初中數(shù)學中考復習講義練習：二次函數(shù)與相似問題

中考數(shù)學大題狂練之壓軸大題突破培優(yōu)練

二次函數(shù)與相似問題

1.（2020年連云港中考第26題）

2.（2019年鎮(zhèn)江第27題）

3.（2018年揚州第28題）

—|［真題再現(xiàn)］?4.（2018年鎮(zhèn)江第27題）

5.（2018年連云港第26題）

6.（2018年宿遷第27題）

專題3二次函

數(shù)與相似問題

J【專項突破】

【真題再現(xiàn)】

1.（2020年連云港中考第26題）在平面直角坐標系xOy中，把與x軸交點相同的二次函數(shù)

圖象稱為“共根拋物線”.如圖，拋物線"：尸分2一步2的頂點為。，交x軸于點A、

8（點A在點8左側），交y軸于點C.拋物線上與?是“共根拋物線”，其頂點為P.

（1）若拋物線乙2經(jīng)過點（2,-12）,求上對應的函數(shù)表達式；

（2）當8P-CP的值最大時，求點P的坐標；

（3）設點。是拋物線心上的一個動點，且位于其對稱軸的右側.若△。尸。與△ABC相

似，求其“共根拋物線”12的頂點尸的坐標.

【分析】(1)由題意設拋物線乙2的解析式為y=a(x+1)(x-4),利用待定系數(shù)法求出

。即可解決問題.

(2)由題意BP=AP,如圖1中，當A,C,P共線時，BP-PC的值最大，此時點P為

直線AC與直線x=怖的交點.

(3)由題意，頂點—第)，NPD。不可能是直角，第一種情形：當/分。=90°

SAB

時，①如圖3-1中，當時.②如圖3-2中，當△OQPZ\C時.第

二種情形：當ND。尸=90°.①如圖3-3中，當△PDQSZ\ABC時.②當ADPQs4

ABC時，分別求解即可解決問題.

【解析】(1)當y=0時，ad-/-2=0,解得％=-1或4,

AA(-1,0),B(4,0),C(0,-2),

由題意設拋物線乙2的解析式為(x+1)(x-4),

把(2,-12)代入y=a(x+l)(x-4),

-12=-6af

解得a=2,

拋物線的解析式為y=2(x+1)(x-4)=2/-6x-8.

(2):拋物線L2與八是“共根拋物線”，A(-1,0),B(4,0),

?.拋物線Lx,L2的對稱軸是直線x=f,

點尸在直線x=|±,

：.BP=AP,如圖1中，當A,C,尸共線時，BP-PC的值最大，

此時點P為直線AC與直線x=匏交點，

???直線AC的解析式為y=-2%-2,

3

(3)由題意，AB=5,CBSCA=V5,

211

：.AB=BC+ACf

：.ZACB=90°,CB=2CA,

.._1231z3、225

?y=yX-yX-2=(x-y)—p-,

乙乙乙乙o

3”

二?頂點D(5，--

由題意，NPD。不可能是直角，

第一種情形：當/。尸。=90°時，

、r103.313

設。(x,-X2—7zx-2),貝!J尸(一，-XO2--xx-2),

22222

?cr>123cz25x1239cn_3

_-

??DP=7TA_77X2(-3")=77X_77X+Q9OP—X_7T,

ZZoZZoZ

?；PD=2QP,

；.2x-3=I%2—W，解得尤=￥或］(舍棄)，

x_|=/』+*,

解得尤=I或I（舍棄）,

第二種情形：當/。。尸=90°.

PQ4c1

①如圖3-3中，當△POQS2\ABC時，—=—=一,

DQBC2

過點Q作QM_LPZ)于M.則△QQA/S/IPDQ,

QMPQ1._,3391139

—=一，由圖3-3可知，M（-,一）,Q（一，一）,

MDDQ22828

：.MD=S,MQ=4,

???。。=4心

,DQPD.

由---=---，可得尸￡）=10,

DMDQ

.:D（|，-等）

②當△OPQS/XABC時，過點Q作QMLPD于M.

%

：.DM^QM=1,。。=卓

,QDPD…

由=—，可得PD=

DMDQ

3393213553K

綜上所述:尸點坐標為（1-）或（1-豆）或-）或（5,-p

2.（2019年鎮(zhèn)江第27題）如圖，二次函數(shù)＞=-d+4x+5圖象的頂點為。，對稱軸是直線I,

一次函數(shù)＞=|x+l的圖象與x軸交于點A,且與直線DA關于I的對稱直線交于點B.

（1）點。的坐標是（2,9）；

（2）直線/與直線A8交于點C,N是線段。C上一點（不與點。、C重合），點N的縱

坐標為n.過點N作直線與線段DA、DB分別交于點P、Q,使得△。尸0與ADAB相似.

①當“=日時，求DP的長；

②若對于每一個確定的n的值，有且只有一個△OPQ與△D4B相似，請直接寫出”的取

一921

值范圍二.

~~5

【分析】(1)直接用頂點坐標公式求即可；

9q13

(2)由對稱軸可知點C(2,-),A(一)0),點A關于對稱軸對稱的點(一，0),借

522

助AD的直線解析式求得3(5,3)；①當〃=9時，N(2,y),可求ZM=攀DN=竽，

CZ)=普當尸。〃AB時，△DPQs^DAB,r>P=DP=?V5；當P。與AB不平行時，DP=

|V5,；②當PQ//AB,DB=DP時,DB=3事,,等，所以N(2,y),則有且只

971

有一個△。尸。與ADAB相似時，-<nV管；

【解析】(1)頂點為。(2,9)；

故答案為(2,9)；

(2)對稱軸尤=2,

9

：.C(2,

由已知可求A(-|,0),

13

點A關于x=2對稱點為(一，0),

2

則AD關于x=2對稱的直線為y=-2x+13,

：.B(5,3),

①當"=需時，N(2,—

.八._9751836

??DA="2-，DN=-g~，CD=-g-

當尸Q〃A5時，XDPQsXDAB,

ADAC^ADPN,

?DPDN

??—，

DADC

:.DP=?底

當PQ與AB不平行時，△。尸QsADBA,

：./\DNQ^/\DCA,

.DPDN

??=,

DBDC

o

：.DP=|V5；

綜上所述，￡）P=^V5；

（2）^1PQ//AB,DB=DP^,

DB=3V5,

?_DPDN

??—,

DADC

24

：.DN=停

21

：.N（2,y）,

921

有且只有一個△。尸。與△ZMB相似時，-<n<―

53

、921

故答案為:<n<-r-；

點睛：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，三角形的相似；熟練掌握二次函數(shù)的性質，三

角形相似的判定與性質是解題的關鍵.

3.（2018年揚州第28題）如圖1,四邊形。4BC是矩形，點A的坐標為（3,0）,點C的

坐標為（0,6）,點尸從點。出發(fā)，沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A運動，同

時點。從點A出發(fā)，沿以每秒2個單位長度的速度向點8運動，當點尸與點A重合

時運動停止.設運動時間為t秒.

（1）當t=2時，線段PQ的中點坐標為（*2）；

（2）當△C8Q與△P4Q相似時，求t的值；

（3）當t=l時，拋物線y=/+6x+c經(jīng)過P,0兩點，與y軸交于點M,拋物線的頂點

為K,如圖2所示，問該拋物線上是否存在點D,使NMQD=*NMKQ?若存在，求出

所有滿足條件的。的坐標；若不存在，說明理由.

【分析】（1）先根據(jù)時間t=2,和P,Q的運動速度可得動點尸和。的路程OP和AQ

的長，再根據(jù)中點坐標公式可得結論；

（2）根據(jù)矩形的性質得：NB=/B4Q=90°,所以當△CB。與△以。相似時，存在兩

種情況：

PZQBPABC

①當△出。時，—=—,②當△BAQs2XCBQ時，—=—,分別列方程

AQBCAQBQ

可得t的值；

（3）根據(jù)1=1求拋物線的解析式，根據(jù)。（3,2）,M（0,2）,可得MQ〃龍軸，則KM

=KQ,KE±MQ,畫出符合條件的點證明△KEQSAQM//或利用三角函數(shù)，列比例

式可得點D的坐標，同理根據(jù)對稱可得另一個點D

【解析】（1）如圖1,???點A的坐標為（3,0）,

：.0A=3,

當t=2時，0P=t=2,AQ=2t=4,

：.P（2,0）,Q（3,4）,

一2+30+45

...線段尸。的中點坐標為：（一^~，~y-）,即2）；

,山》,5

故答案為：（5，2）；

（2）如圖1,???當點尸與點A重合時運動停止，且△B4?？梢詷嫵扇切?

：.0<t<3,

:四邊形0ABe是矩形，

.,.ZB=ZW=90°

...當△CB。與△M。相似時，存在兩種情況：

_,,PAQB

①當時，--—,

.3-t6-2t

"2t3

4r-15什9=0,

(l3)(r—7)=0,

4

tl=3(舍)，t2=7，

PABC

②當t△BAQS^CBQ時t，—=—,

.3-t3

*,2t6-2tf

i2-9什9=0,

9±3/5

t=-2-'

9+3%

??--------->3,

2

.?,=2±箸不符合題意，舍去，

綜上所述，當△C2Q與△%。相似時，t的值是:或9一

42

(3)當t=l時，P(1,0),Q(3,2),

把尸(1,0),Q(3,2)代入拋物線y=x2+bx+c中得：

解得：=

19+3b+c=21c=2

???拋物線：y=x1-3x+2=(x—1)2—p

3i

???頂點女,—1)，

24

9：Q(3,2),M(0,2),

???MQ〃兀軸，

作拋物線對稱軸，交MQ于E,設。。交y軸于"，

:?KM=KQ,KELMQ,

1

???ZMKE=ZQKE=專/MKQ,

1

如圖2,ZMQD=^ZMKQ=ZQKEf

MHFC

tanZMQD=tanZQKE==音,

3

-MH7

即---=----r,MH=2,

32+-

4

:.H(0,4),

_7

易得HQ的解析式為：y=—w九+4,

貝竹.”4,

y=/—3%+2

2

39r-3x+2=一三+4,

解得：XI=3（舍），X2=

240

.,.D（―□，——）；

39

同理，在M的下方，y軸上存在點“，如圖3,使NHQM=*NMKQ=/QKE,

由對稱性得：H（0,0）,

易得。。的解析式：y=|x,

2

貝小,=@",

j=%2—3%4-2

x2-3x+2=%,

解得：Xl=3（舍），X2=|,

24

（一，一）；

39

_240,24

綜上所述，點。的坐標為：D（一q,—）或（不

。939

點睛：本題是二次函數(shù)與三角形相似的綜合問題，主要考查相似三角形的判定和性質的

綜合應用，三角形和四邊形的面積，二次函數(shù)的最值問題的應用，函數(shù)的交點等知識，

本題比較復雜，注意用/表示出線段長度，再利用相似即可找到線段之間的關系，代入

可解決問題.

4.（2018年鎮(zhèn)江第27題）如圖，二次函數(shù)y=7-3x的圖象經(jīng)過。（0,0）,A（4,4）,B

（3,0）三點，以點。為位似中心，在y軸的右側將△0A8按相似比2：1放大，得至U

△04'B',二次函數(shù)y=ax2+bx+cQW0）的圖象經(jīng)過O,A',B'三點.

（1）畫出△04'B',試求二次函數(shù)＞="2+笈+。QW0）的表達式；

（2）點PC.m,〃）在二次函數(shù)y=/-3x的圖象上,MJWO,直線0P與二次函數(shù)y—ajc+bx+c

（aWO）的圖象交于點Q（異于點。）.

①求點。的坐標（橫、縱坐標均用含m的代數(shù)式表示）

②連接AP,若2Ap＞。。，求機的取值范圍；

③當點。在第一象限內，過點。作Q。'平行于無軸，與二次函數(shù)尤+c（aWO）

的圖象交于另一點Q',與二次函數(shù)y=7-3尤的圖象交于點M,N（〃在N的左側），

直線與二次函數(shù)y=7-3x的圖象交于點P'.△Q'P'N,則線段

NQ的長度等于6.

VA

——l——=——I——L5L_I——:——=——=——

【分析】（1）由位似求出A'、Bf坐標，代入解析式即可；

（2）①用相表示尸的坐標及。尸解析式，用機表示。尸與拋物線交點。的坐標，表示

用機表示AP、0Q,代入2Ap>0。，求出機范圍；

②用加表示Q0解析式，得到P坐標，求出M、N坐標，應用P'MSAQB，

N構造方程求m.

【解析】（1）由以點。為位似中心，在y軸的右側將△O4B按相似比2：1放大，得警=

OBr

-----=2

0B

VA(4,4),B(3,0)

.\A,(8,8),B'(6,0)

將。(0,0),A'(8,8),B'(6,0)代入y=a?+bx+c

(c=0

得36a+63=0

、64a+8b=0

解得;二3

(c=0

二次函數(shù)的解析式為y=#-3x；

(2)①：點P在y=/-3尤的圖象上，

:?n=n^-3m,

:?P(m,m2-3m),

設直線OP的解析式為

將點P代入，得mk=m2-3m,解得k=m-3,

OP：y=(m-3)x

直線OP與y=p-3.r交于點Q

1

A-x2-3x=(m-3)x,解得xi=O(舍)，X2=2m,

2

Q(2m,2m2-6m)

②;尸(m,n)在二次函數(shù)y=%2-3%的圖象上

.\n=m-3m

???尸(m,m2-3m)

設直線OP的解析式為y=辰，將點尸(m,m2-3m)代入函數(shù)解析式，

得mk—rr?-3m

:.k=m-3

???O尸的解析是為y=(m-3)x

1

TOP與y-^-3%交于。點

y=(m—3)x

.*.]17

y=尹—3x

解得:不符合題意舍去)｛；二：0—6小

二Q(2m,2m2-6m)過點P作PC±x軸于點C,過點Q作QDLx軸于點D

則0c=依|,PC=|m2-3m\,0D=\2m\,QD=\22-6m\

..0。OQ

*.*—=—=2

OCOP

：./\OCP^/\ODQ

：.OQ=2OP

\92AP>0Q

：.2AP>2OPfBPAP>OP

222z22

J(m—4)+(m—3m—4)>ylm+(m—3m)

化簡，得加之-2m-4<0,解得1—且加WO；

③尸(m,m2-3m),Q(2m,2m2-6m)

??,點。在第一象限，

2m>0

,解得＞3

27n2_6m>0

由。(2m,2m2-6m),得QQ'的表達式是y=2m2-6m

"QQ'交尸產(chǎn)-3無交于點0

1o

y=2—3%

y=2m2—6m

-2m

解得t=ITA(不符合題意，舍)產(chǎn)U2A

(y=2m—6m(y=2m—6m

:.Q'(6-2m,2m2-6m)

設0Q’的解析是為y=kx,(6-2m)Z=2渥-6m

解得％=-m，OQ1的解析式為＞=-根

,：0Q'與交于點P

-mx=j?-3x

解得％1=0(舍)，%2=3-m

:?P'(3-m,m2-3m)

■:QQ'與y=x2-3x交于點P'

-mx=j?-3x

解得％1=O(舍去)，X2=3-m

??P'(3-m,m2-3m)

■:QC與y=7-3x交于點M、N

-3x=2祖2-6m

3+J8m2—24m+93—J8m2—24m+9

解得羽=―W——-------,X2=-N——------------

???加在N左側

3+V8m2-24m+90

?'?M(------------------------，2nr-6m)

2

3-V8m2-24m+90

N(------------------------，2nr-6m)

2

VAQZPMsAQB'N

.P，Q，QM

QB，QN

222

2_(3—m)+(m—3m)

QB(2m-6)2+(2m2—6m)2

3-V8m2-24m+9-(6-2m)1

c3+V8m224m+92

2m--------------------

2

化簡得蘇-12徵+27=0

解得：“21=3（舍），加2=9

:.N(12,108),Q(18,108)

:.QN=6.

故答案為：6.

點睛：本題二次函數(shù)背景的代數(shù)幾何綜合題，綜合考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形相

似的性質，應用數(shù)形結合的數(shù)學思想.

5.（2018年連云港第26題）如圖1,圖形ABC。是由兩個二次函數(shù)尹=依2+相（k＜0＞與

y2=o?+b（。＞0）的部分圖象圍成的封閉圖形.已知A（1,0）、8（0,1）、。（0,-3）.

（1）直接寫出這兩個二次函數(shù)的表達式；

（2）判斷圖形A8C。是否存在內接正方形（正方形的四個頂點在圖形ABC。上），并說

明理由；

（3）如圖2,連接BC,CD,AD,在坐標平面內，求使得△8Z5C與△ADE相似（其中

點。與點E是對應頂點)的點E的坐標

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可得出結論；

(2)先確定出(1-m2)-(3m2-3)=4-4m2,進而建立方程2m=4-4巾2,

即可得出結論；

(3)先利用勾股定理求出AD=VIU,同理：。=同，BC=&，再分兩種情況：

①如圖1,當△QBCsADAE時，得出絲=—,進而求出DE=l，即可得出E(0,

DADE22

DEDFEF□/1八/1八

再判斷出△。e得出一=一=—,求出八尸=筌，EF=孚，再用面積

DADO4044

法求出EM』即可得出結論；

DBDC、

②如圖2,當△OBCS/XAOE時，得出一=一,求出AE=?,

ADAE2

當右在直線AO左側時，先利用勾股定理求出陰=￡PO=t進而得出。后=]再判斷

336

ADAn

出——=—即可得出點E坐標，當E在直線ZM右側時，即可得出結論.

PE0Q

【解析】(1);點A(1,0),B(0,1)在二次函數(shù)”=依2+，〃(％<0)的圖象上，

.rfc+m=0

，,tm=1

.f,

im=1

二次函數(shù)解析式為yi=-7+1,

;點A(1,0),D(0,-3)在二次函數(shù)”=/+b(a>0)的圖象上，

.(a+b=0

,%=-3'

?fa=3

*=—3，

???二次函數(shù)y2=3f-3；

(2)設M(m,-m2+l)為第一象限內的圖形A5C￡>上一點，M(m,3m2-3)為第四

象限的圖形上一點，

：.MNf=(1-m2)-(3m2-3)=4-4m2,

由拋物線的對稱性知，若有內接正方形，

2m=4-4m2,

?—1+V17_u.-l—y/17(A、

..m=或根=-------(舍)，

...0VziVL

...M女=二1T2

，存在內接正方形，此時其邊長為Tjg；

(3)在RtZXAOD中，OA=1,00=3,

：.AD=y/OA2+0D2=V10,

同理：CD=VTo,

在Rt/XBOC中，OB=OC=1,

：.BC=<0C2+OB2=V2,

①如圖1,當△O8Cs/\D4￡時，

,：ZCDB=ZADO,

DBDC

.,.在v軸上存在E,由二=u；,

DADE

.4V10

,.常=~DE'

：.DE=I，

,:D(0,-3),

1

E(0,—2),

由對稱性知，在直線DA右側還存在一點￡使得△D8CS/\D4E,

連接EE交ZM于/點，作EM_L0Q于M,連接ED,

,:E,E關于對稱，

???。/垂直平分線EE,

???ADEF^ADAO,

.DEDFEF

9*DA~DO~AO"

.2.5DFEF

‘同=~=~f

,八口3710口口710

??°b=^—，EF二丁,

115

9：S^DEE'=寺DE?EM=EFXDF=詈，

3

：.EM=I，

?:DE=DE=I，

在RtADEM中，DM=y/DE，2-E'M2=2,

???OM=1,

3

：.E(-,-1),

2

當時，有NBDC=/DAE,—=一,

ADAE

.4V10

上而=~AE'

：.AE=I，

當E在直線AD左側時，設AE交y軸于尸，作EQLAC于Q,

/BDC=ZDAE^ZODA,

C.PD^PA,

設PD=n,

.\PO=3-n,PA=n,

在RtZXAO尸中，B42=(9A2+OP2,

2

?"2=(3-n)+l,

5

-

-3

54

--

33

5

-

2

：.PE=

在AE。中，OP〃EQ,

.AP_AO

??=,

PEOQ

1

???0Q=今

..OPAP2

*PE~AE~3

：.QE=2,

：.E-2),

當E在直線ZM右側時，

根據(jù)勾股定理得，AE=JAQ2+QE2=f,

：.AE=|

VZDAE=ZBDC,/BDC=/BDA,

：.ZBDA=ZDAE,

J.AE//OD,

E(1,—2),

綜上，使得△BOC與△AOE相似(其中點c與E是對應頂點)的點E的坐標有4個，

13q1

即：(0,-4)或(-,-1)或(1,-5)或(一>-2).

2222

點睛：此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理，相似三角形的判定

和性質，對稱性，正確作出輔助線和用分類討論的思想是解本題的關鍵.

6.(2018年宿遷第27題)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)>=(x-a)(%-3)(0

<a<3)的圖象與x軸交于點A、8(點A在點B的左側)，與y軸交于點。，過其頂點

C作直線CPLx軸，垂足為點P,連接A。、BC.

(1)求點A、B、。的坐標；

(2)若△40。與△BPC相似，求a的值；

(3)點。、O、C、8能否在同一個圓上？若能，求出a的值；若不能，請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式可以直接得到拋物線與X軸的兩個交點坐標；令x=0,即

可求得點。的縱坐標;

（2）由拋物線頂點坐標公式求得點。的坐標，易得線段尸3、尸。的長度;

①若△AOZ）SZ\8PC時，則祭=詈，將相關線段的長度代入求得。的值;

②若△AOZ）SZ\CPB時，則魯=黑，將相關線段的長度代入求得。的值;

3

⑶能.理由如下：聯(lián)結必取中點跖則久°、2在同一個圓上'且圓心"為虧

|?）.若點C也在圓上，則根據(jù)兩點間的坐標求得相關線段的長度，借助于

方程解答即可.

【解析】(1)(x-a')(x-3)(0〈〃V3),

AA(m0),B(3,0).

當％=0時，y=3a,

(0,3a)；

(2)VA(a,0),B(3,0),

...對稱軸直線方程為：》=竽.

3+。口_|.3—n2

當%=—5—時，y=一(---)，

22

3+a3—CL

C(---，(——)2O),

22

尸8=3—苧[?，4PC3=(———a)2o,

22

…AODOa3a

①若△AODS\BPC時，則薪=須，即,

/3+a-/3-a、2

3o--------(------------)/

2k27

解得〃=0或。=土3（舍去）;

…aAODOa3a

②右△AO￡）s/^c尸5時，則=萬丁即

2-o3+a?

3——

號）2

解得〃=3(舍去)或〃=可

7

所以〃的值是3

(3)能.理由如下:

聯(lián)結8D取中點M

33

???。、0、5在同一個圓上，且圓心M為(一，一〃).

22

_33+a33—CL33

若點C也在圓上，則即——)29+(-?+(——)92)92=(--3)92+(一a

222222

-0)2,

整理，得

fl4-14/+45=0,

所以(a2-5)(a2-9)=0,

解得。1=V^，fl2=—Vs(舍)，“3=3(舍)，04—-3(舍)，

點睛：考查了二次函數(shù)綜合題，需要掌握二次函數(shù)解析式的三種形式，拋物線對稱軸的

求法，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，方程思想的應用.解題時，注意“分類

討論”、“方程思想”等數(shù)學思想的應用，難度較大.

【專項突破】

【題組一】

1.(2020?常州一模)如圖1,已知拋物線y=-f+fcc+c交y軸于點A(0,4),交x軸于點

B(4,0),點尸是拋物線上一動點，過點尸作x軸的垂線尸。，過點A作尸。于點

Q,連接AP(AP不平行無軸).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P在拋物線上運動，若△AQPS^AOC(點P與點C對應)，求點尸的坐標；

(3)如圖2,若點尸位于拋物線的對稱軸的右側，將△AP。沿AP對折，點0的對應點

為點Q',當點。’落在x軸上時，求點P的坐標.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，然后利用拋物線解析式得到一元二次方

程，通過解一元二次方程得到C點坐標；

(2)利用△AQPs/vioc得到4。=4尸。設P6m-/n2+3/w+4),所以m=4|4-(-

w2+3m+4|,然后解方程4(m2-3m)—m和方程4(m2-3m)=-優(yōu)得P點坐標；

(3)設-川+3%+4)(??>1),當點。落在x軸上，延長。尸交x軸于H,如

圖2,則尸。=%2-3%，證明RtZXA。。'sRtZ\Q，HP,利用相似比得到Q'H=4m-

12,則。。'=12-3如在RtA4。。中，利用勾股定理得到方程42+(12-3加)2=根2,

然后解方程求出相得到此時P點坐標；當點落在y軸上，易得點A、。'、尸、。所

組成的四邊形為正方形，利用尸。=P。'得到蘇-3刑=加，然后解方程m2-3旭=加和

方程m2-3m=-m得此時P點坐標.

【解析】⑴把A(0,4),B(4,0)分別代入y=而+c得°，

解此或,

.?.拋物線解析式為y=-/+3X+4.

(2)當y=0時，-/+3x+4=0,解得xi=-l,%2=4,

：.C(-1,0),

OC=1,

VA(0,4),

：.OA=4,

'：^AQP^AAOC,

.絲_絲

??~~~一,

AOCO

AQAOan

=4,即AQ—4PQf

設尸（氏-m2+3m+4）,

.*.m=4|4-（-m2+3m+4|,即4|m2-3m|=m,

121351

解方程4（m2-3m）=加得m1=0（舍去），加2=丁，此時尸點坐標為（一，一）；

4416

111175

解方程4（加2-3加）=-m得加1=0（舍去），m2=-T-,此時尸點坐標為（一，一）；

4416

13511175

綜上所述，點尸的坐標為（一，一）或（一，—

416416

(3)設尸(m,-m2+3m+4)(m〉力，

當點Q'落在x軸上，延長QP交x軸于H,如圖2,

貝!J尸Q=4-(-m2+3m+4)=m2-3m,

???AAPQ沿AP對折，點Q的對應點為點。'，

AZAQfP=ZAQP=90°,AQ'=AQ=m,PQ'=PQ=rr^-3m,

VZAQfO=ZQrPH,

?-00sRt2\Q'HP,

：.OA：Q'H=AQ'：QfP,解得0H=4m-12,

OQ'=m-(4m-12)=12-3m,

在Rt/iA。。，中，42+(12-3m)2=m2,

整理得蘇-9加+20=0,解得加1=4,m2=5,此時尸點坐標為(4,0)或(5,-6)；

綜上所述，點尸的坐標為(4,0)或(5,-6).

2.（2020?灌云縣一模）如圖，以。為頂點的拋物線y=-J?+bx+c交無軸于A、B兩點,

交y軸于點C,直線BC的表達式為y=-x+6.

(1)求拋物線的表達式；

(2)在直線上有一點P,使尸。+用的值最小，求點尸的坐標；

(3)在x軸上是否存在一點。，使得以A、C、。為頂點的三角形與△88相似？若存

在，請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)先求出點2,C坐標，再用待定系數(shù)法即可得出結論；

(2)作點0關于BC的對稱點0',則(6,6),則OP+AP的最小值為AO1的長，

然后求得AP的解析式，聯(lián)立直線AP和BC的解析式可求得點P的坐標；

(3)先判斷出△BCD是直角三角形，求出ttmNBDC=器=3,tanZCAO==3,

得出/BDC=NC40.分兩種情況由相似三角形的性質可得出比例線段，求出A。的長，

則可得出答案.

【解析】(1)把x=0代入y=-x+6,得：y=6,

：.C(0,6),

把y=0代入y=-x+6得：x=6,

：.B(6,0),

將C(0,6)、B(6,0)代入y=-#+bx+c得：

f—5x36+6b+c=0

lc=6，

解得｛，二:

...拋物線的解析式為y=—4/+2X+6；

(2)如圖1所示：作點。關于8C的對稱點O,則O(6,6),

：.PO=PO\

：.PO+AP=PO'+AP.

???當A、尸、。在一條直線上時，OP+AP有最小值.

?.?)=—尹2+2x+6,

當y=0時,—+2x+6=0,

解得：xi=-2,%2=6,

AA(-2,0),

設AP的解析式為y=/wc+n,

把A(-2,0)、O'(6,6)代入得：\-2m+n=°

167n+ri=6

m=-r

{n=

?9?AP的解析式為j=+1

將y=%,與y=-x+6聯(lián)立卜=4X+2,

ly=—%+6

(=18

解得：

點p的坐標為(竽，竽)；

(3)如圖2,

11

'?y=一尹？+2x+6=—2(x~2)2+8,

：.D(2,8),

又(0,6)、B(6,0),

：.CD=2y[2,BC=6V2,BD=4V5.

.?.CD2+BC2=BD2,

...△BCD是直角三角形，

.\tanZBDC=黑=3,

VA(-2,0),C(0,6),

：.OA=2,OC=6,AC=2V10

oc

tanZCAO==3,

：.ZBDC=ZCAO,

,,_^ACAQ

當△ACQs/v)C3時，有一=一,

DCDB

即猾=普'解得A0=20,

：.Q(18,0)；

,,ACAQ

當△ACQS^OBC時，有一=一，

即箸=慧’解得改=2'

：.Q(0,0)；

綜上所述，當。的坐標為(0,0)或(18,0)時，以A、C、。為頂點的三角形與△8CO

相似.

3.(2020?新吳區(qū)二模)已知拋物線y=o?+bx+3與x軸分別交于A(-3,0),B(1,0)

兩點，與y軸交于點C.

(I)求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

(2)點P是線段上一個動點.

①如圖1,設仁瑞當女為何值時，WCF=^AD.

②如圖2,若△AFOs^CAB,求出點尸的坐標.

【分析】(1)將A、B兩點的坐標代入二次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法即求出拋物線對應

的函數(shù)表達式，可求得頂點。(-1,4)；

(2)①由A、C、￡＞三點的坐標求出AC=3或,DC=V2,AD=2后可得△AC。為直

角三角形，若小="。，則點尸為的中點，可求出人的值；

②由條件可判斷NZMC=NOCB,若則乙4。尸=/圓4可求出點F

的坐標.

【解析】(1):拋物線y=o?+6x+3過點A(-3,0),B(1,0),

?f9a—3b+3=0

"ta+h+3=0'

解得：￡=一1

.?.拋物線解析式為y=-/-2x+3；

'."y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4

頂點。的坐標為(T,4)；

(2)①?.?在Rtz\AOC中，0A=3,OC=3,

.,.AC2=OA2+OC2=18,

VD(-1,4),C(0,3),A(-3,0),

ACD2=12+12=2.

.*.AD2=22+42=20.

:.AC2+CD-=AD2.

.?.△ACD為直角三角形，且/ACD=90°.

?：CF=^AD,

為AD的中點，

.AF1

??—―,

AD2

k=

②在RtAACD中，tan/CAD=弟=2=

力c3V2

riDi

在RlAOBC中，tanN0C5=^=熱

：.ZCAD=ZOCB,

9：0A=0C,

：.ZOAC=ZOCA=45°,

：.ZFAO=ZACB,

當NA0b=NC84時，AAFO^ACAB,

???OF//BC,

設直線BC的解析式為y=kx+b,

.(k+b=0

*=3'

解得：

?,?直線BC的解析式為y=-3x+3,

???直線。尸的解析式為＞=-3x,

設直線AD的解析式為y—mx+n,

.(—k+b=4

?I3/c+b=O'

解得：］￡=：，

3=6

???直線A。的解析式為y=2x+6,

.0=2%+6

?*(y=-3x，

'6

X=-F

解得：18，

4.(2020?昆山市二模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o?+6x+c(a<0)交x軸于

3

點A,2(4,0),交y軸于點C(0,2),且拋物線的對稱軸經(jīng)過點(一，0),過點A的

-2

直線y=-x+機交拋物線于另一點。，點E(1,n)是該拋物線上