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文檔簡介
數(shù)學(xué)數(shù)列多選題知識點(diǎn)及練習(xí)題含答案
一、數(shù)列多選題
1.設(shè)數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為s“,若存在實(shí)數(shù)A,使得對任意〃eN*,都有則
稱數(shù)列{4}為"T數(shù)列".則以下結(jié)論正確的是()
A.若{%}是等差數(shù)列,且%>0,公差d<0,則數(shù)列{%}是"T數(shù)列”
B.若{q}是等比數(shù)列,且公比q滿足|川<1,則數(shù)列{q}是"T數(shù)列"
c.若4=,則數(shù)列{4}是"T數(shù)列"
一n(n+:1)篇2
2
D.若則數(shù)列{。"}是"T數(shù)列
【答案】BC
【分析】
寫出等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和結(jié)合"T數(shù)列"的定義判斷4寫出等比數(shù)列的前“項(xiàng)和結(jié)合"T數(shù)
歹U”的定義判斷B;利用裂項(xiàng)相消法求和判斷C;當(dāng)〃無限增大時(shí),|Sj也無限增大判斷。.
【詳解】
在A中,若{。“}是等差數(shù)列,且%>0,公差d<0,則S“=g〃2+J—2",當(dāng)“無
限增大時(shí),國也無限增大,所以數(shù)列{%}不是"T數(shù)列",故A錯誤.
在B中,因?yàn)椋鹮}是等比數(shù)列,且公比q滿足|q|<l,
a(1-q1%aqna+a、qn
所以圖=xrx<2-^-所以數(shù)列{4}是"T數(shù)
i—q1-q1-q1-q1-qi—q
列”,故B正確.
n+211
在,中’因?yàn)?=〃(,+1)21=百一(,+1)2+一所以
+________^一
_X2+X2-X3+
222232n-T(H+1)-2,,+I2("+l)-2"+i2
.所以數(shù)列{4}是"T數(shù)列",故C正確.
n2
在。中,因?yàn)橐?,所以
4n--1
s〃=I"+1—+"++“,當(dāng),無限增大時(shí),國也無限增
大,所以數(shù)列{4}不是"T數(shù)列",故。錯誤.
故選:BC.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,
突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見的裂項(xiàng)技巧:
111
(1)-7---7\=~(2)(3)
n[n+k)knn+k)y/n+k+y/n
11(11X
(4)
+2n+lJ'
1
;此外,需注意裂項(xiàng)之后相消
2,1-12,,+1-1
的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤.
2.已知數(shù)列{4},{〃}均為遞增數(shù)列,伍,}的前。項(xiàng)和為S”,也,}的前”項(xiàng)和為且
滿足4+。“+1=2n,bn-bn+1=X(neN*),則下列結(jié)論正確的是()
A.0<tZ]<1B.1<白<0C.S2n<T2IID.S2n>T2n
【答案】ABC
【分析】
利用數(shù)列單調(diào)性及題干條件,可求出可,偽范圍;求出數(shù)列{q},{〃}的前20項(xiàng)和的表達(dá)
式,利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明其大小關(guān)系,即可得答案.
【詳解】
因?yàn)閿?shù)列{%}為遞增數(shù)列,
所以q<a2<a3,
所以2%<%+%=2,即“1<1,
又2%<%+/=4,即4=2-<2,
所以q>。,即故人正確;
因?yàn)樗ǎ秊檫f增數(shù)列,
所以b[<b2Vb3,
所以仇2<4勿=2,即4<夜,
2
又<帥3=4,即4=7<2,
所以々>1,即1<4〈血,故B正確;
{〃〃}的前2n項(xiàng)和為S2"=(〃i+%)+(。3+〃4)^---h(a2n-l+。2〃)
2c小八r2n(l+2n—1)-
=2[1+3H---1-(2n—1)]=------------=2n2,
因?yàn)槊匆?1=2",則為+]也+2=2用,所以%2=2〃,
則}的2"項(xiàng)和為T2n=31+b3T---卜町_1)+(力2+d木---也〃)
二年(20+2]+…+2”T)+d(2°+2]+…+2〃T)=(4+N)(2〃一1)
>2班瓦(2"-1)=2后(2"-1),
當(dāng)n=l時(shí),邑=2,4>2行,所以《〉邑,故。錯誤;
當(dāng)“22時(shí)
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),20(2人一1)>2左2,即0(2*-1)>左2,
貝1]當(dāng)n=k+l時(shí),72(2^+1-1)=向2k+2k-l)=2ky/2+0(2印—1)>2'虎+左?
〉左?+2左+1=(左+1/
所以對于任意〃eN*,都有2點(diǎn)(2為一1)>2/,即《,〉邑〃,故C正確
故選:ABC
【點(diǎn)睛】
本題考查數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用,數(shù)列前n項(xiàng)和的求法,解題的關(guān)鍵在于,根據(jù)數(shù)列的單調(diào)
性,得到項(xiàng)之間的大小關(guān)系,再結(jié)合題干條件,即可求出范圍,比較前20項(xiàng)和大小時(shí),需
靈活應(yīng)用等差等比求和公式及性質(zhì),結(jié)合基本不等式進(jìn)行分析,考查分析理解,計(jì)算求值
的能力,屬中檔題.
3.已知數(shù)列{。"}中,q=l,a“+i—:=[+:]a",”eN*.若對于任意的.<1,2],不
等式&<—2/—+。+2恒成立,則實(shí)數(shù)。可能為()
n
A.-4B.-2C.0D.2
【答案】AB
【分析】
由題意可得乙-%=工-——,利用裂項(xiàng)相相消法求和求出&=2-工<2,只需
〃+1nn〃+1nn
—2〃—(Q+1),+Q2—〃+222對于任意的tG[1,2]恒成立,轉(zhuǎn)化為
[2f-(a-1)[。+a)V0對于任意的?e[1,2卜恒成立,然后將選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可求解.
【詳解】
1n+1.4+ian_1J__1_
“"+1nna"'H+1nn(n+1)n〃+1'
則a"a”]=11=1\里__&=]_J_
nn-1n-1nn-1n-2n-2n-1212
上述式子累加可得:——^=1——,—=2——<2,
nnnn
「?—2/—(a+1)%+/—Q+222對于任意的%w[1,2]恒成立,
整理得[2f—(a—1)[(Z+?)<O對于任意的te[1,4恒成立,
對4當(dāng)a=T時(shí),不等式(2/+5)?—4)<0,解集—:,4,包含[1,2],故A正確;
-31
對B,當(dāng)a=—2時(shí),不等式(2f+3)?—2)<0,解集一萬,2,包含[1,2],故B正確;
對C,當(dāng)a=0時(shí),不等式(2,+l)/K0,解集一;,0,不包含[1,2],故C錯誤;
對。,當(dāng)a=2時(shí),不等式(2/—1)(/+2)<0,解集—2,;,不包含[1,2],故D錯誤,
故選:AB.
【點(diǎn)睛】
本題考查了裂項(xiàng)相消法、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立,
考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,屬于中檔題.
4.(多選題)數(shù)列{q}滿足a〃+i=—a;+a”(〃eN*),qe[0,g],則以下說法正確的
為()
A.0<an+1<an
B.a;+a;+a;+???+a;<%
1111
c.對任意正數(shù)b,都存在正整數(shù)加使得一+-——+:——+---+:——>6成立
1—q1—%1一生1—〃相
1
D.a<------
n+1
【答案】ABCD
【分析】
對于A,結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)可確定正誤;
對于B,將原式化簡為q-a“+i<q,由?!?1>0得到結(jié)果;
111
對于C,結(jié)合為范圍和A中結(jié)論可確定:;一+-——+-??+-——>n,由此判斷得到結(jié)
1-ql-a21-a”
果;
對于D,利用數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論.
【詳解】
對于A,?!?1=一片+%=一1%,—g)+;,若a”貝1J4+1,
又。蘆]。,;),可知a”〉0,an+l>0,
aa=a
又n+\~n~n<°,「.°<4+1<%,A正確;
對于B,由已知得:=an-an+l,
「.a;+a;H--Ha;=(q-%)+(%—%)H---F—4+i)=6一4+iv勾,B正確;
對于C,由q及A中結(jié)論得:g<l—a“<l,1<£丁<2,
111
■---——+-——+-??+-——>〃,顯然對任意的正數(shù)b,在在正整數(shù)加,使得m>6,
1—a11—%1-C1fl
1111
止匕時(shí)——+-——+:——+---+-----成立,C正確;
1—q1—41一生1—a根
對于D,(i)當(dāng)77=1時(shí),由已知知:/<4成立,
2
(ii)假設(shè)當(dāng)〃=左(左eN*)時(shí),4(占成立,
則4+1=-4+%=-
1111111
V--------------------亍H--------------------------------=---------------------------------------2<Ugn-1-----------------------27H-------------<--------------
乂(“+1)2n+1n+2(n+2)(n+l),(n+1)〃+ln+2
綜上所述:當(dāng)“eN*時(shí),a“+i<^—,D正確.
n+2
故選:ABCD.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問題,關(guān)鍵在于能夠熟練應(yīng)用不等式的性
質(zhì)與函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡辨析,同時(shí)對于數(shù)列中的不等式證明問題,可采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)
行證明.
5.已知數(shù)列{an},{/??}滿足an+l-an^n,bn-an+2nbn=1,且q=1,Sn是數(shù)列
{2}的前。項(xiàng)和,則下列結(jié)論正確的有()
-1zV,wT65+3331
A.玉〃eN+,am+5^am+a5B.VneN+,——>—
n4
C.3meN,b=16D.VneN,-<S<1
T+mT+3〃
【答案】BD
【分析】
用累加法得到%=”2丁2,代入包+2仍"=1,得d=—七,
代入冊+5=%+%求出m可判斷A;代入出士史求最值可判斷B;
n
令鬣=2-一==16解出m可判斷C;裂項(xiàng)相消后可求出S”的范圍可判斷D.
I機(jī)+1m+2)
【詳解】
因?yàn)?+1=幾,所以
〃2—%=1
a3-a2=2
%一%="1(心2)
以上各式累加得
1+2++n-l=-1(n-l),所以a”=—+1,當(dāng)〃=1時(shí),卬=1成立,
所以4="(;-1)+]="2-;+2,由優(yōu)?4+2〃d=l,得
_J_=______12=2fJ__M
an+In"("I)??2"(〃+1)(“+2)\n+ln+2J-
(〃z+5)(〃z+4)+]_m2+9m+22
對于A,a
m+52―2
m(m-1)+]+5義(5-1)+]m2-m+24
aa
m+5=2-2―2
、?,2m2-m+24m2+9m+22?1.,
當(dāng)"…=/+%時(shí)'——=---'侍〃z-y0N+'AA錯t+)為a
對于B,4+33(〃一1)34n34
------+一=一十一
nn2n2n
當(dāng)且僅當(dāng)心68取等號,因?yàn)?,所以I時(shí),三二+
所以B正確;
對于C,令4=2(一二---1]=16得,m2+3m+—=0,解得
Im+1m+2J8
5
-3±
所以C錯誤;
m=42
,,fl11111>
對于D,VneN,Sn=b7+b++47=2|不一1+二―:++------------
+nx212334n+1〃+2/
=2||--二]=1——[<1,可以看出5“是關(guān)于〃遞增的,所以〃=1時(shí)有最小值!,
(2n+2Jn+23
所以』WS“<1,D正確.
3
故選:BD.
【點(diǎn)睛】
本題考查了由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消求數(shù)列和,關(guān)鍵點(diǎn)是用累加法求出劣,然后
代入求出考查了學(xué)生的推理能力、計(jì)算能力.
6.在遞增的等比數(shù)列{4}中,已知公比為q,S“是其前〃項(xiàng)和,若=32,
4+%=12,則下列說法正確的是()
A.q=2B.數(shù)列{S〃+2}是等比數(shù)列
c.50?=510D.數(shù)列{Igq}是公差為2的等差數(shù)列
【答案】ABC
【分析】
n+1
計(jì)算可得4=2,故選項(xiàng)A正確;58=510,Sn+2=2,所以數(shù)列⑸+2}是等比數(shù)
列,故選項(xiàng)氏C正確;lga“=〃」g2,所以數(shù)列{lgaj是公差為1g2的等差數(shù)列,故選
項(xiàng)。錯誤.
【詳解】
{4}為遞增的等比數(shù)列,由|“用=32;a2a3—%%=32,
得<
[%+。3=12,a2+%=12,
=4,=8,
解得或<
。3=8(2^—4,
.??{%}為遞增數(shù)列,
%=4,a3ca2c
<「.q=-=2,q=上=2故選項(xiàng)A正確;
%=8a2q
9
S8=2-2=510,S“+2=2”+I,
二數(shù)列{"+2}是等比數(shù)列,故選項(xiàng)3正確;
所以S?=2"+i—2,則§8=29—2=510,故選項(xiàng)C正確.
又lga“=lg2"=n-lg2,
???數(shù)列{lg%}是公差為lg2的等差數(shù)列,故選項(xiàng)。錯誤.
故選:ABC.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛:證明數(shù)列為等差(等比)數(shù)列常用的方法有:
(1)定義法;
(2)通項(xiàng)公式法
(3)等差(等比)中項(xiàng)法
(4)等差(等比)的前〃項(xiàng)和的公式法.要根據(jù)已知靈活選擇方法證明.
7.斐波那契數(shù)列{。”}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,又稱黃金分割數(shù)列,是由
十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數(shù)
1+A/5
列",其通項(xiàng)公式4=而,是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范
例,該數(shù)列從第三項(xiàng)開始,每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和,即4+2=4+1+4,記該數(shù)列
{4}的前〃項(xiàng)和為S“,則下列結(jié)論正確的是()
A.耳?!?1%
【答案】AB
【分析】
選項(xiàng)A分別求出Ho,%可判斷,選項(xiàng)B由an+2=^n+l+an>得%+1=4+4_I5?2),
a
相加得。“+2=n-l+2%可判斷,選項(xiàng)C,由邑021=%+4+。3+4++?2021,
兩式錯位相減可判斷.選項(xiàng)D.由
+a
-%)+(%-%)+(°n+2-n+\)=。,+2-%可判斷?
【詳解】
因?yàn)镾]o=143,11%=143,所以S1o=ll%,則A正確;
由a,”=??+i+4,得an+i=an+4T(〃22),相加得%=。,一+2??,
所以[2021=2〃2019+^2018,所以B正確;
因?yàn)閊2021—"1+02+“3+“4++。2021'^2020??+^^2020,
兩式錯位相減可得5,2021-^2020—l+O+tZj+^H-+。2019=1+32019,
所以^2021—^2020+S2019+1,所以C錯誤;
Sn=a1+?2+a5++a“=(%—%)+(%—%)+(%—%)+(4—。5)++(%+2-%+1)=%+2-%
—%+2—1,所以邑019=。2021—1,所以。錯誤.
故選:AB.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是由
5021="1+〃2+〃3+〃4++”2021,^2020—++”2020,兩式錯位相減可得
^2021~^2020=1+°+。[+出++^2019~+^2019,以及由遞推關(guān)系可得
Sg=(%-%)+(%一%)+(%-%)+(。6一%)++(%+2-%+1)=%+2一%,屬于中檔題.
8.設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“,已知S.=2S“+"—1,則下列結(jié)論正確的
是()
A.數(shù)列{%,}為等比數(shù)列B.數(shù)列設(shè),+科為等比數(shù)列
C.數(shù)列{4}中=511D.數(shù)列{2S“}的前幾項(xiàng)和為
2"+2_“2_“_4
【答案】BCD
【分析】
S1+n+12s+2n
由已知可得弋------——=2,結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B;可得
s〃+"s?+n
Sn=T-n,結(jié)合4和S”的關(guān)系可求出{4}的通項(xiàng)公式,即可判斷A;由{4}的通項(xiàng)公
式,可判斷C;
由分組求和法結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的前九項(xiàng)和公式即可判斷D.
【詳解】
5*,1+n+12Sn+In
因?yàn)镾〃+]=2S〃+〃—1,所以二------
Sn+n
又1+1=2,所以數(shù)列{S0+〃}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,故B正確;
所以S“+〃=2",則S"=2"—〃.
當(dāng)“22時(shí),4=S"—S"T=2"T—1,但q1,故A錯誤;
由當(dāng)場22時(shí),%=21-1可得%,=29—1=511,故C正確;
因?yàn)?s“=2"+i—2〃,所以21+2s2+…+2S,=22—2x1+23—2x2+…+2"i—2M
=22+23+...+2H+1-2(l+2+...+zz)=4^-2-2\n+n^n~^]=2n+2-n2-n-4
[71-22
所以數(shù)列{2S,J的前〃項(xiàng)和為2〃+2—〃2一”―4,故。正確.
故選:BCD.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:在數(shù)列中,根據(jù)所給遞推關(guān)系,得到等差等比數(shù)列是重難點(diǎn),本題由
Sn+1=2Sn+〃—1可有目的性的構(gòu)造為Sn+l+“+1=2S?+2n,進(jìn)而得到
51,1+7?+12s+2n-(\
-----------=——=2,說明數(shù)列電+71}是等比數(shù)列,這是解決本題的關(guān)鍵所在,
考查了推理運(yùn)算能力,屬于中檔題,
二、平面向量多選題
9.己知M為.ABC的重心,。為3C的中點(diǎn),則下列等式成立的是()
A.AD^-AB+-ACB.MA+MB+MC=0
22
C.BM^-BA+-BDD.CM^-CA+-CD
3333
【答案】ABD
【分析】
根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則依次討論即可的答案.
【詳解】
解:如圖,根據(jù)題意得”為三等分點(diǎn)靠近。點(diǎn)的點(diǎn).
-1-1
對于A選項(xiàng),根據(jù)向量加法的平行四邊形法則易得AD=-A3+—AC,故A正確;
22
對于B選項(xiàng),MB+MC=2MD>由于A/為三等分點(diǎn)靠近。點(diǎn)的點(diǎn),
MA=—2MD,所以MA+Affi+MC=O,故正確;
22/12
對于C選項(xiàng),BM=BA+-AD^BA+-(BD-BA]=-BA+-BD,故C錯誤;
—33''33
22/X12
對于D選項(xiàng),CM=CA+—AE>=CA+—CD—C4)=—C4+—CD,故D正確.
33、'33
故選:ABD
【點(diǎn)睛】
本題考查向量加法與減法的運(yùn)算法則,是基礎(chǔ)題.
10.下列說法中錯誤的為()
A.已知二=(1,2),U(l,l),且[與〃+勸的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)X的取值范圍是
11T
一一(13、
B.向量6=(2,-3),02=亍-彳不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
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