2023年初一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)梳理及典型例題

北師大版知識(shí)點(diǎn)匯總［七年級(jí)上冊(cè)］

第一章豐富的圖形世界

44「圓柱:底面是圓面，側(cè)面是曲面

枉體1

G1.1棱體:底面是多邊形側(cè)面是正方形或長(zhǎng)方形

妣「圓錐：底面是圓面?zhèn)让媸乔?/p>

錐體/

02.4土［棱錐:底面是多邊形側(cè)面都是三角形

03.球體：由球面圍成的（球面是曲面）

04.幾何圖形是由點(diǎn)、線(xiàn)、面構(gòu)成的。

①幾何體與外界的接觸面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面

和曲面；

②面與面相交得到線(xiàn)；

③線(xiàn)與線(xiàn)相交得到點(diǎn)。

派5.棱：在棱柱中，任何相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)都叫做梭。

派6.側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面日勺交線(xiàn)叫做側(cè)棱，所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等。

07.棱柱的上、下底面的形狀相似，側(cè)面的形狀都是長(zhǎng)方形。

08.根據(jù)底面圖形日勺邊數(shù)，人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底

面圖形的形狀分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形……

09.長(zhǎng)方體和正方體都是四棱柱。

010.圓柱的表面展開(kāi)圖是由兩個(gè)相似的圓形和一種長(zhǎng)方形連成。

an.圓錐的表面展開(kāi)圖是由一種圓形和一種扇形連成。

X12.設(shè)一種多邊形的邊數(shù)為n（吟3,且n為整數(shù)），從一種頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線(xiàn)有（n-3）條；可

以把n邊形成（n-2）個(gè)三角形；這個(gè)n邊形共有口巴區(qū)條對(duì)角線(xiàn)。

2

◎13.圓上兩點(diǎn)之間的部分叫做即，弧是一條曲線(xiàn)。

?14.扇形，由一條弧和通過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所構(gòu)成的圖形。

015.凸多邊形和凹多邊形都屬于多邊形。有弧或不封閉圖形都不是多邊形。

第二章有理數(shù)及其運(yùn)算

零（0）

正分?jǐn)?shù)（如：萬(wàn)，—,5.3,3.8,11）

※數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度（三者缺一不可）。

※任何一種有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一種點(diǎn)來(lái)表達(dá)。（反過(guò)來(lái)，不能說(shuō)數(shù)軸上所有的點(diǎn)

都表達(dá)有理數(shù)）

※假如兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不一樣，那么我們稱(chēng)其中一種數(shù)為另一種數(shù)的相反數(shù)，也稱(chēng)這兩個(gè)

數(shù)互為相反數(shù)。（0時(shí)相反數(shù)是0）

※在數(shù)軸上，表達(dá)互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。

口數(shù)軸上兩點(diǎn)表達(dá)的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)在原點(diǎn)的右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊。

※絕對(duì)值日勺定義：一種數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表達(dá)數(shù)a時(shí)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。數(shù)a的絕對(duì)

值記作|a|。

※正數(shù)的絕對(duì)值是它自身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的數(shù)；0的絕對(duì)值是0。

a(a>0)、

ra(a>0)--"卦主屈JJ-'一>

|<7H0(<7=0)或⑷<-------1---1---111--1—

-a(a<0)

-a(a<0)1cc,八，c

※絕對(duì)值的性質(zhì)：除0外，絕對(duì)值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；

互為相反數(shù)的兩數(shù)(除。外)的絕對(duì)值相等；

任何數(shù)的絕對(duì)值總是非負(fù)數(shù)，即同出

※比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，絕對(duì)值大的反而小。比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的環(huán)節(jié)如下：

①先求出兩個(gè)數(shù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；

②比較兩個(gè)絕對(duì)值的J大小；

③根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做出對(duì)時(shí)的判斷。

※絕對(duì)值的性質(zhì)：

①對(duì)任何有理數(shù)a,均有|a|N0

②若|a|=0,則|a|=0,反之亦然

③若|a|=b,則a=±b

④對(duì)任何有理數(shù)a,均有冏=閨

※有理數(shù)加法法則：①同號(hào)兩數(shù)相加，取相似符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

②異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為0；絕對(duì)值不等時(shí)取絕對(duì)

值較大時(shí)數(shù)的符號(hào)，并用較大數(shù)的絕對(duì)值減去較小數(shù)的絕對(duì)

值。

③一種數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

※加法的互換律、結(jié)合律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣合用。

口靈活運(yùn)用運(yùn)算律，使用運(yùn)算簡(jiǎn)化，一般有下列規(guī)律：①互為相反的兩個(gè)數(shù)，可以先相加;

②符號(hào)相似的數(shù)，可以先相加；

③分母相似的數(shù)，可以先相加；

④幾種數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。

※有理數(shù)減法法則：減去一種數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

口有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意兩“變”：①變化運(yùn)算符號(hào)；

②變化減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（變?yōu)橄喾磾?shù)）

有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意一種“不變”：被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換，也就是說(shuō)，減法沒(méi)有

互換律。

口有理數(shù)的加減法混合運(yùn)算的環(huán)節(jié)：

①寫(xiě)成省略加號(hào)時(shí)代數(shù)和。在一種算式中，若有減法，應(yīng)由有理數(shù)的減法法則轉(zhuǎn)化為

加法，然后再省略加號(hào)和括號(hào)；

②運(yùn)用加法則，加法互換律、結(jié)合律簡(jiǎn)化計(jì)算。

（注意：減去一種數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，當(dāng)有減法統(tǒng)一成加法時(shí)，減數(shù)應(yīng)變成它自

身的相反數(shù)。）

※有理數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相乘。

②任何數(shù)與0相乘，積仍為0。

135

※假如兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為1。（如：-2與一、一與一…等）

253

※乘法的互換律、結(jié)合律、分派律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣合用。

口有理數(shù)乘法運(yùn)算環(huán)節(jié)：①先確定積的符號(hào)；

②求出各因數(shù)的絕對(duì)值日勺積。

口乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。注意:

①零沒(méi)有倒數(shù)

②求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是把分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒位置。一種帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)。

③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。

※有理數(shù)除法法則：①兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。

②。除以任何非。時(shí)數(shù)都得0。0不可作為除數(shù)，否則無(wú)意義。

※有理數(shù)的乘方'

axaxax...xa=

※注意：①一種數(shù)可以看作是自身的一次方，如5=5、

②當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括上，再在右上角寫(xiě)指數(shù)。

※乘方的運(yùn)算性質(zhì)：

①正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；

②負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)；

③任何數(shù)的偶多次塞都是非負(fù)數(shù)；

?1的任何次累都得1,0的任何次嘉都得0；

⑤-1時(shí)偶次塞得1;-1時(shí)奇次塞得-1；

⑥在運(yùn)算過(guò)程中，首先要確定幕的符號(hào)，然后再計(jì)算累的絕對(duì)值。

※有理數(shù)混合運(yùn)算法則：①先算乘方，再算乘除,最終算加減。

②假如有括號(hào)，先算括號(hào)里面的。

第三章字母表達(dá)數(shù)

※代數(shù)式的概念:

用運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘除、乘方、開(kāi)方等)把數(shù)與表達(dá)數(shù)的字母連接而成的式子叫做

伐黎去。單獨(dú)的一種數(shù)或一種字母也是代數(shù)式。

注意：①代數(shù)式中除了具有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)外，還可以有括號(hào)；

②代數(shù)式中不具有“=、＞、＜、尹'等符號(hào)。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號(hào)

和不等號(hào)兩邊的式子一般都是代數(shù)式；

③代數(shù)式中的字母所示時(shí)數(shù)必須要使這個(gè)代數(shù)式故意義，是實(shí)際問(wèn)題時(shí)要符合

實(shí)際問(wèn)題的意義。

※代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)格式：

①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)，一般省略不寫(xiě)，如vt；

②數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫(xiě)在字母前面，如4a；

17

③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后與字母相乘，如2-義。應(yīng)寫(xiě)作一a；

33

④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“X”號(hào)，即“X”號(hào)不省略；

⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般按照分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)，如4+(a-4)應(yīng)寫(xiě)作

」4一；注意：分?jǐn)?shù)線(xiàn)具有“”號(hào)和括號(hào)的雙重作用。

。一4

⑥在表達(dá)和(或)差時(shí)代差時(shí)代數(shù)式后有單位名稱(chēng)的，則必須把代數(shù)式括起來(lái)，再將

單位名稱(chēng)寫(xiě)在式子的背面，如(L-/)平方米

※代數(shù)式的系數(shù)：

代數(shù)式中的數(shù)字中的數(shù)字因數(shù)叫做代數(shù)式的系數(shù)。如3x,4y的系數(shù)分別為3,4。

注意：①單個(gè)字母的系數(shù)是1,如a的系數(shù)是1；

②只含字母因數(shù)時(shí)代數(shù)式的系數(shù)是1或一1,如-ab的系數(shù)是-1。a3b的系數(shù)是1

※代數(shù)式的項(xiàng)：

代數(shù)式6/-2x-7表達(dá)6x2、-2x、-7的和，6x?、-2x、-7是它的項(xiàng)，其中把不含字母的項(xiàng)

叫做常數(shù)項(xiàng)

注意：在交待某一項(xiàng)時(shí)，應(yīng)與前面的符號(hào)一起交待。

※同類(lèi)項(xiàng)：

所含字母相似，并且相似字母的指數(shù)也相似的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)。

注意：①判斷幾種代數(shù)式與否是同類(lèi)項(xiàng)有兩個(gè)條件：a.所含字母相似；b.相似

字母的指數(shù)也相似。這兩個(gè)條件缺一不可；

②同類(lèi)項(xiàng)與系數(shù)無(wú)關(guān)，與字母的排列次序無(wú)關(guān)；

③幾種常數(shù)項(xiàng)也是同類(lèi)項(xiàng)。

※合差同類(lèi)項(xiàng)：

把代數(shù)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng)。

①合并同類(lèi)項(xiàng)的理論根據(jù)是逆用乘法分派律；

②合并同類(lèi)項(xiàng)的法則是把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得成果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變。

注意：

①假如兩個(gè)同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類(lèi)項(xiàng)后成果為0;

②不是同類(lèi)項(xiàng)的不能合并，不能合并的項(xiàng)，在每步運(yùn)算中都要寫(xiě)上；

③只要不再有同類(lèi)項(xiàng)，就是最終成果，成果還是代數(shù)式。

※根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào):

括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不變化符號(hào)；括號(hào)前面

是號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都變化符號(hào)。

※根據(jù)分派律去括號(hào)：

括號(hào)前面是“+”號(hào)當(dāng)作+1,括號(hào)前面是“一”號(hào)當(dāng)作-1,根據(jù)乘法的分派律用+1或-1去乘

括號(hào)里的每一項(xiàng)以到達(dá)去括號(hào)的目的。

※注意：

①去括號(hào)時(shí)，要連同括號(hào)前面的符號(hào)一起去掉；

②去括號(hào)時(shí)，首先要弄清晰括號(hào)前是“+”號(hào)還是“一”號(hào)；

③變化符號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都變號(hào)；不變化符號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都不變號(hào)。

第四章平面圖形及位置關(guān)系

一.線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)

XL對(duì)的理解直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的概念以及它們的區(qū)別：

名稱(chēng)圖形表達(dá)措施端點(diǎn)長(zhǎng)度

.1.直線(xiàn)AB（或BA）

直線(xiàn)無(wú)端點(diǎn)無(wú)法度量

AB直線(xiàn)/

射線(xiàn)0M射線(xiàn)0M1個(gè)無(wú)法度量

1線(xiàn)段AB（或BA）

線(xiàn)段2個(gè)可度量長(zhǎng)度

AB線(xiàn)段/

X2.直線(xiàn)公理:通過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn).

二.比較線(xiàn)段的長(zhǎng)短

XI.線(xiàn)段公理:兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短;兩之間線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做這兩點(diǎn)之間的距離.

派2.比較線(xiàn)段長(zhǎng)短的兩種措施:

①圓規(guī)截取比較法;

②刻度尺度量比較法.

派3.用刻度尺可以畫(huà)出線(xiàn)段的中點(diǎn)，線(xiàn)段的和、差、

用圓規(guī)可以畫(huà)出線(xiàn)段的和、差、倍.

三.角的度量與表達(dá)

XI.角:有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)構(gòu)成的圖形叫做角；

這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)；

這兩條射線(xiàn)叫做角的邊.

派2.角時(shí)表達(dá)法：角的符號(hào)為“N”

①用三個(gè)字母表達(dá)，如圖1所示/AOB

②用一種字母表達(dá)，如圖2所示/b

③用一種數(shù)字表達(dá)，如圖3所示N1

④用希臘字母表達(dá)，如圖4所示

※通過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)。

※兩點(diǎn)之間的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短。

※兩點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。

10=60'1'=60”

※角也可以當(dāng)作是由一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。如圖5所示：

※一條射線(xiàn)繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線(xiàn)時(shí)，所成的角叫做干耳。如圖6所

示：

※終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重疊時(shí)，所成的角叫做周年。如圖7所示：

※從一種角的頂點(diǎn)引出的一條射線(xiàn)，把這個(gè)角提成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)用時(shí)

十分終

※通過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行。

派假如兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)互相平行。

※互相垂直日勺兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)叫做垂是。

※平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直。

※如圖8所示，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)，垂足為O點(diǎn)，線(xiàn)段CO的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)C到直線(xiàn)

AB的距離。

第五章一元一次方程

※在一種方程中，只具有一種未知數(shù)x（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次），這樣的方程

叫做一元一次方程。

※等式兩邊同步加上（或減去）同一種代數(shù)式，所得成果仍是等式。

※等式兩邊同步乘同一種數(shù)（或除以同一種不為0的數(shù)），所得成果仍是等式。

※解方程的環(huán)節(jié)：解一元一次方程，一般要通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、

未知數(shù)的系數(shù)化為1等幾種環(huán)節(jié)，把一種一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成x=m的形式。

第六章生活中的數(shù)據(jù)

※科學(xué)記數(shù)法：一般地，一種不小于10時(shí)數(shù)可以表達(dá)成axion的形式，其中l(wèi)Wa<10,n是

正整數(shù)，這種記數(shù)措施叫做科學(xué)記數(shù)法。

※記錄圖的特點(diǎn):

折線(xiàn)記錄圖：可以清晰地反應(yīng)同一事物在不一樣步期的變化狀況。

條形記錄圖：可以清晰地反應(yīng)每個(gè)項(xiàng)目的詳細(xì)數(shù)目及之間的大小關(guān)系。

扇形記錄圖：可以清晰地表達(dá)各部分在總體中所占的比例及各部分之間的大小關(guān)系

記錄圖對(duì)記錄aI作用：

(1)可以清晰有效地體現(xiàn)數(shù)據(jù)。

(2)可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

(3)可以獲得許多的信息。

(4)可以協(xié)助人們作出合理的決策。

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第一章整式的運(yùn)算

一.整式

※上單項(xiàng)式

①由數(shù)與字母日勺積構(gòu)成日勺代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一種數(shù)或字母也是單項(xiàng)

式。

②單項(xiàng)式日勺系數(shù)是這個(gè)單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)，作為單項(xiàng)式日勺系數(shù)，必須連同數(shù)字

前面的性質(zhì)符號(hào)，假如一種單項(xiàng)式只是字母日勺積，并非沒(méi)有系數(shù).

③一種單項(xiàng)式中,所有字母日勺指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式日勺次數(shù).

派2.多項(xiàng)式

①幾種單項(xiàng)式日勺和叫做多項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).其中，不

含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).一種多項(xiàng)式中，次數(shù)最高項(xiàng)日勺次數(shù),叫做這個(gè)多項(xiàng)式日勺

次數(shù).

②單項(xiàng)式和多項(xiàng)式均有次數(shù)，具有字母日勺單項(xiàng)式有系數(shù)，多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù).多項(xiàng)式

日勺每一項(xiàng)都是單項(xiàng)式,一種多項(xiàng)式日勺項(xiàng)數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式作為加數(shù)日勺單項(xiàng)式日勺

個(gè)數(shù).多項(xiàng)式中每一項(xiàng)均有它們各自日勺次數(shù)，不過(guò)它們?nèi)丈状螖?shù)不也許都作是為這

個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，一種多項(xiàng)式的次數(shù)只有一種,它是所含各項(xiàng)的次數(shù)中最高日勺那

一項(xiàng)次數(shù).

派3.整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式.

單項(xiàng)式

整式

代數(shù)式多項(xiàng)式

、其他代數(shù)式

二.整式附加減

整式日勺加減實(shí)質(zhì)上就是去括號(hào)后，合并同類(lèi)項(xiàng)，運(yùn)算成果是一種多項(xiàng)式或是單

項(xiàng)式.

口2.括號(hào)前面是“一”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)，一種數(shù)與多項(xiàng)式相乘時(shí)，

這個(gè)數(shù)與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要相乘.

三.同底數(shù)嘉的乘法

※同底數(shù)易的乘法法則：""=。"+'（加,〃都是正數(shù)）是累日勺運(yùn)算中最基本日勺法

則，在應(yīng)使用方法則運(yùn)算時(shí)，要注意如下幾點(diǎn)：

①法則使用日勺前提條件是：募日勺底數(shù)相似并且是相乘時(shí)，底數(shù)a可以是一種詳

細(xì)的數(shù)字式字母，也可以是一種單項(xiàng)或多項(xiàng)式；

②指數(shù)是1時(shí)，不要誤認(rèn)為沒(méi)有指數(shù)；

③不要將同底數(shù)募的乘法與整式日勺加法相混淆，對(duì)乘法，只要底數(shù)相似指數(shù)就

可以相加；而對(duì)于加法，不僅底數(shù)相似，還規(guī)定指數(shù)相似才能相加；

④當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)易相乘時(shí)，法則可推廣為十.4./=小+"+〃（其中

m、n、p均為正數(shù)）；

⑤公式還可以逆用：am+n=am-an（m,n均為正整數(shù)）

四.賽時(shí)乘方與積時(shí)乘方

※上累的乘措施則：（曖）"=/"（加,〃都是正數(shù)）是累的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來(lái)

時(shí)，但兩者不能混淆.

X2.（4）"=（"T=/"（%〃都為正數(shù)）.

X3.底數(shù)有負(fù)號(hào)時(shí)，運(yùn)算時(shí)要注意,底數(shù)是a與（-a）時(shí)不是同底，但可以運(yùn)用乘措

施則化成同底，

如將（-a）3化成引

優(yōu)（當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)），

一般地（-。）"=<

-a”（當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)）.

※今底數(shù)有時(shí)形式不一樣，但可以化成相似。

X5.要注意區(qū)別（ab）11與（a+b）11意義是不一樣日勺，不要誤認(rèn)為（a+b）

n=an+bn（a、b均不為零）。

X6.積日勺乘措施則：積日勺乘方，等于把積每一種因式分別乘方，再把所得的募

相乘，即（"）"=〃萬(wàn)'（n為正整數(shù)）。

※7.易的乘方與積乘措施則均可逆向運(yùn)用。

五.同底數(shù)塞的除法

XL同底數(shù)累解余法法則:同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即曖+。"（a

WO,m、n都是正數(shù)，且m>n）.

X2.在應(yīng)用時(shí)需要注意如下幾點(diǎn)：

①法則使用的前提條件是“同底數(shù)易相除”并且0不能做除數(shù)，因此法則中

aWO.

②任何不等于0時(shí)數(shù)的0次嘉等于1,即a°=1（?豐0），如10°=1,（-2.5°=1）,則

0°無(wú)意義.

③任何不等于0時(shí)數(shù)日勺-P次累（P是正整數(shù)），等于這個(gè)數(shù)日勺P日勺次累日勺倒數(shù)，即

。-。=工（2704）是正整數(shù)）,而0-1,0-3都是無(wú)意義的；當(dāng)a>0時(shí),a2時(shí)值一定是

ap

正時(shí)當(dāng)a<0時(shí),a*時(shí)值也許是正也也許是負(fù)血如（-2尸=上（_2廠(chǎng)3=--

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④運(yùn)算要注意運(yùn)算次序.

六.整式的乘法

XI.單項(xiàng)式乘法法則:單項(xiàng)式相乘，把它們?nèi)丈紫禂?shù)、相似字母分別相乘，對(duì)于只在

一種單項(xiàng)式里具有日勺字母，連同它日勺指數(shù)作為積日勺一種因式。

單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意如下幾點(diǎn)：

①積日勺系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。這時(shí)輕易出現(xiàn)日勺

錯(cuò)誤日勺是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；

②相似字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則；

③只在一種單項(xiàng)式里具有日勺字母，要連同它日勺指數(shù)作為積的一種因式；

④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上日勺單項(xiàng)式相乘同樣合用；

⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，成果仍是一種單項(xiàng)式。

X2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過(guò)乘法對(duì)加法日勺分派律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)

式，即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式日勺每一項(xiàng)，再把所得的

積相加。

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意如下幾點(diǎn)：

①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一種多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式日勺項(xiàng)數(shù)相似;

②運(yùn)算時(shí)要注意積日勺符號(hào)，多項(xiàng)式日勺每一項(xiàng)都包括它前面日勺符號(hào)；

③在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算次序。

X3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一種多項(xiàng)式中日勺每一項(xiàng)乘以另一種多項(xiàng)式日勺每一

項(xiàng)，再把所得日勺積相加。

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意如下幾點(diǎn)：

①多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng)，檢查日勺措施是：在沒(méi)有合并同類(lèi)項(xiàng)之

前，積日勺項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的I積；

②多項(xiàng)式相乘日勺成果應(yīng)注意合并同類(lèi)項(xiàng)；

③對(duì)具有同一種字母日勺一次項(xiàng)系數(shù)是1日勺兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘

(x+a\x+b)=x2+(a+b)x+ab,其二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)

因式中常數(shù)項(xiàng)日勺和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積。對(duì)于一次項(xiàng)系數(shù)不

為1的I兩個(gè)一次二項(xiàng)式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到

(mx+(2)(nx+/?)=mnx2+{mb+ma}x+ab

七.平方差公式

ai.平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差日勺積，等于它們?nèi)丈灼椒讲睿?/p>

(a+b\a-b)-a2-b2。

口其構(gòu)造特性是：

①公式左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，兩個(gè)二項(xiàng)式中第一項(xiàng)相似，第二項(xiàng)互為相反

數(shù);

②公式右邊是兩項(xiàng)日勺平方差，即相似項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)日勺平方之差。

八.完全平方公式

ai.完全平方公式：兩數(shù)和（或差）日勺平方，等于它們?nèi)丈灼椒胶停由希ɑ?/p>

減去）它們?nèi)丈追e日勺2倍，

Q即（?！?）2=a1+2ab+b2；

口口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央；

02.構(gòu)造特性：

①公式左邊是二項(xiàng)式的I完全平方；

②公式右邊共有三項(xiàng)，是二項(xiàng)式中二項(xiàng)日勺平方和，再加上或減去這兩項(xiàng)乘積日勺

2倍。

03.在運(yùn)用完全平方公式時(shí)，要注意公式右邊中間項(xiàng)日勺符號(hào)，以及防止

出現(xiàn)（”土?2=。2±62這樣日勺錯(cuò)誤。

九.整式的除法

ai.單項(xiàng)式除法單項(xiàng)式

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)募分別相除，作為商日勺因式，對(duì)于只在被除

式里具有的字母，則連同它日勺指數(shù)作為商日勺一種因式；

02.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式日勺每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得日勺商

相加，其特點(diǎn)是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，所得商日勺

項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相似，此外還要尤其注意符號(hào)。

第二章平行線(xiàn)與相交線(xiàn)

一.臺(tái)球桌面上的角

XI.互為余角和互為補(bǔ)角日勺有關(guān)概念與性質(zhì)

假如兩個(gè)角的和為90°（或直角），那么這兩個(gè)角互為余角；

假如兩個(gè)角日勺和為180°（或平角），那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；

注意：這兩個(gè)概念都是對(duì)于兩個(gè)角而言日勺，并且兩個(gè)概念強(qiáng)調(diào)日勺是

兩個(gè)角口勺數(shù)量關(guān)系，與兩個(gè)角的互相位置沒(méi)有關(guān)系。

它們的重要性質(zhì)：同角或等角的I余角相等；

同角或等角日勺補(bǔ)角相等。

二.探索直線(xiàn)平行的條件

※兩條直線(xiàn)互相平行日勺條件即兩條直線(xiàn)互相平行日勺鑒定定理，共有三條：

①同位角相等，兩直線(xiàn)平行；

②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；

③同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行。

三.平行線(xiàn)的特性

※平行線(xiàn)日勺特性即平行線(xiàn)日勺性質(zhì)定理，共有三條：

①兩直線(xiàn)平行，同位角相等；

②兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

③兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。

四.用尺規(guī)作線(xiàn)段和角

※上有關(guān)尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺來(lái)作圖。

X2.有關(guān)尺規(guī)日勺功能

直尺日勺功能是：在兩點(diǎn)間連接一條線(xiàn)段；將線(xiàn)段向兩方向延長(zhǎng)。

圓規(guī)的功能是：以任意一點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑作一

種圓；以任意一點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)一段弧。

第三章生活中的數(shù)據(jù)

XI.科學(xué)記數(shù)法：對(duì)任意一種正數(shù)也許寫(xiě)成aXl()n日勺形式，

其中l(wèi)Wa<10,n是整數(shù)，這種記數(shù)日勺措施稱(chēng)為科學(xué)記數(shù)法。

02.運(yùn)用四舍五入法取一種數(shù)的近似數(shù)時(shí)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這

個(gè)近似數(shù)精確到哪一位；對(duì)于一種近似數(shù)，從左邊第一種不是0日勺數(shù)字

起，到精確到的數(shù)位止，所有日勺數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)日勺有效數(shù)字。

Q3.記錄工作包括：

①設(shè)定目的；②搜集數(shù)據(jù)；③整頓數(shù)據(jù)；④體現(xiàn)與描述數(shù)據(jù)；⑤分析成果。

第四章概率

ai.隨機(jī)事件發(fā)生與不發(fā)生日勺也許性不總是各占二分之一，都為50%。

X2.現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量日勺不確定事件，而概率正是研究不確定事件日勺一門(mén)

學(xué)科。

X3.理解必然事件和不也許事件發(fā)生日勺概率。

必然事件發(fā)生的概率為1,即P(必然事件)=1；不也許事件發(fā)生的概率為

0,即P(不也許事件)=0；假如A為不確定事件，那么0<P(A)<l

2

不可能發(fā)生必然發(fā)生

派4.理解幾何概率此類(lèi)問(wèn)題日勺計(jì)算措施

史杜哈小舸玄—事件所有可能結(jié)果所組成的圖形面積

事件發(fā)生概率=所有可能結(jié)果所組成的圖形面積

第五章三角形

一.認(rèn)識(shí)三角形

1.有關(guān)三角形日勺概念及其按角日勺分類(lèi)

由不在同一直線(xiàn)上日勺三條線(xiàn)段首尾順次相接所構(gòu)成日勺圖形叫做三角形。

這里要注意兩點(diǎn)：

①構(gòu)成三角形日勺三條線(xiàn)段要“不在同一直線(xiàn)上”；假如在同一直線(xiàn)上，三

角形就不存在；

②三條線(xiàn)段“首尾是順次相接"，是指三條線(xiàn)段兩兩之間有一種公共端

點(diǎn)，這個(gè)公共端點(diǎn)就是三角形日勺頂點(diǎn)。

三角形按內(nèi)角大小可以分為三類(lèi)：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角

形。

2.有關(guān)三角形三條邊日勺關(guān)系

根據(jù)公理“連結(jié)兩點(diǎn)日勺線(xiàn)中，線(xiàn)段最短”可得三角形三邊關(guān)系日勺一種性質(zhì)

定理，即三角形任意兩邊之和不小于第三邊。

三角形三邊關(guān)系的另一種性質(zhì)：三角形任意兩邊之差不不小于第三邊。

對(duì)于這兩個(gè)性質(zhì)，要全面理解，掌握其實(shí)質(zhì)，應(yīng)用時(shí)才不會(huì)出錯(cuò)。

設(shè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為a、b、c貝U：

①一般地，對(duì)于三角形的I某一條邊a來(lái)說(shuō)，一定有|b-c|<a<b+c成立；反

之，只有|b-c|<a<b+c成立，a、b、c三條線(xiàn)段才能構(gòu)成三角形；

②特殊地，假如已知線(xiàn)段a最大，只要滿(mǎn)足b+c>a,那么a、b、c三條線(xiàn)

段就能構(gòu)成三角形；假如已知線(xiàn)段a最小，只要滿(mǎn)足|b-c|<a,那么這三條

線(xiàn)段就能構(gòu)成三角形。

3.有關(guān)三角形的內(nèi)角和

三角形三個(gè)內(nèi)角日勺和為180°

①直角三角形日勺兩個(gè)銳角互余；

②一種三角形中至多有一種直角或一種鈍角；

③一種三角中至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角。

4.有關(guān)三角形日勺中線(xiàn)、高和中線(xiàn)

①三角形日勺角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高都是線(xiàn)段，不是直線(xiàn)，也不是射線(xiàn)；

②任意一種三角形均有三條角平分線(xiàn)，三條中線(xiàn)和三條高；

③任意一種三角形日勺三條角平分線(xiàn)、三條中線(xiàn)都在三角形日勺內(nèi)部。但三角

形日勺高卻有不一樣日勺位置：銳角三角形日勺三條高都在三角形的內(nèi)部，如圖

1;直角三角形有一條高在三角形日勺內(nèi)部，另兩條高恰好是它兩條邊，如