2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)：幾何問題解法講解之二倍角三倍角問題

第6章二倍角、三倍角問題

第1節(jié)一倍角、中點(diǎn)、60。角

1.【8上】【☆☆☆】△ABC,中線CD,/A=2/B,/ADC=60。,求NA.

【簡釋】a2a

【法1】正△CDE,CE〃AB,兩個(gè)a,綠△三[SAS]/EBD=/A=2aanEB=EC=ED,a=30。（或

先父，后正△）

[法2][2倍角等腰法】AE=AC,CH_L平分BE,令HD=m,HA=n則DB=AD=m+n,HE=HB=2

m+n,AE=2m=AC=CD【法3】/ACD=120。-2a=2/BCD,【2倍角等腰法】AC=CE

【8字等高法】AH=BT,藍(lán)灰△三【邊銳角】EH=CT

故CE=HT=2HD=AD=AC,IEAACD

【法4］正4BDK,灰綠△=【SSS】，CD〃KB,三個(gè)P,KC=KB=KD正4CDK,p=3（T=a（或先

0，后正△）

【法5】E、B關(guān)于CD對稱，正△ADE,AE〃CD,三個(gè)p,AC=AE=AD

［法6］CH,AD,中位線DE,兩個(gè)a,斜邊中線EH=EA,兩個(gè)2a

故EH=HD,CD=2HD=2EH=AC,RACD

第2節(jié)二倍角三折腰等腰法

2.[8上】【☆☆】四邊形ABCD的又寸角線交于E,BC=CD,/ADB=2/ABD,NDAC=2NBAC,AC=2,求AD.

HG=1,令GD=k=GF,FH=k—1

HD=k+l=HB,BF=2=AD

3.【8下】【☆☆】△ABC,CD=BE=2,D、E分另!!在AC、AB上2BDE=30°,NABC=2NACB=4/DBC,求AB.

綠4三[HL]ABDH中,a=15°

BC=2+2V3MB=1+V3

4.【8上】[☆☆]在4ABC中,AB=AC,AD〃BC,NADC=30o,/ABD=2NDBC,求/ABD.

5.【8下】【☆☆☆】四邊形ABCD,AC=AD,AABD=30°,Z/1CB=2/2BC,BC=V3,CD=1,求BD.

【簡釋】

【二倍角等腰法】EA=EB

兩個(gè)%兩個(gè)中垂線EF,高AG

AG=0.5XB=AF

黃A三（HL"AED=60°

a+0=150°,ABDH中,.BD=小

6.【8下】【☆☆☆☆】C是4ADB外一點(diǎn),AB=AC,NBAC=30o,/DBA=2NDAB,NCDA=15C)o,DE_LAB于E,DE=

【簡釋】兩個(gè)a

【法1]令BE=k,G、B關(guān)于DE對稱,,AG=GD=V1+/c2

=+灰藍(lán)麗W冷爛牛

AC=Q.SAD2=0.5(DE2+AE2)=1+fc2+ZcVl+k2

2k+V1+fc2=1+fc2+fcVl+/c2,(1-k)2-(1-k)Vl-k2=(

(1—fc)(l—fc—V1—A:2)=0

k=l今4E=1+VX或1-k-V1-k2=0=>fc=0(舍)

【法2】G、B關(guān)于DE對稱,中垂線GH,灰黃△三[AAS]

PB=AF=0.5AD=DH,藍(lán)△三【HL】，等腰RtABDG(略)

【法3】△ADC外心ACF,NFAB=90°,NFAD=NFDA=90°-a/AFD=2a,作FG=BD,綠△=

[SAS]AD=AG,兩個(gè)90。一a/FAB=4a=90。(略)

【法4】G、B關(guān)于DE又寸稱,DF〃AC,DF=2DE=2,藍(lán)黃△-[AA]

AD2=FD-AC=2AC,1+k2+/cVl+k2=2k+71+余同法i,略)

【法5】F、A關(guān)于CD對稱，正.△4DF灰黃△三[SAS]AG=AF=AD兩個(gè)

3a=ZBAG,AABG中,8a=180°（略）

第3節(jié)二倍角計(jì)算法

7.【8上】【☆☆☆】四邊形ABCD,AB=AC.^BAC=乙BDC=120°?E在BC上,NG4E=2/CBD,求證:AE+ED=A

C.

【簡釋】

【三等腰法】AF=AC=AB,a,2a

【法1]120。-2a,a與a+30°,90°-a/BFC=120°,灰.-AS)藍(lán)A三[SAS]ED=EF,

AE+ED=AE+EF=AF=AC

【法2】兩個(gè)30°-a,兩個(gè)2a,作AG=AE,灰&三(SAS')兩個(gè)30。,兩個(gè)60。正4CDF.^A三[SAS]G

F=ED,AE+ED=AG+GF=AF=AC

8.【8下】【☆☆☆】△ABC,D在AB上.NBDC=120O/BCD==9,CD=8,求BC.

【簡釋】

【法1】N乙BCD=2/.ACD=2a,/.ABC=60°-2a,^CAE=60。+a=zC/EAZBEC=60°+a=ZB

CE,BC=BE=9+2m,中垂線(CH=4V3(9+2m)2-(9+m)2=48,m=2,BC=13NADHBC

構(gòu)型“7/8/13”】

【法2】O、A關(guān)于CD對稱,O是ABCD內(nèi)心,AD=OD=2MD=2DN=2m

CH=CN=8-m,BH=BM=9-3m,(l7-4m)2-(l3-2m)2=48

m=l,BC=13

9.【☆☆☆☆】AABC,中線BD,ZABC=60°,E在BC上,NABD=2/BAE,BD=7,BE=2,貝！］CE=().

【簡釋】

a,2a,60°—2a,兩個(gè)60°+a,BN=BD,中位線DN今AE=AF

中垂線AH,灰綠。［44)高=券

28m=AF2=3(m+2)2+m2,m2—4m+3=0

m=l,CE=8.左圖］^m=3,CE=4.右圖U

10.【8下】【☆☆☆】ZkABCD、E分別在BC、AC上,AD=CD,/ADE=60°,NCDE=2/BAD,BD=8,DE=7,求AE.

【簡釋】

a,2a^j(60°—a),/BAC=60°

【法1】P=60°+a,正△ADF,截AG=AB,黃△三［SAS］FE=FG=BD=8

AF=DF=15,【解△AEF構(gòu)型“8/15/13"】AE=13

【法2】黃。［44］案=器=*40=CD=7m,DF=8m

【解△ADF］AF=13m,【美人魚】△EDA^AEAF［AA］

—==13

DEAD7

第4節(jié)二倍角旋轉(zhuǎn)法

11.【8下】【☆☆】四邊形ABCD,NACD=2/ABD=60°,NBAC=2NADC,BD=6,求CD.

【簡釋】【旋轉(zhuǎn)法】

【法1】CE=BD=6,藍(lán)黃△三［SAS］AE=AD,ZCDE=90°,CD=V3

【法2】AE=AD,灰綠三［SASICD=BE=3用

【法3］正^ACE,兩個(gè)60。一出灰4三［SAS］兩個(gè)12(r,DE=FD=FB=V33(略

第5節(jié)二倍角平移法

12.【8下】【☆☆☆】△ABC,DSE分別在BC、AC上,BD=AC,/ABC=2/CDE,AB=CD+CE,求/BAC.

【簡釋】

【平移法】BD平移到AFQABDF,則AF=AC,作CG=CE藍(lán)黃△三［SAS］EF=EG,

【平行線與角分線】灰綠△三［SAS］EF=FG,1EAAEG,AF//BG,2a+2p=60°,ZBAC

=120°

第6節(jié)三倍角計(jì)算法

13.【☆☆】AABC,D^BC±,ZBAD=120°,ZC=3ZCAD,AB=ll,BC=25.^<sinjzS.

【簡釋】

14.【☆☆☆】AABC,