1.4.2充要條件（教學(xué)課件）高一數(shù)學(xué)課堂（人教A版2019）

充要條件溫故知新命題：一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做

.判斷為真的語(yǔ)句是

；判斷為假的語(yǔ)句是

.中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p,則q”"如果p,那么q"等形式.p稱為命題的

，q稱為命題的

.命題真命題假命題結(jié)論條件溫故知新充分條件與必要條件

“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系P

qp?q條件關(guān)系p是q的

條件q是p的

條件p不是q的

條件q不是p的

條件?充分必要充分必要溫故知新定理關(guān)系數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)_________數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)_________充分條件必要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)并理解充要條件的意義.2.能自主判斷充分不必要條件、必要不充分條件和充要條件問(wèn)題.(重點(diǎn))3.掌握充要條件的證明方法，并能自主對(duì)充要條件進(jìn)行證明.(難點(diǎn))內(nèi)容索引二、充要條件三、充要條件的證明四、充分不必要、必要不充分、充要條件的應(yīng)用一、逆命題的概念創(chuàng)設(shè)情境

同學(xué)們，在上節(jié)課內(nèi)容中，我們學(xué)習(xí)了什么是充分條件，什么是必要條件，懂得了條件和結(jié)論不一定構(gòu)成唯一的關(guān)系，比如“不積硅步無(wú)以至千里”。但你們知道嗎？生活中也一些實(shí)例可以表明條件和結(jié)論是唯一的結(jié)構(gòu)，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”。而在我們數(shù)學(xué)上，也有很多類似的問(wèn)題，比如“三角形內(nèi)角和為180度”，“三角形中大邊對(duì)大角”等等，今天就讓我們一起來(lái)探索吧！一逆命題的概念問(wèn)題1

下列命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(1)若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac<0；(4)若A∪B是空集，則A與B均是空集.提示不難發(fā)現(xiàn)，上述命題中的命題(1)(4)和它們的逆命題都是真命題；命題(2)是真命題，但它的逆命題是假命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題.新知講解1.兩個(gè)命題的條件和結(jié)論剛好反過(guò)來(lái)，兩個(gè)命題就成為互逆命題，其中一個(gè)叫

，另一個(gè)叫做原命題的

.2.原命題和逆命題之間的真假關(guān)系并不總是對(duì)應(yīng)的，也就是說(shuō)原命題為真并不意味著其逆命題也為真，同理原命題為假也并不意味著其逆命題為假.原命題逆命題例1給出以下兩個(gè)“若p，則q”形式的命題并回答問(wèn)題：①若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等.②若m≤0.25，則關(guān)于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有實(shí)數(shù)根.(1)你能判斷這兩個(gè)命題的真假嗎？命題①是真命題，②是真命題.(2)你能寫出它們的逆命題，并判斷其真假嗎？①逆命題：若兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等，是真命題.②逆命題：若關(guān)于x的方程x2＋x＋m＝0有實(shí)根，則m≤0.25，是真命題.二充要條件問(wèn)題2

在以下兩個(gè)命題中，p是q的什么條件？q是p的什么條件？你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括出來(lái)嗎？①若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等.

②若m≤0.25，則關(guān)于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有實(shí)數(shù)根.提示p是q的充分條件，也是必要條件；q是p的充分條件，也是必要條件.“p?q且q?p”(即p?q)，p是q的充要條件.新知講解(1)如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有______，又有

，就記作

，此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為

條件.p?qq?pp?q充要新知講解(2)條件關(guān)系判定的常用結(jié)論：條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論(p是q的)p?q，且q?p充分不必要條件q?p，且p?q必要不充分條件p?q，且q?p充要條件p?q，且q?p既不充分也不必要條件注意點(diǎn)：(1)充要條件的判斷方法：①確定誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論；②判斷能否互推；③最后判斷條件是結(jié)論的什么條件.(2)充要條件的等價(jià)說(shuō)法：q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立，或p與q等價(jià).例2

指出下列各組命題中，p是q的什么條件(請(qǐng)用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答).∴p是q的充分不必要條件.A＝{x|x＝1}＝{1}，(2)p：－3≤x≤8，q：x≥－3且x≤8；∵－3≤x≤8?x≥－3且x≤8，∴p是q的充要條件.xx(3)p：xy≥0，q：x≥0，y≥0；由xy≥0可以得到x≥0，y≥0或x≤0，y≤0，又p：x≥0，y≥0，故p是q的必要不充分條件.(4)p：四邊形是正方形；q：四邊形的對(duì)角線互相垂直平分.正方形的對(duì)角線互相垂直平分，但對(duì)角線互相垂直平分的四邊形不一定是正方形。所以p是q的充分不必要條件反思感悟判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷.(3)等價(jià)法：即利用p?q與q?p的等價(jià)關(guān)系.(4)傳遞法：充分和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性.變式訓(xùn)練2

指出下列各組命題中，p是q的什么條件(請(qǐng)用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答).(1)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例；充要條件；(2)p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，q：a+b+c=0；充要條件；(3)p：A∩B＝?，q：B＝?；必要不充分條件；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；充分不必要條件.三

充要條件的證明例3

已知圓O的半徑r，圓心O到直線的距離為d.求證：d=r是直線l與圓O相切的充要條件.證明：設(shè)p:d=r,q:直線l與圓O相切.(1)充分性(p?q):如圖,作OP⊥l于點(diǎn)P,則OP=d.若d=r,則點(diǎn)P在圓O上.在直線l上任取一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P),連接OQ.在Rt△OPQ中OQ>OP=r.所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在圓O的外部，即直線l與圓O僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.所以直線l與圓O相切.(2)必要性(q?p):若直線l與圓O相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P,則OP⊥I.因此d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直線l與圓O相切的充要條件.反思感悟充要條件證明的兩個(gè)思路(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先推證充分性p?q成立，然后推證必要性q?p成立.(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件.變式訓(xùn)練3

求證：一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過(guò)原點(diǎn)的充要條件是b＝0.(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn).(2)必要性：因?yàn)閥＝kx＋b(k≠0)的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.綜上，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過(guò)原點(diǎn)的充要條件是b＝0.四

充分不必要、必要不充分

充要條件的應(yīng)用例4

已知p：x2-x-2≤0，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.p：由x2-x-2≤0，得－1≤x≤2,另A={x|－1≤x≤2}，q：B={1－m≤x≤1＋m(m>0)}.因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以q是p的充分不必要條件，故B是A的真子集解得m≤1.又m>0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0<m≤1}.

所以

或反思感悟應(yīng)用充分條件和必要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)化集合：根據(jù)已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系.(2)列式：根據(jù)集合間的關(guān)系列出含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.變式訓(xùn)練4

設(shè)集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，則B是A的真子集的一個(gè)充分不必要條件是