2023-2024學(xué)年7上數(shù)學(xué)期末考點（北師大版）考點串講01 有理數(shù)及其運算（10大考點）

七年級期末大串講復(fù)習(xí)第一章

有理數(shù)及其運算第一章有理數(shù)及其運算期末復(fù)習(xí)思維導(dǎo)圖知識大全考點精析技巧總結(jié)思維導(dǎo)圖知識大全考點1有理數(shù)的概念和分類題型一正負(fù)數(shù)典例1：（2023秋?鹽田區(qū)期中）若向前走5步表示為+5步，則向后3步應(yīng)表示為（）A．﹣3步 B．+3步 C．﹣8步 D．+2步【答案】A【解答】解：向前走5步表示為+5步，則向后3步應(yīng)表示為﹣3步，變式1：（2023春?魯?shù)榭h校級期末）一種面粉的質(zhì)量標(biāo)識為“25±0.25千克”，則下列面粉中合格的有（）A．25.28千克

B．25.18千克

C．24.69千克

D．24.25千克【答案】B【解答】解：∵一種面粉的質(zhì)量標(biāo)識為“25±0.25千克”，∴合格面粉的質(zhì)量的取值范圍是：（25﹣0.25）千克～（25+0.25）千克，即合格面粉的質(zhì)量的取值范圍是：24.75千克～25.25千克，故選項A不合格，選項C不合格，選項B合格，選項D不合格．題型二有理數(shù)分類變式2：（2023秋?河北區(qū)期中）下列說法錯誤的是（）A．負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為負(fù)有理數(shù)

B．正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)

C．正有理數(shù)與負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù)

D．2.5是小數(shù)，也是分?jǐn)?shù)【答案】C【解答】解：A、負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為負(fù)有理數(shù)，正確，故A不符合題意；B、正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為整數(shù)，正確，故B不符合題意；C、正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)還有0統(tǒng)稱為有理數(shù)，錯誤，故C符合題意；D、2.5是小數(shù)，也是分?jǐn)?shù)，正確，故D不符合題意；考點3數(shù)軸題型三

數(shù)軸典例3：（2023秋?南關(guān)區(qū)校級期中）數(shù)軸上一點A向右移動4個單位長度到達(dá)點B，將點B再向左移動2個單位長度到達(dá)點C．若點C表示的數(shù)是﹣3，則點A表示的數(shù)是（）A．﹣3

B．﹣2

C．﹣5

D．2【答案】C【解答】解：﹣3+2﹣4＝﹣5，即點A表示的數(shù)是﹣5．變式3：（2023秋?南山區(qū)校級期中）若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)﹣2，則與點A相距5個單位長度的點表示的數(shù)是（）A．±7 B．±3 C．3或﹣7 D．﹣3或7【答案】C【解答】解：在數(shù)軸上與﹣2的距離等于5的點表示的數(shù)是﹣2+5＝3或﹣2﹣5＝﹣7．題型四

相反數(shù)和倒數(shù)的相關(guān)概念題型五

相反數(shù)性質(zhì)運用典例5：（2023秋?旅順口區(qū)期中）已知a、b互為相反數(shù)，那么a﹣5+b＝

．【答案】﹣5．【解答】解：∵a、b互為相反數(shù)，∴a+b＝0，∴a﹣5+b＝0﹣5＝﹣5．故答案為：﹣5．變式5：（2023秋?順德區(qū)校級月考）已知|a+4|+|3﹣b|＝0，則a+b＝

．【答案】﹣1．【解答】解：因為|a+4|+|3﹣b|＝0，所以|a+4|＝0，|3﹣b|＝0，那么a+4＝0，3﹣b＝0，即a＝﹣4，b＝3，則a+b＝﹣4+3＝﹣1．考點5絕對值典例6：（2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）絕對值大于1而小于4的整數(shù)有（）A．2個

B．3個

C．4個

D．5個【答案】C【解答】解：絕對值大于1而小于4的整數(shù)有±2，±3，故共有4個，變式6：（2023秋?旅順口區(qū)期中）下列各式正確的是（）A．|5|＝|﹣5|

B．5＝﹣|﹣5|

C．﹣|5|＝|﹣5|

D．﹣5＝|﹣5|【答案】A【解答】解：A選項，5＝5，符合題意；B選項，5≠﹣5，不符合題意；C選項，﹣5≠5，不符合題意；D選項，﹣5≠5，不符合題意；題型七

絕對值分非負(fù)性典例7：（2023秋?濟南期中）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，則ab的值是（）A．2

B．1

C．﹣2

D．﹣1【答案】C【解答】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，則ab＝（﹣2）×1＝﹣2．變式7：（2023秋?鎮(zhèn)平縣月考）若|a﹣2|與|m+n+3|互為相反數(shù)，則a+m+n＝（）A．5

B．﹣5

C．1

D．﹣1【答案】D【解答】解：∵|a﹣2|與|m+n+3|互為相反數(shù)，∴|a﹣2|+|m+n+3|＝0，而|a﹣2|≥0，|m+n+3|≥0，∴a﹣2＝0，m+n+3＝0，解得a＝2，m+n＝﹣3，∴a+m+n＝2﹣3＝﹣1，考點6：有理數(shù)加減法運算（一）加法法則

⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得0。⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。（二）加法運算定律（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a＋b=b＋a

（2）加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）（三）減法法則減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a－b=a＋（﹣）b題型八

有理數(shù)的加減運算典例8：（2023秋?花都區(qū)校級期中）計算：（1）（﹣17）+23+（﹣53）+（+36）；（2）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15．【答案】（1）﹣11；（2）8．【解答】解：（1）（﹣17）+23+（﹣53）+（+36）＝﹣17+23﹣53+36＝﹣11；（2）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15＝12+18﹣7﹣15＝8．變式8：（2022秋?密云區(qū)期末）計算：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）．【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7＝﹣27+8＝﹣19．考點7：有理數(shù)乘除法運算（一）乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負(fù)數(shù)，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數(shù)是0。（二）除法法則（1）除以一個（不等于0）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。題型九

有理數(shù)的乘除法運算考點8：有理數(shù)的乘方法則運算

（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)

（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)

（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0題型十：有理數(shù)的乘方考點點9：有理數(shù)的混合運算

（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進(jìn)行。（3）如有括號，先算括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進(jìn)行。在進(jìn)行有理數(shù)的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。題型十一

有理數(shù)的混合運算考點10：科學(xué)計數(shù)法1.科學(xué)記數(shù)法概念：把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法。﹙1≤|a|＜10﹚

注：一個n為數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n－1

2.近似數(shù)的精確度：兩種形式

（1）精確到某位或精確到小數(shù)點后某位。

（2）保留幾個有效數(shù)字注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示

例如：256000（精確到萬位）的結(jié)果是2.6×105

3.有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)。4.注：（1）用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字。例如：3.0×104的有效數(shù)字是3

。

（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。

例如：2.605萬的有效數(shù)字是2，6，0，5。題型十二

科學(xué)計數(shù)法【答案】B【解答】解：503000000＝5.03×108．故選：B．【答案】C【解答】解：11580000＝1.158×107，題型十三

有理數(shù)的實際應(yīng)用典例13：（2023秋?青秀區(qū)校級期中）某展會期間有非常精彩的直升機花式飛行表演．表演過程中一架直升機A起飛后前5次表演的高度（單位：千米，規(guī)定上升為正，下降為負(fù)）為：+3.6，﹣2.4，+2.8，﹣1.5，+0.9．（1）這次表演過程中，直升機的最高高度是多少？（2）當(dāng)直升機A完成上述5個表演動作后，直升機A的高度是多少千米？（3）若另一架直升機B在做花式飛行表演時，起飛后前4次的高度為：+3.8，﹣2，+4.1，﹣2.3．若要使直升機B在完成第5個動作后與直升機A完成5個動作后的高度相同，求直升機B的第5個動作是上升還是下降，上升或下降多少千米？【解答】解：（1）（+3.6）+（﹣2.4）+（+2.8）＝4（千米）．答：這次表演過程中，直升機的最高高度是4千米；（2）（+3.6）+（﹣2.4）+（+2.8）+（﹣1.5）+（+0.9）＝3.4（千米）．答：直升機A的高度是3.4千米；（3）3.4﹣[（+3.8）+（﹣2）+（+4.1）+（﹣2.3）]＝﹣0.2（千米）．答：直升機B的第5個動作是下降，下降0.2千米．變式13：（2023秋?洪洞縣期中）世界杯比賽中，根據(jù)場上攻守形勢，守門員會在門前來回跑動，如果以球門線為基準(zhǔn)，向前跑記作正數(shù)，返回則記作負(fù)數(shù)，一段時間內(nèi)，某守門員的跑動情況記錄如下（單位：m）：+10，﹣2，+5，﹣6，+12，﹣9，+4，﹣14．（假定開始計時時，守門員正好在球門線上）（1）守門員最后是否回到球門線上？（2）守門員離開球門線的最遠(yuǎn)距離達(dá)多少米？（3）如果守門員離開球門線的距離超過10米（不包括10米），則對方球員挑射極可能造成破門．請問在這一時間段內(nèi)，對方球員有幾次挑射破門的機會？

【解答】解：（1）+10﹣2+5﹣6+12﹣9+4﹣14＝0，答：守門員最后正好回到球門線上；（2）第一次10，第二次10﹣2＝8，第三次8+5＝13，第四次13﹣6＝7，第五次7+12＝19，第六次19﹣9＝10，第七次10+4＝14，第八次14﹣14＝0，19＞14＞13＞10＞8＞7，答：守門員離開球門線的最遠(yuǎn)距離達(dá)19米；（3）第一次10＝10，第二次10﹣2＝8＜10，第三次8+5＝13＞10，第四次13﹣6＝7＜10，第五次7+12＝19＞10，第六次19﹣9＝10，第七次10+4＝14＞10，第八次14﹣14＝0，答：對方球員有三次挑射破門的機會．常用技巧或結(jié)論有理數(shù)簡便運算技巧（十五法）一、歸類將同類數(shù)（如正數(shù)或負(fù)數(shù)）歸類計算。二、湊整將和為整數(shù)的數(shù)結(jié)合計算三、對消將相加得零的數(shù)結(jié)合計算。四、對消將相加得零的數(shù)結(jié)合計算。五、分解將一個數(shù)分解成兩個或幾個數(shù)之和的形式，或分解為它的因數(shù)相乘的形式六、轉(zhuǎn)化將小數(shù)與分?jǐn)?shù)或乘法與除法相互轉(zhuǎn)化七、變序運用運算律改變運算順序八、約簡將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡九、逆用正難則反，逆用運