人教版初中八年級數學上冊同步講義-分式的運算（解析版）

第03講分式的運算

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握分式的乘除法運算法則，能夠熟練的進行分式的

乘除法計算。

①分式的乘除運算

2.掌握分式的乘方運算法則，能夠熟練的進行分式的乘

②分式的乘方運算

方計算。

③分式的加減運算

3.掌握分式的加減法運算法則，能夠熟練的進行分式的

加減法計算。

思維導圖

分式的就去運算

知識清單

知識點01分式的乘法運算

i.分式的乘法運算法則：

同分數的乘法運算法則，分子乘分子作為積的分子,分母乘分母作為積的分母。

ACAC

n即n：-----=----O

BD~BD~

2.具體步驟：

①對能因式分解的分子分母進行因式分解。

②分子分母有公因式的要先約分,所有的分母可以和所有的分子進行約分。

③再用分子乘分子得到積的分子，分母乘分母得到積的分母=

題型考點：①分式的乘法運算。

【即學即練1】

2_

1.計算）-.曳二L1的結果正確的是（）

a+12x

A.QlB.三包C.4D.a+1

222x2^+2

21

【解答】解：上■-a-----1-

a+12x

_x(a+1)(a-l)

a+12x

a~l

故選：A.

【即學即練2】

2

2.化簡二X+4X+4的結果是(

2

x+2x-l

A.9B.上D.x+2

x-2x+1x-l

原式=騁仔焉

【解答】解:

=x+2

x+1

故選：B.

【即學即練3】

3.計算―父二1—的結果為()

a-2a+la+a

A.」B.Ac.2D.3

aaaa

2

【解答】解：a-lrLp

a-2a+la+a

—(a-1)(a+1).-(a-1)

(a-1)2a(a+1)

a

故選：A

知識點02分式的除法運算

1.分式的除法運算法則：

除以一個分式等于乘上這個分式的倒數式。變成乘法運算。

ACADAD

即an：一十一=———=----。

BDB—￡一~BC~

題型考點：①分式的除法運算。

【即學即練1】

4.計算一一T1—的結果為（）

a-4a2-2a

AaB2ac2a口2a

a+2a-2a+2a(a+2)

【解答】解:2二_

a-4a-2a

2

a(a-2)

(a+2)(a-2)

_2a

a+2

故選：c.

【即學即練2】

5.已知一區(qū)一二1=M,則M等于（）

x2-y2x-y

A.B.立C.2D.王蘭

x+y2xx-y2x

【解答】解：2x-=M,

x2-y2x-y

故選：A.

【即學即練3】

6.代數式—小，的值為尸（X取整數），則尸為整數值的個數有（）

x-4x+4x+6

A.0個B.7個C.8個D.無數個

【解答】解:x-2.1

X2-4X+4?X+6

=X/X(尤+6)

(x-2)2

_x+6

x-2

?.?代數式，x-2+士的值為F,

X2-4X+4X+6

.?.F=1+_S_32、-6）.

x-2

當x-2=±l、±2、±4、±8時，

即x=3,1,4、0、6、-2、10、-6時，1+—E-為整數值.

x~2

.?.當x=3,1,4、0、6、-2、10時，尸為整數值.

故選：B.

知識點03分式的乘方運算

1.分式的乘方的運算法則:

AA勺“個)=A2?…(〃個),犬

一般地，當〃為正整數時，一=——no即把分式的分

㈤BB小'85?…87個j~B

子分母分別乘方運算。

題型考點：①分式的乘方運算。

【即學即練1】

7.計算（區(qū)）3的正確結果是（)

b

A8a3R8a3C.2aia3

D.------------D.

b3bbb3

O3

【解答】解:,魯3_8a

b3

故選：A.

【即學即練2】

8.下列計算正確的是（)

,3,62

22^-9b3x)2__9xJ_

A.(i―)=——B.C.

K一222

2a2a24a2‘aX-a

326

【解答】解：A、捍）=上行，本選項錯誤;

2a4az

B、（二曳二=空，本選項錯誤;

2a4a2

C、仔「二上二本選項正確;

3（-3）x3-27x3

D、=—---本選項錯誤.

x-2ax+a

所以計算結果正確的是C.

故選：c.

【即學即練3】

9.計算盧「+a?工的結果為（）

aa

1卜2

A.—B.=C.a2D.b2

/baJ

【解答】解：原式=?工

a2aa

=bi

4

a

故選：B.

知識點04分式的加減法運算

1.分式的加減法運算法則：

①同分母的分式相加減：分母不變，分子相加減。

②異分母的分式相加減：先通分，變成同分母的分式的加減運算,在按照同分母的加減運算法

則運算即可。

2.具體步驟：

第一步：通分：將異分母分式轉化為同分母分式。

第二步：加減：分母不變，分子相加減。

第三步：合并：分子去括號，然后合并同類項。

第四步：約分：分子分母進行約分，把結果化成最簡分式。

分式的加減運算中，若出現(xiàn)有一部分是整式，則通常把整式部分看成一個整體。

題型考點：①分式的加減運算。

【即學即練1】

10.計算3遂的結果為()

aa

A.工B.與C.$D.6

aa2aa

【解答】解：

aa

3+2

a

=9

a

故本題選：C.

【即學即練2】

11.計算一^7」？的結果是()

1-m2m+1

A.B.-C.D.1

m+1m+1in2-11-m

［解答］解：一二一^

l_inm+1

_2_________

(1+m)(1-m)m+1

_______2_______IF___

(1+m)(1-m)(ltm)(1-m)

=_____1+m

(ltm)(l-m)

_1

1-m

故選：D.

【即學即練3】

-2

12.化簡備+x-2的結果是_a_.

【解答】解：工一+x-2

X+24

—4*(x-2)(x+2)

x+24x+2

_4X2-4

-------4---------

x+2x+2

4+x^-4

x+2

故答案為:

【即學即練4】

13.計算a-l+—L的結果是()

C.〃+1

【解答】解：a-l+.

=(a+1)(a-1)+1

a+1a+1

_a2-l+l

a+1

a+1

故選：A.

【即學即練5】

14.計算：

a-la-l

【解答】解：(1)

a-la-l

a2-a

=a(a-l)

a-l

x+1

1

x+1

知識點05用科學計數法表示較小的數

1.科學計數法表示較小的數的方法：

用科學記數法表示較小的數，一般形式為—竺竺二其中㈤的取值范圍為lWlalClO,

n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定。

題型考點：①用科學計數法法表示較小的數。

【即學即練1】

15.光刻機采用類似照片沖印的技術，把掩膜版上的精細圖形通過光線的曝光印制到硅片上，是制造芯片

的核心裝備.ArF準分子激光是光刻機常用光源之一，其波長為0.000000193米，該光源波長用科學記數

法表示為（）

A.193X1（）6米B.193X10-9米

C.1.93X104米D.1.93義10一9米

【解答】解：0.000000193米=1.93X10”米.

故選：C.

【即學即練2】

16.2023年9月9日，上海微電子研發(fā)的28“機浸沒式光刻機的成功問世，標志著我國在光刻機領域邁出

了堅實的一步.已知28,如為0.000000028米，數據0.000000028用科學記數法表示為（）

A.2.8X1010B.2.8X108C.2.8X106D.2.8X109

【解答】解：0.000000028=2.8X108.

故選：B.

題型精講

題型01分式的乘除運算

【典例1】

計算.

s、2x-6.x-3

:

'乙)—29?

x-4x+4x-4

【解答】解：(1)g)3.名

物x4

6a2

_x.6xy

3-r~

-o8yx

__3x3.

4y,

0)2x-6.x-3

x-4x+4x-4

—2(x-3).(x+2)(x-2)

(x-2)2

2(x+2)

―2x+4

x-2

【典例2】

計算:

2,a、2a

(1)6ab+

X2-4

(2),x-2

X2+2X+1?X+1

,,2

【解答】解：(1)原式=6/6?*?±=6"；

a24b2

(x+2)(x-2).x+1—x+2

(2)原式=

(x+1)2x-2x+1

【典例3】

計算：

22

⑴(3)3.顯c＞；

-2yx4

212

(2)_a=l_+a-a

a2+2a+l'a+1

6A2

【解答】解：(1)原式=-工膂-

c34

8yx

(2)原式=(a+1)(&-1)a+1

(a+1)2a(a-l)

—_—1.

a

【典例4】

計算：

(1)(x-yF-x2-2xy+y2

x+y2x+2y'

(9)其乙一］二久+1

X2-2X+1'x-1'x+1

32

【解答】解：(1)X-2xy+y

x+y2x+2y

=(x-y)3」(x-y)2

x+y2(x+y)

=(x-y)3.2(x+y)

x+y(x-y)2

=2(x-y)

=2x-2y；

(2)〈'-I?x+1.I」「

X2-2X+1'x-1'x+1

=(x+l)(x-l).X-l.-(x-l)

(x-1)2x+1x+1

__X-1

-7T

題型02分式的加減運算

【典例1】

計算：

/1x2abb

22

a-b^

(2)至-x+y；

x-ty

b(a-b)

【解答】解:(1)原式=2ab

(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)

_2ab-ab+b。

(a+b)(a-b)

=b(a+b)

(a+b)(a-b)

_b

a-b

(2)原式=2x2-(x-y)(x+y)

x+y

2x2-x2+y2

x+y

x+y

【典例2】

計算:

22

xy

(1)

x+yx+y

14

(2)----+------

x+2

X2_4

2_2

【解答】解：(1)原式二工二y-

x+y

(x+y)(x-y)

x+y

二x-y；

(2)原式=’-4

*(x+2)(x-2)

x+2

x-2+4

(x+2)(x-2)

_x+2

(x+2)(x-2)

=1

x-2

【典例3】

化簡:

⑵急

【解答】解:(1)原式=x-36

(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)

一x-3+6

(x+3)(x-3)

x+3

(x+3)(x-3)

=1

7T

(2)原式=a(a+"+@l

(a+1)2a+1

a+a+2

a+1a+1

_2a+2

a+1

=2.

【典例4】

計算下列各題：

⑴工J;

x-11+x

/o\a3a+l2a+3

a-1a-11-a

【解答】解：(1)原式一百?一?x-1_2x

2

(x-1)(X+1)(x-1)(x+1)x-

(2)原式="—+警?-空坦

aTa-1a-1

a+3a+l-2a-3

—2a~2

a2-1T

-2(a-l)

(a-l)(a+1)

_2

a+1

題型03分式的混合運算

【典例1】

計算：

(1)-

a-ba+b

2

(2)一一2,x-4x+4

x-1'x*2-l+x-2

【解答】解：(i)」——L

a-ba+b

=a(a+b)-b(a-b)

(a-b)(a+b)

—a2+ab-ab+b2

(a+b)(a-b)

=a2-+b2.

2,2；

a-b

2

(2)x-2,x-4x+4lr

2+

x-1'x_1x-2

_x-2.(x+1)(x-1)+1-x

x-1(x-2)2x-2

—x+l+1-X

x-2x-2

_x+l+l-x

x-2

=2

x-2

【典例2】

分式計算：

x-2xx-4x+4x

［解答］解：(1)——xT

x-2xx-4x+4x

—(x+2)(x-2)-x(x-1).x

x(x-2)2x-4

=x2_-4r2、+x.x

x(x-2)2x-4

—x-4.x

x(x-2)2x-4

_1

(x-2)2

y-x+y-x

(x+y)(x-y)x+y

_y.x打

(x+y)(x-y)y

:1

x-y

【典例3】

計算：

(1、36x+5

7T7~^~;

AxAX-X

(2)x-y.x2_/2y

x+3y'x2+6xy+9y2x+y-

【解答】解：(i)3二一一空-

Xl-Xx2_x

——3^+--6-------x-+-5---

XX-1X(X-1)

3(xT)+6x_x+5

x(x-1)x(x-1)x(x-1)

_3x-3+6x-x-5

X(x-1)

_8x-8

X(x-1)

-8(x-l)

X(x-1)

=旦

X

⑵x-y.*2_y22y

*22

x+3y'x+6xy+9yx+y

—x-y.(x+3y)._2y

x+3y(x+y)(x-y)x+y

x+3y__2y_

x-+yx+y

x+3y-2y

x+y

x+y

x+y

=1.

【典例4】

計算下列各式：

(1)一三

X-lX-1

x-yx+y

x-y

Xa+1_2x

【解答】解：(1)

X-1X-1

_X2-2X+1

x-l

_(x-1)2

x-1

=X-1；

⑵(―--J，?22

x-yx+yx?-yZ

22

=(x+yx-y)yX-y

x2-y2x2-y2xxvy

_2nyx2-y2

一-「■二

x-yxy

_2

題型04分式的運算應用

【典例1】

11）+4的最終結果為整數，則“△”代表的式子可以是（）

若化簡（-x-4+x+4

x-16

A.2xB.x-2C.x+4D.4

x+4x-4乂2-162x.乂2-162x

【解答】解：原式={+■)?

(x-4)(x+4)(x-4)(x+4)AX2-16△△

包=1，結果是整數，故A符合;

A、

2x

包，結果是分式，故B不符合;

B、

x-2

生，結果是分式，故C不符合;

x+4

紅=工，結果是整式，故。不符合;

D、

42

故選：A.

【典例2】

若旦+T—運算的結果為整式，則“口”中的式子可能是（

)

XDy2-x2

A.y-xB.y+xC.1D.3x

X

【解答】解：旦+Y—口x(y-x)(y+x)

22

XPy-xx+y

..?運算的結果為整式，

???口中式子一定含有x的單項式,

故只有。項符合.

故選：D.

【典例3】

2x+7

對于任意的尤值都有7———————則N值為()

(x+2)(x-1)x+2X-1

A.M=l,N=3B.M=N=3C.M=2,N=4D.M=l,N=4

M(x-1)+N(x+2)(M+N)x+(-M+2N)

【解答］解：v-—2x—+7—

(x+2)(x-1)(x+2)(x-1)(x+2)(x-1)

.JM+N=2

''i-M+2N=7

M=-l

解得:

N=3

故選：B.

【典例4】

若-濘7=上+上,則A,8的值為()

x-4x-5x+1x-5

A.A=3,B=-2B.A=2,8=3C.A=3,B=2D.A=-2,B=3

【解答】解：由于上+旦=A(x-5)+外x;l)=夕+B?x；5A+§,

x+1x-5(x+1)(x-5)(x+1)(x-5)

5x-7-5x-7

J_4X-5(X+1)(X-5)

5x-7=(A+B)x-5A+B,

???［A+B=5,

I-5A+B=-7

解得：儼2,

lB=3

故選：B.

【典例5】

對于任意的X值都有_§+7=JL+JL，則M,N值為()

X2+X-2X+2X-1

A.M=l,N=3B.M=-1,N=3C.M=2,N=4D.M=\,N=4

［解答］解?兒+N_M(x-1)+N(x+2)_(M+N)x+(-M+2N)

x+2x-1(x+2)(x-1)X2+X-2

?JM+N=2,

*l-M+2N=7，

解得：0=-i,

|N=3

故選：B.

題型05分式的化簡求值

【典例1】

22

x

(1)先化簡，再求值：-l_+-4x+4_^x_-2xt其中工=-2.

x-1*2-1x+1

2

(2)先化簡，再求值：(2-2+a)—±2貯1_,從-2WaWl中選出合適的最大整數值代入求值.

a+2a+2

22

【解答】解：(1)-J-+x~4x+44-X~2x

X-1x2-lx+1

—1+(x-2)2.x+1

x-1(x+1)(x-1)x(x-2)

1十x-2

x-1x(x-1)

-x+x-2

X(x-1)

_2x-2

X(x-1)

_2(x-1)

X(x-1)

_2

——，

X

當x=-2時，原式=一匕=-1；

-2

(2)(^--2+a).a2+2a+l

a+2a+2

=[2+(°-2)]?a+2

a+2(a+1)*2

=3+Q-2)(a+2).a+2

a+2(a+1)2

一3+a2-4.a+2

a+2(a+1)2

a?.a+2

a+2(a+1)2

(a+l)(a-1).a+2

a+2(a+1)2

_a-l

a+1

?.?〃+2W0,〃+l/0,

??—2,Cl^~~1,

???-2WaWl,且〃取最大整數，

當a=l時，原式=J1=0.

1+1

【典例2】

2

先化簡，再求值：(]o^-卜:,其中％為小于3的非負整數.

%一1x-6x+9

o2

【解答】解：(I^-Aj-

又一1x-6x+9

x-l-2.x(x-1)

I(x-3)2

x-3,x(x-l)

x-1(x-3)2

x-3

?/X為小于3的非負整數，X-1W0,X-3W0,

.??x=0或x=2,

當x=0時，原式=-0-=0.

0-3

【典例3】

2

先化簡，再求值：(^^-1)+a+2a+l,其中a=&-l.

aa

2

【解答】解：原式=2a+『a+_（生）_

=a+1.a

a(a+1)2

=1

a+1

當a=V2-1時，

原式一=返

V2-1+12

【典例4】

先化簡，再求代數式-----丁二）的值，其中X=V2-1-

X2+2X+12X+24X+4

、.

【解答】解:X_]X-1

X2+2X+12X+2-4x+4

—r___X____]___i___1

(x+i)22(x+1),4(x+l)

_2x-x-lr4(x+1)

2(x+l)2x-l

_x-l.4(x+l)

2(x+l)2x-l

=2

x+1'

當x=V2-1時,

原式=2

V2-1+1

=瓜

【典例5】

2

有這樣一道題“求與—土貯！的值，其中a=2018”.“小馬虎”不小心把。=2018錯抄成a

02-1a2+2a+la+1

=2008,但他的計算結果卻是正確的，請說明原因.

2

【解答】解：

a-1a+2a+l&+1

—a(a+l)_a+1.a+1

(a-1)(a+1)(a+l)2a-1

_a1

a-1a-1

_a-l

a-1

=1,

則原式的值與〃的值無關，

???“小馬虎”不小心把。=2018錯抄成a=2008,但他的計算結果卻是正確的.

強化訓練

1.生物學家發(fā)現(xiàn)了一種病毒，其長度約為0.00000032w孫用科學記數法表示正確的是（）

A.3.2X1O10B.3.2X10-8C.3.2X10-7D.3.2X10-9

【解答】解：0.00000032=3.2X10-7,

故選：C.

如果!」二那么分式包上的值是（

2.3,)

xyX切

A.6B.3C.2D.12

【解答】解：..』八=3，

xy

.?.x+y=3xy,

.6xy_6xy

??--------乙，

x+y3xy

故選：C.

3.若a+b=2,貝欣數式心;_@)+生電的值為()

aa

A.AB.-Ac.2D.-2

22

【解答】解：4--

aa

,22,

b-aa-b

aa

__(a+b)(a-b).a

aa-b

=-(〃+。),

當〃+。=2時，原式=-2,

故選：D.

2

4.若化簡———^的結果為上，則根的值是()

X2-2X+1x-3如x-1

A.-4B.4C.-2D.2

J.xX2.x-3+m

【解答】解:

X2-2X+1(x-1)2x

???其結果為上

x-1

.*.x-3+m=x-1,

解得：m=2.

故選：D.

5.一輛汽車以u千米每小時的速度行駛，從A地到5地需要1小時.若該汽車的行駛速度在原來的基礎上

增加加千米每小時，那么提速后從A地到5地需要的時間比原來減少（）

VtVtmtrxvt

AA.---nD.t----nC.---D.-----t

m+vm+vm+vm+v

【解答】解：A地到B地的路程=?。ㄇ祝?/p>

提速后的速度=葉加（千米每小時），

提速后的時間：旦（小時），

v+m

提速后從A地到8地需要的時間比原來減少=L旦，

v+m

故選:B.

22

6.若a=2b,在如圖的數軸上標注了四段，則表示曳「匕’二的點落在（）

a2+ab

一①一、一②一、一③一、一④

「、『、『、『、」〉

-2-1012

A.段①B.段②C.段③D.段④

【解答】解：,:a=2b,

a2+ab

：(a+b)(a-b)

a(a+b)

a-b

a

_2b-b

2b

_b

2b

_——1,

2

22

表示且片_的點落在段③，

a+ab

故選：C.

222

7.若M1-xy+y=x-y,則知是()

(x-y)2y

(x+y)2

c.也

y

222

【解答】解：xy+y

(x-y)

x-y.y(x-^y)

了(x-y)2

(x-y)(x+y).y(x切)

(x-y)2

(x+y)2

故選：B.

1+a1+a1+a。1+a

8.已知一列均不為1的數〃…,4〃滿足如下關系:〃2=----U1〃3=----na,=------a1=-------

a

l-ail-a24l-a3n+l

若〃l=2,則02023的值是()

C.-3

【解答】解：由題意得,

ci\=2,

G—1+a21+(-3)—_1

1-(-3)2

1-a3l-(-y)3

???a”的值按照2,-3,-1,1,……4次一個循環(huán)周期的規(guī)律出現(xiàn),

V20234-4=505……3,

??472023的值是-

2

故選：A.

9.化簡：擊_x+l的結果是一^

【解答】解：原式=’-(尤-1)

x+1

1_(x-1)(x+1)

x+1x+1

1_X2-1

x+1x+1

_2r1-x2

x+1

故答案為：式.

x+1

【解答】解：由已知條件可得a-2b=-Sab,

則4ab=4ab=一工

a-2b_8ab2

故答案為：-工.

2

11.定義一種新運算J凱*54乂=@“-匕3例如J:2xdx=k"-m"?則J；-*一2dx=—―一?

【解答】解：由題意得，

-1

Jp24-x-2d,x=44-2^=4---2=--4.

故答案為：

4

12.定義：如果一個分式能化成一個整數與一個分子為常數的分式的和的形式，則稱這個分式為“賦整分

分式"絲1L化為一個整數與一個分子為常數的分式的和的形式是2+-3_

2x-l2x-l

【解答】解：如L

2x-l

2(2x-l)+3

2x-l

=2+高

故答案為：2+二一

2x-l

2i

13.先化簡，再求值：（工-_x+l）+———，再從-1、0、1三個數中選擇一個你認為合適的數作為

x+1X2+2X+1

尤的值代入求值.

【解答】解：原式