7.2古典概型（第1課時古典概型的概率計算公式及其應用）課件高一上學期數(shù)學北師大版

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古典概型

第1課時古典概型的概率計算公式及其應用第七章概率北師大版

數(shù)學

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.理解古典概型的定義及兩個基本特征.2.掌握古典概型的概率計算公式,會求古典概型事件的概率.3.會根據(jù)實際問題建立概率模型,并能利用古典概型的概率計算公式進行計算.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

古典概型

當A為必然事件時,P(A)=1;當A為不可能事件時,P(A)=01.對于隨機事件A,通常用一個數(shù)P(A)(0≤P(A)≤1)來表示該事件發(fā)生的可能性大小,這個數(shù)就稱為隨機事件A的概率.2.一般地,若試驗E具有如下特征:(1)有限性:試驗E的樣本空間Ω的樣本點總數(shù)有限,即樣本空間Ω為有限樣本空間;(2)等可能性:每次試驗中,樣本空間Ω的各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.則稱這樣的試驗模型為古典概率概型,簡稱古典概型.名師點睛古典概型的判斷標準一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點:有限性和等可能性,并不是所有的試驗都是古典概型.下列三類試驗不是古典模型:(1)樣本點個數(shù)有限,但非等可能;(2)樣本點個數(shù)無限,但等可能;(3)樣本點個數(shù)無限,也非等可能.思考辨析1.若一次試驗的結(jié)果所包含的樣本點的個數(shù)是有限個,則該試驗是古典概型嗎?

2.擲一枚不均勻的骰子,求出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)點的概率,這個概率模型還是古典概型嗎?提示

不一定是,還要看每個樣本點發(fā)生的可能性是否相同,若相同才是,否則不是.提示

不是.因為骰子不均勻,所以每個樣本點出現(xiàn)的可能性不相等.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)古典概型的有限性是指樣本空間Ω為有限樣本空間.(

)(2)一次試驗中樣本點總數(shù)只有有限個,則這個試驗是古典概型.(

)(3)種一粒種子它可能發(fā)芽,也可能不發(fā)芽是古典概型.(

)√××2.[人教A版教材例題]拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標記為Ⅰ號和Ⅱ號),觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.(1)寫出這個試驗的樣本空間,并判斷這個試驗是否為古典概型;(2)求下列事件的概率:A=“兩個點數(shù)之和是5”;B=“兩個點數(shù)相等”;C=“Ⅰ號骰子的點數(shù)大于Ⅱ號骰子的點數(shù)”.解

(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果,Ⅰ號骰子的每一個結(jié)果都可與Ⅱ號骰子的任意一個結(jié)果配對,組成擲兩枚骰子試驗的一個結(jié)果.用數(shù)字m表示Ⅰ號骰子出現(xiàn)的點數(shù)是m,數(shù)字n表示Ⅱ號骰子出現(xiàn)的點數(shù)是n,則數(shù)組(m,n)表示這個試驗的一個樣本點.因此該試驗的樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36個樣本點.由于骰子的質(zhì)地均勻,所以各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等,因此這個試驗是古典概型.(2)因為A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,因為C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},知識點2

古典概型的概率計算公式對古典概型來說,如果樣本空間Ω包含的樣本點總數(shù)為n,隨機事件A包含的樣本點個數(shù)為m,那么事件A發(fā)生的概率為名師點睛使用古典概型概率公式的注意事項(1)首先判斷該模型是不是古典概型;(2)找出隨機事件A所包含的樣本點的個數(shù)和試驗中樣本點的總數(shù).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)古典概型的每個事件發(fā)生的可能性相同.(

)(2)古典概型的每個樣本點發(fā)生的可能性相同.(

)(3)古典概型中樣本點的總數(shù)為n,隨機事件A包含m個樣本點,則×√√2.[2024北京海淀期末]同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,則“兩枚硬幣均為正面向上”的概率是(

)A解析

由題可得,樣本空間Ω={正正,正反,反反,反正},共有4個樣本點.設事件A表示“兩枚硬幣均為正面向上”,則A={正正},所以P(A)=.3.[人教B版教材例題]人的眼皮有單眼皮與雙眼皮之分,這是由對應的基因決定的.生物學上已經(jīng)證明:決定眼皮單雙的基因有兩種,一種是顯性基因(記為B),另一種是隱性基因(記為b);基因總是成對出現(xiàn)(如BB,bB,Bb,bb),而成對的基因中,只要出現(xiàn)了顯性基因,那么這個人就一定是雙眼皮(也就是說,“單眼皮”的充要條件是“成對的基因是bb”);如果不發(fā)生基因突變的話,成對的基因中,一個來自父親,另一個來自母親,但父母親提供基因時都是隨機的.有一對夫妻,兩人成對的基因都是Bb,不考慮基因突變,求他們的孩子是單眼皮的概率.解

我們用連著寫的兩個字母來表示孩子的成對的基因,其中第一個字母表示父親提供的基因,第二個字母表示母親提供的基因.由圖所示的樹形圖可知,樣本空間中共含有4個樣本點,即Ω={BB,Bb,bB,bb}.孩子要是單眼皮,成對的基因只能是bb,因此所求概率為.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一古典概型的判斷【例1】

下列概率模型:①在平面直角坐標系內(nèi),從橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的所有點中任取一點;②某射手射擊一次,可能命中0環(huán),1環(huán),2環(huán),…,10環(huán);③某小組有男生5人,女生3人,從中任選1人做演講;④一只使用中的燈泡的壽命長短;⑤中秋節(jié)前夕,某市工商部門調(diào)查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)量,給該品牌月餅評“優(yōu)”或“差”.其中屬于古典概型的是

.

③解析

①不屬于古典概型,原因是所有橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點有無限多個,不滿足有限性;②不屬于古典概型,原因是命中0環(huán),1環(huán),…,10環(huán)的概率不一定相同,不滿足等可能性;③屬于古典概型,原因是滿足有限性,且任選1人與學生的性別無關(guān),是等可能的;④不屬于古典概型,原因是燈泡的壽命是任何一個非負實數(shù),有無限多種可能,不滿足有限性;⑤不屬于古典概型,原因是該品牌月餅被評為“優(yōu)”或“差”的概率不一定相同,不滿足等可能性.規(guī)律方法

古典概型的判斷方法判斷一個試驗是不是古典概型,關(guān)鍵看它是否具備古典概型的兩個特征:(1)一次試驗中,可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個,即有限性;(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性是均等的,即等可能性.變式訓練1下列試驗不是古典概型的是

.(填序號)

①從6名同學中任選4人,參加數(shù)學競賽;②近三天中有一天降雨;③從10人中任選兩人表演節(jié)目.②

解析

①③為古典概型,它們符合古典概型的兩個特征:有限性和等可能性.②不符合等可能性.探究點二古典概型概率的求解【例2】

袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a,b的2個黑球和編號為c,d,e的3個紅球,從中任意摸出2個球,寫出試驗的樣本空間,并求至少摸出1個黑球的概率.解

試驗的樣本空間為

Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},n=10.記“至少摸出1個黑球”為事件A,則事件A包含7個樣本點,∴m=7.∴P(A)==0.7.即至少摸出1個黑球的概率為0.7.變式探究袋子中有紅、白色球各1個,每次任取一個,有放回地摸三次,寫出試驗的樣本空間,并計算下列事件的概率:(1)三次顏色恰有兩次同色;(2)三次顏色全相同;(3)三次摸到的紅球多于白球.解

試驗的樣本空間Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,白),(紅,白,紅),(白,紅,紅),(紅,白,白),(白,紅,白),(白,白,紅),(白,白,白)}.樣本點總數(shù)n=8.(1)記事件A為“三次顏色恰有兩次同色”.∵A中含有的樣本點數(shù)m1=6,(2)記事件B為“三次顏色全相同”.∵B中含有的樣本點數(shù)m2=2,(3)記事件C為“三次摸到的紅球多于白球”.∵C中含有的樣本點數(shù)m3=4,∴P(C)==0.5.探究點三古典概型的綜合問題【例3—1】

[2024陜西西安月考]某創(chuàng)新成果展區(qū)分為A區(qū)和B區(qū)兩大板塊.A區(qū)由最新數(shù)據(jù)中心產(chǎn)業(yè)圖譜和國家新型工業(yè)化示范基地2個成果組成,B區(qū)由算力筑基優(yōu)秀案例、算力賦能案例、算力網(wǎng)絡案例3個成果組成.若從該創(chuàng)新成果展區(qū)5個成果中,隨機抽取3個成果,則其中恰有2個成果來自B區(qū)的概率是(

)D解析

設A區(qū)的2個成果分別記為a,b,B區(qū)的3個成果分別記為c,d,e,由題可得,樣本空間Ω={abc,abd,abe,bcd,bce,cde,acd,ace,ade,bde},共10個樣本空間.設事件A表示“恰有2個成果來自B區(qū)”,則A={acd,ade,bcd,bde,ace,bce},共含有6個樣本點,則【例3—2】

編號分別為A1,A2,…,A16的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下:運動員編號A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834運動員編號A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)將得分在對應區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應的空格:區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40]人數(shù)

(2)從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人,①用運動員編號列出所有可能的抽取結(jié)果;②求這2人得分之和大于50的概率.解

(1)由得分記錄表,從左到右應填4,6,6.(2)①得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員編號為A3,A4,A5,A10,A11,A13.從中隨機抽取2人,所有的樣本點有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15個.②從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人,將“這2人得分之和大于50”記為事件B,則事件B包含的樣本點有(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5個.所以規(guī)律方法

求解古典概型概率的“四步”法

變式訓練2(1)設a,b∈{1,2,3},則函數(shù)f(x)=x2+bx+a無零點的概率為

.

解析

由題意知本題是一個古典概型問題,試驗的樣本點有3×3=9(個).樣本點要滿足b2-4a<0,即b2<4a.從所給的數(shù)據(jù)中,當b=1時,a有3種結(jié)果;當b=2時,a有2種結(jié)果;當b=3時,a有1種結(jié)果.綜上所述,共有3+2+1=6(個)樣本點,所以所求概率是★(2)“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如2578),在兩位的“漸升數(shù)”中任取一個數(shù)比37大的概率是

.

解析

十位是1的“漸升數(shù)”有8個,十位是2的“漸升數(shù)”有7個,…,十位是8的“漸升數(shù)”有1個,所以兩位的“漸升數(shù)”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個);以3為十位數(shù),比37大的“漸升數(shù)”有2個,分別以4,5,6,7,8為十位數(shù)的“漸升數(shù)”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(個),所以比37大的兩位“漸升數(shù)”共有2+15=17(個).故在兩位的“漸升數(shù)”中任取一個數(shù)比37大的概率是本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)古典概型的概念;(2)古典概型的概率公式及應用.2.方法歸納:列舉法、列表法、樹狀圖法.3.常見誤區(qū):因不按照一定的順序列舉,導致漏掉部分樣本點;混淆“放回”與“不放回”抽取,導致列舉樣本點錯誤.學以致用·隨堂檢測促達標12341.下列試驗中,是古典概型的個數(shù)為(

)①種下一?；ㄉ?觀察它是否發(fā)芽;②向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣,觀察正面向上的概率;③在正方形ABCD內(nèi)任意一點P,點P恰與點C重合;④從1,2,3,4四個數(shù)中,任取兩個數(shù);⑤在區(qū)間[0,5]上任取一點.A.0 B.1 C.2

D.3B解析

只有④是古典概型.512342.下列說法正確的是(

)A.由生物學知道生男生女的概率約為0.5,一對夫婦先后生兩個小孩,則一定為一男一女B.一次摸獎活動中,中獎概率為0.2,則摸5張票,一定有一張中獎C.10張票中有1張獎票,10人去摸,誰先摸則誰摸到獎票的可能性大D.10張票中有1張獎票,10人去摸,無論誰先摸,摸到獎票的概率都是0.15D12345解析

一對夫婦生兩個小孩的性別可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正確;中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2,當摸5張票時,可能都中獎,也可能中一張、兩張、三張、四張,或者都不中獎