高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與專項訓(xùn)練：二項式定理題型戰(zhàn)法

第十章計數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布列

10.2.1二項式定理(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一二項式定理的基本概念

nnr

(a+by=C>"+C'na-'b+???+C[a-b'+…C：b"

(1)二項式展開式有〃+l項(2)二項式系數(shù)：C：

nrr

(3)項的系數(shù)：包括符號和前面的常數(shù)(4)通項：Tr+l=C：a-b

二二項式定理的性質(zhì)

(1)對稱性：與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等。即c：=c；f

(2)當(dāng)左<3時，二項式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)上〉四時，二項式系數(shù)逐漸減小。

22

(3)二項式系數(shù)的最大值

當(dāng)〃是偶數(shù)時，中間一項(第;+1項)的二項式系數(shù)最大，最大值片；

當(dāng)〃是奇數(shù)時，中間兩項(第七1+1項和第3+1項)的二項式系數(shù)相等，且同時取到最大值，

22

n-ln+1

最大值為c3或c/。

(4)各二項式系數(shù)的和

(a+by的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2",即C：+C+C；+…+C：+…+C；；=2"；二項展開式中

奇數(shù)項和偶數(shù)項的二項系數(shù)的和相等，為2"一。

(5)各項系數(shù)的問題

2

/(x)=a0+alX+a2x+…a“x”,則各項系數(shù)之和為/(I)。奇數(shù)項系數(shù)之和4+%+%+…=/⑴丁一0；

偶數(shù)項系數(shù)之和0+6+%+???=/⑴/f。

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一求指定項的二項式系數(shù)與系數(shù)

典例1.在-￡|6的二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)是

()

A.20B.-20C.15D.-15

變式1-L卜-J的展開式中含項的二項式系數(shù)為（）

A.-10B.10C.—5D.5

變式1-2.（x+1）5的展開式中一的系數(shù)為（）

A.10B.20C.40D.80

變式1-3.展開式的常數(shù)項為（）

A.120B.60C.30D.15

變式1-4.1-亡］的展開式中所有有理項的系數(shù)和為（）

A.85B.29C.-27D.-84

題型戰(zhàn)法二已知二項式系數(shù)與系數(shù)求參數(shù)

典例2.已知（l+2x）"的展開式中/的系數(shù)為60,則正整數(shù)〃=（）

A.4B.5C.6D.7

若1mx-2;展開式中X，項的系數(shù)是8,則實(shí)數(shù)機(jī)的值是（）

變式2-1.

A.2B.-JlC.±2D.±72

若二項式1辦2+2］的展開式中/的系數(shù)是一80,則實(shí)數(shù)。=（）

變式2-2.

A.-80B.80C.-2D.2

^+"2：（aeR）的展開式的常數(shù)項為,，則展開式中含/項的系數(shù)為（）

變式2-3.

A_5B.1C,■^或gD._?或,

,2

若二項式上+白］（〃eN*）的展開式中第5項與第6項的系數(shù)相同，則〃=（）

變式2-4.

A.9B.10C.11D.12

題型戰(zhàn)法三二項式系數(shù)與系數(shù)的增減性與最值

典例3.在（尤+1「（〃eN*）的展開式中，若第5項為二項式系數(shù)最大的項，則〃值不可能是（）

A.7B.8C.9D.10

變式3-1.（1+缶J展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）

A.70缶3B.140/

C.70岳3和140/D.140&/和140尤4

變式3-2.若展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項是（）

A.160B.60C.-160D.-60

變式3-3.［石+2］的展開式中x的系數(shù)等于其二項式系數(shù)的最大值，則a的值為（）

A.2B.3C.4D.-2

變式3-4.二項式卜的展開式中，系數(shù)最大的項為（）

A.第5項B.第6項C.第7項D.第8項

題型戰(zhàn)法四二項式系數(shù)之和、各項系數(shù)之和

典例4.已知［展開式各項的二項式系數(shù)之和為512,則展開式中的常數(shù)項是（）

A.84B.-84C.126D.-126

在，2-的展開式中，二項式系數(shù)的和是16,則展開式中各項系數(shù)的和為（

變式4-1.）

A.16B.32C.1D.-32

變式4-2.若（3%-1）、=%%」+%%+%,則%+牝+4的值是（）

A.-1B.127C.128D.129

變式4-3.若（2x+3）=%+4（%+1）+〃2（%+1）++〃8（%+1），則+。2+。4+。6+。8=（）

A.6562B.3281C.3280D.6560

變式4-4.對任意實(shí)數(shù)X,有（2%-3）9=%+%（%-1）+〃2（%-1）2+。3（%—1）3++。9（%-1）9，貝U（）

A.4=1B.%=-144

9

C.ax+a2++%=]D.aQ-ax+a2--a9=3

題型戰(zhàn)法五三項展開式的系數(shù)問題

典例5.在（2+%-爐丫的展開式中，含，的項的系數(shù)為（）

A.-120B.-40C.-30D.200

變式5-1.1①T+l）5的展開式中，V的系數(shù)為（）

A.51B.50C.-51D.-50

變式5-2.|的展開式中常數(shù)項為（）

A.-61B.-59C.-57D.-55

變式5-3.在（/-2x-3）5的展開式中含臚和含/的項的系數(shù)之和為（

A.-674B.-675C.-1080D.1485

變式5-4.在、+--11的二項展開式中含/項的系數(shù)為（）

A.20B.21C.18D.16

題型戰(zhàn)法六兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題

典例6.（l+x+/）（x-2）5的展開式中/的系數(shù)為（）

A.40B.80C.-40D.-80

變式6-1.|展開式中/的系數(shù)為（）

A.15B.20C.30D.0

變式6-2.（l+x2）（2+x）4的展開式中/項的系數(shù)為

A.30B.35C.20D.25

變式63（2-5}1+今『展開式中x）3項的系數(shù)為160,則”（）

A.2B.4C.-2D.-2A/2

（2--1）6展開式中的常數(shù)項為（

變式6-4.）

A.11B.19C.23D.-11

題型戰(zhàn)法七整除與余數(shù)問題、近似值問題

典例7.2424被5除的余數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

變式7-1.已知機(jī)＞0,且152儂+機(jī)恰能被14整除，則加的取值可以是（）

A.1B.12C.7D.27

變式7-2.設(shè)。=49+1?7+或?72++丁.7%貝|Ja除以9所得的余數(shù)為（）

A.1B.2C.-1D.8

變式7-3.1.026的近似值（精確到0.01）為（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

變式7.4.估算C；0.998+C；0.9982+C；0.9983+C?.9984+C5O.9985的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（

A.30.84B.31.84C.30.40D.32.16

題型戰(zhàn)法八楊輝三角

典例8.下表出現(xiàn)在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作《詳解九章算法》中，稱之為“楊輝三角'該表中

第10行第7個數(shù)是（）

四

五IIII

/、十五）（二十）（十五

A.120B.210C.84D.36

變式8-1.如圖所示的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)數(shù)組中的

數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，其中的。所表示的數(shù)是（）

11

121

1331

14a41

15101051

A.2B.4C.6D.8

變式8-2.楊輝是我國南宋的一位杰出的數(shù)學(xué)家，在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫的一張

表示二項式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱為“開方做法本源”.現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”.

下面是（a+6）"（〃eN*）,當(dāng)〃=123,4,5,6時展開式的二項式系數(shù)表示形式.

借助上面的表示形式，判斷2與〃的值分別是（）

A.5,9B.5,10C.6,9D.6,10

變式8-3.習(xí)近平總書記在“十九大”報告中指出：堅定文化自信，推動中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)

化，“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝

1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要

晚近四百年.“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲

望，如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，第10行中從左至右第5與第6個數(shù)的比值為()

第

O行

1

第

1行11

第

2行121

第

行

31331

第

4行

14641

第

5行

15101051

A.-B.—C.1D.1

653

變式8-4.如圖所示，在由二項式系數(shù)構(gòu)成的楊輝三角中，第加行中從左至右第14個數(shù)與第15個

數(shù)的比為2:3,則加二()

斯。行1

?lff11

第2行121

第3ff1331

第41T14641

第S行15101051

A.40B.50C.34D.32

第十章計數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布列

10.2.1二項式定理（題型戰(zhàn)法）

知識梳理

一二項式定理的基本概念

（a+by=C°a"+C\anib+-??++…C：b"

（1）二項式展開式有”+1項（2）二項式系數(shù)：C；

nrr

（3）項的系數(shù)：包括符號和前面的常數(shù)（4）通項：Tr+l=Cnab

二二項式定理的性質(zhì)

（1）對稱性：與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等。即c『=c,i

（2）當(dāng)左〈3時，二項式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)左＞但時，二項式系數(shù)逐漸減小。

22

（3）二項式系數(shù)的最大值

當(dāng)〃是偶數(shù)時，中間一項（第4+1項）的二項式系數(shù)最大，最大值d；

2

當(dāng)〃是奇數(shù)時，中間兩項（第巴1+1項和第竺1+1項）的二項式系數(shù)相等，且同時

22

n-\n+1

取到最大值，最大值為C?或cj□

（4）各二項式系數(shù)的和

（。+加”的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2",即C：+C：+C；+…+C：+…+C：=2"；

二項展開式中奇數(shù)項和偶數(shù)項的二項系數(shù)的和相等，為-

（5）各項系數(shù)的問題

2n

f（x）=a0+alx+a2x+---anx,則各項系數(shù)之和為了⑴。奇數(shù)項系數(shù)之和

%+%+%+../⑴7-1）；偶數(shù)項系數(shù)之和丁+=+%+-=/⑴1（T）。

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一求指定項的二項式系數(shù)與系數(shù)

典例1.在，2-的二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)是（）

A.20B.-20C.15D.-15

【答案】A

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的概念直接求解即可.

【詳解】解：第4項的二項式系數(shù)為燒=等?=20.

3x2x1

故選:A

變式i-i.的展開式中含/項的二項式系數(shù)為（）

A.-10B.10C.-5D.5

【答案】D

【分析】求出二項式展開式的通項，令x的指數(shù)位置等于3求得%的值，即可求解.

【詳解】的展開式的通項為：5T（_1）*R：=C（-1）,53,

令5-2左=3可得％=1,

所以含V項的二項式系數(shù)為C；=5,

故選：D.

變式1-2.（尤+2）5的展開式中一的系數(shù)為（）

x

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

【分析】由二項展開式的通項公式代入即可解決.

【詳解】二項式展開式的通式為=或2。產(chǎn)3，,

由5—3r=-l,得r=2,此時C；22=40

即（x+4）5的展開式中一的系數(shù)為40

故選：C

變式1-3.-展開式的常數(shù)項為（）

A.120B.60C.30D.15

【答案】B

【分析】根據(jù)二項式展開公式得配尸C〉(-2)，.x^，令號=0,解出廠的值，代入

計算即可.

【詳解】解：因為&=C>(6廣?(-，=晨.(-2)工”r=￡.(-2)。”，

令丫=0,解得廠=2,

所以常數(shù)項為晨.(-2)2=60.

故選：B.

變式1"，卜-七］的展開式中所有有理項的系數(shù)和為()

A.85B.29C.-27D.-84

【答案】C

【分析】寫出通項后可得有理項，進(jìn)一步計算可得結(jié)果.

【詳解】展開式的通項為：

18-匕

rr3

7；+1=C^(-^=)=(-l)C；x,其中r=0,1,2,3,4,5,6,7,8,

當(dāng)廠=0,3,6時為有理項，故有理項系數(shù)和為

(-1)°C?+(-1)3C^+(-1)6C^=1+(-56)+28=-27,

故選：C.

題型戰(zhàn)法二已知二項式系數(shù)與系數(shù)求參數(shù)

典例2.已知。+2耳”的展開式中/的系數(shù)為60,則正整數(shù)〃=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】求出展開式的通項，令x的指數(shù)等于2,再結(jié)合已知即可得出答案.

【詳解】解：(1+29”的展開式的通項為M=C"5(2元)*=?《及，

令％=2,

則/的系數(shù)為22a=60,

即正0=15,

2

角畢得〃=6(九=一5舍去).

故選：c.

變式2-1.若展開式中/項的系數(shù)是8,則實(shí)數(shù)機(jī)的值是（

B.也C.±2D.+y/2

【答案】D

【分析】直接求出含尤6的項，再由f項的系數(shù)是8解方程即可求出機(jī).

【詳解】由題意知：含小的項為C：（如）6=加^6,又彳6項的系數(shù)是8,則/=8,解

得=±A/2.

故選：D.

變式2-2.若二項式的展開式中爐的系數(shù)是一80,則實(shí)數(shù)“=（）

A.-80

【答案】C

【分析】求出二項展開式的通項卻一令龍的次數(shù)為5求出對應(yīng)廠的值，再根據(jù)V的

系數(shù)是-80即可求出。的值.

【詳解】（辦2+《）5的展開式的通項為&=q（加尸屋丫=c"'喂，

令104=5,解得廠=2.

（加的展開式中爐的系數(shù)是_8（）,

二C；/=-80,解得a=-2.

故選：C.

變式2-3.［：+辦2：（aeR）的展開式的常數(shù)項為，，則展開式中含V項的系數(shù)為（）

【答案】C

【分析】首先寫出展開式的通項，令--6=0,求出「，即可求出展開式的常數(shù)項,

從而求出。，再代入計算可得；

【詳解】解：二項式R+辦展開式的通項為（辦21c?勺/,

令3—6=0,解得Y2,所以展開式的常數(shù)項為（=屋，/=?,解得a=±g,

令3—6=3,解得r=3,所以展開式中/項為4=或/03=20八3,

當(dāng)a=g時V項的系數(shù)為：，當(dāng)°=-；時/項的系數(shù)為-永

故選：C

[x+91’（"cN*）的展開式中第5

變式2-4.若二項式項與第6項的系數(shù)相同，則〃=

()

A.9B.10C.11D.12

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得C=C：,利用組合數(shù)的性質(zhì)，求得〃的值，即得答案.

1+9]（〃eN*）的展開式中第5

【詳解】由已知二項式項與第6項的系數(shù)相同,

即這兩項的二項式系數(shù)相同,

可得C：=C：,所以“=4+5=9,

故選：A.

題型戰(zhàn)法三二項式系數(shù)與系數(shù)的增減性與最值

典例3.在（x+1）"（〃eN*）的展開式中，若第5項為二項式系數(shù)最大的項，則〃值

不可能是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】由題意，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得〃的值.

【詳解】當(dāng)〃=7時，（。+?7的展開式有8項，（a+b）7的展開式中二項式系數(shù)C；,C；,

最大，

即第四項和第五項的二項式系數(shù)最大；

當(dāng)〃=8時，團(tuán)+”的展開式有9項，（。+6）8的展開式中二項式系數(shù)C：最大，

即第五項的二項式系數(shù)最大；

當(dāng)〃=9時，（a+6）9的展開式有10項，（“+6）9的展開式中二項式系數(shù)C；，cj最大，

即第五項和第六項的二項式系數(shù)最大.

當(dāng)”=10時，5+方嚴(yán)的展開式有11項，（〃+6）1°的展開式中二項式系數(shù)最大，

即第六項的二項式系數(shù)最大.

故選：D.

變式3-1.(1+缶丫展開式中二項式系數(shù)最大的項是()

A.B.140尤4

C.70后無3和140/D.140和14。無4

【答案】C

【分析】利用二項式系數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二項式定理可求得結(jié)果.

【詳解】(1+缶『展開式中二項式系數(shù)最大的項為7；=C；.(0x)3=70缶3,

4

T5=C)("c)=140/.

故選：C.

變式3-2.若［6-?］展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項

是()

A.160B.60C.-160D.-60

【答案】B

【分析】先求出”的值，可得二項式展開式的通項公式，再令x的幕指數(shù)等于0,求

得「的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值.

【詳解】解:二項式的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，,〃=6,

6_/八廠6-3r

則展開式中的通項公式為&=晨.(-2)。丁,

令W=0,解得r=2,故展開式中的常數(shù)項為C3(-2)2=60.

故選：B.

變式3-3.［?+￡j的展開式中x的系數(shù)等于其二項式系數(shù)的最大值,則a的值為()

A.2B.3C.4D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)(石+fj可知二項式系數(shù)最大值為C；=10,再根據(jù)二項展開式的通項

公式賦值即可求出.

【詳解】因為(五+4的展開式的通項公式為卻1=仁(五廠⑶得”;芳，令

5_Q

Tr=l,即r=1時，x的系數(shù)為5a,而二項式系數(shù)最大值為C；=10,所以5a=10,

艮|3Q=2.

故選：A.

變式3-4.二項式、2-的展開式中，系數(shù)最大的項為（）

A.第5項B.第6項C.第7項D.第8項

【答案】C

【分析】顯然二項式在第6或第7項處取得系數(shù)最大，再結(jié)合對應(yīng)符號，即

可得解.

【詳解】由二項式上2-的特點(diǎn)可知，

系數(shù)最大的項在中間項處取得，

第6項的系數(shù)為-C0

第7項的系數(shù)為資，

故第7項的系數(shù)最大.

故選：C

題型戰(zhàn)法四二項式系數(shù)之和、各項系數(shù)之和

典例4.已知（6-曰”展開式各項的二項式系數(shù)之和為512,則展開式中的常數(shù)項是

（）

A.84B.-84C.126D.-126

【答案】B

【分析】首先根據(jù)題意得到〃=9,再利用求解即可.

【詳解】由題知：2"=512,解得"=9,

因為m=9一3r

(-l)rC；x-

令等=0,解得「=3.

所以豈=(—1)3C=一84.

故選：B

變式4-1.在、。的展開式中，二項式系數(shù)的和是16,則展開式中各項系數(shù)的和

為（）

A.16B.32C.1D.-32

【答案】A

【分析】先根據(jù)二項式系數(shù)和公式得〃=4,再令特殊值x=l即可求得答案.

【詳解】解：因為二項式系數(shù)的和是16,所以2"=16,解得〃=4,

所以，令x=l得展開式中各項系數(shù)的和為（-W=16.

故選：A

變式4-2.若（3x-iy=07尤7+4/+alx+a0,則％+R+。的值是（）

A.-1B.127C.128D.129

【答案】D

【分析】利用賦值法計算可得.

【詳解】解：因為（3x-l）7a1x+aQ,

令尤=0,可得%=（—1）7=—1,

令x=l,可得%+線+”]+。0=（3—1）=128,

以%+4+%=128+1=129；

故選：D

變式4-3若（21+3）=%+%（x+l）+a2a+1）+,+/（沼+1），則/+%+。4+R+。8=（）

A.6562B.3281C.3280D.6560

【答案】B

【分析】分別令％=0和％=-2再聯(lián)立求解即可

【詳解】令％=0有38=%+4+%++/=6561,令龍=-2有1=%-％+〃2-+〃8，故

6561+1cccy

%+。2+。4+。6+。8=------——=3281

故選：B

變式4-4.對任意實(shí)數(shù)x,有（2%-3）9=%+%（尤_1）+%（*_1）2+%（*-1丫++佝（無一葉,

貝U（）

A.《）=1B.a2=-144

C.%+。2++。9=1D.。0—4]+02__。9=3鄉(xiāng)

【答案】B

【分析】(2X-3)9=[T+2(X-1)]9,利用二項展開式的通項即可求得出，即可判斷B；

令x=l,可得g，即可判斷A；

令X=2,可得---，即可判斷C,

令x=0,可得旬--+%----%,即可判斷D.

9239

【詳解】解：對任意實(shí)數(shù)x,<(2x-3)=tz0+a1(x-l)+tz2(x-l)+a3(x-l)+---+a9(x-l)

=[-1+2(%-I)]9,所以出=-C；X22=T44,故B正確；

令x=l,可得%=T,故A錯誤；

1

令x=2,可得“0+4+%H----i-ag=1,貝ijoj+a2"---\-a9=2,故C錯誤；

令元=0,可得----ag=_39,故D錯誤.

故選：B.

題型戰(zhàn)法五三項展開式的系數(shù)問題

典例5.在(2+x-f)5的展開式中，含力的項的系數(shù)為()

A.-120B.-40C.-30D.200

【答案】C

【分析】將(2+x-x2)5整理為[(2+x)-x4，根據(jù)二項展開式j(luò)=G(2+x)*(r?分析

可得r=0,1,2,對每種情況再根據(jù)二項展開式理解運(yùn)算.

【詳解】(2+X-X2)5=[(2+X)-X2]\其展開式為：&|=仁(2+產(chǎn)，(一行/=0,1,...,5

根據(jù)題意可得：廠=0/，2

當(dāng)r=0時，則4=(2+4,(2+x)5展開式為：兀=C；2"xX=0,l,...,5

：.k=4,則/的項的系數(shù)為2c=10

當(dāng)r=1時，則％=C(2+無)4(*)=-5/(2+勸4,(2+x)4展開式為：兀=C：2"M%=0,L...,4

：.k=2,則/的項的系數(shù)為-5x級xC；=T20

當(dāng)上=2時，則4=(2；(2+沙3(7：2)2=10/(2+4,(2+4展開式為：見[=螳2”之人=0,1,2,3

：.k=0,則/的項的系數(shù)為10x2,xC；=80

綜上所述：含，的項的系數(shù)為10-120+80=-30

故選：C.

變式5-1.(/-X+l)5的展開式中，爐的系數(shù)為()

A.51B.50C.-51D.-50

【答案】C

【分析】根據(jù)三項的二項式展開的通項C>C(-L)%2",令21=5,即可求出

的值，進(jìn)而可求解.

【詳解】(V-x+)=[1+(V一x)T的展開式通項為：

.(犬——=C；C(x2r(-x)4=C??(-11x2r~k,且0及4-5,匕reN,

令2r-k=5,貝！J左=5/=5,或者左=3j=4,或者左=1,r=3；

故F的系數(shù)為：(_1)5蛭y+(—1)3(2；V+(—l)yC=—1—20-30=—51,

故選：C

變式5-2.1一三+1：的展開式中常數(shù)項為()

A.-61B.-59C.—57D.—55

【答案】B

【分析】將原式看成6個相同的因式相乘，按x的選取個數(shù)分類，計算得解.

【詳解】將原式看成6個相同的因子相乘，按x的選取個數(shù)分類，

得展開式中常數(shù)項為屋+或C；(-2)+C：C(_2)2=-59.

故選：B.

變式5-3.在(Y-2》-3丫的展開式中含臚和含/的項的系數(shù)之和為()

A.-674B.-675C.-1080D.1485

【答案】A

【分析】由已知得(尤2一2X-3)5=(X-3)5(X+1)5,分別利用二項式展開式的通項公式求

得小的系數(shù)和含V的項的系數(shù)，由此可求得答案.

【詳解】解：(爐-2X_3『=(X-3)5(X+1)5,則寸。的系數(shù)為1,

x2的系數(shù)為C；(-3)依+C；(-3)3+《(-3)5《=-675,

所以在(/-2x-3)5的展開式中含V。和含V的項的系數(shù)之和為-675+l=-674.

故選：A.

變式5-4.在[尤+'一1]6的二項展開式中含，項的系數(shù)為()

A.20B.21C.18D.16

【答案】B

【分析】把x+g看作一項，寫出、+^-1：的展開式的通項，再寫出(X+J”的展開

式的通項，由X的指數(shù)為4求得r、S的值，即可得出結(jié)果.

【詳解】卜+JT］的展開式的通項為小=叩+力(-l)r.

,+力6’的展開式的通項為&=C?=C",產(chǎn)心.

由6—尸一2s=4,得廠+2s=2,

，…N,1fr=M0\3r=2

二在卜+：-1)的展開式中，

含V項的系數(shù)為建(-1)。?+晨(-1)2.&=6+15=21.

故選：B.

題型戰(zhàn)法六兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題

典例6.(l+x+/)(x-2)5的展開式中1的系數(shù)為()

A.40B.80C.-40D.-80

【答案】A

【分析】結(jié)合二項式展開式的通項公式求得正確選項.

【詳解】(1+%+冗2)(1_2)5=(1+%+%2)(_2+%)5,

所以展開式中丁的系數(shù)為Cl(—2)2+Cl(-2)3+G(—2)4=40-80+80=40.

故選：A

變式6-1.(T11+X)6展開式中/的系數(shù)為()

A.15B.20C.30D.0

【答案】D

【分析】從尤2項的生成分兩種情況討論得解.

【詳解】+4展開式中,

若[1-土]提供系數(shù)1,

則（1+4提供含有一的項，可得展開式中/的系數(shù)為C；=15；

若提供-尤-2,

則（1+4提供含有x4的項，可得展開式中一的系數(shù)為盤=15；

所以展開式中V的系數(shù)為15+（-15）=0.

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個二項式的乘積的展開式的某一項的系數(shù)，一般可以從這

一項的生成分類討論，結(jié)合二項式展開的通項求解.

變式6-2.（1+X2）（2+X）4的展開式中一項的系數(shù)為

A.30B.35C.20D.25

【答案】D

【解析】根據(jù)二項式定理展開計算、化簡即可.

【詳解】解：展開式中，項為：1XC：.X4+，XC：X22.，=25X2.

故選：D.

變式63Q+展開式中一J項的系數(shù)為160,則.=（）

A.2B.4C.-2D.-2A/2

【答案】C

【解析】先求得（1+分『展開式中V的系數(shù)，可得0-[[1+分）6展開式中一y3的系

數(shù)，從而得答案.

【詳解】二項式（1+分『展開式的通項為=晨義尸'（舒y=晨/了，

令r=3可得二項式。+分『展開式中V的系數(shù)為c）,

（2-十卜1+e）6展開式中一y3的系數(shù)為（T）C"=160,

可得〃3=一8,解得〃=-2,

故選：C.

變式6-4.[2-1+!）口-球展開式中的常數(shù)項為（）

A.11B.19C.23D.-11

【答案】C

【分析】把(X-l)6按照二項式定理展開，可得(2二+工)。-球展開式中的常數(shù)項.

XX

【詳解】(2-----1——)(x—I)6=(2----1——),,x6—C；■.+C；-x"—C：,x'+C：?.—C：?x+C：),

XXXX

,展開式中的常數(shù)為2得+(-!).(-或)+lxC：=2+6+15=23,

故選：C.

題型戰(zhàn)法七整除與余數(shù)問題、近似值問題

典例7.2424被5除的余數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用二項式的展開式進(jìn)行求解.

【詳解】由題可知,2424=(25-1產(chǎn)，

則其展開式的通項公式為加=G?25?1)，"=0』,2,…,24),

由通項公式可得，只有廠=24時，即&=《024。.(-1)”=1不能被5整除，其余項均

能被5整除故2424被5除的余數(shù)為1.

故選：A.

變式7-1.已知〃>0,且4皿+加恰能被14整除，則機(jī)的取值可以是()

A.1B.12C.7D.27

【答案】D

【分析】根據(jù)二項式展開式，即可求解.

20222022232022

【詳解】15+777=(1+14)+m=l+C^02214'+C|02214+C|02214++C歌14+機(jī)，

故若匕E+機(jī)恰能被14整除，只需要1+加能14整除即可，所以他的取值可以是：

-1,13,27等

故選：D

變式72設(shè)。=喘+就.7+或.72++C”;則。除以9所得的余數(shù)為()

A.1B.2C.-1D.8

【答案】D

【分析】利用二項式定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】因為a=C；9+C：9-7+C>72++C：〉7%

所以a=(1+7/=(9-1)19,

即a=Cl-葉+-918-(-1)+C：9-917-(-1)2++C；；?S?(-1)18+C：；-(-I)19,

因為19x9-1=18x9+8,所以。除以9所得的余數(shù)為8,

故選：D

變式7-3.1.026的近似值(精確到o.oi)為()

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

【答案】B

【解析】展開(1+0。2)6后按近似要求求解.

【詳解】1.026=(1+。。2)6=1+魂*。.02+盤*。,022+**。.023++0.026

?1+0.12+0.006?1.13.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，用二項式定理進(jìn)行近似計算，掌握二項式定

理是解題關(guān)鍵.

變式7-4.估算C；0.998+C；0.9982+C?.9983+C；0.9984+C；0.9985的結(jié)果,精確到0.01

的近似值為()

A.30.84B.31.84C.30.40D.32.16

【答案】A

【分析】利用二項式定理進(jìn)行計算.

【詳解】原式=(1+0.998)5-1=(2-0.002)5-1

=C°25-C；24x0.002+C123x0.0022++Cfx0.0025-1

?32-0.16-1=30.84.

故選：A.

題型戰(zhàn)法八楊輝三角

典例8.下表出現(xiàn)在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作《詳解九章算法》中，稱之為“楊輝

三角”，該表中第10行第7個數(shù)是()

II11

十五）（二十）（十五

A.120B.210C.84D.36

【