中考數(shù)學一輪復習第五講特殊三角形（解析版）

模塊四三角形

第五講特殊三角形

知識梳理夯實基礎

知識點1:等腰三角形的性質(zhì)與判定

1、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論:

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的

頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。。

（2）等腰三角形的其他性質(zhì):

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45。

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

③等腰三角形的三邊關(guān)系：設腰長為a,底邊長為乩則

2

④等腰三角形的三角關(guān)系：設頂角為頂角為NA,底角為乙8、ZC,則NA=180°—2ZB,Z

B=ZC=18O0-ZA

2

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論:

定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。

這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

知識點2:等邊三角形的性質(zhì)與判定

1.定義

三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

2.性質(zhì):

60°,面積S="Q2

等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于

4

J3

(a為等邊三角形的邊長)h=—a

2

3.判定

三個角都相等的三角形是等邊三角形;

有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

知識點3:線段垂直平分線

1.定義

垂直一條線段，并且平分這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.

2.性質(zhì)

線段垂直平分線上的一點到這條線段的兩端距離相等

3.判定

到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

知識點4:直角三角形

1.定義

有一個角是直角的三角形叫作直角三角形

2.性質(zhì)

(1)直角三角形兩銳角互余.

(2)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊

等于斜邊的一半;

(3)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3.判定

(1)兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

(2)三角形.一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

知識點5:勾股定理及逆定理

1.勾股定理:

直角三角形的兩條直角邊a、6的平方和等于斜邊c的平方，即：a+b-=c-,

2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊以反。有關(guān)系：a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.

直擊中考勝券在握

1.等腰三角形的一個角是40。，則它的頂角是（）

A.40°B.70°C.100°D.40°或100°

【答案】D

【分析】

分這個角為頂角和底角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求得答案.

【詳解】

當40。角為頂角時，則頂角為40°,

當40。角為底角時，則兩個底角和為80。,求得頂角為180-80=100,

故選:D.

【點睛】

考查等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論思想在解題中的應用.

2.若等邊三角形的一條高為6,則其邊長為（）

A.2B.1C.3D.4

【答案】A

【分析】

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及勾股定理求解.

【詳解】

S\BD=^BC=^AB,

國在直角三角形A3。中，根據(jù)勾股定理，^AB2=AD2+BD2,

即452=（可+］；4“

解得AB=2,

故選A.

【點睛】

此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理.解答此類題目時，要根據(jù)題意畫出相應的圖形，然后熟練運用

性質(zhì)及定理解題.

3.（2023?新疆中考）如圖，在RtABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=4,CD_LAB于點D,E是AB

的中點，則DE的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】

首先根據(jù)“斜中半"定理求出CE,然后利用三角形的外角性質(zhì)求出NCED=60。，從而在RJCED中，利用“30。

角所對的直角邊為斜邊的一半"求解即可.

【詳解】

EIE是RtABC中斜邊AB的中點，AB=4,

^AE=BE=CE=-AB=2,

2

0ZA=ZACE=30°,

0ZCED=6O°,0ECD=3O°

在及CEO中，ZECD=30°,

0ED=-C￡=1,

2

故選：A.

【點睛】

本題考查直角三角形的基本性質(zhì)，熟記并靈活運用與直角三角形相關(guān)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2023?青海省中考）已知。，b是等腰三角形的兩邊長，且“，《滿足以-36+5+（2。+33-13）2=0,

則此等腰三角形的周長為（).

A.8B.6或8C.7D.7或8

【答案】D

【分析】

先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出。、b的值，再分a的值是腰長與底邊兩種情況討論求解.

【詳解】

解:回儂-36+5+（2>+36-13）2=0,

F247—36+5=0

吼

[2a+3^-13=0

fa=2

解得L2，

[b=3

①2是腰長時，三角形的三邊分別為2、2、3,能組成三角形，周長=2+2+3=7；

②2是底邊時，三角形的三邊分別為2、3、3,能組成三角形，周長=2+3+3=8,

所以該等腰三角形的周長為7或8.

故選：D.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，絕對值與算術(shù)平方根的非負性，根據(jù)幾個非負數(shù)的和等于0,則每一個算式

都等于0求出。、b的值是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關(guān)系進行判斷.

5.（2023?寧波中考）如圖，在Rtl3ABe中，EACB=90°,CD為中線，延長CB至點E,使BE=BC,連結(jié)DE,

F為DE中點，連結(jié)BF.若AC=8,BC=6,則BF的長為（）

【答案】B

【分析】

利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得CD的長度；結(jié)合題意知線

段BF是I3CDE的中位線，則BF=^CD.

【詳解】

解：13在RtEIABC中，0ACB=9O°,AC=8,BC=6,

回AB=VAC2+BC2=A/82+62=10.

又EICD為中線，

0CD=yAB=5.

團F為DE中點，BE=BC,即點B是EC的中點，

EIBF是I3CDE的中位線，貝ljBF=gCD=2.5.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，此題的突破口是推知線段CD的

長度和線段BF是MDE的中位線.

6.（2023?嘉興中考）如圖，在AABC中，ABAC^90°,AB=AC=5,點。在AC上，且AD=2,點E是AB

上的動點，連結(jié)。E,點尸，G分別是BC,DE的中點，連接AG,FG,當AG=FG時，線段DE長為（）

AEB

A.岳B.辿C.—D.4

22

【答案】A

【分析】

連接DF,EF,過點F作F/V0ZIC,FMMB,結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得點A,D,F,E四點

共圓，團DFE=90。，然后根據(jù)勾股定理及正方形的判定和性質(zhì)求得AE的長度，從而求解.

【詳解】

解：連接OF,EF,過點F作FA/ELAC,FMSAB

團在AABC中，4AC=90。，點G是OE的中點，

^AG=DG=EG

又EMG=FG

回點A,D,F,E四點共圓，且DE是圓的直徑

fflDF￡=90°

團在RtEMBC中，AB=AC=5,點尸是8C的中點，

SCF=BF=-BC=^^,FN=FM=-

222

又EJFA/aAC,FIVI^AB,ABAC=90°

團四邊形N4WF是正方形

5

MN=AM=FN=—

2

又國ZNFD+ZDFM=90°,ZDFM+ZMFE=90°

?ZNFD=NMFE

EBNFDEEMFE

SME=DN=AN-AD=^

^\AE=AM+ME=3

回在RtBDAE中，DE=^AET+AE1=V13

【點睛】

本題考查直徑所對的圓周角是90。，四點共圓及正方形的判定和性質(zhì)和用勾股定理解直角三角形，掌握相關(guān)

性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵.

7.（2023?棗莊中考）如圖，三角形紙片ABC,AB=AC,EBAC=90°,點E為AB中點，沿過點E的直線折疊,

3

使點B與點A重合，折痕現(xiàn)交于點F,已知EF=a，則BC的長是（）

【答案】B

【分析】

折疊的性質(zhì)主要有：L重疊部分全等；2.折痕是對稱軸,對稱點的連線被對稱軸垂直平分.由折疊的性質(zhì)可知

/3=/E4F=45。,所以可求出回AFB=90。，再直角三角形的性質(zhì)可知所=gAB,所以AB=AC,的長可求，再

利用勾股定理即可求出BC的長.

【詳解】

解:沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，

二/=4AF=45。，

.?./AFB=90。，

.?點E為AB中點，且/AFB=90。，

，EF」AB,

2

?3

EF=—,

2

3

/.AB=2EF=—x2=3,

2

在ARtABC中，AB=AC,AB=3,

.-.BC=VAB2+AC2=V32+32=3^/2,

故選B.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運用，求出團AFB=90。是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?江蘇無錫中考）在RtZkABC中，ZA=90°,AB=69AC=8,點P是ABC所在平面內(nèi)一點，則

PA2+PB2+PC2取得最小值時，下列結(jié)論正確的是（）

A.點P是一ABC三邊垂直平分線的交點B.點P是ABC三條內(nèi)角平分線的交點

C.點P是ABC三條高的交點D.點P是ABC三條中線的交點

【答案】D

【分析】

8?200

以點A為坐標原點，A8所在直線為x軸，建立直角坐標系，則PA2+PB2+PC2=3（x-2）2+3y

3)+~r

o

可得P（2,1）時，PA2+PB2+PC2</JS進而即可得到答案.

【詳解】

以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，如圖，

則40,0）,8（6,0）,C（0,8）,

設P（X,y）,貝！+尸32+pc2=Y+y2+（x-6）2+y2+x2+（y-8）2

=3x2+3/-12x-16y+100=3（x-2）2+3^-|^|+一,

QQ

團當x=2,V=§時，即：P（2,§）時，PA2+PB2+PC2

Q

回由待定系數(shù)法可知：A8邊上中線所在直線表達式為：y=-|x+8,

AC邊上中線所在直線表達式為：y=-jx+4,

又回P（2,|）滿足AB邊上中線所在直線表達式和AC邊上中線所在直線表達式,

團點P是ABC三條中線的交點，

故選D.

R

【點睛】

本題主要考查三角形中線的交點，兩點間的距離公式，建立合適的坐標系，把幾何問題化為代數(shù)問題，是

解題的關(guān)鍵.

9.（2023?臨沂中考）如圖，點A,8都在格點上，若3C=半，則AC的長為（）

A.拒B.C.2A/13D.3A/13

3

【答案】B

【分析】

利用勾股定理求出AB,再減去BC可得AC的長.

【詳解】

解：由圖可知：

AB=46。+4?=，

團BC="

3

^AC=AB-BC=2A/13-,

33

故選B.

【點睛】

本題考查了二次根式的加減，勾股定理與網(wǎng)格問題，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出線段A8的長.

10.（2023?湖北二模）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格

點上，若8。是ABC的邊AC上的高，則8。的長為（)

B.伊D.—A/13

13

【答案】D

【分析】

根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用割補法可得回ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：由勾股定理得：AC=722+32=713>

1117

0S[?]ABC—3X3--x1x2--x1x3--x2x3——,

2222

17

團不AC?BD=一,

22

?BD=7,

0BD=—V13.

13

故選：D.

【點睛】

本題考查了勾股定理與三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?內(nèi)蒙古模擬）如圖，在ABC中，ZA=90,。是AB的中點，過點。作的平行線，交AC于

點E,作BC的垂線交BC于點/，若AB=CE,且△OEE的面積為1,則BC的長為（）

A.2亞B.5C.475D.10

【答案】A

【分析】

過A作AH團BC于H,根據(jù)已知條件得到AE二CE,求得DE=：BC,求得DF二1AH,根據(jù)三角形的面積公式得

22

到DE?DF=2,得到AB?AC=8,求得AB=2（負值舍去），根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過A作AH回BC于H,

團D是AB的中點，

團AD=BD,

0DE0BC,

團AE=CE,

1

團DE二一BC,

2

團DFR1BC,

回DF團AH,DF0DE,

回BF=HF,

1

團DF二一AH,

2

團團DFE的面積為1,

1

I3-DE?DF=1,

2

團DE?DF=2,

團BC?AH=2DE?2DF=4x2=8,

團AB?AC=8,

0AB=CE,

1

團AB二AE二CE二一AC,

2

回AB?2AB=8,

0AB=2（負值舍去）,

團AC=4,

團BC=VAB2+AC2=722+42=2行?

故選：A.

【點睛】

本題考查了三角形中位線定理，三角形的面積的計算，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形

是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?瀘州中考）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比"問題:

點G將一線段分為兩線段MG,GN,使得其中較長的一段MG是全長與較短的段GN的比例中項，

即滿足絲￡=空=叵11,后人把1二1這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段的“黃金分割”

MNMG22

點.如圖，在ABC中，已知AB=AC=3,BC=4,若D,E是邊3c的兩個"黃金分割"點，貝的面

積為（）

BDEC

A.10-4A/5B.3A/5-5C.5~^D.20-8石

【答案】A

【分析】

作AF0BC,根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)黃金分割點的定義求出BE,CD的長度,得到，ADE

中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.

【詳解】

解:過點A作AFI3BC,

0AB=AC,

E1BF=；BC=2,

在Rt?ABF,AF=yjAB2-BF2=打-2?=6，

0D是邊BC的兩個"黃金分割"點,

^CDs/5-1CD41

0------=-----------即Bn----=-------，

BC242

解得CD=2石-2,

同理BE=26-2,

EICE=BC-BE=4-（2君-2）=6-2辨，

EIDE=CD-CE=458,

0S0ABC=1xr>ExAF=^x（4V5-8）x^=lO-4V5,

故選：A.

【點睛】

本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應用以及三角形的面積公式，求出DE和

AF的長是解題的關(guān)鍵。

13.如圖，在MBC中，EC=90°,AD平分EICAB,DE0AB于E,若CD=3,BD=5,貝!）BE的長為

【答案】4

【分析】

根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，得。E=DC=4,再由勾股定理求得BE的長即可.

【詳解】

解：加。平分12cAB,

又回。國48,DCSBC,

0DE=DC=3,

0BD=5,

08￡=7BD2-￡>￡2=4,

故答案為4.

【點睛】

本題考查了角平分線的性質(zhì).角平分線上的任意一點到角的兩邊距離相等.比較簡單，屬于基礎題.

14.（2023?江蘇鹽城中考）如圖，在RtABC中，CO為斜邊AB上的中線，若CD=2,則AB=

【分析】

根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可解決問題;

【詳解】

團是直角三角形，CD是斜邊中線，

1

0CD=-/4B,

2

08=2,

EMB=4,

故答案為4.

【點睛】

本題考查直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

15.（2023?蘇州中考）如圖.在RtaABC中，ZC=90°,AF=EF.若NCFE=72。，貝!

【答案】54。

【分析】

首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出EW=MEF，再根據(jù)三角形的外角和定理得出附+MEF=EICFE,求出射的度數(shù)，

最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出回B的度數(shù)即可.

【詳解】

EIAF=EF,

0M=MEF,

0EM+EL4EF=0CFE=72",

回幽=36°,

00C=9O°,ELA+0B+0C=18O°,

00B=18OO-EL4-EC=54°.

故答案為:54。.

【點睛】

本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?湖南婁底中考）如圖，ABC中，AB=AC=2,P是BC上任意一點，上，45于點瓦「尸，4^于

點F,若黑.=1,貝!|尸石+所=.

【答案】1

【分析】

將「ABC的面積拆成兩個三角形面積之和，即可間接求出PE+尸尸的值.

【詳解】

解：連接AP，如下圖:

PEYAB于點E,PF±AC于點F,

S.ABC=S"C+SAPB=1

SnAiPVr+nSrDAPR=-ACPF+-ABPE

AB=AC=2,

S.APC+SAPB=PF+PE=1,

:.PE+PF=1,

故答案是：1.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用面積法解決兩邊之和問題，解題的關(guān)鍵是：將的面積拆成兩個三

角形面積之和來解答.

17.（2023?蘇州中考）如圖，在AABC中，已知AB=2,ADVBC,垂足為。，BD=2CD.若E是的

中點，貝（JEC=.

【答案】1

【分析】

根據(jù)"兩邊對應成比例，夾角相等的兩個三角形相似”證明回ADB胴EDC,得笆=絲=2,由AB=2則可求出

ECDC

結(jié)論.

【詳解】

BD=2DC

.?圖=2

DC

E為AO的中點,

一.AD=2DE,

AD「

團------=2,

DE

BDADc

--=--=2,

DCDE

ADLBC

,\ZADB=ZEDC=90°

ADBEDC

ABBDc

----=.........-2

ECDC

AB=2

:.EC=1

故答案為：1.

【點睛】

此題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，得出g=2是解答此題的關(guān)鍵.

DCDE

18.如圖在RtMBC中，8是斜邊AB上的高，若AC=萬，DB=4,則45的長為

【答案】1

【分析】

根據(jù)射影定理列式計算即可.

【詳解】

由射影定理得，AC2^AD?AB,

貝IJ（逐）2=ADx（A0+4）,

解得，ADi=l,AD2=-5（舍去）,

故答案為：L

【點睛】

本題考查的是相似三角形一一射影定理，需要牢記射影定理公式可以幫助快速解決題目.

19.（2023?青海西寧中考）如圖，ABC是等邊三角形，AB=6,N是AB的中點，AD是3c邊上的中線,

M是AD上的一個動點，連接BM,MN,則的最小值是.

【答案】3石

【分析】

根據(jù)題意可知要求B/W+MN的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化B/W,MN的值，從而找出其最小值，進而

根據(jù)勾股定理求出C/V,即可求出答案.

【詳解】

解：連接CN,與4。交于點M,連接（根據(jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），AD是5c邊

上的中線即C和B關(guān)于AD對稱，則BM+MN=CN,則CN就是BM+MN的最小值.

AB=6,N是AB的中點,

EMC=AB=6,AN=；A8=3,CNLAB,

RCNZAC'_AN?=依一寸=，=3層

即BM+MN的最小值為3K.

故答案為：36.

【點睛】

本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的

性質(zhì)等知識點的綜合運用.

20.（2023?江西中考）如圖，在邊長為的正六邊形ABCDEF中，連接BE,CF,其中點"，N分別為

班和C/上的動點，若以M,N,。為頂點的三角形是等邊三角形，且邊長為整數(shù)，則該等邊三角形的邊

長為______

【答案】9或10或18

【分析】

根據(jù)點河，N分別為BE和C尸上的動點，以加，N,。為頂點的三角形是等邊三角形，先在腦海中生成

運動的動態(tài)圖，通過從滿足條件的特殊的情況入手，然后再適當左右擺動圖形，尋找其它可能存在的解.

【詳解】

解：如下圖：

(1)當M,N分別與B,F重合時，在二川印中，由題意得:

ZBAF=120°,AB=AF=6y/3,

易算得：BF=2J(6局-(3后=18，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得，

BF=BD=DF=18,

尸為等邊三角形，即一為等邊三角形，邊長為18,

此時/BER=60。己為最大張角，故在左上區(qū)域不存在其它解；

(2)當M,N分別與DF,DB的中點重合時，由(1)且根據(jù)三角形的中位線

得：MN==BF=9,

2

:.MN=DN=DM=9,

，為等邊三角形，邊長為9,

(3)在(2)的條件下，陰影部分等邊三角形會適當?shù)淖笥覕[動，使得存在無數(shù)個這樣的等邊三角

形且邊長會在9至U66之間，其中包含邊長為9,66,

6石。10.4,且等邊三角形的邊長為整數(shù)，

邊長在9到6欄之間只能取9或10,

綜上所述：該等邊三角形的邊長可以為9或10或18.

故答案是：9或10或18.

【點睛】

本題考查了正多邊形中動點產(chǎn)生等邊三角形問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)等邊三角形的邊只能取整數(shù)為依據(jù),

進行分類討論，難點在于陰部部分等邊三角形向左右適當擺動時如何取邊長的整數(shù)值.

21.（2023?四川廣安中考）如圖，將三角形紙片A3C折疊，使點3、C都與點A重合，折痕分別為DE、FG.

已知NACB=15。，AE=EF,DE=6,則的長為.

【答案】4+2月

【分析】

由折疊的性質(zhì)得出BE=AE,AF=FC,回外C=M=15。，得出蜘FE=30。，由等腰三角形的性質(zhì)得出回E4F=MFE=30。，

證出財BE是等邊三角形，得出國&4￡=60°,求出AE=8E=2,證出回用尸=90°,利用勾股定理求出AF,即CF,可

得BC.

【詳解】

解：回把三角形紙片折疊，使點8、點C都與點A重合，折痕分別為DE,FG,

^\BE=AE,AF=FC,回必C=I3C=15°,

EIEMFE=30°,又AE=EF,

EBEAF=071FE=3O°,

0EMfB=6O°,

0EbAB￡是等邊三角形，EMED=EB￡D=30",

03&4￡=60°,

S\DE=s/3,

DE

EME=8E=A8=---------=2

cos30°

B1BF=BE+EF=4,Eia4F=60°+30°=90°,

B1FC=AF=y/BF2-AB2=273,

鼬C=8F+FC=4+2有，

故答案為：4+273.

【點睛】

此題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)折

疊的性質(zhì)得出相等的邊和角是解題關(guān)鍵.

22.（2023?四川涼山中考）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,C的半徑為若，P為AB邊上一動點，過

點P作C的切線PQ,切點為Q,則PQ的最小值為.

【答案】3

【分析】

連接0C和PC,禾I」用切線的性質(zhì)得到CQ回PQ,可得當CP最小時，PQ最小，此時CP射8,再求出CP,利用

勾股定理求出PQ即可.

【詳解】

解：連接QC和PC,

0PQ和圓C相切，

0CQ0PQ,即I3CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，

回當CP最小時，PQ最小，

0EMBC是等邊三角形，

團當CPSAB時，CP最小，此時CPS4B,

EIAB=BC=AC=4,

@AP=BP=2,

團CP=JAC2-AP2=26,

團圓C的半徑CQ=JL

0PQ=《CP2-CQ。=3,

故答案為：3.

本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注

意得到當P5AB時，線段PQ最短是關(guān)鍵.

23.（2023?四川達州中考）如圖,在邊長為6的等邊AABC中，點E,尸分別是邊AC,8C上的動點，且AE=CF,

連接BE,AF交于點P,連接CP,則CP的最小值為.

【答案】2^3.

【分析】

首先證明NAR8=120。，推出點P的運動軌跡是以。為圓心，OA為半徑的弧.連接C。交回。于P,當點P

運動到P時，CP取到最小值.

【詳解】

如圖所示，回邊長為6的等邊AA5C,

SAC=AB=6,ZACB=ZCAB=60°

又EIAE=CF

S^ACF^.BAE(SAS)

^ZCAP^ZPBA

0ZEPA=ZPBA+ZPAB=ZCAP+ZPAB=ZCAB=60°

0ZAPS=120°

回點P的運動軌跡是以。為圓心，OA為半徑的弧

此時ZAO8=120。

連接CO交回。于P,當點P運動到P，時，CP取到最小值

0C4=CB,CO=CO,OA=OB

0ACO三BCO(SSS)

0ZACO=ZBCO=30°,ZAOC=NBOC=60°

SZCAO=ZCBO=90°

又EIAC=6

百廠0C=^—=4=46

0OP'=OA=ABtan30o=6x^-=2V3,cos30°拒

3T

0CP'=OC-OP'=4A/3-2A/3=273

即

故答案為：

【點睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓、特殊角的三角函數(shù)等相關(guān)知識.關(guān)鍵是學會

添加輔助線，該題綜合性較強.

24.如圖，在MBC中，AB=AC,04=36°,BD是她BC的平分線.問在直線BC上是否存在點P,使圄CDP

是以CD為一腰的等腰三角形._（用“存在"或"不存在"填空）.如果存在，請直接寫出相應的團CPD的度

數(shù)；如果不存在，請說明理由._

【答案】存在72?；?6?；?4°

【分析】

使IBCDP為等腰三角形，則可能是CD=CP,DP=CD,因為幽CB=I3BDC,所以不可能PC=PD.

【詳解】

當以回DCP為頂角，CD為一腰時，存在兩點P,

一點在線段8c延長線上，此時回CPD=36。；

1QAO_72。

一點在線段8C上，此時回CPD=——-——=54°.

故答案為：存在；72。或36?；?4。.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性

質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.

25.（2023?江西中考）如圖，在ABC中，ZA=40°,ZABC=80°,BE平分ZABC交AC于點E,ED.LAB

于點。，求證：AD=BD.

B

【答案】見解析

【分析】

先求得國EBA=40。，從而得到EB=EA,利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明AD=8D.

【詳解】

證明：鼬￡平分勖BC,EL4eC=80o,

00EB/\=-ELABC=4O°,

2

幽4=40°,

fflEB4=EM,

^\EB=EA,

團EDI3A8,

@AD=BD.

【點睛】

本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題.

26.（2023?福建省中考）如圖，在RtABC中，ZACB=90°.線段所是由線段AB平移得到的，點F在

邊8C上，△MD是以斯為斜邊的等腰直角三角形，且點D恰好在AC的延長線上.

(1)求證：ZADE=ZDFC；

(2)求證：CD=BF.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】

(1)通過兩角和等于90。，然后通過等量代換即可證明；

(2)通過平移的性質(zhì)，證明三角形全等，得到對應邊相等，通過等量代換即可證明.

【詳解】

證明：(1)在等腰直角三角形ED尸中，NEDF=90。,

BlZADE+ZADF=90°.

0ZACB=90°,

0ZDFC+ZADF=ZACB=90°,

B1ZADE=ZDFC.

(2)連接AE.

由平移的性質(zhì)得AE//BF,AE=BF.

^ZEAD=ZACB=90°,

0ZDCF=180°-ZACB=90°,

團NEAD=NDCF.

團一ED戶是等腰直角三角形，

回DE=DF.

由(1)得ZADE=/DFC,

團AED-CDF,

團AE=CD,回CD—BF.

【點睛】

本小題考查平移的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：正

確添加輔助線、熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).

27.(2023?四川模擬)如圖，在MBC中，AB=AC,。是BC邊上的中點，連結(jié)AD,BE平分MBC交AC于

點E,過點E作ER3BC交AB于點F.

(1)若回C=36。，求回BAD的度數(shù).

(2)求證：FB=FE.

【答案】(1)54。，(2)見解析

【分析】

(1)利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明蜘。8=90。,再利用等腰三角形的性質(zhì)求出蜘BC即可解決問題.

(2)利用角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)證明EIFBE=EIFEB即可.

【詳解】

解：(1)蜘―

00C=EL4BC,

00C=36°,

EIEM8C=36°,

EID為BC的中點，

EMD0BC,

EEBAD=90°-回ABC=90°-36°=54°.

(2)OBE平分蜘BC,

[3aABE=0EBC,

又I3E用8C,

00EBC=0BEF,

00EBF=0FEB,

EI8F=EF.

【點睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟

練運用平行線進行角的推導和證明.

28.(2023?湖南長沙中考)如圖，在ABC中，AD，8C,垂足為。，%>=CD,延長3c至E,使得CE=C4,

連接AE.

(2)若AB=5,AD=49求人鉆石的周長和面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)周長為16+4百，面積為22.

【分析】

(1)先根據(jù)垂直的定義可得NADB=NADC=90。，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證；

(2)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=AC=5,從而可得CE=5,再利用勾股定理可得CD=50=3,從

而可得8￡=11,?！?8,然后利用勾股定理可得AE=46，最后利用三角形的周長公式和面積公式即可得.

【詳解】

(1)證明：AD1BC,

ZADB=ZADC=90°,

AD=AD

在△ABD和AACD中，=

BD=CD

:...ABD^^ACD(SAS),

.\ZB=ZACB；

(2).ABD=AACD,AB=5,

：.AB=AC=5,

CE=CA,

:.CE=5f

AB=5,AD=4,AD±BCf

BD=y/AB2-AD2=3，

BD=CD,

...CD=3,

，BE=BD+CD+CE=11,DE=CD+CE=8,

AE=>JAD2+DE2=4A/5，

則"BE的周長為AB+BE+AE=5+ll+4?=16+4?,

AAfiE的面積為工2￡7。=工'1卜4=22.

22

【點睛】

本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

29.(2023?涼山中考)如圖，點尸，。分別是等邊三角形ABC的邊AB,BC上的動點(端點除外)，點尸，

。以相同的速度，同時從點A,8出發(fā).

(1)如圖1,連接AQ,CP,PQ.求證：△ABQ國C4P；

(2)如圖1,當點P,。分別在A3,3c邊上運動時，設A。與C尸相交于點“，則NQMC的大小是否發(fā)

生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)；

(3)如圖2,當點P,。分別在AB,3c的延長線上運動時，直線A。與PC的延長線相交于點M,ZQMC

的大小是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)當點尸，Q分別在A3,BC邊上運動時，NQMC的大小不變，為60。；(3)當

點尸，。分別在A3,3c的延長線上運動時，/QMC的大小不變，為120。.

【分析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△48。回一。4P即可；

(2)根據(jù)(1)可知△AB?；匾籆4P,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NBA。=NACP,從而得到/QMC=60。；

(3)根據(jù)(1)可知△ABQ回CAP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/BAQ=NACP,從而得到/QMC=120。；

【詳解】

(1)證明：回一ABC是等邊三角形，

ZABQ=ZCAP=6Q°,AB^CA.

回點P,Q的運動速度相同，^AP=BQ.

AB=CA

在△A3。與4cAp中，＜NABQ=NC4P,

AP^BQ

回△ABQEIAC4P（SAS）.

（2）解：當點尸，。分別在AB,BC邊上運動時，NQMC的大小不變.

由（1）可知，△ABQELC4P,

B