2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：三角函數(shù)與三角恒等變換（原卷）

專題01三角函數(shù)與三角恒等變換

一、三角函數(shù)

1.如圖，P,Q是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的兩個動點(diǎn)，若它們同時從點(diǎn)4(1,0)出發(fā)，沿逆時針方向作勻角速

度運(yùn)動，其角速度分別為(單位：弧度/秒)，M為線段PQ的中點(diǎn)，記經(jīng)過x秒后(其中0WXW6),八支)=

\OM\

(I)求y=fO)的函數(shù)解析式；

(H)將/(久)圖象上的各點(diǎn)均向右平移2個單位長度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，求函數(shù)g=g(%)的單調(diào)遞減區(qū)

間.

2.設(shè)函數(shù)/(久)=4cos%sin(%—()+百，xG.R.

(I)當(dāng)［0弓］時，求函數(shù)"久)的值域；

(II)已知函數(shù)y=/(久)的圖象與直線：=1有交點(diǎn)，求相鄰兩個交點(diǎn)間的最短距離.

3.已知tana=4，且a是第三象限角，

(1)求sina的值；

(2)求sin2(]+a)+sina?cos(7i—a)的值.

4.如圖，某市準(zhǔn)備在道路所的一側(cè)修建一條運(yùn)動比賽道，賽道的前一部分為曲線段用C.該曲線段是函

數(shù)y=4sin(3久+芟)(力＞0,3〉0),%￡[-4,0]時的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B(—l,2),賽道的中間部

分為長百千米的直線跑道CD,且CD〃即；賽道的后一部分是以。為圓心的一段圓弧DE.

(1)求3的值和的大??；

(2)若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路E尸上，一個頂點(diǎn)在半

徑OD上，另外一個頂點(diǎn)P在圓弧上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時尸點(diǎn)的位置.

5.在△ABC中，內(nèi)角力，B,C所對的邊分別為a,瓦c.已知6+c=2a,3csinB=4asinC.

(I)求cosB的值；

(II)求sin(2B+§的值.

6.已知函數(shù)/(%)=2cos23%-1+2V3sintoxcoscox(0<to<1),直線X=方是函數(shù)/(%)的圖象的一條對稱軸.

(1)求函數(shù)段)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)已知函數(shù)尸g(x)的圖象是由y=/(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移g個單位

長度得到的，若g(2a+/)=aaE(0,“，求sina的值.

7.已知函數(shù)/(%)=2sin(2cox+￡)+1.

(1)若/(%D</(%)<f(%2)，kl-^21min=p求f(%)的對稱中心;

(2)已知0<3<5,函數(shù)/(%)圖象向右平移,個單位，得到函數(shù)g(%)的圖象，x=宙是次%)的一個零點(diǎn)，若函

數(shù)g(%)在［加71］(771,71eR且THVn)上恰好有10個零點(diǎn)，求九一TH的最小值；

(3)已知函數(shù)h(%)=acos(2x-7)-2Q+3(a>0),在第(2)問條件下，若對任意％1G［。，3，存在%2E［。，臺，

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使得人(%1)=g(%2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

8.已知函數(shù)g(%)=sin(%-習(xí)，/i(x)=cosx,從條件①/(%)=g(%),/i(x)>條件②f(%)=g(%)+/i(x)這兩

個條件中選擇一個作為已知，求：

(1)/(%)的最小正周期；

(2)/(x)在區(qū)間［。,月上的最小值.

9.在A4BC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos8=9—2.

c2c

⑴求c；

(2)若c=2a,求sinB.

10.已知函數(shù)/(%)=sin?%+0)(3>0,x='是函數(shù)/(%)的對稱軸，且f(%)在區(qū)間&號)上單調(diào).

⑴從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得/(%)的解析式存在，并求出其解析式；

條件①：函數(shù)/(X)的圖象經(jīng)過點(diǎn)人(0,3；

條件②：厚0)是f(x)的對稱中心；

條件③：管,0)是/(%)的對稱中心.

(2)根據(jù)(1)中確定的"%),求函數(shù)y=/(%)(%€[。,||)的值域.

11.已知向量H=(sin居：),方=(cosx,—1).

⑴當(dāng)時，求cos2%—sin2%的值；

(2)設(shè)函數(shù)/(%)=25+石)?瓦已知在△4SC中，內(nèi)角/、從。的對邊分別為a,b,c,若a=百/=2,sinB=

爭求/(x)+4cos(24(XG[o,1)的取值范圍.

12.已知4a〈兀，tanad

(1)求tana的值；

__p.sma+cosa

⑵zx求嬴大的值;

(3)求2sin2a—sinacosa—3cos2a.的值

13.已知函數(shù)/(%)=2sinx?sin(%+，).

(1)求/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若對任意卜,目,都有上(久)一當(dāng)w字，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

14.已知函數(shù)/(%)=sin(2%+§+cos(2%+9一2sinxcosx.

(1)求函數(shù)/(久)的最小正周期及對稱軸方程;

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移堤個單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,

得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求y=g(x)在[0,2初上的單調(diào)遞減區(qū)間.

15.已知函數(shù)/'(久)=b-(a+c),其中向量方=(sinx,—3cosx),b=(sinx,—cosx),c=(—cosx,sinx),xER.

(1)求f(x)的解析式及對稱中心和單調(diào)減區(qū)間；

(2)不等式|/(x)-加＜3在xC[,耳上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

16.已知函數(shù)/(%)=2sin2(%+；)+V2cos1(sin%—cos%).

(1)求函數(shù)/(%)的對稱中心及最小正周期；

(2)若會卷)，fW=p求tan。的值.

17.已知函數(shù)f(%)=4sin(3%+@)+B(4>0,3>9的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)將函數(shù)y=/(%)圖象上所有的點(diǎn)向右平移:個單位長度，再將所得圖象上每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象.當(dāng)xe[0,制時，方程g(x)-a=0恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根,

x1,x2,x3(x1<%2<%3)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及亞+2%2+%3的值.

18.已知y=/(%)為奇函數(shù)，其中/(%)=cos(2x+0),0G(O,7i).

(1)求函數(shù)y=/(%)的最小正周期和/(%)的表達(dá)式；

(2)若/停)=，a€仔,兀),求sin(a+習(xí)的值.

19.已知函數(shù)/(%)=Zsin(3%+0)(Z>0,3>0,0V0V/)同時滿足下列四個條件中的三個：①/(一￡)=。;

②/(。)=一1；③最大值為2；④最小正周期為兀.

(1)給出函數(shù)/(%)的解析式，并說明理由；

⑵求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間.

20.已知函數(shù)/(%)=2sin(a)%+R)(to>0,\(p\<的部分圖象如圖所示.

⑴求f(%)的解析式，并求/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若對任意xe[蜀，都有I/O)/(%—￡)—1|<1,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

二、三角恒等變換

cos2x

21.已知函數(shù)f(%)=

sin(%+》?

(1)如果f(a)=I，試求sin2a的值；

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.

22.設(shè)/(%)=sin%+cosx(xER).

⑴判斷函數(shù)y=/(％+§『的奇偶性，并寫出最小正周期；

(2)求函數(shù)y=/(%)/(x-在［0,月上的最大值.

23.設(shè)函數(shù)/(%)=i4sintoxcoscox+cos2a)x(A>0,a>0),從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩

個作為已知，使得/(%)存在.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)當(dāng)％e［。/，若函數(shù)g(%)=/(%)-m恰有兩個零點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍.

條件①：/(%)=/(-%)；

條件②：作)的最小值為，

條件③：n>)的圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為］

24.已知函數(shù)/(%)=2sin3%cos0+2sin@—4sin2^ysin^(o)>0,\(p\<兀)，其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱

中心的橫坐標(biāo)相差｝______，從以下兩個條件中任選一個補(bǔ)充在空白橫線中.①函數(shù)/(%)的圖象向左平移與

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個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱且/(0)<0；②函數(shù)/(%)的圖象的一個對稱中心為(右,0)且>0.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式;

(2)將函數(shù)/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膓(t>0)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若函

數(shù)y=g(x)在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)，求t的取值范圍.

25.設(shè)函數(shù)/(無)=2sin2<i)x+2Vasina尤costox的圖象關(guān)于直線x=兀對稱，其中3為常數(shù)且o)G&1)

(1)求函數(shù)/(久)的解析式；

(2)在AABC中，已知/(4)=3,且B=2C,求cosAcosC的值.

26.已知扇形。的半徑為1,4A0B=全尸是圓弧上一點(diǎn)(不與/,3重合)，過P作PM1Q4,PN_L。3,

M,N為垂足.

(1)若PM=g,求PN的長；

(2)設(shè)乙40P=x,PM,PN的線段之和為y,求y的取值范圍.

27.設(shè)函數(shù)f(x)=苧sin2tox+cos2(ox,其中0<3<2.

(1)若f0)的最小正周期為兀，求f0)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(%)圖像在(o司上存在對稱軸，求3的取值范圍.

28.在①函數(shù)y=f(%)的圖像關(guān)于直線X=：對稱；

②函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)P《,0)對稱；

③函數(shù)y=八久)的圖像經(jīng)過點(diǎn)Q(g,-2)；

這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并解答.

問題：已知函數(shù)/'(%)=2sin3久cosg+2cos3久sin。(3>0,\(p\<3最小正周期為兀,

⑴求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)函數(shù)人久)在，，目上的最大值和最小值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

29.已知函數(shù)f(%)=2sin3%cos0+2sinw-4sin2^sin^(3>0,\(p\<兀)，其圖像的一條對稱軸與相鄰對

稱中心的橫坐標(biāo)相差％,從以下兩個條件中任選一個補(bǔ)充在空白橫線中.

①函數(shù)f(x)的圖像向左平移W個單位長度后得到的圖像關(guān)于了軸對稱且/(0)<0；

②函數(shù)f(x)的圖像的一個對稱中心為噲,0)且/。>0.

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

(2)若關(guān)于x的方程外久)(2x—§=2巾有實(shí)根，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

30.已知函數(shù)f(%)=[sin(o)x+0)-V3cos(o)x+^)]cos(o)x+cp)+[(3>0,0<0<今為奇函數(shù),且其圖

象相鄰兩對稱軸間的距離為全

(1)求3和6

(2)當(dāng)xG卜已兀］時,記方程23f(%+］=租的根為％I，%2，%3(%1V%2V,求TH?這二的范圍.

%1—％3

31.已知函數(shù)f(%)=-tan%tan2%+V3(sin2x—cos2x).

tan2x-tanx

(1)求函數(shù)/(%)的定義域；

(2)若％G(。小(是),求函數(shù)/(久)的單調(diào)區(qū)間.

32.在銳角△力BC中，角力，B,C所對的邊分別為a,b,c,已知百tanAtanCtanX+tanC+V3.

(1)求角B的大??；

(2)求cos/l+cosC的取值范圍.

33.已知/'(無)=sinotx—V3costox,to>0.

⑴若函數(shù)/(久)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為全求/停)的值；

⑵若函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于信,0)對稱，且函數(shù)/(久)在［。司上單調(diào)，求3的值.

34.已知函數(shù)/(x)=asinxcosx+cos(2久+)且

⑴求a的值和/(%)的最小正周期；

(2)求f(久)在［0,句上的單調(diào)遞增區(qū)間.

35.已知方=(sinx+cosx,2cos8),b=(2sin8，sin2x).

⑴若k=(一3,4)且K=：,ee(OH)時，工與7的夾角為鈍角，求cos。的取值范圍;

(2)若。=三，函數(shù)/0)=2?反求f(x)的最小值.

36.在△ABC中，4B,C對應(yīng)的邊分別為a,hc,且力,8<泉且

2sinC+cos2i4+cos2B=2

⑴求c；

⑵若a=6=2,BC上有一動點(diǎn)P(異于瓦C),將△力BP沿4P折起使AP與CP夾角為:，求力B與平面ACP

所成角正弦值的范圍.

37.已知函數(shù)/(x)=2V^sin3xcos3x-2sin2sx+1(0<3<2).在下面兩個條件中選擇其中一個，完成下

面兩個問題:

條件①：在f(x)圖象上相鄰的兩個對稱中心的距離為關(guān)

條件②：/(%)的一條對稱軸為x=￡.

O

(1)求①；

(2)將fO)的圖象向右平移汐單位(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)或久)的圖象，求函數(shù)g(x)在卜羽上的值域.

38.正弦信號是頻率成分最為單一的信號，復(fù)雜的信號，例如電信號，都可以分解為許多頻率不同、幅度

不等的正弦型信號的疊加.正弦信號的波形可以用數(shù)學(xué)上的正弦型函數(shù)來描述：U(t)=Hsin(2兀九+0),其

中V(t)表示正弦信號的瞬時大小電壓修(單位：V)是關(guān)于時間f(單位：s)的函數(shù)，而4>0表示正弦信

號的幅度，/是正弦信號的頻率，相應(yīng)的7=當(dāng)為正弦信號的周期，R為正弦信號的初相.由于正弦信號是一種

最簡單的信號，所以在電路系統(tǒng)設(shè)計中，科學(xué)家和工程師們經(jīng)常以正弦信號作為信號源(輸入信號)去研

究整個電路的工作機(jī)理.如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標(biāo)是一個運(yùn)算放大器，電路中有

四個電阻，電阻值分別為R2,R3,R4(單位：。)"i(t)和匕。)是兩個輸入信號，/⑴表示的是