0,e)時，y'>0,y=(單調(diào)遞增；當xG(e,+8)時，y<0,y=(單調(diào)遞

減.故>=乎在(0,+8)上不單調(diào)，則哈華不一定成立，排除B；對于C,設(shè)

y=xe*且xG(0,+°°),則了=6^(》+1)>0,即y=xe*在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以ae">6e',即^^一"，C正確；對于D,設(shè))/='—sinx且%￡(0,+°°),則)/

=1—cosx^O,即y=x—sinx在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以tz—sina>b—sinb,

口-sina—sinbc十丁為r

即----一<14,D正確.

a-b

名師點評具有同等地位的兩個變量x,了(或a,b)的等式或不等式，如果進行變

形后，等式或不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)單

調(diào)性解決.

［跟進訓(xùn)練］

5.已知函數(shù)/(x)=ax2+(a+l)lnx+l(aW—l),對任意xi,%2^(0,+8),恒有

\Kx1)-f(x2)\^4\x1-x2\,則實數(shù)a的取值范圍是()

2

A.(―0°,—e］B.(-8,—e］

C.[—2,-1]D.(—8,-2]

D[由題意知，函數(shù)定義域為(0,+8),D(X)=2"+.=絕產(chǎn),又aW—1,

故/'(x)<0,/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，不妨設(shè)X12X2,對任意XI,X2G(0,+

8）,恒有1/01）一/（久2）1三4|%1一％21,即/（X?！?（X2）W4（X2—X1）,/（X1）+4X1W/（X2）

+4%2,令g(x)=/(x)+4x,由上可知g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則g，(x)=2ax

卜4W0在(0,+8)上恒成立,

從而磊恒成立，設(shè)〃(%)=磊，〃口)=—4（2%2+1）—（―4x—1）,4x

（2X2+1）2

_4(2x-l)(x+l)

(2.+1)2，

當％￡(0,})時，,(%)<0,//(X)單調(diào)遞減；當工￡(；，+8)時，/zr(x)>0,/z(x)單調(diào)

遞增，

??力(X)min=/z(|)=-2,故aW—2.故選D.]

考向2指對混合型的同構(gòu)

[典例6](1)設(shè)a,6都為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若aeyMnb,貝U()

A.ab>QB.b>ea

a

C.ab〈eD.b<e

(2)若關(guān)于x的不等式e“一"21nx+a對一切正實數(shù)％恒成立,則實數(shù)a的取值范圍

是()

A.(-8,B.(-8,e]

C.(—8,1]D.(—8,2]

(3)對于任意實數(shù)x>0,不等式2直2'—lnx+lnaNO恒成立，則實數(shù)a的取值范圍

為.

(1)B(2)C(3)底，+8)[⑴由已知aeYlnb,貝|e〃lney4nb.

設(shè)/(x)=xInx,則/(e")勺"(6).

?.30,則61nb>0,則6>1.

當%>1時，/,(x)=lnx+l>0,

則/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，.?.eYb.故選B.

(2)^一“Nlnx+a,e^i'+x—aNx+lnx,

e^-^+x—a^elnv+lnx.

設(shè)/Q)=e，+"則(?)=e，+l>0,

.../?)在R上單調(diào)遞增，

故廿一"十》一4三6瓜云+lnx,即f(x—a)^f(\nx),

即x-aNlnx,即x-InxNa.

1y—1

設(shè)g(x)=x—Inx,則g'(x)=l—嚏=T，

令g?)>0,則x>l;令g<x)VO,則OVxVl,

.?.g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

故g(X)min=g(l)=l,故aW1.故選C.

(3)將2ae2x—lnx+lnaNO變形為2ae2VNin2e2x^-ln

aaa

兩邊同時乘x得2xe2x^-ln

aa

即2xe^^Jn?#),

設(shè)8(%)=》廿，貝U9(%)=(1+》)^>0,g(x)單調(diào)遞增，

故由(#)得2x21nIna21nx—2x,

再令/z(x)=lnx—2x,貝1J/z'(x)=[—2,

易知％(X)max="(；)=—In2—1,

1

/.InIn2—1,即.]

2e

名師點評1.指對同構(gòu)的本質(zhì)：指、嘉、對三種函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化，即

log。。%。〉。且QW1).

2.三種基本模式：

①積型：

三種同構(gòu)方式

aea^：bInb---------->

(同左：aeaW(Inb)J"”/(%)=xex

｛同右：e。Ine。WInb../(%)=x\nx

(取對：a+InaWInb+In(Inb)..f(x)=x+\nx

說明：在對“積型”同構(gòu)時，取對數(shù)是最快捷的，同構(gòu)出的函數(shù)，單調(diào)性一看便

知.

②商型：

?b三種同構(gòu)方式

—e<------------>

a\nb

(,papinb

同左：—a<~\rn~bh/)(%)=一x

<同右：r^<A……/(%)=十

lneaInbInx

［取對：a—Ina<Inb—In(In&)../(%)=%—Inx

③和差型：

兩種同構(gòu)方式

e°±a>b±lnb---------------->

(同左：ea+a>elnZ)+InZ)../(%)=ex+x

l同右：ea±Inea>&±In&../(%)=%±In%

如：e"*+ax〉ln(x+l)+x+l?eax+?x>eln(x+1)+ln(x+l)=ax>ln(x+1).

特別地，若式子無法直接進行變形同構(gòu)，往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如

兩邊同乘以X,同加上X等，再用上述方式變形.常見的有：

①ae">lnx=>axeax>xInx；

②e”>aIn(ax—a)—a=>-^>\n［a(x-1)］—l=>ex-lna—Ina>\n(%—1)—1

=^>exln￡Z+x_In6/>ln(x~l)+x—1=eln^-1^+ln(x-1)；

③屋>108融=>廿lnIna)exlna>xInx.

［跟進訓(xùn)練］

6.⑴已知/(x)"023.設(shè)實數(shù)心0,若對任意的正實數(shù)X,不等式/叱)為墨)

恒成立，則m