北師大版八年級數(shù)學上冊 第二章 實數(shù) 知識歸納與題型突破（二十一類題型清單） （原卷版）

第二章實數(shù)知識歸納與題型突破（二十一類題型清單）

01思維導圖

題型十一整數(shù)部分、小數(shù)部分問題

鸚一實數(shù)的幅與分類

y-題型十二實數(shù)的大小比較

題型二平方根與琳平方根

題型十三實數(shù)與數(shù)軸

題型三平方根立方根解方程問題

題型十四無嬲的估算

題型四算術(shù)平方根的非負性

題型十五程序框圖

題亞立方根

實數(shù)

題型十七二次根式的概念、有意義的條件、求值

題型七平方根與立方根綜合問題

/1Vk題型十八二次根式的化簡

題型八算術(shù)平方根、立方根的實際應用

題型十九最簡二次根式等有關(guān)概念

題型九小數(shù)點移動問題

題型二十二次根式的運算

題型十用計算器開方

題型二十一二次根式的應用

02知識速記

、平方根和立方根

類型

平方根立方根

項目

被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)

符號表示±Va\[a

一個正數(shù)有兩個平方根，且互為一個正數(shù)有一個正的立方根；

相反數(shù)；一個負數(shù)有一個負的立方根；

性質(zhì)

零的平方根為零；零的立方根是零；

負數(shù)沒有平方根；

(右)2=a(a>0)(V^)3=a

重要結(jié)論行=心上叫=a

[-a(a<0)\l-a=-\[a

二、無理數(shù)與實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類

［正有理數(shù)'

有理數(shù)零有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)＜負有理數(shù)，

正無理數(shù)'

無理數(shù)＜＞無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù),

要點：(1)所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無限

循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

(2)無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如石，蚯等；

②有特殊意義的數(shù)，如“；

③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001-

(3)凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.

2.實數(shù)與數(shù)軸上的點--對應

數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.

4.實數(shù)的運算

數(shù)。的相反數(shù)是一。；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它相反數(shù)；0的絕對值是0.

有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，

最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.

5.實數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

法則L實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;

法則2.正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而?。?/p>

法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)

1.二次根式

形如、石(a20)的式子叫做二次根式，如百,應，面等式子，都叫做二次根式.

要點：二次根式&有意義的條件是a20,即只有被開方數(shù)。20時，式子”■才是二次根式，血才有意

義.

l/_.jrr（a20）

2.二次根式的性質(zhì)（1）GaQg之6；（2）（忑）=a（a>0）；（3）電2=|。卜1_4（4<0）.

3.最簡二次根式

（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

（2）被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.

滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如后,而,36,而工廬等都是最簡二次根式.

要點：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

4.同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.

要點：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.

四、二次根式的運算

1.乘除法

（1）乘除法法則：

類型法則逆用法則

___積的算術(shù)平方根化簡公式：

二次根式的乘法4a^4b=4ab（a>0,Z?>0）r—廠r-.八，小

7ab=7ax7b（a>0,Z?>0）

商的算術(shù)平方根化簡公式：

二次根式的除法=b>0）舊血,、…八、

4b以‘）T=為""0''>°

要點：

（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如

a4b-c4d=ac4bd■

（2）被開方數(shù)a、6一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如J（-4）x（-9）wax".

2.加減法

將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同

類二次根式.

要點：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并

同類二次根式.如亞+3亞-5后=（1+3-5）0=-V2.

03題型歸納

題型一實數(shù)的概念與分類

例題

舟。21131

1.在下列各數(shù)：3.1415926、—、小、癇中，無理數(shù)的個數(shù)（）

7111

A.2B.3C.4D.5

鞏固訓練

2.在實數(shù)-收,0.31,-（,-1彳,血?,瘋兩,0.1010010001…，（每隔一個1增加一個0）中，無理數(shù)有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.下列說法正確的是（）

A.兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)B.無限小數(shù)都是無理數(shù)

C.實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示D.分數(shù)可能是無理數(shù)

4.把下列各數(shù)填人相應的集合內(nèi)：

-7T」,3.1,±0.8080080008…（相鄰兩個8之間0的個數(shù)逐步甲1）,L五,我,后,“T

3942

整數(shù)集合｛…｝

負分數(shù)集合｛...）

有理數(shù)集合｛

無理數(shù)集合｛...）

題型二平方根與算術(shù)平方根

例題

5.下列說法正確的是（）

A.-8的立方根是±2B.（-4下的算術(shù)平方根是-4

C.J記的平方根是±4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0

鞏固訓練

6.下列計算正確的是（）

A.（G）=3B.土&=1C.VT6=±4D.3)2=—3

7.一個正數(shù)的兩個平方根分別為4〃?-2與-則這個正數(shù)為（）

36

A.1B.2C.—D.4

25

8.下列說法中錯誤的是（）

A.1是0.25的一個平方根B.正數(shù)。的兩個平方根的和為0

C.J9的3平方根是D.當xwO時，-/有平方根

164

9.J語的算術(shù)平方根等于（）

A.4B.±4C.2D.±2

題型三平方根、立方根的解方程問題

例題

10.解方程：

(1)(X-1)2=V36

(2)(X-1)3=-27

鞏固訓練

11.求出下列x的值.

(1)4/一49=0;

⑵27(x+iy=-64.

題型四算術(shù)平方根的非負性

例題

12.已知。、b為實數(shù),且歷^+卜-2|=0,則2a-3b的值為（）

9

A.-12B.-5C.—D.13

10

鞏固訓練

13.已知工，y為實數(shù)，且Gl+3（y+2）2=0,則x-y的值為（）

A.3B.-3C.1D.-1

14.已知[2。+可與國正互為相反數(shù).

⑴求。、b的值.

⑵求2a-36的平方根.

15.已知一個正方形的邊長為。，面積為S,則()

A.S=y[aB.S的平方根是。

C.。是S的算術(shù)平方根D.a=±\/~S

題型五立方根

例題

16.對于琳說法錯誤的是()

A.表示-8的立方根B.結(jié)果等于-2C.與-我的結(jié)果相等D.沒有意義

鞏固訓練

17.下列說法正確的是()

A.任意實數(shù)都有平方根B.任意實數(shù)都有立方根

C.任意實數(shù)都有平方根和立方根D.正數(shù)的平方根和立方根都只有一個

20.已知機-a=-2,則夜的值是（）

A.±2B.2C.±3D.3

題型六立方根的性質(zhì)及應用

例題

21.若次+乎7=0,則x和y的關(guān)系是（）

A.x=y=0B.x和y互為相反數(shù)C.不能確定D.x和y相等

鞏固訓練

22.已矢口以1一2x與歹3x-7互為相反數(shù)，則％=.

23.2a-l的平方根為±3,3a-6+l的立方根為2,則『2a+26+1的值為（）

A.-3B.3C.±3D.不確定

題型七平方根與立方根綜合問題

例題

24.若一個數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根相同，則這個數(shù)是（）

A.1B.0或1C.0D.非負數(shù)

鞏固訓練

25.已知2a-1的平方根是±3,6-1的立方根是2,則a=_____,b=______,b-a的算術(shù)平方根是________

26.如果A2a+3b為。+3。的算術(shù)平方根，B=2a-b^-a2為1-/的立方根，則A+B的平方根為

題型八算術(shù)平方根、立方根的實際應用

例題

27.依次連結(jié)2x2方格四條邊的中點得到一個陰影正方形，設(shè)每一方格的邊長為1，陰影正方形的邊長是

（）

+

A.2B.V2C.V3D.2.5

鞏固訓練

28.如圖在長方形ABC。內(nèi)，兩個小正方形的面積分別為1和2,則圖中陰影部分的面積為（）

29.已知一個正方體的體積是lOOOcn?,現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去1個大小相同的小正方體，截去后

余下部分的體積為936cm3,則截去的每個小正方體的棱長是cm.

題型九算術(shù)平方根、立方根小數(shù)點移動問題

例題

30.如果起方。1.333,^23/7-2.872,那么423700、

鞏固訓練

31.已知近=°,則%.007+的000的值是（）

A.0.1〃B.aC.1.1aD.10.1a

32.已知Jo.1587~0.3984,6.587-1,260,W1587?0.5414知1.587它1.166聰明的同學你能不用計算器得出（1）

V15.87?.（2）以0.001587-

題型十用計算器開方

例題

回國口叵叵國日則計

33.利用教材中的計算器依次按鍵如下:

算器顯示的結(jié)果與下列各數(shù)中最接近的一個是（）

A.0.5B.0.6C.0.8D.0.9

鞏固訓練

34.在使用。F570型號的計算器時，小明輸入一個數(shù)據(jù)后，按照以下步驟操作，依次按照從第一步到第三

步循環(huán)按鍵：

［始人［7］曰―|2ndF|［71r=T-?0S

第一步第二步第三步

若一開始輸入的數(shù)據(jù)為5,那么第2022步之后，顯示的結(jié)果是（）

A.5B.-C.—D.25

525

35.若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序為:

則輸出結(jié)果為（）

A.8B.4C.-D.-

84

題型十一整數(shù)部分、小數(shù)部分問題

例題

36.若病的整數(shù)部分為加，則機的算術(shù)平方根的值最接近整數(shù)（）

A.2B.3C.4D.5

鞏固訓練

37.已知4+而的小數(shù)部分是4-而的小數(shù)部分是則S+6廣3=.

38.已知正數(shù)x的兩個不等的平方根分別是2“-14和。+2,b+1的立方根為-3；c是6的整數(shù)部分，若

a+\[3c=m+n,其中機為整數(shù)，0</<1,則（"+3）（6—機）=.

39.在學習《實數(shù)》內(nèi)容時，我們通過“逐步逼近”的方法可以計算出行的近似值，得出1.4<逝<1.5.利

用“逐步逼近”法，請回答問題：

（1）J五介于連續(xù)的兩個整數(shù)。和b，且。<b,那么。=_,b=_；

（2）如果若的小數(shù)部分為a,屈的整數(shù)部分為b,求a+b-逐的值;

（3）已知：10+&=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,求y-x的值.

題型十二實數(shù)的大小比較

例題

40.在實數(shù)1,0,--，-亞中，最小的是.

鞏固訓練

J-（填寫“〉"吏或"="）

41.比較大小：—

2V4

42.比較大?。喝缍?

-（選填“>"，“<"或，="）

33

題型十三實數(shù)與數(shù)軸

例題

43.如圖，實數(shù)一板+1在數(shù)軸上的對應點可能是（）

、A、q、q、i?，??

-2-101234

A.A點B.B點C.C點D.D點、

鞏固訓練

44.下列說法正確的是（）

A.有理數(shù)與數(shù)軸上的點---對應

B.也是一個近似值，不是準確值

C.兩個整數(shù)相除，如果永遠都除不盡，那么結(jié)果一定是一個無理數(shù)

D.任意一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù)

45.觀察下圖，每個小正方形的邊長均為1.

（1）圖中陰影部分（正方形）的面積是，邊長是;

（2）作圖：在數(shù)軸上作出邊長的對應點P（要求保留作圖痕跡）；

-5-4-3-2-1012345

（3）在（2）題的數(shù)軸上表示1的點記為點N也在這條數(shù)軸上且MN=MP,直接寫出點N表示的數(shù).

題型十四無理數(shù)的估算

例題

46.估計22的值應在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

鞏固訓練

47.已知a＜石＜b,a,b是連續(xù)的正整數(shù)，貝6的值為（）

A.4B.5C.6D.7

48.m.〃是連續(xù)的兩個整數(shù)，若加＜幾＜/，則，"+〃的值為.

49.下面是小李同學探索加的近似數(shù)的過程：

:面積為107的正方形邊長是&而，且io＜VH萬＜11,

設(shè)Vi而=io+x,其中o＜x＜i,畫出如圖示意圖，

:圖中S正方形=U+2X10尤+尤2，S正方形=107.

/.102+2xl0x+x2=107,

當V較小時，省略得20x+100al07,得到x20.35,即a而=10.35.

(1)內(nèi)的整數(shù)部分是.

(2)仿照上述方法，探究舊的近似值.(畫出示意圖，標明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程，精確到0.1)

(3)結(jié)合上述具體實例，已知非負整數(shù)。、b、m,^a<4m<a+\,且"2=/+/,,請估算而.(用

a、b的代數(shù)式表示)

題型十五程序框圖

例題

50.在信息技術(shù)課上，好學的小明制作了一個關(guān)于實數(shù)Mxl<20)的運算程序如圖所示，若輸出的y值為行

時，則輸入的實數(shù)x可取的負整數(shù)值是.

⑴當輸入的X為36時，輸出的y的值是；

（2）若輸入x值后，始終輸不出y的值，則滿足題意的x值是；

⑶若輸出的V>2,則無的最小整數(shù)值是.

題型十六材料信息題

例題

53.觀察上表中的數(shù)據(jù)信息：則下列結(jié)論：①J2.2801=1.51；@723409-723104=1；③只有3個正整數(shù)a

滿足15.2〈右<15.3;@Vl31-1.51<0.其中正確的是.（填寫序號）

a1515.115.215.315.4

a2225228.01231.04234.09237.16

鞏固訓練

54.對于任何實數(shù)a,我們規(guī)定：用符號⑷表示不超過a的最大整數(shù)，例如：[2]=2,=1,卜2.5]=-3.現(xiàn)

對72進行如下操作：

第1次第2次第3次

72-----------?[^72曰-------->1x8J=2-----------?[^2尸1'

這樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?.類似地,只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是.

題型十七二次根式的概念、有意義的條件、求值

例題

55.下列式子屬于二次根式的是（）

A.5B.1C.V3D.4

鞏固訓練

56.若代數(shù)式/在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___.

V4-x

57.已知Ja（q_2）=&,血-2,則。的取值范圍是.

58.已知”是正整數(shù)，質(zhì)而是整數(shù)，則”的最小值為.

59.已知x、y為實數(shù)，且y=VT萬-7^7+4,則x、y的值分別為（）

A.9、4B.2、3C.4、9D.3、4

題型十八二次根式的化簡

例題

60.化簡：/1一向=

鞏固訓練

61.若xy<0,則曲化簡后的結(jié)果是()

A.Xy/yB.Xyf-yC.-x-^-yD.-xy/y

62.實數(shù)〃，對應的點在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡J（〃L2）2+J（〃L7）2的結(jié)果為（）

111■1

-i0I24

A.2m-9B.-5C.5D.9-2m

63.如果J(x_3y=3-了，那么x的取值范圍是（）

A.x<3B.x<3C.x>3D.x>3

題型十九最簡二次根式等有關(guān)概念

例題

64.下列二次根式中，是最簡二次根式的是()

A。Q

B.也c.VilD.V12

鞏固訓練

65.下列根式中，是最簡二次根式的是（）

A.415bB.J12a-12bC.yjx2-y2D.yl3a3b

66.下列各組二次根式中，能合并的是（）

A.G和0B.也和Mc.通和MD.6和

67.若最簡二次根式工也行與衣哆是同類二次根式，則，=_.

68.如果最簡二次根式J2尤+1和J4尤-3能合并,則x的值為（）

A.—B.—C.2