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2025年黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)初三畢業(yè)班第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.一個(gè)不透明的布袋里裝有7個(gè)只有顏色不同的球,其中3個(gè)紅球,4個(gè)白球,從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球,摸出的球是紅球的概率是()A. B. C. D.2.如圖,AB與⊙O相切于點(diǎn)B,OA=2,∠OAB=30°,弦BC∥OA,則劣弧的長(zhǎng)是()A. B. C. D.3.下列二次函數(shù)中,圖象以直線(xiàn)x=2為對(duì)稱(chēng)軸、且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)的是()A.y=(x﹣2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x﹣2)2﹣3D.y=(x+2)2﹣34.一次函數(shù)的圖象上有點(diǎn)和點(diǎn),且,下列敘述正確的是A.若該函數(shù)圖象交y軸于正半軸,則B.該函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.無(wú)論m為何值,該函數(shù)圖象一定過(guò)第四象限D(zhuǎn).該函數(shù)圖象向上平移一個(gè)單位后,會(huì)與x軸正半軸有交點(diǎn)5.下列圖形中,既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是()A.等邊三角形 B.菱形 C.平行四邊形 D.正五邊形6.已知,如圖,AB//CD,∠DCF=100°,則∠AEF的度數(shù)為()A.120° B.110° C.100° D.80°7.賓館有50間房供游客居住,當(dāng)每間房每天定價(jià)為180元時(shí),賓館會(huì)住滿(mǎn);當(dāng)每間房每天的定價(jià)每增加10元時(shí),就會(huì)空閑一間房.如果有游客居住,賓館需對(duì)居住的每間房每天支出20元的費(fèi)用.當(dāng)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí),賓館當(dāng)天的利潤(rùn)為10890元?設(shè)房?jī)r(jià)比定價(jià)180元增加x元,則有()A.(x﹣20)(50﹣)=10890 B.x(50﹣)﹣50×20=10890C.(180+x﹣20)(50﹣)=10890 D.(x+180)(50﹣)﹣50×20=108908.“可燃冰”的開(kāi)發(fā)成功,拉開(kāi)了我國(guó)開(kāi)發(fā)新能源的大門(mén),目前發(fā)現(xiàn)我國(guó)南?!翱扇急眱?chǔ)存量達(dá)到800億噸,將800億用科學(xué)記數(shù)法可表示為()A.0.8×1011 B.8×1010 C.80×109 D.800×1089.如圖,⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C,連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,連接EC,若AB=8,CD=2,則cos∠ECB為()A. B. C. D.10.如圖,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B、D,AC和BD相交于點(diǎn)E,EF⊥BD垂足為F.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.AEEC=BEED B.AE二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11.老師在黑板上書(shū)寫(xiě)了一個(gè)正確的演算過(guò)程,隨后用手掌捂住了一個(gè)多項(xiàng)式,形式如﹣2x2﹣2x+1=﹣x2+5x﹣3:則所捂住的多項(xiàng)式是___.12.正多邊形的一個(gè)外角是,則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是___________________.13.化簡(jiǎn):=_____.14.如圖,已知,要使,還需添加一個(gè)條件,則可以添加的條件是.(只寫(xiě)一個(gè)即可,不需要添加輔助線(xiàn))15.如圖,圓錐的表面展開(kāi)圖由一扇形和一個(gè)圓組成,已知圓的面積為100π,扇形的圓心角為120°,這個(gè)扇形的面積為.16.寫(xiě)出經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0),(﹣2,0)的一個(gè)二次函數(shù)的解析式_____(寫(xiě)一個(gè)即可).三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)如圖,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,的半徑為,P為上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為_(kāi)_____,______;是否存在點(diǎn)P,使得為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;連接PB,若E為PB的中點(diǎn),連接OE,則OE的最大值______.18.(8分)如圖,在△ABC中,AD、AE分別為△ABC的中線(xiàn)和角平分線(xiàn).過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE于點(diǎn)H,并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F,連接DH,求證:DH=BF.19.(8分)如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,在斜坡下的點(diǎn)C處測(cè)得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的D處測(cè)得樓頂B的仰角為45°,其中點(diǎn)A,C,E在同一直線(xiàn)上.求坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值;求斜坡CD的長(zhǎng)度.20.(8分)如圖,在△ABC中,AB>AC,點(diǎn)D在邊AC上.(1)作∠ADE,使∠ADE=∠ACB,DE交AB于點(diǎn)E;(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)(2)若BC=5,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),求DE的長(zhǎng).21.(8分)如圖,在東西方向的海岸線(xiàn)MN上有A,B兩港口,海上有一座小島P,漁民每天都乘輪船從A,B兩港口沿AP,BP的路線(xiàn)去小島捕魚(yú)作業(yè).已知小島P在A港的北偏東60°方向,在B港的北偏西45°方向,小島P距海岸線(xiàn)MN的距離為30海里.求AP,BP的長(zhǎng)(參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7,≈2.2);甲、乙兩船分別從A,B兩港口同時(shí)出發(fā)去小島P捕魚(yú)作業(yè),甲船比乙船晚到小島24分鐘.已知甲船速度是乙船速度的1.2倍,利用(1)中的結(jié)果求甲、乙兩船的速度各是多少海里/時(shí)?22.(10分)“六一”兒童節(jié)前夕,某縣教育局準(zhǔn)備給留守兒童贈(zèng)送一批學(xué)習(xí)用品,先對(duì)紅星小學(xué)的留守兒童人數(shù)進(jìn)行抽樣統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)各班留守兒童人數(shù)分別為6名,7名,8名,10名,12名這五種情形,并繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問(wèn)題:(1)該校有_____個(gè)班級(jí),補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(2)求該校各班留守兒童人數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù),眾數(shù)與中位數(shù);(3)若該鎮(zhèn)所有小學(xué)共有60個(gè)教學(xué)班,請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)該鎮(zhèn)小學(xué)生中,共有多少名留守兒童.23.(12分)填空并解答:某單位開(kāi)設(shè)了一個(gè)窗口辦理業(yè)務(wù),并按顧客“先到達(dá),先辦理”的方式服務(wù),該窗口每2分鐘服務(wù)一位顧客.已知早上8:00上班窗口開(kāi)始工作時(shí),已經(jīng)有6位顧客在等待,在窗口工作1分鐘后,又有一位“新顧客”到達(dá),且以后每5分鐘就有一位“新顧客”到達(dá).該單位上午8:00上班,中午11:30下班.(1)問(wèn)哪一位“新顧客”是第一個(gè)不需要排隊(duì)的?分析:可設(shè)原有的6為顧客分別為a1、a2、a3、a4、a5、a6,“新顧客”為c1、c2、c3、c4….窗口開(kāi)始工作記為0時(shí)刻.a(chǎn)1a2a3a4a5a6c1c2c3c4…到達(dá)窗口時(shí)刻000000161116…服務(wù)開(kāi)始時(shí)刻024681012141618…每人服務(wù)時(shí)長(zhǎng)2222222222…服務(wù)結(jié)束時(shí)刻2468101214161820…根據(jù)上述表格,則第位,“新顧客”是第一個(gè)不需要排隊(duì)的.(2)若其他條件不變,若窗口每a分鐘辦理一個(gè)客戶(hù)(a為正整數(shù)),則當(dāng)a最小取什么值時(shí),窗口排隊(duì)現(xiàn)象不可能消失.分析:第n個(gè)“新顧客”到達(dá)窗口時(shí)刻為,第(n﹣1)個(gè)“新顧客”服務(wù)結(jié)束的時(shí)刻為.24.如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,A、C分別在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,2),直線(xiàn)交AB,BC分別于點(diǎn)M,N,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,N.求反比例函數(shù)的解析式;若點(diǎn)P在y軸上,且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、B【解析】袋中一共7個(gè)球,摸到的球有7種可能,而且機(jī)會(huì)均等,其中有3個(gè)紅球,因此摸到紅球的概率為,故選B.2、B【解析】解:連接OB,OC.∵AB為圓O的切線(xiàn),∴∠ABO=90°.在Rt△ABO中,OA=2,∠OAB=30°,∴OB=1,∠AOB=60°.∵BC∥OA,∴∠OBC=∠AOB=60°.又∵OB=OC,∴△BOC為等邊三角形,∴∠BOC=60°,則劣弧BC的弧長(zhǎng)為=π.故選B.點(diǎn)睛:此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì),含30度直角三角形的性質(zhì),以及弧長(zhǎng)公式,熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.3、C【解析】試題分析:根據(jù)頂點(diǎn)式,即A、C兩個(gè)選項(xiàng)的對(duì)稱(chēng)軸都為x=2,再將(0,1)代入,符合的式子為C選項(xiàng)考點(diǎn):二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、對(duì)稱(chēng)軸點(diǎn)評(píng):本題考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的掌握,難度較小,二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式為y=(x-a)2+h,頂點(diǎn)坐標(biāo)為4、B【解析】
利用一次函數(shù)的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷后即可得到正確的結(jié)論.【詳解】解:一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上,則,,若,則,故A錯(cuò)誤;
把代入得,,則該函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn),故B正確;
當(dāng)時(shí),,,函數(shù)圖象過(guò)一二三象限,不過(guò)第四象限,故C錯(cuò)誤;
函數(shù)圖象向上平移一個(gè)單位后,函數(shù)變?yōu)椋援?dāng)時(shí),,故函數(shù)圖象向上平移一個(gè)單位后,會(huì)與x軸負(fù)半軸有交點(diǎn),故D錯(cuò)誤,
故選B.本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象與幾何變換,解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì),靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題,屬于中考??碱}型.5、B【解析】
在平面內(nèi),如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)對(duì)折,直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合,這樣的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形;在平面內(nèi)一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形能互相重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形,分別判斷各選項(xiàng)即可解答.【詳解】解:A、等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,不是中心對(duì)稱(chēng)圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,也是中心對(duì)稱(chēng)圖形,故此選項(xiàng)正確;C、平行四邊形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形,是中心對(duì)稱(chēng)圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D、正五邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,不是中心對(duì)稱(chēng)圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:B.本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義,熟練掌握是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】
先利用鄰補(bǔ)角得到∠DCE=80°,然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求解.【詳解】∵∠DCF=100°,∴∠DCE=80°,∵AB∥CD,∴∠AEF=∠DCE=80°.故選D.本題考查了平行線(xiàn)性質(zhì):兩直線(xiàn)平行,同位角相等;兩直線(xiàn)平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ);兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.7、C【解析】
設(shè)房?jī)r(jià)比定價(jià)180元増加x元,根據(jù)利潤(rùn)=房?jī)r(jià)的凈利潤(rùn)×入住的房同數(shù)可得.【詳解】解:設(shè)房?jī)r(jià)比定價(jià)180元增加x元,根據(jù)題意,得(180+x﹣20)(50﹣)=1.故選:C.此題考查一元二次方程的應(yīng)用問(wèn)題,主要在于找到等量關(guān)系求解.8、B【解析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>10時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí),n是負(fù)數(shù).【詳解】解:將800億用科學(xué)記數(shù)法表示為:8×1.
故選:B.此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.9、D【解析】
連接EB,設(shè)圓O半徑為r,根據(jù)勾股定理可求出半徑r=4,從而可求出EB的長(zhǎng)度,最后勾股定理即可求出CE的長(zhǎng)度.利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.【詳解】解:連接EB,由圓周角定理可知:∠B=90°,設(shè)⊙O的半徑為r,由垂徑定理可知:AC=BC=4,∵CD=2,∴OC=r-2,∴由勾股定理可知:r2=(r-2)2+42,∴r=5,BCE中,由勾股定理可知:CE=2,∴cos∠ECB==,故選D.本題考查垂徑定理,涉及勾股定理,垂直定理,解方程等知識(shí),綜合程度較高,屬于中等題型.10、A【解析】
利用平行線(xiàn)的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD,∴AB∥CD∥EF∴△ABE∽△DCE,∴AEED=AB∵EF∥AB,∴EFAB∴ADDB=AEBF,故選項(xiàng)故選:A.考查平行線(xiàn)的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考??碱}型.二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)11、x2+7x-4【解析】
設(shè)他所捂的多項(xiàng)式為A,則接下來(lái)利用去括號(hào)法則對(duì)其進(jìn)行去括號(hào),然后合并同類(lèi)項(xiàng)即可.【詳解】解:設(shè)他所捂的多項(xiàng)式為A,則根據(jù)題目信息可得他所捂的多項(xiàng)式為故答案為本題是一道關(guān)于整數(shù)加減運(yùn)算的題目,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握整數(shù)的加減運(yùn)算;12、540°【解析】
根據(jù)多邊形的外角和為360°,因此可以求出多邊形的邊數(shù)為360°÷72°=5,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n-2)·180°,可得(5-2)×180°=540°.考點(diǎn):多邊形的內(nèi)角和與外角和13、【解析】
先算除法,再算減法,注意把分式的分子分母分解因式【詳解】原式===此題考查分式的混合運(yùn)算,掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵14、可添∠ABD=∠CBD或AD=CD.【解析】
由AB=BC結(jié)合圖形可知這兩個(gè)三角形有兩組邊對(duì)應(yīng)相等,添加一組邊利用SSS證明全等,也可以添加一對(duì)夾角相等,利用SAS證明全等,據(jù)此即可得答案.【詳解】.可添∠ABD=∠CBD或AD=CD,①∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中,∵,∴△ABD≌△CBD(SAS);②AD=CD,在△ABD和△CBD中,∵,∴△ABD≌△CBD(SSS),故答案為∠ABD=∠CBD或AD=CD.本題考查了三角形全等的判定,結(jié)合圖形與已知條件靈活應(yīng)用全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.熟記全等三角形的判定方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.15、300π【解析】試題分析:首先根據(jù)底面圓的面積求得底面的半徑,然后結(jié)合弧長(zhǎng)公式求得扇形的半徑,然后利用扇形的面積公式求得側(cè)面積即可.∵底面圓的面積為100π,∴底面圓的半徑為10,∴扇形的弧長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)為20π,設(shè)扇形的母線(xiàn)長(zhǎng)為r,則=20π,解得:母線(xiàn)長(zhǎng)為30,∴扇形的面積為πrl=π×10×30=300π考點(diǎn):(1)、圓錐的計(jì)算;(2)、扇形面積的計(jì)算16、y=x2+2x(答案不唯一).【解析】
設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=ax(x+2),令a=1即可.【詳解】∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,0),(﹣2,0),∴可設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=ax(x+2),把a(bǔ)=1代入,得y=x2+2x.故答案為y=x2+2x(答案不唯一).本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,此題屬開(kāi)放性題目,答案不唯一.三、解答題(共8題,共72分)17、(1)B(1,0),C(0,﹣4);(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(﹣1,﹣2)或(,)或(,﹣﹣4)或(﹣,﹣4);(1).【解析】試題分析:(1)在拋物線(xiàn)解析式中令y=0可求得B點(diǎn)坐標(biāo),令x=0可求得C點(diǎn)坐標(biāo);(2)①當(dāng)PB與⊙相切時(shí),△PBC為直角三角形,如圖1,連接BC,根據(jù)勾股定理得到BC=5,BP2的值,過(guò)P2作P2E⊥x軸于E,P2F⊥y軸于F,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=2,設(shè)OC=P2E=2x,CP2=OE=x,得到BE=1﹣x,CF=2x﹣4,于是得到FP2,EP2的值,求得P2的坐標(biāo),過(guò)P1作P1G⊥x軸于G,P1H⊥y軸于H,同理求得P1(﹣1,﹣2),②當(dāng)BC⊥PC時(shí),△PBC為直角三角形,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論;(1)如圖1中,連接AP,由OB=OA,BE=EP,推出OE=AP,可知當(dāng)AP最大時(shí),OE的值最大.試題解析:(1)在中,令y=0,則x=±1,令x=0,則y=﹣4,∴B(1,0),C(0,﹣4);故答案為1,0;0,﹣4;(2)存在點(diǎn)P,使得△PBC為直角三角形,分兩種情況:①當(dāng)PB與⊙相切時(shí),△PBC為直角三角形,如圖(2)a,連接BC,∵OB=1.OC=4,∴BC=5,∵CP2⊥BP2,CP2=,∴BP2=,過(guò)P2作P2E⊥x軸于E,P2F⊥y軸于F,則△CP2F∽△BP2E,四邊形OCP2B是矩形,∴=2,設(shè)OC=P2E=2x,CP2=OE=x,∴BE=1﹣x,CF=2x﹣4,∴=2,∴x=,2x=,∴FP2=,EP2=,∴P2(,﹣),過(guò)P1作P1G⊥x軸于G,P1H⊥y軸于H,同理求得P1(﹣1,﹣2);②當(dāng)BC⊥PC時(shí),△PBC為直角三角形,過(guò)P4作P4H⊥y軸于H,則△BOC∽△CHP4,∴=,∴CH=,P4H=,∴P4(,﹣﹣4);同理P1(﹣,﹣4);綜上所述:點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(﹣1,﹣2)或(,)或(,﹣﹣4)或(﹣,﹣4);(1)如圖(1),連接AP,∵OB=OA,BE=EP,∴OE=AP,∴當(dāng)AP最大時(shí),OE的值最大,∵當(dāng)P在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),AP的值最大,最大值=,∴OE的最大值為.故答案為.18、見(jiàn)解析.【解析】
先證明△AFC為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一證明H為FC的中點(diǎn),又D為BC的中點(diǎn),根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)即可證明.【詳解】∵AE為△ABC的角平分線(xiàn),CH⊥AE,∴△ACF是等腰三角形,∴AF=AC,HF=CH,∵AD為△ABC的中線(xiàn),∴DH是△BCF的中位線(xiàn),∴DH=BF.本題考查三角形中位線(xiàn)定理,等腰三角形的判定與性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是證明H點(diǎn)為FC的中點(diǎn),然后利用中位線(xiàn)的性質(zhì)解決問(wèn)題.本題中要證明DH=BF,一般三角形中出現(xiàn)這種2倍或關(guān)系時(shí),常用中位線(xiàn)的性質(zhì)解決.19、(1)坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值為20米;(2)斜坡CD的長(zhǎng)度為80-120米.【解析】分析:(1)在直角三角形ABC中,利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長(zhǎng)即可;(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,則四邊形AEDF為矩形,得AF=DE,DF=AE.利用DF=AE=AC+CE求解即可.詳解:(1)在直角△ABC中,∠BAC=90°,∠BCA=60°,AB=60米,則AC=(米)答:坡底C點(diǎn)到大樓距離AC的值是20米.(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,則四邊形AEDF為矩形,∴AF=DE,DF=AE.設(shè)CD=x米,在Rt△CDE中,DE=x米,CE=x米在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF=60-x(米)∵DF=AE=AC+CE,∴20+x=60-x解得:x=80-120(米)故斜坡CD的長(zhǎng)度為(80-120)米.點(diǎn)睛:此題考查了解直角三角形-仰角俯角問(wèn)題,坡度坡角問(wèn)題,熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.20、(1)作圖見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的步驟解答即可;(2)由作法可得DE∥BC,又因?yàn)镈是AC的中點(diǎn),可證DE為△ABC的中位線(xiàn),從而運(yùn)用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)求解.【詳解】解:(1)如圖,∠ADE為所作;(2)∵∠ADE=∠ACB,∴DE∥BC,∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),∴DE為△ABC的中位線(xiàn),∴DE=BC=.21、(1)AP=60海里,BP=42(海里);(2)甲船的速度是24海里/時(shí),乙船的速度是20海里/時(shí)【解析】
(1)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E,則有PE=30海里,由題意,可知∠PAB=30°,∠PBA=45°,從而可得AP=60海里,在Rt△PEB中,利用勾股定理即可求得BP的長(zhǎng);(2)設(shè)乙船的速度是x海里/時(shí),則甲船的速度是1.2x海里/時(shí),根據(jù)甲船比乙船晚到小島24分鐘列出分式方程,求解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可得.【詳解】(1)如圖,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥MN,垂足為E,由題意,得∠PAB=90°-60°=30°,∠PBA=90°-45°=45°,∵PE=30海里,∴AP=60海里,∵PE⊥MN,∠PBA=45°,∴∠PBE=∠BPE=45°,∴PE=EB=30海里,在Rt△PEB中,BP==30≈42海里,故AP=60海里,BP=42(海里);(2)設(shè)乙船的速度是x海里/時(shí),則甲船的速度是1.2x海里/時(shí),根據(jù)題意,得,解得x=20,經(jīng)檢驗(yàn),x=20是原方程的解,甲船的速度為1.2x=1.2×20=24(海里/時(shí)).,答:甲船的速度是24海里/時(shí),乙船的速度是20海里/時(shí).本題考查了勾股定理的應(yīng)用,分式方程的應(yīng)用,含30度角的直角三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握各相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.22、(1)16;(2)平均數(shù)是3,眾數(shù)是10,中位數(shù)是3;(3)1.【解析】
(1)根據(jù)有7名留守兒童班級(jí)有2個(gè),所占的百分比是2.5%,即可求得班級(jí)的總個(gè)數(shù),再求出有8名留守兒童班級(jí)的個(gè)數(shù),進(jìn)而補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(2)將這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列即可求得統(tǒng)計(jì)的這組留守兒童人數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);(3)利用班級(jí)數(shù)60乘以(2)中求得的平均數(shù)即可.【詳解】解:(1)該校的班級(jí)數(shù)是:2÷2.5%=16(個(gè)).則人數(shù)是8名的班級(jí)數(shù)是:16﹣1﹣2﹣6﹣2=5(個(gè)).條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充如下圖所示:故答案為16;(2)每班的留守兒童的平均數(shù)是:(1×6+2×7+5×8+6×10+2×2)÷16=3將這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列是:6,7,7,8,8,8,8,8,10,10,10,10,10,10,2,2.故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是10,中位數(shù)是(8+10)÷2=3.即統(tǒng)計(jì)的這組留守兒童人數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3,眾數(shù)是10,中位數(shù)是3;(3)該鎮(zhèn)小學(xué)生中,共有留守兒童60×3=1(名).答:該鎮(zhèn)小學(xué)生中共有留守兒童1名
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