工程電磁場(chǎng)（第2版）課件 第一章 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

CHAPTER數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一章2第一章

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本章內(nèi)容1.1矢量函數(shù)1.2標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度1.3矢量場(chǎng)的通量與散度1.4矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度1.5哈密頓算子與矢量恒等式1.6亥姆霍茲定理1.7知識(shí)點(diǎn)拓展31.1

矢量函數(shù)標(biāo)量:只有大小，在取定其單位后可以用一個(gè)數(shù)來表示，例如長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、能量等矢量:不僅有大小之分，而且有方向之別，例如位移、力、速度、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等1.1.1標(biāo)量與矢量41.1

矢量函數(shù)直角坐標(biāo)系

圓柱坐標(biāo)系

球坐標(biāo)系

1.1.2矢量的表示51.1

矢量函數(shù)直角坐標(biāo)系中圓柱坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中

61.1

矢量函數(shù)矢徑單位矢徑距離矢量

線元矢量

71.1

矢量函數(shù)1.矢量的加減運(yùn)算平行四邊形法則三角形法則矢量求差1.1.3矢量的基本代數(shù)運(yùn)算81.1

矢量函數(shù)2.矢量的乘法運(yùn)算標(biāo)乘點(diǎn)乘叉乘混合積91.1

矢量函數(shù)3.混合積與三重矢積混合積滿足輪換性質(zhì)若混合積為0，則三矢量共面！三重矢積101.1

矢量函數(shù)1.矢量函數(shù)的定義對(duì)于定義域中每一個(gè)自變量都有相應(yīng)的矢量函數(shù)A的某個(gè)確定量（大小和方向都確定的一個(gè)矢量）和它對(duì)應(yīng)，則矢量A稱為該自變量的矢量函數(shù)。例如靜電場(chǎng)中，對(duì)于自由空間中位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷，在其周圍空間產(chǎn)生的電場(chǎng)可以表示為：1.1.4矢量函數(shù)的微分與積分111.1

矢量函數(shù)2.矢量函數(shù)的微分定義圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中???121.1

矢量函數(shù)3.矢量函數(shù)的積分積分和微分互為逆運(yùn)算。一般標(biāo)量函數(shù)積分的運(yùn)算法則對(duì)矢量函數(shù)同樣適用。圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中???131.1

矢量函數(shù)【例題1-1】求

在0→2π區(qū)間對(duì)

f的定積分。其中a為常數(shù)。解：【例題1-2】求在球面上的面積分。將

代入上式，即有：解：141.1

矢量函數(shù)1.1.5場(chǎng)論1.場(chǎng)的概念在一個(gè)空間區(qū)域中，某物理量的分布可以用一個(gè)空間位置和時(shí)間的函數(shù)來描述。若某個(gè)物理量在某區(qū)域中每一點(diǎn)處、在每一時(shí)刻都有確定值，則在該區(qū)域中就存在該物理量的場(chǎng)，該物理量稱為場(chǎng)量。概括來講，場(chǎng)是表征空間區(qū)域中各點(diǎn)物理量的時(shí)空分布函數(shù)。物理量可能是一個(gè)標(biāo)量或矢量，因而，場(chǎng)也可能是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)。根據(jù)場(chǎng)所表示的物理量隨時(shí)間變化的情況，可分為靜態(tài)場(chǎng)和時(shí)變場(chǎng)。注意！場(chǎng)的性質(zhì)是它自己的屬性，和坐標(biāo)系的引進(jìn)無關(guān)151.1

矢量函數(shù)2.標(biāo)量場(chǎng)如果所研究的量是標(biāo)量，則物理量的空間分布對(duì)應(yīng)于標(biāo)量場(chǎng)，即每一時(shí)刻、每一位置都對(duì)應(yīng)一個(gè)標(biāo)量值，如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)、氣壓場(chǎng)和電位場(chǎng)。若自變量是坐標(biāo)(x,y,z)和時(shí)間t，則靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)記為u=u(x,y,z)，時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)記為u=u(x,y,z,t)。3.矢量場(chǎng)如果所研究的量是矢量，則物理量的空間分布對(duì)應(yīng)于矢量場(chǎng)，即每一時(shí)刻、每一位置都對(duì)應(yīng)一個(gè)矢量值，如速度場(chǎng)、加速度場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)和磁場(chǎng)。若自變量是坐標(biāo)(x,y,z)和時(shí)間t，則靜態(tài)矢量場(chǎng)記為A=A(x,y,z)，時(shí)變矢量場(chǎng)記為A=A(x,y,z,t)161.2

標(biāo)量場(chǎng)的梯度如等溫面、等電位面等

對(duì)空間任意點(diǎn)：1.2.1標(biāo)量場(chǎng)的等值面和等值線1.2.2方向?qū)?shù)171.2

標(biāo)量場(chǎng)的梯度181.2

標(biāo)量場(chǎng)的梯度方向?qū)?shù)方向單位矢量定義1.2.3梯度1.梯度(gradient)的定義191.2

標(biāo)量場(chǎng)的梯度Hamilton算子圖1.2.3梯度的定義201.2

標(biāo)量場(chǎng)的梯度2.梯度的性質(zhì)211.2

標(biāo)量場(chǎng)的梯度3.梯度的基本運(yùn)算公式（C為常數(shù)）（C為常數(shù)）221.2

標(biāo)量場(chǎng)的梯度4.梯度在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的計(jì)算式圓柱坐標(biāo)系中的梯度計(jì)算式：球坐標(biāo)系中的梯度計(jì)算式：231.2

標(biāo)量場(chǎng)的梯度得證241.2

標(biāo)量場(chǎng)的梯度251.2

標(biāo)量場(chǎng)的梯度261.3

矢量場(chǎng)的通量與散度1.3.1矢量場(chǎng)的矢量線（力線）矢量場(chǎng)中的一些曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向，該點(diǎn)矢量場(chǎng)的強(qiáng)度由附近矢量線的密度來確定。F的矢量線微分方程271.3

矢量場(chǎng)的通量與散度1.3.2矢量場(chǎng)的通量281.3

矢量場(chǎng)的通量與散度291.3

矢量場(chǎng)的通量與散度1.3.3散度若在某一區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn)上，矢量場(chǎng)的散度都等于0，則稱該區(qū)域內(nèi)的矢量場(chǎng)為無源場(chǎng)。1.散度(divergence)定義301.3

矢量場(chǎng)的通量與散度2.散度的表達(dá)式直角坐標(biāo)系中圓柱坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中311.3

矢量場(chǎng)的通量與散度3.散度的基本公式321.3

矢量場(chǎng)的通量與散度1.3.4高斯散度定理331.3

矢量場(chǎng)的通量與散度341.3

矢量場(chǎng)的通量與散度351.4

矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度1.4.1矢量的環(huán)量1.4.2矢量的旋度1.旋度的定義361.4

矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度2.旋度的表示式直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系371.4

矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度3.旋度與散度的區(qū)別381.4

矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度四、旋度的基本運(yùn)算公式391.4

矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度1.4.3斯托克斯定理將一矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分4041421.5

哈米爾頓算子與矢量恒等式1.5.1哈密頓算子及其一階微分恒等式431.5

哈米爾頓算子與矢量恒等式1.5.2哈密頓算子及其二階微分恒等式證明：441.5

哈米爾頓算子與矢量恒等式1.5.2哈密頓算子及其二階微分恒等式證明：451.5

哈米爾頓算子與矢量恒等式1.5.3無旋場(chǎng)、無散場(chǎng)和調(diào)和場(chǎng)無旋場(chǎng)無散場(chǎng)調(diào)和場(chǎng)沿任一閉合回路的線積分（環(huán)量）為0。一個(gè)無旋場(chǎng)的線積分與積分路徑無關(guān)，而僅由積分的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)確定。

如果是無源場(chǎng)，則在場(chǎng)中對(duì)任一閉合曲面的面積分（通量）為0

461.6

亥姆霍茲定理474849501.7

知識(shí)點(diǎn)拓展1.7.1格林定理令而格林第一定理511.7

知識(shí)點(diǎn)拓展兩式相減得格林第二定理521.7

知識(shí)點(diǎn)拓展1.7.2柱貝塞爾函數(shù)稱為柱貝塞爾方程，簡(jiǎn)稱貝塞爾方程。因?yàn)樯鲜龇匠虨槎A微分方程，存在兩個(gè)線性無關(guān)解。貝塞爾方程的兩個(gè)解可以用兩個(gè)無窮級(jí)數(shù)表示為53知識(shí)點(diǎn)總結(jié)54知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(1)矢量的基本代數(shù)運(yùn)算55知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

梯度：在標(biāo)量場(chǎng)中，將最大變化率矢量G定義為標(biāo)量場(chǎng)u=u(x,y,z)在P點(diǎn)處的梯度。在直角坐標(biāo)系中，有56知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(3)矢量場(chǎng)的通量與散度通量：矢量場(chǎng)

F

在某一閉合曲面

S上的面積分，稱為該矢量場(chǎng)通過此曲面的通量，即散度：表示從空間某點(diǎn)的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量場(chǎng)F的通量，也反映了矢量場(chǎng)

F

在該點(diǎn)通量源的強(qiáng)度，即高斯散度定理：任何一個(gè)矢量

F

穿出任意閉合曲面S的通量，總可以表示為

F

的散度在該曲面所圍體積V的積分，即57知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(4)矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度環(huán)量：矢量場(chǎng)

F

沿某一閉合曲線(閉合路徑)的線積分，稱為該矢量場(chǎng)沿此閉合曲線的環(huán)量，即

旋度：矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量，其大小等于各個(gè)方向上環(huán)量面密度的最大值，其方向?yàn)楫?dāng)面積的取向使得環(huán)量面密度呈最大時(shí)該面積的法線方向。它描述了矢量場(chǎng)

F

在該點(diǎn)的渦旋源強(qiáng)度。58知識(shí)點(diǎn)總結(jié)斯托克斯定理：矢量場(chǎng)F的旋度

在任意曲面S上的通量，等于F沿該曲面周界

l

的環(huán)量，即(5)3種特殊的場(chǎng)無旋場(chǎng)：在某區(qū)域中，旋度恒為零的矢量場(chǎng)A，即

，稱為無旋場(chǎng)，又稱保守場(chǎng)或位場(chǎng)。無散場(chǎng)：在某區(qū)域中，散度恒為零的矢量場(chǎng)B，即

，稱為無散場(chǎng)，又稱管形場(chǎng)或無源場(chǎng)