2023年高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識梳理及基礎(chǔ)題型歸納-立體幾何模塊-第二節(jié)-點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

第二節(jié)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【知識點(diǎn)5】平面的概念及點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1.平面的概念(1)平面的概念：廣闊的草原、平靜的湖面都給我們以平面的形象．和點(diǎn)、直線一樣，平面也是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的幾何概念．(2)平面的畫法：一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)立體感，被遮擋部分用虛線畫出來.(3)平面的表示方法平面通常用希臘字母α，β，γ…表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母表示，如圖中的平面α、平面AC等．2.點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達(dá)位置關(guān)系符號表示點(diǎn)P在直線AB上P∈AB點(diǎn)C不在直線AB上C?AB點(diǎn)M在平面AC內(nèi)M∈平面AC點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi)A1?平面AC直線AB與直線BC交于點(diǎn)BAB∩BC＝B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA1不在平面AC內(nèi)AA1?平面AC3.平面的基本性質(zhì)公理(推論)文字語言圖形語言符號語言作用公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))?AB?α(1)判定直線在平面內(nèi)；(2)證明點(diǎn)在平面內(nèi)公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(P∈α,P∈β))?α∩β＝l且P∈l(1)判斷兩個(gè)平面是否相交；(2)判定點(diǎn)是否在直線上；(3)證明點(diǎn)共線問題公理3經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C不共線?A，B，C確定一個(gè)平面α(1)確定一個(gè)平面的依據(jù)；(2)證明平面重合；(3)證明點(diǎn)、線共面推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A?l?A和l確定一個(gè)平面α推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面a∩b＝A?a，b確定一個(gè)平面α推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面a∥b?a，b確定一個(gè)平面α【典例講解】類型一、符號表示問題【例1】（點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號表示）如圖,用符號表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．【反思】(1)用文字語言、符號語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．【變式1】若點(diǎn)A在直線b上，b在平面β內(nèi)，則點(diǎn)A，直線b，平面β之間的關(guān)系可以記作________．(填序號)①A∈b∈β；②A∈b?β；③A?b?β；④A?b∈β.【變式2】空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是______．【思考1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，那么正方體經(jīng)過P，Q，R的截面圖形是________．【變式1】如圖，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點(diǎn)，畫出平面SBD和平面SAC的交線．類型二、點(diǎn)線共面問題【例2】（點(diǎn)線共面）如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.【變式1】求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)．【反思】證明多線共面的兩種方法(1)納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi)．(2)重合法：先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合．【變式2】已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，如圖所示．求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．類型三，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題【例3】（點(diǎn)共線）如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線．【反思】證明多點(diǎn)共線通常利用公理2，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在直線上．【變式1】已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．【變式2】若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．【例4】（線共點(diǎn)問題）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)．求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．【反思】證明三線共點(diǎn)問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，然后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上．此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn)．【變式1】如圖，已知D，E是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過D，E兩點(diǎn)，若直線AB與平面α的交點(diǎn)是P，則點(diǎn)P與直線DE的位置關(guān)系是________．【變式2】如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和CB上的點(diǎn)，G，H分別是CD和AD上的點(diǎn)，且eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝1，eq\f(AH,HD)＝eq\f(CG,GD)＝2.求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn)．【知識點(diǎn)6】空間兩條直線的位置關(guān)系1.1.在同一平面內(nèi)，兩條直線位置關(guān)系：平行與相交．空間中，既不平行又不相交的兩條直線叫做異面直線?？臻g兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行直線在同一平面內(nèi)沒有異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有判斷異面直線的方法方法內(nèi)容定義法不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線定理法過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線反證法判定兩條直線既不平行也不相交，那么這兩條直線就是異面直線典型例題異面直線的判斷【例1】(1)在四棱錐P—ABCD中，各棱所在的直線互為異面的有________對．(2)如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？【反思】(1)判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的關(guān)鍵點(diǎn)①建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系，特別關(guān)注異面直線．②重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．(2)判定兩條直線是異面直線的方法①證明兩條直線既不平行又不相交．②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號語言可表示為A?α，B∈α，B?l，l?α，則AB與l是異面直線(如圖)．【變式1】（1）如果把兩條異面直線看成“1對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有________對．（2）一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②EF與MN是異面直線；③MN∥CD.以上結(jié)論中正確的序號為________．【變式2】如圖所示，在三棱錐A—BCD中，E，F(xiàn)是棱AD上異于A，D的兩個(gè)不同點(diǎn)，G，H是棱BC上異于B，C的兩個(gè)不同點(diǎn)，給出下列說法：①AB與CD互為異面直線；②FH分別與DC，DB互為異面直線；③EG與FH互為異面直線；④EG與AB互為異面直線．其中說法正確的是________．(填序號)【知識點(diǎn)7】平行公理(公理4)平行公理平行公理(公理4)平行于同一條直線的兩條直線互相平行．符號表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.典型例題【例1】（概念理解）．下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是________．①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②平行于同一直線的兩直線平行；③若直線a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c；④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線．【變式1】下列三種說法：①若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；②若a∥b，則a，b與c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，則a∥c.其中正確的個(gè)數(shù)是________．【思考1】已知在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，且AC＝4，BD＝6，則MN的取值范圍為________．【知識點(diǎn)8】等角定理及異面直線所成的角(1)(1)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．(2)異面直線所成的角定義前提兩條異面直線a，b作法經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b結(jié)論我們把a(bǔ)′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角范圍記異面直線a與b所成的角為θ，則0°<θ≤90°特殊情況當(dāng)θ＝90°時(shí)，異面直線a，b互相垂直，記作a⊥b【例1】(公理4與等角定理的應(yīng)用)如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.【反思】(1)空間兩條直線平行的證明①定義法：即證明兩條直線在同一平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)．②利用公理4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．(2)等角定理的結(jié)論是相等，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般是借助于圖形判斷兩角的兩邊方向是否相同．【變式1】如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)若AC⊥BD，求證：四邊形EFGH是矩形．【變式2】如圖所示，E，F(xiàn)分別是長方體A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．【思考1】如圖所示，△ABC和△A′B′C′的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′、BB′、CC′交于同一點(diǎn)O，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(CO,OC′)＝eq\f(2,3).(1)求證：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．【例3】(求異面直線所成的角)在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成銳角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小．【反思】求兩條異面直線所成的角的一般步驟(1)構(gòu)造角：根據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關(guān)角．(2)計(jì)算角：求角度，常利用三角形．(3)確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角．【變式1】如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。咀兪?】如圖，點(diǎn)P，Q分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線AD1，BD的中點(diǎn)，則異面直線PQ和BC1所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°【思考1】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1與AC，AB所成的角均為60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值．【思考2】設(shè)P是直線l外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P且與l成30°角的異面直線有________條．【方法小結(jié)】1．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．對于異面直線的判斷，常用判定定理和反證法．2．在研究異面直線所成角的大小時(shí)，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強(qiáng)調(diào)的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，在解題時(shí)經(jīng)常結(jié)合這一點(diǎn)去求異面直線所成角的大?。鳟惷嬷本€所成的角，可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線)．【知識點(diǎn)9】直線和平面的位置關(guān)系三種位置關(guān)系：三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi)；(2)直線與平面相交；(3)直線與平面平行．直線與平面的位置關(guān)系：(1)直線l在平面α內(nèi)(l?α).(2)直線l在平面α外l?α)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線l與平面α相交l∩α＝A,直線l與平面α平行l(wèi)∥α))典型例題【例1】（直線與平面的位置關(guān)系）(1)若直線上有一點(diǎn)在平面外，則下列結(jié)論正確的是()A．直線上所有的點(diǎn)都在平面外B．直線上有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面外C．直線上有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面內(nèi)D．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)(2)下列四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是()①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個(gè)平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；④如果a與平面α上的無數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面α.A．0B．1C．2D．3【反思】在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，這三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷．【變式1】(1)若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是()A．α內(nèi)的所有直線都與直線a異面B．α內(nèi)不存在與a平行的直線C．α內(nèi)的直線都與a相交D．直線a與平面α有公共點(diǎn)(2)一條直線l上有相異的三個(gè)點(diǎn)A，B，C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是()A．l∥αB．l⊥αC．l與α相交但不垂直D．l∥α或l?αA．平行 B．直線在平面內(nèi)C．相交或直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)【思考1】若a，b是兩條異面直線，且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是________．【知識點(diǎn)10】兩個(gè)平面的位置關(guān)系兩種位置關(guān)系：兩個(gè)平面相交或兩個(gè)平面平行．兩種位置關(guān)系：兩個(gè)平面相交或兩個(gè)平面平行．平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行α∥β0個(gè)兩平面相交α∩β＝l無數(shù)個(gè)點(diǎn)(共線)【例2】(平面與平面的位置關(guān)系)在以下三個(gè)命題中，正確的命題是()①平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行；②平面α內(nèi)有無數(shù)條直線和平面β平行，則α與β平行；③在平面α，β內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個(gè)平面平行或相交．A．①②B．②③C．③D．①③【反思】利用正方體(或長方體)這個(gè)“百寶箱”能有效地判定與兩個(gè)平面的位置關(guān)系有關(guān)命題的真假，另外先假設(shè)所給定的結(jié)論成立，看是否能推出矛盾，也是一種判斷兩平面位置關(guān)系的有效方法．已知兩平面α，β平行，且a?α，下列四個(gè)命題：①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)無數(shù)