2025年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合題的解決方法

第十四單元二次函數(shù)綜合題的解決方法

專題一拋物線與線段關(guān)系

核心考點(diǎn)一線段的大小比較

01.如圖，拋物線y=/-2%-3與X軸交于A(-l,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.有一寬度為1的直尺平行于y

軸，在點(diǎn)O,B之間平行移動，直尺兩長邊被線段BC和拋物線截得兩線段DE,FG.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,且

(0<t<2?試比較線段DE與FG的大小.

核心考點(diǎn)二化斜為直

02.如圖,拋物線y=-"+4-6與x軸交于A(3,0),B(8,0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,直線y=依-6經(jīng)過點(diǎn)B.

點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，過點(diǎn)P作.PQ1BC,垂足為Q,求

CQ+?Q的最大值

C

專題二拋物線與點(diǎn)線距離

核心考點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離相等與平行轉(zhuǎn)化，再分類討論

01.如圖，拋物線y=Y-2久-3交X軸于A,B兩點(diǎn)（A在B的左邊），C是第一象限拋物線上一點(diǎn)，直線AC交y

軸于點(diǎn)P.當(dāng)（OP=。21時，在拋物線上存在點(diǎn)D（異于點(diǎn)B）,使B,D兩點(diǎn)到AC的距離相等，求出所有滿足

條件的點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

核心考點(diǎn)二化斜為直與配方求最值

02.如圖，拋物線.y=-必+2x+3與x軸交于A和B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC，作直線BC.將直線BC向

下平移.山（巾＞0）個單位長度，交拋物線于B\C兩點(diǎn).在直線B（，上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D,無論m取

何值時，都是點(diǎn)D到直線的距離最大？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

專題三拋物線與平行四邊形

01.如圖,拋物線y="2—|x—9與.X軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.P是x軸上任意一點(diǎn).點(diǎn)Q在拋

物線上，若以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

02.拋物線y=尤2—1交x軸于A,B兩點(diǎn)(A在B的左邊)，平行四邊形ACDE的頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)

E在y軸右側(cè)的拋物線上.

(1)如圖1,若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,3),點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是李直接寫出點(diǎn)A,D的坐標(biāo)；

⑵如圖2,若點(diǎn)D在拋物線上，且平行四邊形ACDE的面積是12,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖1圖2

專題四拋物線與矩形、菱形、正方形

核心考點(diǎn)一拋物線與正方形

01如圖,點(diǎn)A在y軸正半軸上.正方形ABCD的頂點(diǎn)B,D在二次函數(shù).y=f的圖象上，點(diǎn)B,D在y軸的同側(cè)，目

點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B,D的橫坐標(biāo)分別為m,n,試探究n-m是否為定值.如果是，求出這個值；如果

不是，請說明理由.

核心考點(diǎn)二拋物線與菱形

02.如圖，點(diǎn)A在y軸正半軸上.菱形ABCD的頂點(diǎn)B,C,D在二次函數(shù).y=/的圖象上,且.AD1y軸，求菱形的邊

長；

核心考點(diǎn)三拋物線與矩形

03.如圖，拋物線y=Y-2久-3交x軸于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.P是x軸上方拋物線上的一個動點(diǎn).在平面直

角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得以B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

專題五拋物線與面積一割補(bǔ)法與鉛垂法、平行轉(zhuǎn)化法

核心考點(diǎn)一重疊面積的處理---同時加或減重疊面積

01.如圖,拋物線y=，—2x-3交X軸于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,D為拋物線上第四象限的

動點(diǎn)，直線AD交BC于點(diǎn)P,連接AC,BD,設(shè)△4CP和ABDP的面積分別為Si和S?.當(dāng)S?的值最小時，

求直線AD的解析式.

核心考點(diǎn)二鉛垂法（寬高公式）法

02.如圖,拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),且點(diǎn)C（2,1）在此拋物線上,直線.y=mx-m2+1與拋物線交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)C在

直線AB下方），若SABC=|,求m的值.

核心考點(diǎn)三平行轉(zhuǎn)化（拉窗簾）法

03.如圖，已知拋物線y=a久2經(jīng)過點(diǎn)A（2,1）,B為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn).若△力B。的面積為6,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

04.如圖,拋物線y=-1/+2%+6與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,6),D為線段BC上的一動點(diǎn)，過動點(diǎn)

D作DPIMC,交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P,連接PA,PB,記△PAD與△PBD的面積和為S.當(dāng)S取得最大值

時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值.

核心考點(diǎn)四鉛錘法(寬高公式)與含參計算

05.如圖，拋物線y=好—軌+3交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),交y軸正半軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P在拋物線

上,平面上有兩點(diǎn).M(m--m-3),N(m+2>-m-5),求△PMN的面積的最小值.

06.如圖,拋物線y=/-2x-3與x軸交于點(diǎn)A,B,直線1與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)E,1與拋物線對稱軸交

于點(diǎn)F,若△AEF的面積為接求點(diǎn)E的坐標(biāo).

專題六拋物線與全等及全等構(gòu)造

01.如圖,過定點(diǎn)的直線:y=kx-k-2與拋物線.y=-久2交于A,B兩點(diǎn),直線.y-X-2與拋物線交于點(diǎn)E,F,

EG||F”||y軸.點(diǎn)G,H在直線.ykx—k—2上,當(dāng).EG=時，求k的值.

02如圖,點(diǎn)A在拋物線.y=(x-2)2-6(對稱軸1右側(cè))上，點(diǎn)B在對稱軸1±,A。48是以O(shè)B為斜邊的等腰直角

三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

專題七拋物線與相似及相似構(gòu)造（1）一線段比

核心考點(diǎn)一線段最值

01.如圖,拋物線y=-2x+3與X軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,P是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，連

接BP交AC于點(diǎn)D.當(dāng)冬的值最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及雄勺最大值.

DUDU

02.如圖，拋物線y=-x2+2x+8分別交x軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)G為y軸負(fù)半軸上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)G

作直線EF與拋物線交于點(diǎn)E,F,與直線.y=-4久交于點(diǎn)H,若2-2=白求點(diǎn)G的坐標(biāo).

專題八拋物線與相似及相似構(gòu)造⑵一特殊角

核心考點(diǎn)一由特殊角構(gòu)造一線三等角型相似

01.如圖,拋物線y=-?2+?x—6與X軸交于A(3,0),B(8,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P在拋物線上,設(shè)點(diǎn)P的橫

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坐標(biāo)為m.連接AC,AP,PC,若△力PC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

核心考點(diǎn)二由特殊三角函數(shù)值(特殊角)構(gòu)造一線三等角型相似

02.如圖，拋物線.y=/一八+3交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，交y軸正半軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P在拋物線

上,若tanzXPC=*求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

專題九拋物線與相似及相似構(gòu)造(3)—妙用三角函數(shù)

核心考點(diǎn)一利用等角構(gòu)造對稱型相似

01.如圖，已知拋物線y=f-4x+3,與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)E為拋物線

上x軸下方一動點(diǎn)，點(diǎn)F在x軸上方的拋物線上，EF交x軸于G,且乙FBA=^EBA,FM1久軸于M,求

tcm/FG。的值.

核心考點(diǎn)二利用內(nèi)心構(gòu)造對稱型相似

02.如圖,拋物線.y=%2-2%-3與x軸交于點(diǎn)A,B,直線.y=kx+九與拋物線交于點(diǎn)C,D,若△4CD的內(nèi)心落在

x軸上，求k的值.

專題十拋物線與相似及相似構(gòu)造(4)—定角與角度轉(zhuǎn)化

核心考點(diǎn)一利用三角函數(shù)構(gòu)造直角得相似與參數(shù)計算

01.如圖，拋物線y=ax2-\+c(a)0)與x軸正半軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.若。B=2OC,求sin^ACB

的值.

核心考點(diǎn)二直接利用(或平行轉(zhuǎn)化)定角度構(gòu)造直角三角形類相似

02.如圖，拋物線y=產(chǎn)—2%—3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.P(—7,0)為x軸上一點(diǎn)，在

拋物線第四象限的圖象上有一點(diǎn)G,連PG交線段AC于點(diǎn)D,當(dāng)tanzPDX=手寸,求出點(diǎn)G的坐標(biāo).

專題十一拋物線與相似及相似構(gòu)造(5)—阿氏圓與胡不歸

核心考點(diǎn)一由特殊線段構(gòu)造子母型相似求最值一阿氏圓

01.如圖，拋物線y=Y—6久+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P

為。B上一個動點(diǎn)，請求出PC+*4的最小值

核心考點(diǎn)二利用三角函數(shù)化折為直一胡不歸

02.如圖,拋物線y^-x2+bx+c(6>0)與x軸交于4(-1，0),B兩點(diǎn)M(t,0)是x軸正半軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q(6+

在拋物線上.當(dāng)正AM+2QM的最小值為竽時，求拋物線的解析式.

專題十二拋物線與相似及相似構(gòu)造(6)——分類討論思想

核心考點(diǎn)一由等角構(gòu)造相似與分類討論

01如圖，拋物線y=-1%2-|%+^x軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C(-3，|)在拋物線上.(CD1x軸于點(diǎn)D,連接AC.E

為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)乙EAB=時，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

核心考點(diǎn)二頂點(diǎn)不確定對應(yīng)關(guān)系與分類討論

02.如圖，拋物線.y=必一2x-8交x軸于A,B兩點(diǎn)(A在B的左邊),交y軸于點(diǎn)C.作直線%=t(0<t<4),,分別

專題十三拋物線與角的關(guān)系處理⑴——等角和角度差

01.如圖，拋物線y=2/+比_3交X軸于A,B兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,連AC,BC,點(diǎn)P在拋物線上，且乙PCB=

乙4C。，，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

02.如圖，拋物線.y=-/+2久+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,P為第一象限內(nèi)

拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0),且.NPOC+乙OCE=45。,求點(diǎn)P的坐標(biāo)

專題十四拋物線與角的關(guān)系處理⑵一二倍角

方法：直接構(gòu)造二倍角或者利用軸對稱或者直角三角形斜邊上的中線.

01.如圖，拋物線y=-12+|久+2與X軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,P為第一象限拋物線上的點(diǎn),連接C

A,CB,PB,PC.當(dāng)工PCB=2NOC4時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

02.如圖，已知拋物線G：y=|一一X—|與X軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D是拋物

線加上一點(diǎn)，并且4DAB=2乙4BC,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

專題十五拋物線與角的關(guān)系處理(3)—角平分線

01.如圖，拋物線y=/-4x交x軸于原點(diǎn)O和點(diǎn)A,頂點(diǎn)為點(diǎn)B,在第四象限拋物線上有一點(diǎn)P,OP平分乙4OB

,,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

02.如圖，拋物線y=12_2_爪的頂點(diǎn)為P,交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)M,交射線AB:y=2x-2于點(diǎn)N,NQ1x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)

NP平分NMNQ時，求m的值.

專題十六拋物線與參數(shù)計算⑴一線參處理(熱點(diǎn)方法)

01.如圖，直線.y=kx-2k+3(k^0)與拋物線y=a(x-2)2(a>0)相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，頂點(diǎn)

為點(diǎn)D,過點(diǎn)A作AE1x軸，垂足為E,與直線BD交于點(diǎn)F,求線段EF的長.

02.如圖,直線y=履—2k+3(k豐0)與拋物線y=4%—2)2(a〉0)相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).

(1)不論k取何值，直線y=kx-2k+3必經(jīng)過定點(diǎn)P,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)已知B,C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線y=l(x-2尸的對稱軸對稱.求證：直線AC必經(jīng)過一定點(diǎn).

專題十七拋物線與參數(shù)計算⑵一點(diǎn)參處理（熱點(diǎn)方法）

01.如圖,過B（2,0）點(diǎn)的直線BD交拋物線y=于點(diǎn)D,F,過點(diǎn)F的直線.y=x+6交拋物線于另一點(diǎn)E,試說明

直線DE恒過一定點(diǎn).

02.如圖，點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，PM,PN與拋物線y=%2-2x均有唯一公共點(diǎn)M,N（異于原點(diǎn)）,過點(diǎn)P的直線

交拋物線于點(diǎn)E,G,交MN于點(diǎn)F,若白+白=2,求k的值.

專題十八拋物線與參數(shù)計算(3)—恒存在

核心考點(diǎn)一直角恒存在性

01.如圖，直線y=依+k+1與拋物線y=%2-2%-3交于M,N兩點(diǎn)，在拋物線上存在定點(diǎn)Q，使得對于任意實

數(shù)k,都有乙MQN=90。.求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

核心考點(diǎn)二等角恒存在

02如圖,拋物線y=|久2_|%_4與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B點(diǎn)左邊),與y軸負(fù)半軸交于C點(diǎn)，P是線段AC上

一個動點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)在線段AB上，且.4F=皿，若P點(diǎn)總存在兩個不同的位置使乙BPF=NB4C,求m滿足的條

件.

專題十九拋物線與參數(shù)計算(4)—唯一存在

01.如圖,M是x軸正半軸上一動點(diǎn),N(0,3).經(jīng)過點(diǎn)M的直線PQ交拋物線y=Y于P,Q兩點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到某一

個位置時，存在唯一的一條直線PQ，使乙PNQ=90。,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

02.如圖，拋物線y=/+5依-3k(k>0)與y軸交于點(diǎn)C,過C作(CD，y軸與拋物線交于點(diǎn)D,在直線.y=kx

+k上是否存在唯一一點(diǎn)P,使得乙CPD=90。?若存在，請求出此時k的值；若不存在，請說明理由.

專題二十拋物線與參數(shù)計算⑸一過定點(diǎn)的動直線

01.如圖，已知拋物線為y=/-6,直線y=kx（k豐0,k為常數(shù)）與拋物線交于E,F兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)，

直線y=-楙％與拋物線交于G,H兩點(diǎn)，N為線段GH的中點(diǎn).求證：直線MN經(jīng)過一個定點(diǎn).

02.如圖，點(diǎn)F在拋物線.y=/+%—2上，點(diǎn)E平移線段EF至HG,使H,G分別與E,F對應(yīng)，且H,G均

落在拋物線上，連接FH.求證：直線FH經(jīng)過一個定點(diǎn).

專題二十一拋物線與參數(shù)計算(6)——定直線上的動點(diǎn)

01.如圖，過點(diǎn)(1,4)的直線與拋物線y=交于c,D兩點(diǎn),直線PC,PD與拋物線均只有一個公共點(diǎn)，且PC,PD

與y軸不平行，問點(diǎn)P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由.

02.如圖，直線.y=2%與拋物線y=好交于O,G兩點(diǎn)，過OG的中點(diǎn)H作直線MN(異于直線OG)交拋物線C?于

M,N兩點(diǎn)，直線MO與直線GN交于點(diǎn)P.問點(diǎn)P是否在一條定直線上?若是，求該直線的解析式；若不是，

說明理由.

專題二十二拋物線與參數(shù)計算⑺一直線的位置關(guān)系

核心考點(diǎn)一互相垂直

01.如圖，拋物線y=直線1：y=七久+1（七＜0）與X軸交于點(diǎn)D，經(jīng)過點(diǎn)D的直線y=k2x+6（后＞0）與拋物

線只有唯一公共點(diǎn)，求M與七的數(shù)量關(guān)系.

核心考點(diǎn)二互相平行

02.如圖,拋物線y=a/+c（a）0）交y軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)D（0,2c）的直線交拋物線于點(diǎn)F,E,FC交x軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)

E的直線1與拋物線只有一個公共點(diǎn)，1交y軸于點(diǎn)P.求證：PQ\\EF.

03.如圖,拋物線y=-/+久+2與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.平行于BC的直線MN交拋物線于M,N

兩點(diǎn)，作直線MC,NB的交點(diǎn)P,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

04.如圖,點(diǎn)P是拋物線y=之一上不與原點(diǎn)重合的點(diǎn)，直線y=丘+b與拋物線只有唯一公共點(diǎn)P,交y軸于點(diǎn)Q,

過點(diǎn)Q的直線QS交拋物線于點(diǎn)R,S（R,S與點(diǎn)P不在同一象限），且瞿=，點(diǎn)T是PS中點(diǎn)，求證：RT||y軸.

專題二十三拋物線與參數(shù)計算⑻——定值

核心考點(diǎn)一截距相關(guān)的線段

01如圖,拋物線.y=/-1交X軸于A,B兩點(diǎn)（A在B的左邊）,F是原點(diǎn)O關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)，不平行y軸

的直線1分別交線段AF,BF（不含端點(diǎn)）于G,H兩點(diǎn)，若直線1與拋物線只有一個公共點(diǎn)，求證：FG+FH的

值是定值.

核心考點(diǎn)二拋物線和直線的參數(shù)關(guān)系

02如圖.拋物線y=a/+法+c與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)G,點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)拋物線上，點(diǎn)Q在y

軸右側(cè)拋物線上，直線CQ交y軸于點(diǎn)F,直線PC交y軸于點(diǎn)H,設(shè)直線PQ解析式為.y=kx+t若SHCQ=2

SGCQ,試證明￡為一個定值.

專題二十四拋物線與參數(shù)計算⑼一拋物線內(nèi)接斜X型

核心考點(diǎn)一截距相關(guān)的線段

01如圖,拋物線y=Y-2x-3交x軸于A,B兩點(diǎn)（A在B的左邊），C是第一象限拋物線上一點(diǎn)，直線AC交y軸

于點(diǎn)P.直線BP交拋物線于另一點(diǎn)E,連接CE交y軸于點(diǎn)F,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m.求.蕓的值（用含m的式子表

示）.

核心考點(diǎn)二線段比

02.如圖，已知拋物線y=/-2尤_3與x軸交于A,B,與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)N為y軸上一點(diǎn),AN,BN交拋物線于E,

F兩點(diǎn),求簫肆勺值.

專題二十五拋物線與參數(shù)計算（10）——倒數(shù)和

01.如圖,過點(diǎn)D（2,0）的直線交拋物線y=,2于點(diǎn)E,F,點(diǎn)Q（4,m）為拋物線上一點(diǎn)射線QE,QF分別交x軸于點(diǎn)

GH,求親+總的值

02.如圖,拋物線y=Y-2%-3與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交點(diǎn)為C.直線y=丘（公0）與拋

物線交于P,Q兩點(diǎn)（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)），與直線y=-2x+3交于點(diǎn)R.試證明：無論k取任何正數(shù)，9+

1=日立?

OR

CM

專題二十六拋物線大綜合⑴一定直線上的動點(diǎn)

01拋物線y=-K2+?+C與X軸交于A,B(l,0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,Q是AC上方拋物線上一點(diǎn)，若SACQ=js^Bc，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)如圖2,過點(diǎn)D(0,1)的直線交拋物線于E,F兩點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線與過點(diǎn)F的直線交于點(diǎn)P,若直線PE和

PF與拋物線均只有一個公共點(diǎn)，求