2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圖形的相似與位似（練習(xí)）（解析版）

第20講圖形的相似與位似

目錄

題型過(guò)關(guān)練

型

題O1

成比例線段

型

題O2

圖上距離與實(shí)際距離

型

題O3

利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確

型

題O4

利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值

型

題O5

利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值

型

題O6

理解黃金分割的概念

型O

題7

O8黃金分割的實(shí)際應(yīng)用

型

題

O9由平行線分線段成比例判斷式子正誤

型

題

10平行線分線段成比例（A型）

型

題

平行線分線段成比例（X型）

型

題

平行線分線段成比例與三角形中位線綜合

型

題

平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線

型

題

平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線

型

題

理解相似圖形的概念

型

題

相似多邊形

型

題

相似多邊形的性質(zhì)

型

題

位似圖形的識(shí)別

型

題

判斷位似中心

型

題

根據(jù)位似的概念判斷正誤

型

題20

求兩個(gè)位似圖形的相似比

型

題21

畫(huà)已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形

型

題22

型

題求位似圖形的坐標(biāo)

23

型

題求位似圖形的線段長(zhǎng)度

24

型

題在坐標(biāo)系中求位似圖形的周長(zhǎng)

25

在坐標(biāo)系中求位似圖形的面積

真題實(shí)戰(zhàn)練

題型過(guò)關(guān)練

題型01成比例線段

1.（2022?廣東湛江?嶺師附中校聯(lián)考三模）下列四組線段中，成比例線段的是（）

A.4,1,3,8B.3,4,5,6C.4,8,3,5D.15,5,6,2

【答案】D

【分析】根據(jù)成比例線段的定義進(jìn)行判斷即可

【詳解】解:A.；4:1H3:8,

；.4,1,3,8不是成比例線段，不符合題意；

B.,/3:4力5:6,

；.3,4,5,6不是成比例線段，不符合題意；

C.：4:8不3:5,

；.4,8,3,5不是成比例線段，不符合題意；

D.15:5=6:2,

.?.15,5,6,2是成比例線段，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了成比例線段，如果四條線段。、b、c、d滿足a:b=c:d,則線段。、b、c、d成比例，

熟練掌握成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?浙江.統(tǒng)考一模）已知線段￡1=逐+1,fa=V5-1,則a,%的比例中項(xiàng)線段等于.

【答案】2

【分析】設(shè)線段彳是線段a,6的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式，利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之

積求解即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)線段x是線段a,6的比例中項(xiàng)，

a=V5+1,b=V5—1,

.a_x

??一——,

xb

：.x2=ab=（V5+1）（V5-1）=5-1=4,

Ax=±2.

Vx>0,

?'.x=-2舍去,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查的比例中項(xiàng)的含義，理解“若巴=、貝阮是a,b的比例中項(xiàng)”是解本題的關(guān)鍵.

xb

3.（2020?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）已知線段a=3,6=2,c=4,則b,a,c的第四比例項(xiàng)d=.

【答案】6

【分析】根據(jù)題意，列出比例式，根據(jù)比例的基本性質(zhì)，即可得出第四比例項(xiàng).

【詳解】解：根據(jù)第四比例項(xiàng)的概念，得

bcac3x4,

一=一,a=——=----=6,

adb2

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，理解第四比例項(xiàng)的概念，一定要注意順序.熟練根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行

計(jì)算.

題型02圖上距離與實(shí)際距離

4.（2022?吉林長(zhǎng)春.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）有一塊多邊形的草坪，在市政建設(shè)設(shè)計(jì)圖紙上的面積為100平方厘

米，圖紙上某條邊的長(zhǎng)度為5厘米.經(jīng)測(cè)量，這條邊的實(shí)際長(zhǎng)度為20米，則這塊草坪的實(shí)際面積為

平方米.

【答案】160

【分析】首先設(shè)這塊草坪的實(shí)際面積是xcn?,根據(jù)比例尺的性質(zhì)，即可得方程差=（就?，解此方程即

可求解.

【詳解】解：設(shè)這塊草坪的實(shí)際面積是xcn?.

根據(jù)題意得：.=（就廣

解得：x=1600000,

經(jīng)檢驗(yàn)，a1600000是方程的根，且符合題意，

這塊草坪的實(shí)際面積為：1600000cm2=160m2,

故答案為：160.

【點(diǎn)睛】此題考查了比例尺的性質(zhì)，相似圖形的性質(zhì).此題難度不大，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意

列方程，注意統(tǒng)一單位.

5.（2019?遼寧撫順?統(tǒng)考三模）已知A、B兩地的實(shí)際距離是20007”,在地圖上量得這兩地的距離為2根，

這幅地圖的比例尺為一.

【答案】1：1000.

【分析】根據(jù)比例尺的定義求解.

【詳解】這幅地圖的比例尺為2：2000=1：1000.

故答案為：1：1000.

【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，解題關(guān)鍵在于掌握其定義.

6.（2020?江蘇淮安?統(tǒng)考一模）在一張比例尺為1:20的地圖上，有一塊多邊形區(qū)域的周長(zhǎng)是24cm,面積是

20cm2,求這個(gè)區(qū)域的實(shí)際周長(zhǎng)和面積.

【答案】周長(zhǎng)480cm,面積8000cm?

【分析】利用相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方計(jì)算.

【詳解】設(shè)實(shí)際周長(zhǎng)是xcm,貝h

24:x=1:20,

解得：x—480（cm）；

面積之比等于相似比的平方，設(shè)實(shí)際面積是y平方厘米，則：

20:y=（1:20產(chǎn)，

解得：y=8000（cm2）.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面

積之比等于相似比的平方.

題型03利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確

7.（2023?安徽亳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如果2022a=2023b,則下列式子正確的是（）

20232022b20232022b2023b

【答案】A

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：A.由2022a=20236,得急=急，則A正確，故A符合題意.

B.由2022a=2023b,得￡=翳，則B錯(cuò)誤，故B不符合題意.

C.由2022a=2023b,得急=急，則C錯(cuò)誤，故C不符合題意.

D.由2022a=2023b,得急=急，則D錯(cuò)誤，故D不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

8.（2021.上海嘉定?統(tǒng)考一模）如果實(shí)數(shù)mb,c,d滿足三=，下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是（）

bd

A級(jí)=*R二=二c些=￡D-=-

?bd*a+bc+d'b+ddbd

【答案】A

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)選出正確選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)正確，.?Y+i=m+i,...竽=等；

bdbd

B選項(xiàng)，當(dāng)Q+b=0或C+d=0時(shí)，不成立；

C選項(xiàng)，當(dāng)b+d=0時(shí)，不成立；

D選項(xiàng)不成立，例如：當(dāng)工=2時(shí)，

2424

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì).

9.（2019?上海奉賢?校聯(lián)考一模）己知線段“b,如果a：b=5：2,那么下列各式中一定正確的是（

A.a+b=7B.5a=26C.—=-D.—=1

b2b+2

【答案】c

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)判斷即可；

【詳解】解：A、當(dāng)4=10,。=4時(shí)，a：b=5：2,但是〃+Z?=14,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、由4：b=5?.2,得2〃=50,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、由a：6=5：2,得等=｝故本選項(xiàng)正確，符合題意；

D、由a：b=5：2,得震=|，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

題型04利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值

10.（2021?江蘇鹽城?統(tǒng)考二模）已知線段a,b,c,其中c是a和6的比例中項(xiàng)，a=4,b=9,則c=（）

A.4B.6C.9D.36

【答案】B

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng)，再列出比例式即可得出c.

【詳解】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，得c2=a6=36,c=±6,

又線段不能是負(fù)數(shù)，-6應(yīng)舍去，取c=6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了比例中項(xiàng)的概念：解題的關(guān)鍵是當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng).這里注意線段不

能是負(fù)數(shù).

11.（2021.江蘇蘇州?蘇州市景范中學(xué)校校考一模）若a:（:c=2:3:7,且a—6+3=c—26,則c值為何？

（）

2121

A.7B.63C.—D.—

24

【答案】c

【分析】先設(shè)a=2%,b=3須c=7%,再由a—b+3=c—2b得出x的值，最后代入c=7%即可.

【詳解】解：設(shè)a=2x,b=3x,c=7x,

,**a—b+3=c-2b,

2x—3x+3=7%—6x,

解得X=I，

?-321

??C=7X-=—,

22

故選：c.

【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的比，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)a=2x,b=3x,c=7x.

12.（2022?四川攀枝花?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若（3-2x）：2=（3+2尤）：5,則尤=.

【答案】x=J

14

【分析】由兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意可得，2（3+2%）=5（3-2x）f

解得尤=2

14

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確掌握內(nèi)外項(xiàng)積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考一模）已知巴=2=￡,且a+b—2c=6,求a值.

654

【答案】12

【分析】直接利用已知比例式假設(shè)出a,6,c的值，進(jìn)而利用a+62c=6,得出答案.

【詳解】解：設(shè)［=沁=匕

?*,ci—6/cib=Sk,c=4k,

???a+b—2c=6,

???6/c+5fc—8fc=6,

:?k=2,

a—6k—12,

??.a的值為12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題的關(guān)鍵.

題型05利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值

14.（2022?安徽合肥??？级＃┮阎猘、b、c為非零實(shí)數(shù)，且滿足誓=.=等=鼠則一次函數(shù)>=日

+（1+左）的圖像一定經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】此題要分a+b+c力。和a+b+c=。兩種情況討論，然后求出k,就知道函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象

限.

【詳解】解：分兩種情況討論：

當(dāng)a+b+c力0時(shí)，根據(jù)比例的等比性質(zhì)，得：k=喂詈=2,此時(shí)直線是y=2x+3,過(guò)第一、二、

三象限；

當(dāng)a+b+c=0時(shí)，即a+b=-c,貝！Jk=一1,此時(shí)直線是y=-久，直線過(guò)第二、四象限.

綜上所述，該直線必經(jīng)過(guò)第二象限.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵分情況求上的值，能夠根據(jù)％,b的符號(hào)正確判斷直線所經(jīng)過(guò)的

象限.

15.（2023?福建泉州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知強(qiáng)=3則/巳=

n3m+n

【答案】i

4

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可用他表示"，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】解：由竺=工，得n=3m.

n3

m_m_1

,———,

m+nm+3m4

故答案為:i

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出n=3m是解題關(guān)鍵.

16.（2022?四川成都?統(tǒng)考二模）已知5=?=則此絲的值是

234zx

【答案】3

4

【分析】根據(jù)工=￥=NH0設(shè)x=24，y=3k,z=4k,把%=2攵，y=3k,z=4左代入工”斗,即可求出答案.

234ZX

【詳解】解：設(shè)x=2Z,y=3k,z=4k,

次18上2

所以2k-3k+3k-4k62+12k29

ZX4k-2k8k28k2一4,

故答案為：J.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)和求分式的值，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵.

17.（2021?山東濱州?統(tǒng)考三模）計(jì)算:

⑴已知關(guān)于x,y的多項(xiàng)式叼-3f-2xy-加+y中不含二次項(xiàng)，求（a+6嚴(yán)1的值.

(2)若?=9=(，求學(xué)/的值;

3453x2+2xy-z2

⑶解分式方程三+事=2.

X—Z2.-X

【答案】（1）—1

⑵祟

（3）無(wú)實(shí)數(shù)解

【分析】（1）合并同類項(xiàng)，讓二次項(xiàng)的系數(shù)為0,求得。力的值，再求3+6產(chǎn)21;

(2)設(shè)：=?=(=%,代入計(jì)算即可.

(3)去分母解分式方程，并驗(yàn)根即可；

【詳解】(1),*"axy-3/-2xy-b^+y

=(-3X2-bx2)+(叼-2孫)+y

=(-3-。)f+(〃-2)xy+y

又??,關(guān)于x、y的多項(xiàng)式叼-3f-2孫-中不含二次項(xiàng)，

-3-b=0,a-2=0,

角軍得：b=-3,a=2,

則(a+()2021=(-3+2)2021=-1；

(2)%=3=(=無(wú)，

.\x=3kfy=4k,z=5k,

?x2-3xy+2z2

**3x2+2xy-z2

_(3fc)2-3x3fcx4k+2x(5k)2

-3x(3k)2+2x3kx4k-(5k)2

_詠2-36k2+5。左2

-27k2+24fc2-25fc2

23

^26

(3)去分母得：2-x=2(x-2),

解得：x=2,

經(jīng)檢驗(yàn)：尤=2不是原方程的解，

故此分式方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的相關(guān)概念，比例性質(zhì)及分式方程的解法，解題的關(guān)鍵運(yùn)算法則的應(yīng)用.

題型06理解黃金分割的概念

18.(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考二模)神奇的自然界處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)，動(dòng)物學(xué)家發(fā)現(xiàn)蝴蝶身長(zhǎng)與雙翅張開(kāi)后

的長(zhǎng)度之比約為0.618.這個(gè)數(shù)據(jù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的()

A.平移B.軸對(duì)稱C.旋轉(zhuǎn)D.黃金分割

【答案】D

【分析】利用黃金分割比的意義解答即可.

【詳解】解：：黃金分割比為：笞。0.618,

二動(dòng)物學(xué)家發(fā)現(xiàn)蝴蝶身長(zhǎng)與雙翅張開(kāi)后的長(zhǎng)度之比約為0.618,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)知識(shí)與自然界的聯(lián)系，熟練掌握線段的黃金分割比是解題的關(guān)鍵.

19.(2023?寧夏銀川??？级?主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺(jué)最

好.若舞臺(tái)長(zhǎng)30米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上(BP長(zhǎng)為無(wú))，

則％滿足的方程是()

1II

APB

A.(30—X)2=30XB.x2=30(30-x)C.x(30-x)=302D.以上都不對(duì)

【答案】A

【分析】點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，且PB<P4,PB=X,貝！JPA=30-x,根據(jù)警=蕓，即可求解.

APAB

【詳解】解：由題意知，點(diǎn)P是48的黃金分割點(diǎn)，且P8<P4,PB=x,貝IJP2=3O-x,

BPAP

?'AP一茄’

??.AP2=BP?AB,

(30—x)2=30%.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

20.(2020?上海崇明?統(tǒng)考一模)已知線段45=8cm,點(diǎn)C在線段上，5.AC2=BC那么線段"

的長(zhǎng)cm.

【答案】4V5-4/—4+4A/5

【詳解】根據(jù)黃金分割的定義得到點(diǎn)C是線段28的黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金比值計(jì)算得到答案.

【解答】解：=

.??點(diǎn)C是線段4B的黃金分割點(diǎn)，AOBC,

.?心竽加等＞8=（34）cm,

故答案為：4V5-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握黃金比值為早是解題的關(guān)鍵.

題型07黃金分割的實(shí)際應(yīng)用

21.（2023?山東荷澤?統(tǒng)考三模）黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、

和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.如圖，在某校初三中考百日倒計(jì)時(shí)啟動(dòng)儀式的中，舞臺(tái)2B的長(zhǎng)為18米，

主持人站在點(diǎn)C處自然得體.已知點(diǎn)C是線段48上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)4的距離為—

米.（黃金分割點(diǎn)是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值的分

割點(diǎn).其比值是一個(gè)常數(shù)為早）

III

ACB

【答案】9V5-9

【分析】由黃金分割點(diǎn)的定義得4。=等48,再代入48的長(zhǎng)計(jì)算即可.

【詳解】：由題意得，點(diǎn)C是線段48上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，4B=18米，AOBC,

：.AC=^AB=-x18=9V5-9（米）.

故答案為：9V5-9.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是能夠熟練地掌握黃金分割點(diǎn)的定義和黃金比值.

22.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）黃金分割比是讓無(wú)數(shù)科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、藝術(shù)家為之著迷的數(shù)字.黃金矩形

的長(zhǎng)寬之比為黃金分割比，即矩形的短邊為長(zhǎng)邊的倍.黃金分割比能夠給畫(huà)面帶來(lái)美感，令人愉悅，在很

多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.比如蝸牛殼的螺旋中就隱藏了黃金分割比.如下圖，用黃金矩形

4BCD框住整個(gè)蝸牛殼，之后作正方形力BFE,得到黃金矩形CDEF,再作正方形DEGH,得到黃金矩形

CFGH……，這樣作下去，我們以每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧線，然后連接起來(lái)，就是黃金螺旋.已知

【答案】1-2

【分析】根據(jù)黃金矩形的定義可得40的長(zhǎng)，從而得到DE的長(zhǎng)，再由陰影部分的面積=S正方形DEGF

S扇形EGF，即可求解?

【詳解】解：?.?四邊形4BCD是黃金矩形，48=等

.AV5+113+V5

??AD=------：------=-----

222

?.?四邊形4BFE是正方形,

.ME=2”笞

：.DE=AD-AE=1,

??陰影部分的面積=^DEGF-S^EGF=12一曙=1一%

故答案為一,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，理解黃金矩形的定義是解題的關(guān)鍵.

23.（2022?江西九江?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特將汽車倒車鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車

身黃金分割點(diǎn)的位置（如圖，即車尾到倒車鏡的距離與車長(zhǎng)之比為0.618）,若車頭與倒車鏡的水平距離為

1.9m,則該車車身總長(zhǎng)約為m（保留整數(shù)）.

【答案】5

【分析】設(shè)該車車身總長(zhǎng)為尤加，利用黃金分割點(diǎn)的定義得到汽車倒車鏡到車尾的水平距離為0.618X,則

根據(jù)題意列方程*0.61841.9,然后解方程即可.

【詳解】解：設(shè)該車車身總長(zhǎng)為xm,

?.?汽車倒車鏡設(shè)計(jì)為整個(gè)車身黃金分割點(diǎn)的位置，

汽車倒車鏡到車尾的水平距離為0.618X,

.,.x-0.618x=1.9,解得不5

即該車車身總長(zhǎng)約為5米.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割：把線段A3分成兩條線段AC和BC（AOBC）,且使AC是A2和2C的比

例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC）,叫做把線段A2黃金分割，點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn).

24.（2023?山西運(yùn)城?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“黃金三角形”是幾何歷史上的瑰寶，它有兩種類型，其中一種是頂

角為36。的等腰三角形，如圖，在△ABC中，乙4=36。，AB=AC.

（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作NB的平分線，交邊4C于點(diǎn)D（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，

標(biāo)明字母）；

（2）猜想與證明：請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)，證明點(diǎn)⑦是邊2C的黃金分割點(diǎn).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）作N4BC的角平分線，交4c于點(diǎn)D；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義可知ZD=BC,再證ABCDsAACB,根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)即可得證.

【詳解】（1）解：如圖所示，BD即為所求；

A

(2)???在△ABC中，AB=AC,Z.A=36°,

AZ-ABC=乙ACB=72°,

???8。平分乙4BC,

：.Z-ABD=乙CBD=36°,

AD=BD,(BDC=72°,

BD=BC,

???AD—BC,

■:乙BCD=Z.ACB,乙CBD=乙CAB,

△BCDACB,

BC：AC=CD：BC,

AD：AC=CD：AD,

2

：.AD=CD?CAf

.?.點(diǎn)。是邊/C的黃金分割點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)，以及尺規(guī)作圖等知識(shí)；熟練掌握

相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.

25.(2023?江西南昌?統(tǒng)考一模)美是一種感覺(jué)，當(dāng)人體下半身長(zhǎng)與身高的比值越接近0.618時(shí)，越給人一種

美感.如圖，某女士身高165cm,下半身長(zhǎng)工與身高珀勺比值是0.6.

(1)求該女士下半身長(zhǎng)X；

(2)為盡可能達(dá)到美的效果，求她應(yīng)穿的高跟鞋的高度.(結(jié)果精確到0.1)

【答案】(1)該女士下半身x為99cm；

(2)她應(yīng)穿的高跟鞋的高度為7.8cm.

【分析】(1)列式計(jì)算即可求解；

(2)設(shè)需要穿的高跟鞋是ycm,列方程求解即可.

【詳解】(1)解：x=165X0,6=99cm；

答：該女士下半身x為99cm；

(2)解：設(shè)需要穿的高跟鞋是ycm,則

99+y=0.618(165+y),

解得：yx7.8,

答：她應(yīng)穿的高跟鞋的高度為7.8cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用.明確黃金分割所涉及的線段的比是解題關(guān)鍵.

題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤

26.(2022?黑龍江哈爾濱??？寄M預(yù)測(cè))如圖，在團(tuán)4BCD中，點(diǎn)E在CD邊上，連接4E、BE,AE交BD于

點(diǎn)F.則下列結(jié)論正確的是().

AAFCDAFDF-DEDF一AFAD

D.—=—）

A.—FE=—DEFEBFC.—CE=—BFL.—FE=—BE

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：???四邊形48CD是平行四邊形，

AB=CD,AB||CD,

/.△ABFEDF

..噌=緇釜=整，故B錯(cuò)誤，不符合題意；

FEDEFEDF

??聾=能故A正確，符合題意；

FEDE

如果4EIIBC,則有w=《

???4E和BC不平行，

.??差力黑，故C錯(cuò)誤，不符合題意；

CEBF

如果4D||BE,則有△ADF八EBF

.AF_AD

*'FE一BE，

???40和BE不平行，

???妥力給故D錯(cuò)誤，不符合題意；

FEBE

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例的性質(zhì)定理

是解題的關(guān)鍵.

27.（2022?黑龍江哈爾濱??？既＃┤鐖D，四邊形力BCD為平行四邊形，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在CD

的延長(zhǎng)線上，連接BF、EF,BF交AD于G,EF交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)X,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

【答案】A

【分析】由四邊形4BCD為平行四邊形，可得4B=C。，AD=BC,AB||CD,AD||BC,則△GHF

—=—,可判斷C的正誤；由OHIICE,可得—=—,—=—,可判斷A的正

BEF,BFEFAFDHSCE,EFCEFBCE

誤；由AB||CD,可得△FOGsABAG,—,由4H||BE,可得生=也，即竺=也，可判斷B的正

AGBGBGEHAGEH

誤；由力DIIBC,可得△FGD-AFBC,生=竺，可判斷D的正誤.

BCCF

【詳解】解：???四邊形為平行四邊形，

：.AB=CD,AD=BC,AB||CD,AD||BC,

△GHFs匕BEF,

:啜,c正確，故不符合要求；

BFEF

*：DH||CE,

：.△FDHfFCE,

.HF_DH

EF~CE"

.?喘=嗡，A錯(cuò)誤，故符合要求；

FBCE

*：AB||CD,

△FDG?匕BAG,

.DG_FG

**AG~BG9

*：AH||BE,

,FG_FH

"BG~EH'

.??器=警,B正確，故不符合要求；

AGEH

\9AD||BC,

△FGDFBC,

:ET，D正確，故不符合要求；

BCCF

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識(shí).解題的

關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

28.（2023?黑龍江哈爾濱??？级＃┤鐖D，平行四邊形ABCD,E是B4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與AD、BD分另U

A.EA'.CD=EG\CGB.CD:BE=CG\CE

C.EG\GC=AG\BCD.CF\GF=DA\DG

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得:AB=CD,ADWBC，AB\\CD,從而得到吧=吧,△AEG

BEC，△DFGBFC即可判斷.

【詳解】解：???四邊形/BCD是平行四邊形,

：.AB=CD,AD^BC,AB\\CDfAD=BC,

.EA_EG

**AB-GC'

.?史=整，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；

CDGC

U

：ADWBCf

△AEGBEC,

.?.2=某,故c選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

ECBC

.AB_CG

??=9

BECE

糕=?,故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

BECE

u：ADWBC,ABWCD,

△DFGBFC,

.CF_BC

??GF-DG'

VAD=BC,

.?.M=空，故D選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握

相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

題型09平行線分線段成比例（A型）

29.（2023?遼寧沈陽(yáng)??？家荒＃┤鐖D,在△ABC中，點(diǎn)、D、E分另U在4B、AC上，連接DE,DE\\BC,AE=

4,AD=3,CE=2,貝UBD的長(zhǎng)為（）

A.1.5B.V2C.V3D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.

【詳解】解：???DE||BC,

AD_AE

"DB-EC9

vAE=4,AD=3,CE=2,

.3_4

—―,

DB2

解得：BD=1.5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

30.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）如圖，已知點(diǎn)。、E分另ij在AABC的邊力B、4C上，DE\\BC,AD:DB=

1：3,那么SgEC：SMBC等于（）

A.1:2B.1:3C.2:3D.1:4

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得AADE?AaBC,SADEC與SADBC是同高，故底之比等于1：3,從而得出面積之比.

【詳解】解：-.-DEWBC,

???△ADE-△ABC,

■■■DE:BC^AD-.AB,

,-AD\DB=1:3,

-t-AD:AB=1:4,

??.DE:BC=1:4,

"△DEC和S^DBC的IWJ相同,

；?S^DEC：SADBC=1：4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，高相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于底之比是解題的關(guān)

鍵.

題型10平行線分線段成比例（X型）

31.（2022?廣西貴港?統(tǒng)考一模）如圖，/是矩形2BCD的邊CD上一點(diǎn)，射線BF交力。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,已知

DE=2BC=4,CD=6,求BP的長(zhǎng)（）

A.2V2B.3C.V13D.V5

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合已知條件可知CP=2=2C,在根據(jù)勾股定理求出BC即可;

【詳解】解：?四邊形A8CD為矩形，

J.ADHBC,

DP_DE

"'CP=~BC

又,：DE=2BC=4；

：.DP=2PC；

又,：CD=6；

Z.CP=2；

在RS8CP中，ZC=90°,由勾股定理得：

BP=VBC2+CP2=V22+22=2vL

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例及勾股定理，利用平行線分線段成比例求得CF=2是解題的關(guān)

鍵.

32.（2022.河南開(kāi)封?統(tǒng)考二模）如圖，直線，1（口口3,已知AE=1，BE=2,DE=3,則8的長(zhǎng)為

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例求解即可.

【詳解】解：：直線〃〃/2〃國(guó)

.AE_BE

'*CE~DE1

VAE=1,BE=2,DE=3,

?.?J_一_―2,

CE3

JCE=-,

2

39

???CD=CE+DE=-+3

22

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意：一組平行線截兩條直線，所截的對(duì)應(yīng)線段成比

例.

33.（2023?河南安陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，在AO/IB中，點(diǎn)C、。分別在邊。8、的反向延長(zhǎng)線上，且

CDWAB.若。C=2,OB=4,OD=3,貝|04的長(zhǎng)為（）

AB

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求解.

【詳解】'：CD\\AB,

,OCOD

??—,

OBOA

*：0C=2,OB=4,OD=3,

.??一2=3,

4OA

：.OA=6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握相關(guān)定理是解本題的關(guān)鍵.

題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜合

34.（2022?寧夏銀川??？家荒＃┤鐖D，在團(tuán)4BCD中，AB=5,BC=8.E是邊BC的中點(diǎn)，尸是團(tuán)4BCD內(nèi)

一點(diǎn)，且ABFC=90。.連接2F并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G.若，則DG的長(zhǎng)為（）

53

A.-B.-C.3D.2

22

【答案】D

【分析】依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到EF的長(zhǎng)，再得到CG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出DG的長(zhǎng).

【詳解】解：?.3是邊BC的中點(diǎn)，且MFC=90°,

；.RtABCF中，EF=^BC=4,

EF||AB,AB||CG,E是邊BC的中點(diǎn),

F是AG的中點(diǎn)，

可得EF+CG),

.-.CG=2EF-AB=3,

又CD=AB=5,

DG=5—3=2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、梯形的中位線定理、直角三角形

斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

35.（2022?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考三模）在中，ZBCA=90°,sinA=|,4B=6,。是A3的中點(diǎn)，連接

CD,作。EJ_AC于E,則△"）￡1的周長(zhǎng)為（）

C.4+V2D.6+V2

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得。是2B的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得CD=3,根據(jù)中

位線的性質(zhì)可得。E=豺8,根據(jù)sinA=g,AB=6,求得8c=2,在Rt△ABC中，勾股定理求得AC,進(jìn)而求

得CE=T4C,然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】■■■ZBCA=90°,sinA=|,AB=6,DELAC,

?'sin"=^=1-DE//BC,

BC=2,

AC=<AB2-BC2=4V2,

???。是AB的中點(diǎn)，

???CE=-AC=2V2,DE=-BC=1,

22

:.XCDE的周長(zhǎng)為CD+DE+EC=3+1+2或=4+2/.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)，根

據(jù)正弦求邊長(zhǎng)，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

36.（2022?四川宜賓.統(tǒng)考一模）如圖，在〃中，E是邊上的中點(diǎn)，連接BE,并延長(zhǎng)3E交CO的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,那么黑的值是（）

FC

【答案】c

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及E是AO邊上的中點(diǎn)可知是△BEC的中位線，

即可得矍的值；

FC

【詳解】???四邊形A8CD是平行四邊形，

J.ED//BC,ED=BC,

:點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，

是△BFC的中位線，

.?.點(diǎn)。是尸C的中點(diǎn),

?.?-F-D=_一1.

FC2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，掌握平行四邊形的性

質(zhì)、中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線

37.（2023?浙江衢州?統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，。是4C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在BD上，連接4F并延長(zhǎng)交BC于

點(diǎn)E,若BF:FD=3:1,BC=10,則CE的長(zhǎng)為（）

10

A.3B.4C.5D.—

3

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)。作DHII/E交BC于H,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到萼=，十算即可.

EC2

【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DH||4E交于H,

.BE_3

,

EC2

,:BC=10,

CE=4,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

38.（2023?浙江?一模）如圖，在AABC中，^ABC=90°,AB=BC,點(diǎn)。為48中點(diǎn)，BF1CD于點(diǎn)E,交

AC于點(diǎn)F,若4B=2,貝必尸=（）

A.越B.2C.匹D.1

433

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)。作DG||BF交AF于點(diǎn)G,由點(diǎn)。為4B中點(diǎn)，得到AD=BD==1,慧=與=；,則

2AFAB2

AF=2AG=2FG,由勾股定理得到AC=2/，由BF1CD于點(diǎn)E,則NBEC=90。，CD=y/BD2+BC2=

V5,再證△BCE'DCB,得到黑=累，求得?！?釁，由DG||BF得到？=黑=：,進(jìn)一步得到CF=

CJLZBC5C<(JCD5

4FG=2AF,進(jìn)一步即可得到AF的長(zhǎng)度.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作QG||BF交2F于點(diǎn)G,

A

B

?.?點(diǎn)。為42中點(diǎn),

：.AF=2AG=2FG,

'：^.ABC=90°,AB=8C=2,

：.AC=>JAB2+BC2=2V2,

,：BF1CD于點(diǎn)E,

:.乙BEC=90°,CD=y/BD2+BC2=V5,

:.乙BEC=4DBC=90°,

■:乙BCE=Z.DCB,

△BCEDCB,

?BCCE

??——,

CDBC

.2_CE

解得CE=卓，

VDG||BF,

4V5

.CF_CE_—_4

??=—~=二,

CGCDV55

44,、

：.CF=^CG="F+FG),

:.CF=4FG=2AF,

：.AF^-AC=—.

33

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和

準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

39.(2022?廣西貴港?統(tǒng)考二模)如圖，在AABC中，。是4B邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE:CE=3:2,

CD與4E交于點(diǎn)F,貝！］DF:CF=()

A.2：3B.3：4C.4：3D.3：2

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)。作DHIIBC交AE于H,可得DH為△ABE的中位線，可得￡?”=28后，設(shè)BE=3%,貝UCE=

2x,根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求解.

【詳解】解:如圖，過(guò)點(diǎn)。作DHIIBC交4E于H,

.AD_AH

,,—，

DBHE

vD是4B邊的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)H是4E的中點(diǎn)，

是AABE的中位線，

DH=-2BE,

設(shè)BE=3%,貝！JCE=2%,DH=；x,

???DHWBC,

.DH_DF

??CE-CF9

...竺:=三=三，

CF2x4’

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，三角形的中位線，過(guò)點(diǎn)。作構(gòu)造三角形的中位線是解

題的關(guān)鍵.

題型13平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線

40.（2023?浙江?一模）如圖，菱形4BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，EF垂直4B交48延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若母=%

EF=2V5,則菱形ABCD的邊長(zhǎng)是（）

A.3V5B.yV5C.5D.6

【答案】D

【分析】過(guò)C作CM14B延長(zhǎng)線于根據(jù)襄=；,設(shè)BG=x,CG=3x,由菱形的性質(zhì)表示出DC=BC=

CG3

4x,由平行線分線段成比例表示出BM=BF+FM=：x+3x=：x,根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可.

【詳解】解：過(guò)C作CMLAB延長(zhǎng)線于

..BG1

?一—，

CG3

???設(shè)BG=x,CG=3x,

..DC—BC=4%,

:點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，

：

.CE=-2CD=2x,

???菱形ZBCO,

ACE||AB,

9：EF1AB,CMLAB,

：.EF||CM,

J四邊形EFMC是矩形，

???CM=EF=2A/5,MF=CE=2x,

VGF||CM,

.BFBG口B尸1

??--=---,即n—=一,

FMGC2x3

2

：.BF=-%,

3

oo

：.BM=BF+FM=-x+3x=-%,

33

在RtZkBCM中，BM2+CM2=BC2,

*，*Qx）+（2V5）2=（4%）2,解得％=|或%=-|（舍去）,

：

.CD=4x=4x-2=6.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在本題的靈活

運(yùn)用.屬于拔高題.

41.（2023?四川南充?四川省南充高級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=￡的圖象恰好

經(jīng)過(guò)AAOB的頂點(diǎn)及邊48上一點(diǎn)C且滿足AC如果△408的面積為2,那么k的值是（）

【答案】C

【分析】過(guò)B作BDL04于￡）,CE1O4于E,設(shè)B件，n）,根據(jù)三角形的面積公式得到。4==則

a（-0）,然后利用平行線分線段成比例定理求出4E和CE,求得C（黑譚），代入反比例函數(shù)解析式即

可得到結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)8作BD1。力于。，?！?1。4于￡,

?.?點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=：的圖象上,

.?.設(shè)B&,n）,

的面積為2,

：.0A=~4,

n

"（一4o）,

'：BD\\CE,AC=AB,

.AE_CE_AC1

**AD-BD~AB3

11

：.AE=-ADCE=-BD,

3f3

—,CE=-,

.nn.3n3

44k+48-k

：.OE=--AE

nn3n3n

?"雋M），

?.?點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=§的圖象上,

./c-8n

k,

3n3

??k.=-1f

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算，平行線分線段成比例，正確表示C點(diǎn)

的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

42.（2023?貴州貴陽(yáng)?統(tǒng)考二模）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上

則線段4C的長(zhǎng)是（)

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】c

【分析】過(guò)點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于交點(diǎn)C所在的平行橫線于E,根據(jù)平行

線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)3所在的平行橫線于D交點(diǎn)C所在的平行橫線于E,

則rrt,\一AB=一AD，即pi-t一i46=一1,

BCDE42

解得：AB=2,

???4C=2+4=6(cm).