2024-2025學(xué)年安徽省合肥市肥東一中高二（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（7月份）（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年安徽省合肥市肥東一中高二（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（7月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合A={x|tanx=0}，B={x|cosx=0}，則(

)A.A=B B.A?B C.A?B D.A∩B=?2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)A.y=?log12x B.y=(123.已知向量AB=(1,a,?2)與AC=(?2,4,b)共線，則a+b=(

)A.?2 B.0 C.2 D.64.如圖，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=90°，BC，AB邊上的兩條中線AD，CE交于點(diǎn)P，則cos∠DPE=(

)A.32114

B.217

5.若z1=(m2+m+1)+(m?4)i，z2=3?3i，則A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件6.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=AB=AA1，∠BAC=120°，D，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，BCA.310

B.5110

C.27.一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，設(shè)A1={1,2,3,4}，A2={1,2,3,5}，AA.A1與A2互斥 B.A1與A3相互對(duì)立

C.A1?8.已知兩異面直線a，b所成的角為80°，過(guò)空間一點(diǎn)P作直線，使得l與a，b的夾角均為50°，那么這樣的直線有(????)條A.1 B.2 C.4 D.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有(

)A.單位向量都相等B.模相等的兩個(gè)平行向量相等

C.若|a|>|b|且a，b同向，則a>bD.b10.已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示.則f(x)=(

)

A.2cos(x?π6) B.2cos(2x?π6)11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分別是AA1，CCA.存在點(diǎn)Q，使B，N，P，Q四點(diǎn)共面

B.存在點(diǎn)Q，使PQ//平面MBN

C.三棱錐P?MBN的體積為23

D.經(jīng)過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c=3，a2+b13.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(1,1,0)，B(?1,0,2)，點(diǎn)C滿足AC=2AB，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____．14.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球.記m表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記n表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則m與n差的絕對(duì)值不超過(guò)12的概率是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=m+2i是方程x2?6x+13=0的一個(gè)虛根(i是虛數(shù)單位，m∈R)．

(1)求|z|；

(2)復(fù)數(shù)z1=a?i，若zz16.(本小題15分)

《中國(guó)制造2025》提出“節(jié)能與新能源汽車(chē)”作為重點(diǎn)發(fā)展領(lǐng)域，這為我國(guó)節(jié)能與新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)發(fā)展指明了方向，某新能源汽車(chē)生產(chǎn)商為了提升產(chǎn)品質(zhì)量，對(duì)某款汽車(chē)的某項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)后，頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求該項(xiàng)指標(biāo)的第30百分位數(shù)；

(2)若利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值x，將該指標(biāo)小于x的汽車(chē)認(rèn)為符合節(jié)能要求，已知x∈[90,100]，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求該款汽車(chē)符合節(jié)能要求的概率f(x)．17.(本小題15分)

在三棱錐P?ABC中，AC⊥CB，AB⊥BP，CB=CP=CA，BP=12AP.點(diǎn)C在平面PAB上的射影D恰好在PA上．

(1)若E為線段BP的中點(diǎn)，求證：BP⊥平面CDE；

(2)求二面角C?AB?P18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b(tanA+tanB)=2ctanB．

(1)求A的值；

(2)若△ABC為銳角三角形，求bc的取值范圍．19.(本小題17分)

某校一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E，F(xiàn)，G分別是邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊AB，CD，AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB，CG就得到了一個(gè)“芻薨”(如圖2)．

(1)若O是四邊形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：AO//平面GCF；

(2)若二面角A?BC?E的平面角為π6，求平面OAE與平面BAE夾角的余弦值．

答案解析1.D

【解析】解：集合A={x|tanx=0}={x|x=kπ,k∈Z}，

B={x|cosx=0}={x|x=kπ+π2,k∈Z}，

則A∩B=?．

故選：D．

化簡(jiǎn)集合A、B，再判斷A、B2.C

【解析】解：y=?log12x=log2x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，不符合題意；

y=(12)?x=2x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，不符合題意；

根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y=1x3.C

【解析】解：向量AB=(1,a,?2)與AC=(?2,4,b)共線，

所以1?2=a4=?2b，所以a=?2，b=4，故a+b=24.D

【解析】解：因?yàn)锳C=1，AB=2，∠ACB=90°，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則有：A(1,0)，B(0,3)，C(0,0)，

因?yàn)镈，E分別為BC，AB中點(diǎn)，

所以D(0,32)，E(12,32)，

所以AD=(?1,325.C

【解析】解：①當(dāng)m=1時(shí)，z1=3?3i=z2，

②若z1=z2，則(m2+m+1)+(m?4)i=3?3i，

即m2+m+1=3m?4=?3，∴m=16.D

【解析】解：把直三棱柱ABC?A1B1C1補(bǔ)成一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，如圖所示：

因?yàn)镈M=AE，且DM//AE，

所以四邊形ADME為平行四邊形，所以AD//ME，

所以異面直線AD與EF所成的角為∠FEM或其補(bǔ)角，

不妨設(shè)AC=AB=AA1=a，

因?yàn)椤螧AC=120°，所以∠ABN=60°，

所以△ABN為等邊三角形，所以AN=a，EN=12AN=12a，

所以ME=MN2+EN2=a2+(12a)2=52a，

因?yàn)椤鰽7.D

【解析】解：一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，

則A1={1,2,3,4}，則P(A1)=12，P(A1?)=12

A2={1,2,3,5}，則P(A2)=12，P(A2?)=12，

A3={1,6,7,8}，則P(A3)=12，

又A1∩A2={1,2,3}，故A??1與A2不互斥，故A錯(cuò)，

又A1∪8.D

【解析】解：在空間取一點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P分別作a//a′，b//b′，

設(shè)直線a′、b′確定平面α，

當(dāng)直線PM滿足它的射影PQ在a′、b′所成角的平分線上時(shí)，

PM與a′所成的角等于PM與b′所成的角

因?yàn)橹本€a，b所成的角為80°，得a′、b′所成銳角等于80°

所以當(dāng)PM的射影PQ在a′、b′所成銳角的平分線上時(shí)，

PM與a′、b′所成角的范圍是[40°,90°)．

這種情況下，過(guò)點(diǎn)P有兩條直線與a′，b′所成的角都是50°

當(dāng)PM的射影PQ在a′、b′所成鈍角的平分線上時(shí)，PM與a′、b′所成角的范圍是[50°,90°)．

這種情況下，過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線(即PM?α?xí)r)與a′，b′所成的角都是50°

綜上所述，過(guò)空間任意一點(diǎn)P可作與a，b所成的角都是50°的直線有3條

故選：D．

在空間取一點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P分別作a//a′，b//b′，設(shè)直線a′、b′確定平面α.由異面直線所成角的定義，得a′、b′所成銳角等于80°，經(jīng)過(guò)P的直線PM的射影P在a′、b′所成銳角的平分線上時(shí)，存在兩條直線與a′，b′所成的角都是50°，當(dāng)PM的射影PQ在a′、b′所成鈍角的平分線上時(shí)，存在1條直線與a′，b′所成的角都是50°，由此可得本題答案．

本題給出兩條直線所成角為80°，求過(guò)空間一點(diǎn)P可作與a，b所成的角都是50°的直線的條數(shù)．著重考查了空間兩條異面直線所成角及其求法等知識(shí)，屬于中檔題．9.ABC

【解析】解：?jiǎn)挝幌蛄康姆较虿灰欢ㄏ嗤珹錯(cuò)誤；

模相等的兩個(gè)平行向量也可能方向相反，B錯(cuò)誤；

兩向量不能比較大小，C錯(cuò)誤；

當(dāng)b≠0時(shí)，若a//b，b//c，則a//c，D正確．

故選：10.BD

【解析】解：根據(jù)函數(shù)的圖象得3T4=13π12?π3=3π4，故T=π，所以ω=2；

所以f(π3)=2cos(2π3+φ)=0，

又由題圖可知π311.ABD

【解析】解：對(duì)A選項(xiàng)，如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，連接A1B，CD1，

∵N，P分別是CC1，C1D1的中點(diǎn)，∴CD1//PN，

又CD1//A1B，∴A1B//PN，

∴A1，B，N，P四點(diǎn)共面，

即當(dāng)Q與點(diǎn)A1重合時(shí)，B，N，P，Q四點(diǎn)共面，∴A選項(xiàng)正確；

對(duì)B選項(xiàng)，連接PQ，A1C1，當(dāng)Q是D1A1的中點(diǎn)時(shí)，

∵PQ//A1C1，A1C1//MN，∴PQ//MN，

又PQ?平面BMN，MN?平面BMN，

∴PQ//平面BMN，∴B選項(xiàng)正確；

對(duì)C選項(xiàng)，連接D1M，D1N，D1B，∵D1M//BN，

∴V三棱錐P?MBN=V三棱錐M?PBN=V12.(【解析】解：∵c=3，a2+b2?ab=3，

∴a2+b2?ab=c2，

又∵由余弦定理，可得a2+b2?c2=2ab?cosC，

∴2cosC=1，即cosC=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3，

∴A+B=π?π3=2π3，

∵△ABC為銳角三角形，

∴A∈(π6,π2)，

由正弦定理，可得asinA=13.(?3,?1,4)

【解析】解：設(shè)C(x,y,z)，則AC=(x?1,y?1,z)，AB=(?2,?1,2)，

因?yàn)锳C=2AB，

所以(x?1,y?1,z)=2(?2,?1,2)=(?4,?2,4)，即x?1=?4y?1=?2z=4，得x=?3y=?1z=4，

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?3,?1,4)．14.715【解析】解：記前三個(gè)球的號(hào)碼分別為a、b、c，則共有A63=120種可能，

令|m?n|=|a+b2?a+b+c3|=|a+b?2c6|≤0.5可得：|a+b?2c|≤3，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性：c=1或6時(shí)，均有2種可能；

c=2或5時(shí)，均有10種可能；

c=3或4時(shí)，均有16種可能；

故滿足條件的共有56種可能，

P=56120=715．

15.解：(1)z=m+2i是方程x2?6x+13=0的一個(gè)虛根，

則z?=m?2i也是方程x2?6x+13=0的一個(gè)虛根，

故m?2i+m+2i=6(m?2i)(m+2i)=13，解得m=3，

z=3+2i，

所以|z|=32+22=13；【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合韋達(dá)定理，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，求出m，再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．16.解：(1)∵0.002×5+0.012×5+0.034×5=0.24<0.3，0.002×5+0.012×5+0.034×5+0.036×5=0.42>0.3，

∴第30百分位數(shù)落在區(qū)間[105,110)內(nèi)，設(shè)其為m，

則0.24+(m?105)×0.036=0.3，

解得m=3203，

即該項(xiàng)指標(biāo)的第30百分位數(shù)為3203；

(2)當(dāng)x∈[90,95)時(shí)，f(x)=(x?90)×0.002=0.002x?0.18，

當(dāng)x∈[95,100]時(shí)，f(x)=0.002×5+(x?95)×0.012=0.012x?1.13，

綜上所述，【解析】(1)利用百分位數(shù)的定義求解；

(2)分x∈[90,95)和x∈[95,100]，分別求出f(x)，最后寫(xiě)成分段函數(shù)的形式即可．

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．17.解：(1)證明：連接CD，DE，

∵CD⊥平面PAB，AP?平面PAB，BP?平面PAB，

∴CD⊥AP，CD⊥BP，

又CA=CP，∴D為AP中點(diǎn)．

又E為BP中點(diǎn)，∴DE//AB

又AB⊥BP，∴BP⊥DE，

CD∩DE=D，CD，DE?平面CDE，∴BP⊥平面CDE．

(2)作DF⊥AB于F，連接CF，

∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，則CD⊥AB，

又CD∩DF=D，CD，DF?平面CDF，

∴AB⊥平面CDF，而CF?平面CDF，∴AB⊥CF．

又∵CB=CP=CA，∴D，F(xiàn)為AP，AB的中點(diǎn)，∴DF//PB，

又BP⊥AB，∴DF⊥AB．

則∠CFD即為二面角C?AB?P的平面角．

在Rt△CDF中，cos∠CFD=DFCF．

設(shè)CB=CA=a，AC⊥CB，則CF=12AB=22a．

∵BP=12AP，在Rt△ABP【解析】(1)連接CD，DE，由CD⊥平面PAB，得CD⊥BP，再由中位線定理得平行從而得BP⊥DE，從而證得線面垂直；

(2)作DF⊥AB于F，連接CF，證明∠CFD即為二面角C?AB?P的平面角，然后在直角三角形中求解．

本題考查線面垂直的證明，二面角的求解，屬中檔題．18.解：(1)因?yàn)閎(tanA+tanB)=2ctanB，

由正弦定理可得：sinB×(sinAcosA+sinBcosB)=2sinC×sinBcosB?sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=2×sinCcosB，

即sinCcosAcosB=2×sinCcosB，

因?yàn)锳，B，C為的△ABC內(nèi)角，sinC>0，

所以cosA=12，

可得【解析】(1)由正弦定理及正切化為正弦與余弦的比化簡(jiǎn)可得cosA的值，再由角A的范圍，可得角A的大小；

(2)由正