2024-2025學(xué)年重慶市南開(kāi)中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷附答案解析

-2025學(xué)年重慶市南開(kāi)中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷（試卷滿(mǎn)分：100分時(shí)間：90分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.一個(gè)四邊形的四邊長(zhǎng)依次為，，，，且，則這個(gè)四邊形一定為（

）A.平行四邊形 B.矩形C.菱形 D.正方形2.若能用完全平方公式因式分解，則的值為（）A. B. C.或 D.或3.把分解因式的結(jié)果是（）A. B.C. D.4.的結(jié)果在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間（）A.7與8 B.8與9 C.9與10 D.10與115.將拋物線(xiàn)通過(guò)某種方式平移后得到拋物線(xiàn)，則下列平移方式正確的是（）A.向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度B.向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度C.向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度D.向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度6.若實(shí)數(shù)，且a，b滿(mǎn)足，，則代數(shù)式值為（）A.2 B.－20 C.2或－20 D.2或207.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.或8.若關(guān)于x的不等式組無(wú)解，且一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則符合條件的所有整數(shù)a的和是（）A.7 B.8 C.9 D.10二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.我們定義一種新函數(shù)，形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫(huà)出了“鵲橋”函數(shù)的圖象（如圖所示），并寫(xiě)出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）A.圖象與y軸的交點(diǎn)為B.圖象具有對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)C.當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值y隨x值增大而增大D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是410.已知不等式，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則不等式的解集為B.若不等式的解集為，則C.若不等式的解集為，則D.若不等式的解集為，11.已知拋物線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若，則C.已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，當(dāng)時(shí)，D.若方程的兩實(shí)數(shù)根為，則三、填空題：本題共3小題，每小題3分，共9分．12.多項(xiàng)式的最小值為_(kāi)______．13.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則△ABC的面積為_(kāi)_____．14.對(duì)于每個(gè)x，函數(shù)y是，這兩個(gè)函數(shù)的較小值，則函數(shù)y的最大值是________.四、解答題：本題共5小題，共52分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿(mǎn)足，求k的值．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨的增大而增大．求的取值范圍；（2）若，求時(shí)，函數(shù)值的取值范圍．17.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（1）求該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；（2）若點(diǎn)和點(diǎn)均在該拋物線(xiàn)上，當(dāng)時(shí)．請(qǐng)你比較的大??；（3）若，且當(dāng)時(shí)，y有最小值，求a的值．18.已知，求的值，小明是這樣分析與解答的：∵，∴，∴，即，∴，∴．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：（1）若，求的值；（2）求值；（3）比較與的大小，并說(shuō)明理由．19.已知某二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的解析式，（2）若當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)的最大值與最小值的差是9，求的值；（3）已知點(diǎn)，若該函數(shù)圖象與線(xiàn)段只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】1.A【分析】由非負(fù)數(shù)和為零的意義得，，由平行四邊形的判定方法即可求解．【詳解】，，，，，四邊形一定是平行四邊形．故選：A．2.C【分析】由題意可知，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，可得出，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意可知，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則，解得或.故選：C.3.D【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：一、三、四項(xiàng)一組，符合完全平方公式，然后運(yùn)用平方差公式繼續(xù)分解．【詳解】．故選：D．4.C【分析】根據(jù)二次根式的乘法和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)再估算的大小，進(jìn)一步求解.【詳解】，，，.故選：C.5.A【分析】將原二次函數(shù)整理為用頂點(diǎn)式表示的形式，根據(jù)二次函數(shù)的平移法則即可判斷.【詳解】函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸軸為，頂點(diǎn)為，函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)為，故將拋物線(xiàn)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象.故選：A6.B【分析】利用韋達(dá)定理可求的值.【詳解】因?yàn)?，，故為方程的兩個(gè)根，故.又，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解、韋達(dá)定理，注意利用同構(gòu)的思想來(lái)構(gòu)建方程，另外注意將代數(shù)式整合成與兩根和、兩根積有關(guān)的代數(shù)式，本題屬于基礎(chǔ)題.7.C【分析】由對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論進(jìn)行求解.【詳解】解：對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，①時(shí)，恒成立，②時(shí)，，解得，綜上可得，，故選：C.8.C【分析】先解不等式組求出a的取值范圍,再根據(jù)一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限求出a的取值范圍，從而可得符合條件的所有整數(shù)a,然后求和即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤?a2解不等式①得：，解不等式②得：，此不等式組無(wú)解,，解得，一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，，解得，綜上所述：所以符合條件的所有整數(shù)的和是故選:C9.ABC【分析】代入檢驗(yàn)函數(shù)圖象上的點(diǎn)判斷選項(xiàng)A；觀察圖象結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸公式求解選項(xiàng)B；觀察圖象變化情況判斷選項(xiàng)C；由函數(shù)圖象得最值情況判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)0,3的坐標(biāo)滿(mǎn)足函數(shù)，所以函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為0,3，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，觀察圖象可知，圖象具有對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)軸用二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸公式求得是直線(xiàn)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x值的減小而增大，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，均存在大于頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的函數(shù)值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)值4并非最大值，D選項(xiàng)不正確.故選：ABC.10.ABD【分析】對(duì)于A解一元二次不等式即可判斷，對(duì)于BC根據(jù)不等式的解集可知對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可判斷，對(duì)于D，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及絕對(duì)值不等式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，時(shí)，不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為，A正確；對(duì)于B，若不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，即，且方程的兩根為，故，所以，B正確；對(duì)于C，若不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，即，且方程的兩根為，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，即，且方程的兩根為，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D正確.故選：ABD.11.BC【分析】對(duì)于A,利用根的判別式可判斷;對(duì)于B,把x=1,代入,得到不等式,即可判斷;對(duì)于C,求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷;對(duì)于D,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷.【詳解】對(duì)于A,,開(kāi)口向上,且當(dāng)x=1時(shí),；當(dāng)x=2時(shí)，，拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),,故A不正確;對(duì)于B,當(dāng)x=1時(shí),,,即,,故B正確;對(duì)于C,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn),且開(kāi)口向上,當(dāng)時(shí)，的值隨的增加反而減少，當(dāng)時(shí)，,故C正確；對(duì)于D,方程的兩實(shí)數(shù)根為,,當(dāng)時(shí),,,但當(dāng)時(shí),則未必大于32,則的結(jié)論不成立,故D不正確;故選：BC.12.16【分析】將多項(xiàng)式分別按照的二次項(xiàng)與的二次項(xiàng)進(jìn)行配方，分析即可求得.【詳解】，因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)，都有成立，故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，多項(xiàng)式取得最小值16.故答案為：1613.【分析】根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得.【詳解】由正弦定理，，因?yàn)?，?又，故，故.故答案為：14.6【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出大致圖象，然后根據(jù)圖象即可解答.【詳解】函數(shù)，的圖像如圖，函數(shù)y取兩個(gè)函數(shù)的較小值，圖像是如圖的實(shí)線(xiàn)部分，兩個(gè)函數(shù)圖像都過(guò)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，函數(shù)y的最大值是6，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y無(wú)論在上取得，還是上取得，總有，即時(shí)，函數(shù)y的圖像是下降的.所以函數(shù)y的最大值是6.故答案為：6.15.（1）；（2）.【分析】（1）利用一元二次方程有實(shí)根的等價(jià)條件，列出不等式求解即得.（2）利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知列出方程并求解即得.【小問(wèn)1詳解】方程，整理得，由該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.小問(wèn)2詳解】由是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得，而，則，由（1）知，，于是，又，解得，所以k的值為.16.（1）（2）【分析】(1)將變形為，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可求出的取值范圍；(2)將代入到函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域.【小問(wèn)1詳解】，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)值隨的增大而增大，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可知，即，所以的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大，所以當(dāng)時(shí)，y有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值，所以當(dāng)，時(shí)，函數(shù)值的取值范圍是．17.（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）或.【分析】（1）把代入二次函數(shù)解析式，求出的關(guān)系，再求出對(duì)稱(chēng)軸.（2）把和分別代入二次函數(shù)解析式，作差分類(lèi)即可判斷.（3）按二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)分類(lèi)求出最小值即可得解.【小問(wèn)1詳解】由二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，得，解得，所以該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）得拋物線(xiàn)的解析式為，依題意，，，則，而，當(dāng)時(shí)，有，因此；當(dāng)時(shí)，有，因此，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)3詳解】由，得拋物線(xiàn)的解析式為，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，y有最小值，即，解得；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，y有最小值，即，解得，所以a的值為或.18.（1）2（2）9（3），理由見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)小明的分析過(guò)程，，化為，則，兩邊平方得，由即可求解；(2)根據(jù)小明的分析過(guò)程，將的每一項(xiàng)分母有理化，即可求得結(jié)果；(3)因?yàn)?，可得，，由，，可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴，即，∴，∴.【小問(wèn)2詳解】.【小問(wèn)3詳解】，理由如下：∵，∴，∴，，∵，，又，∴，∴.19.（1）.（2）6（3）或【分析】（1）利用頂點(diǎn)設(shè)出拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)，計(jì)算即得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與給定的的范圍分類(lèi)討論，列方程計(jì)算即得t的值；（3）作出二次函數(shù)圖象，就直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)特殊位置和,分別結(jié)合圖象即可判斷得到m的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,?4，設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得.∴該二次函數(shù)的解析式為.【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)