空間角與距離問題（9大題型+模擬） 解析版-2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破（新高考專用）

『備戰(zhàn)2025高考』重難點(diǎn)內(nèi)容突破（新高考）

空間角與距離問題

高考要求

1.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題.

2.能描述解決這一類問題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用.

知識(shí)解讀

1.異面直線所成角

若異面直線/i，/2所成的角為仇a，b分別是直線3/2的方向向量，則cos0=Icos<a,b>I=當(dāng)瞿.

\a\\b\

注意：兩異面直線所成的角為銳角或直角，而不共線的向量的夾角的范圍為（0,71）,所以公式中要加絕對

值.

2.直線與平面所成角

如圖所示，設(shè)/為平面a的斜線，/na=A,a為/的方向向量，n為平面a的法向量，6為/與a所成的角，

貝ijsin0=Icos<a,n>I

|a||n|

注意：直線與平面所成角的范圍為［o，m，而向量之間的夾角的范圍為［0,捫，所以公式中要加絕對值.

3.平面與平面的夾角

（1）平面與平面的夾角：平面a與平面尸相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二

面角稱為平面a與平面乃的夾角，如圖①.若平面a,4的法向量分別是必和“2，則平面a與平面-的夾角

即為向量〃i和〃2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面a與平面少的夾角為仇則cos9=Icos<ni，n2>I=|二靠卜

|ni-n2|

|nil|n2r

圖①圖②圖③

（2）二面角：二面角a-/-/7為0或兀一。.設(shè)二面角大小為°,則Icos°I=cos6>=1詈署,如圖②③.

注意：注意二面角與兩個(gè)平面的夾角的區(qū)別與聯(lián)系，二面角的范圍為［0,捫，兩個(gè)平面的夾角的范圍為［o,；］.

4.空間距離

（1）點(diǎn)到直線的距離:

U

AQ

設(shè)弱=a,直線/的一個(gè)單位方向向量為u,則向量豳在直線/上的投影向量麗=（cru）u.在REAPQ中，

由勾股定理，得PQ=J|00|2-|ffl|2=7a2-（a'w）2；

（2）點(diǎn)到平面的距離：已知平面a的法向量為n,A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面

a的垂線/,交平面a于點(diǎn)Q,則"是直線/的方向向量，且點(diǎn)P到平面a的距離就是弱在直線/上的投影向

量麗的長度.因此。。=府心|=|魯|="整；

I|n|II\n\I\n\

（3）兩異面直線間的距離：即兩條異面直線公垂線段的長度.

題型突破

題型1異面直線所成角

解題錦囊求異面直線所成角主要有兩種思路：1、幾何法：根據(jù)條件作出異面直線所成角，通過解三

角形求解，2、空間向量法：（1）坐標(biāo)法建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，結(jié)合向量的數(shù)量積求

解；（2）基向量法：用已知夾角或模的向量表示出直線的方向向量，結(jié)合向量的數(shù)量積求解.

例1（2024?青海?模擬預(yù)測）如圖,在三棱錐P-ABC中，ZAPB=90°,ZCPA=ZCPB=60°,PA=PB=PC=2,

點(diǎn)、D,E,F滿足PD=DB，PE=2EA，AF=FC，則直線C￡與。尸所成的角為（）

【答案】D

【分析】設(shè)，，禾!用空間向量運(yùn)算得■。一

PA=aPB=b>PC=c1CE=|d,DF=^a-b+c^利用數(shù)量積

的運(yùn)算律求解數(shù)量積，即可解答.

【詳解】設(shè)PA=q，PB=b，PC=c，則。％=0，a-c=Z?-c=2x2xl=2,

22

CE=PE-PC=-PA-PC=-a-c,

33

Dk=PF-PD=g（PA+PC）-；PB=g（a—b+c）,

......1-21--1--112

所以CE?。尸=—a——ab——a-c-\--b-cc=0,

33622

故直線CE與。尸所成的角為90。.

故選：D

【類題演練1X2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）已知直三棱柱ABC-A用G中，ZABC=120°,AB=C=2,BC=1,

則異面直線A4與BG所成角的余弦值為（）

A有nV15「Mn73

2543

【答案】C

【分析】根據(jù)空間向量法求線線角即可.

【詳解】以8為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過B作8C的垂線交AC于。，

以80為X軸，以2C為y軸，以8月為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)橹比庵鵄BC-A瓦G中，ZASC=120°,AB=CCl=2,BC=\,

所以A(石,-1,0),4(0,0,2),B(0,0,0),q(0,1,2),

所以例=(-73,1,2),BQ=(0,1,2),

設(shè)異面直線與Bct所成角為e,

|的?BC5回

所以cos（9=

\AB}\-\BCl\^y/8-y[5~4

故選：C.

【類題演練2】（2024?廣東梅州?模擬預(yù)測）直三棱柱ABC-A4G中，ABAC=120°,AB=AC=AAi,則

異面直線8A與AG所成角的余弦值為（）

33正"

A.-B.——C.—D.—

4424

【答案】A

【分析】由題意，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線與AG所在直線的方向向量，由空

間向量夾角的余弦值的坐標(biāo)公式求解即可.

【詳解】以A為原點(diǎn)，在平面A3C中過A作AC的垂線交于。，

以AD所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，AA所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)橹比庵鵄BC-A瓦G中，/BAC=120°,

設(shè)4B=AC=⑨=1,

(/?)A

所以8T，-2,0，4(0，°」)，A(0,0,0),q(0,1,1),

7

3=--^~巧/，AG=（0,1,1）,

設(shè)異面直線BA與AG所成角為。,

AC

H-1|1；；3

則cos6=

\BA^-\AC^

3

所以異面直線即與g所成角的余弦值為“

【類題演練3】(2024高三?全國?專題練習(xí))在三棱柱ABC-A與G中，底面邊長和側(cè)棱長都相等,

ZBA4,=ZC4A=60°,則異面直線AB,與BQ所成角的正弦值為()

A立R0rV6而

6666

【答案】D

【分析】設(shè)的=c,AB=a,AC=b，借助空間向量數(shù)量積與模長的關(guān)系及向量夾角計(jì)算公式計(jì)算即可得.

【詳解】如圖，設(shè)的=。，AB=a,AC=b，三棱柱人與。-AgG的棱長均為1,

則ci'b=1,b,c——,ci'c=一,

222

=(a+e)?(/?-m+e)=〃?/7一同+c,z?+|c|—1+—+1=1,

又|AB{I==J，+2〃地+上2=Si/--1-~+-=,

_\BXBCX_1_V6

則0°"昂3=同網(wǎng)二萬&=石'

故異面直線A片與BC,所成角的正弦值為』1_

故選：D.

題型2直線與平面所成角

吧孽向量法求直線與平面所成角的2種方法

（1）分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）;

（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（或鈍角的補(bǔ)角），取其

余角就是斜線和平面所成的角.

角度1求直線與平面所成角

例2（2024,江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A5CD是等腰梯形,

點(diǎn)/在網(wǎng)上，點(diǎn)N在上，平面AAW「平面PCD.

（1）求證：N是的中點(diǎn);

⑵若PA±AB,PA=AB,PC=BC,求直線MC與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）包

7

【分析】（1）由面面平行得到線線平行，從而得到四邊形ADCN為平行四邊形，CN=AD=^BC,得到結(jié)

論；

(2)作出輔助線，得到/54C=90。，結(jié)合三角形全等得到上4LAC,從而證明出線面垂直，建立空間直

角坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量，求出線面角的正弦值.

【詳解】(1)因?yàn)槠矫鍭AW「平面PCD,平面ABCDc平面=

平面/IBCDc平面PCD=CD.所以⑷VCD,

又由梯形ABC?？傻肁OCN,所以四邊形ADCN為平行四邊形，

所以CN=AD=[BC,所以N是3c的中點(diǎn).

(2)連接AC,由(1)知N是BC的中點(diǎn)，AN=CD=-BC,

2

故AN=BN=CN,故ZNBA=ZNAB,NNCA=NNAC,

因?yàn)镹NR4++NNC4+NN4c=180。，

所以ZWB+NM4c=90。，故/R1C=9O。，即AB人AC,

因?yàn)镃B=CP,AB=AP,C4=C4,所以ABC與全等，

所以NPAC=NBAC=90,即B4_LAC,

又上4，AB,ABcAC=AAB,4Cu平面ABC。，所以PAL平面A3CD,

以｛AB,AC,AP｝為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-型，

因?yàn)锳B=g2C=l,由勾股定理得A。=1BC。一AB?=g=6,

則尸（0,0,1）,2（1,0,0）,。（0,后0）,￡>-；，￥，。，

\7

所以CO=，一4,0,PD=,AC=（0,^,0）,

\7\7

/、n-CD-0

設(shè)平面尸CD的法向量為〃=（x,y,z）,貝",

nPD=Q

1A/3

——x------y=0

即《22

1460

——x-\-----y-z=0

122,

取X=石，貝!Jy=-1,z=—百，于是用=（若1,—指）,

由平面AMN?平面尸CD,平面依Cc平面AAW=MN,平面PBCc平面PCD=PC.

得MNPC,

1

又N是BC的中點(diǎn)，所以M是PB的中點(diǎn)，M=

l2r?

設(shè)直線MC與平面PCD所成角為巴

sin0=\cos(CM,n

\CM[\n\近.77，

2

所以直線MC與平面尸8所成的角的正弦值為理

7

【類題演練1】（2024?廣東茂名?模擬預(yù)測）已知四棱柱ABC。-ABGR的底面是正方形，4?=4,A4,=40，

點(diǎn)用在底面ABCD的射影為8C中點(diǎn)“，則直線AR與平面ABCD所成角的正弦值為.

【答案】巨

4

【分析】以點(diǎn)》為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、HC、”片的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系8-孫z,

求得平面ABCD的一個(gè)法向量為“=（0,0,1）,直線AR的一個(gè)方向向量=（0,6,2近），利用向量的夾角公

式可求直線A2與平面ABCD所成角的正弦值.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)耳在底面ABC。的射影為BC中點(diǎn)，，則平面ABCD,

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，

以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA>HC、郎的方向分別為X、夕、二軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系

H—xyz,

因?yàn)槎╛L平面ABC。，_BCu平面A3CD,則A"_L8C,

因?yàn)锳B=4,AA,=472,貝!]=、BB；-BH?=232—4=2萬,

則A（4,-2,0）、0（4,2,0）、3（0,-2,0）、耳（0,0,2近），

所以AZ>|=AD+。@=AD+24=（0,4,0）+（0,2,2近）=（0,6,24）,

易知平面ABCD的一個(gè)法向量為〃=（0,0,1）,

s鶴一2幣幣

cosAD,,n=?---\---=----=---

\AD^-\n\8x14，

因此，直線A2與平面ABC。所成角的正弦值為也.

4

故答案為：叵.

4

【類題演練2】（2024?浙江金華?三模）四棱錐尸-ABCD的底面ABCD為正方形，24,平面ABCD,且

PA=y/2,AB=1.四棱錐尸-ABCD的各個(gè)頂點(diǎn)均在球。的表面上，Bsl,ILOB,則直線/與平面尸AC

所成夾角的范圍為.

7T

【答案】0,-.

【分析】依題意可證明3。工平面PAC,建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求線面角可得結(jié)果.

【詳解】解：依題意，四棱錐尸-ABCD的外接球的球心。為PC的中點(diǎn)，連接AC,3。，

交點(diǎn)為0,因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AC13。，

又PA_L平面ABCD,且89u平面ABCD,所以以_LB￡>,

又PAAC=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,所以301平面PAC,

所以8。為平面PAC的一個(gè)法向量,

如圖建立坐標(biāo)系，并設(shè)直線/上異于2的一點(diǎn)R（%y,z）,所求線面角為巴

乙乙乙］\N

則3R=(x-l,y,z),BO=乎,=

\乙乙乙/I、乙乙

由吠80=0可得x=y+&+l，

x1y

\BR-BQ\-----1----F—z

回sin。=IcosB??,BQ卜222ll

網(wǎng)出小2y2+3z?+2后yz

當(dāng)z=0時(shí)，sinO=O,

當(dāng)ZRO時(shí),

綜上，sin6>e0,—,00e0,：

IT

故答案為：0,-.

另解：依題意，四棱錐P-ABCD的外接球的球心。為PC的中點(diǎn)，連接ACM,

交點(diǎn)為。，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AC13D,

又PA_L平面ABCD,且BDu平面A3CD,所以

又PAAC=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,所以平面PAC,

即8。_L面PAC,

若〃/平面ACP,貝I/與平面PAC所成的角為0.

若過B的直線I與平面PAC相交于點(diǎn)R,

在平面3。。中，過8作直線BSL0B,與平面PAC相交于點(diǎn)為S,

因?yàn)锽Q，面PAC,且RSu平面PAC,所以BQLRS,

又BO1,BR,BSLOB,且BRBS=B,BR,BSu平面BRS,

所以8。工平面BRS,

故過B且與8。垂直的直線與平面PAC的交點(diǎn)的軌跡為直線RS,

又RSu平面2RS,所以RS_LC?,又BQLRS,且08BQ=B,

所以RS_L平面8。。，又。Su平面8OQ,所以RS_LOS,

又BQ,面PAC,所以R。為BR在面B4C內(nèi)的射影，

BQ

即NBRQ為直線I與平面PAC所成的角，且tanNBRQ=,

RQ

又儂考,而|RQ閆QS|=1,

、BQJ2

當(dāng)且僅當(dāng)RS重合等號(hào)成立，故0<5皿/5昭2=親"?，

Q32

綜上，sin0e|0,,赳吟?

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與平面所成角的方法：（1）幾何法：作出直線與平面所成角，在直角三角形

中求角；（2）空間向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，用向量法求線面

角.

【類題演練3X2024?湖南邵陽?三模）如圖所示，四棱錐P-ABCD中，“，平面ABC。，ABCD,ABLAD,

AP=AB=2AD=2CD,E為棱PC上的動(dòng)點(diǎn).

DC

⑴求證：BC1AE；

（2）若PE=2EC，求直線DE與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】①證明見解析

⑵乎

【分析】（］）連接AC,取43的中點(diǎn)/，連接CP,利用平行四邊形的判定及性質(zhì)可得=則有

AC1BC,然后根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證明.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的法向量，利用向量法求得線面角的正弦值.

【詳解】（1）連接AC,取48的中點(diǎn)/，連接CP,則==

又?,AB〃CD,歹"CD,.?.四邊形AZXF為平行四邊形，.?.CFMADULAB,

一2

ZACB=90°,即AC^BC,

DC

又PA_L平面ABC。，8。匚平面鈿?！?gt;,，24_18。，

又?，ACPA=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,，臺(tái)。！?平面PAC,

又AEu平面PAC,:.BCLAE.

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO,AB,A尸所在直線分別為x軸，>軸，z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=CD=a.則AP=AB=2AD=2a,

DC

x

依題意得。（d。,。），C（aM,O）,B（0,2a,0）,尸（0,0,2a）,

貝！JBP=(0,-2a,2a),CP=(-a,-a,2a),

21(ala2a\

PE=2EC，.-.r>￡=-DC+-DP=l--,y,yI.

設(shè)平面PBC的法向量為〃=(%,%,Zo),

n?BP=-2ay+2aze=0,

則0n0

n?CP=-ax0-ay0+2az0=0,

取>0=1，得Zo=l,%o=1..,.〃=(1,1,1).

I/>IIDE-HILIR

設(shè)直線DE與平面PBC所成角為。，則有sin。=cosDE,n)\=卜"=丹=4

1、Z|\DE\\n\,3問3

???直線DE與平面PBC所成角的正弦值為6.

3

角度2已知線面角求值

例3（23-24高三下?上海?期中）如圖所示，在四棱錐尸-ASCD中，四邊形ABCD為直角梯形,

ABCD,ZDAB=60,CD=1,AB=3,AP3C是等邊三角形，尸為線段BC的中點(diǎn)，尸

（1）求證：平面PCB_L平面ABCD；

（2）若E為線段尸F(xiàn)上的一點(diǎn)，且直線8E與平面上位）所成角的正弦值為立，求E尸的值.

4

【答案】（1）證明見解析

(2)EF=2

【分析】（1）利用線線垂直可得尸尸，平面ABCD,進(jìn)而可證平面P3cl平面ABCD；

（2）過。作垂足為

【詳解】（1）因?yàn)橐籔8C為等邊三角形，尸為線段BC的中點(diǎn)，所以依，3C,又尸

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形，ABCD,所以AABC是平面ABCD上的兩條相交直線,

所以Pb_L平面ABC。，PFu平面PBC,所以平面PBC」平面ABCD；

(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形，ABCD,ZDAB=60°,

所以NA5C=NOC8=90,過D作。"J_AB，垂足為H,

由CD=1,AB=3,得A/7=2,所以DH=26,BC=DH=2^>

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,3),A(3,V3,0),B(0,0),D(l,0),

設(shè)E（0,0,a）,則PA=（3,A/3,-3）,DA=（2,2月,0）,

設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-PA=3尤+小y-3z=0

則,令y=拒,貝!]"=（—3,石,—2）,

n-DA=2x+2y/3y=0

又BE=(0,-6,a),設(shè)直線BE與平面PA。所成角為a,

\n.BE\|2a+3|77

貝!Jsina=解得a=2,即EF=2.

\n\.\BE\~4^+a2

【類題演練1】(2024?河北滄州?三模)如圖，在直三棱柱ABC-A,4G中，AB=BC=AAl=2,ABIBC,

D，E分別為AC,AG的中點(diǎn).

l\/??/\

B

(1)證明：平面A^EV/平面BQ。；

(2)線段BC上是否存在點(diǎn)使得直線4M與平面BCQ所成的角的正弦值為逆，若存在，求出線段8M

9

的長；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析；

⑵存在，1.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A用E與平面BCQ的法向量，利用空間位置

關(guān)系的向量證明推理即得.

(2)由(1)中坐標(biāo)系，假定存在，利用線面角的向量求法列式計(jì)算即得.

【詳解】(1)在直三棱柱ABC-A與G中，ABJ.BC,則直線BCBAB用兩兩垂直，

以點(diǎn)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC,BA,BB,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

4(0,2,0),4(0,0,2),0(1,1,0),E(l,l,2),G(2,0,2),4(022),

然=(0,-2,2),A￡=(l,-1,2),BD=(1,1,0),8G=(2,0,2),

m?AB=—2b+2c=0(、

設(shè)平面4與E的法向量為歷=(a,6,c),貝卜},令6=1,得m=(-1,1,1),

m-AE=a—b+2c=0

/、n-BD=x+y=0/、

設(shè)平面8CQ的法向量為〃=x,y,z),貝。,令y=l,得"=-1,1,1),

n-BCl=2x+2z=0

顯然加="，點(diǎn)AF平面5CQ,所以平面平面8CQ.

(2)假設(shè)線段BC上存在點(diǎn)M,0,0)滿足條件，0WY2,AM=&-2,-2),

設(shè)直線A"與平面BCQ所成的角為凡

|f+4|_5/

則sin。=|cos(n,\=

Ia||AW"j8+「9

化簡得2產(chǎn)-%+7=0,而04/42,解得f=l,

所以存在點(diǎn)M符合題意，此時(shí)8M=1.

【類題演練2】（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）在空間四邊形ABCD中，AB=BC=BD=AC=2,AD=DC=及.

⑴求證:平面ADCJ_平面ABC;

⑵對角線上是否存在一點(diǎn)石，使得直線與平面ZC￡所成角為30。.若存在求出B黑F的值，若不存在說

明理由.

【答案】⑴證明見解析；

⑵存在，黑=石.

ED

【分析】（1）取AC的中點(diǎn)0,連00,80,可證明仞，8,00,AC,DO1OB,根據(jù)線面垂直與面面垂

直的判定定理即可證明；

（2）以。為原點(diǎn)，OB,OC,OD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出AD與平面ACE的法向量"

的坐標(biāo)，根據(jù)sin3（T=#冷即可求解.

|叫?同

【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)。，連DO,B。,

因?yàn)锳C=2,AD=OC=&,所以AD_LCD,E>O_LAC,且。0=1.

又AS=8C=AC=2,則以"AC,且80=后

又則BO?=。。2+3。2,則。。

因?yàn)?。門。3=0,4。,。8<=平面ABC,所以￡>O_L平面4BC.

因?yàn)镈Ou平面ADC,所以平面ADC_L平面ABC.

（2）易知OBQGOD兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，OB.OCQD所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(O,O,O),A(O,T,O),3(￡O,O),C(O,I,O),Z>(O,O,I),

則。2=(百,0,-1).

設(shè)DE=ADB=(后,0,-2),則E(后,0,-幾+1).

則OE=(瓜,0,-幾+1),OC=(0,1,0),

設(shè)平面ACE的法向量為〃=(x,%z),

n-OE=^2x+(-A+l)z=0

n-OC=y=0

令x=X—1,貝!Jz=y=0,即〃=(2—1,0,.

又AZ）=（（M,1）,所以sin3（r=—r—,

1明?同

即5一，口川+[一行]，即2萬+2幾-1=0,解得2=—產(chǎn)?或2=—資（舍去），

因?yàn)镈E=，所以DE=X（DE+￡?）,所以ABE=（1-2）OE,

,-1+A/3

所以翁BE1-^J

DEA-—1+6

2

故翳技

題型3二面角

幽蕈向量法求平面與平面夾角（二面角）的方法

（1）找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到

二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大??；

（2）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則

這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

例4（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸—ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,AD=3,點(diǎn)E在A。上,

S.PEJ.AD,PE=DE=2.

p

⑴若歹為線段尸E中點(diǎn)，求證：BF〃平面PCD.

(2)若AB上平面PAD,求平面R4B與平面PCD夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵叵

30

【解析】(1)取PD的中點(diǎn)為S,接SESC,則跖〃ED,SF=；M=1,

而ED//BC,ED=2BC,故SFHBC,SF=BC,故四邊形SFBC為平行四邊形,

故班7/SC,而平面尸CD,SCu平面PCD,

所以3尸〃平面PCD.

(2)

因?yàn)椤闐=2,故AE=1,WAEHBC,AE=BC,

故四邊形AECB為平行四邊形，故CEHAB,所以CEL平面尸A。,

而尸E,a)u平面尸AO,故CELPE,CELED,而PELED,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,—1,0）,3（1,—1,0）,C（l,0,0）,￡＞（0,2,0）,尸（0,0,2）,

則PA^（0,-1-2），照=（1,一1,—2）,PC=（1,0,-2）,PD=（0,2,-2）,

設(shè)平面PAB的法向量為m=(x,%z),

m-PA=0[—y—2z=0/、

則由可得cc，取機(jī)=(O,-2,l),

設(shè)平面PCD的法向量為"=(〃,dc),

n-PC-0[a—2b=0/、

則由可得0,c八，取”=2,1,1),

n-PD=Q[2b-2c=0'7

故cosm,n=1-?廣=-,

75x7630

故平面RIB與平面PCD夾角的余弦值為我

30

【類題演練1】(2024?全國?高考真題)如圖，在以/,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形N5CA

與四邊形40訪均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=M,FB=20M

為AD的中點(diǎn).

⑴證明：3拉//平面0)￡；

(2)求二面角尸-BM-E的正弦值.

【答案】⑴證明見詳解；

⑵迪

13

【解析】(1)因?yàn)锽C〃AD,E尸=2,AD=4,M為AD的中點(diǎn)，所以BC//MD,BC=MD,

四邊形為平行四邊形，所以BM//CD,又因?yàn)楸刃廊势矫鍯DE,

CDu平面CDE,所以〃平面CDE；

(2)如圖所示，作3O_LAD交AD于0,連接OF,

因?yàn)樗倪呅蜛3CD為等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,

結(jié)合(1)3czM1為平行四邊形，可得氏0=CD=2,又AM=2,

所以.ABM為等邊三角形，。為AM中點(diǎn)，所以02=若，

又因?yàn)樗倪呅渭盁o尸為等腰梯形，M為4)中點(diǎn)，所以EF=MD,EF//MD,

四邊形SF7WD為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF,

所以為等腰三角形，―ABA/與底邊上中點(diǎn)。重合，OF1AM,OF=^AF1-AO1=3-

因?yàn)?*+。尸2=3尸2,所以os_Lop,所以03,O￡?,O尸互相垂直，

以。3方向?yàn)閤軸，0D方向?yàn)榱溯S，OF方向?yàn)閦軸，建立。-孫z空間直角坐標(biāo)系，

F（0,0,3）,B（V3,0,0）,M（0,l,0）,E（0,2,3）,BM=（-73,1,0）,SF=（-A/3,0,3）,

BE=（-V3,2,3）,設(shè)平面BFM的法向量為根=（%,另,z1），

平面EMB的法向量為，z=（9,%，Z2），

m-BM=0f-V3x+y,=0「

則，即J力，令玉=百，得M=3,4=1,即機(jī)="3,1,

mBF=。1―6%+3ZI=0'7

YI?BM=0[-y/3x+y=0l

則，即廠一?發(fā)7，令S,得當(dāng)=3烏=一1,

n-BE=0[-A/3X2+2y2+3z2=0

/r-\m-n11114C

即力=（忘3,T）,cos"，，"麗丁標(biāo)后=石，則sin肛〃=蛋，

故二面角尸-及0-E的正弦值為W

A弋沖;嘀

【類題演練2】（2023?廣東佛山?統(tǒng)考二模）四面體ABC。中，ABYBD,CDLBD,AB=3,BD=2,CD=4,

平面ABD與平面BCD的夾角為:，則AC的值可能為（）

A.V17B.723C.735D.同

【答案】AD

【解析】在四面體ABCD中，ABYBD,CD±BD,貝!|<54,OC〉是二面角A—3D—C的平面角，如圖,

A

AC=AB+BD+DC=-BA+BD+DC，而AB=3,BD=2,CD=4,

2222

AC=BA+BD+DC-1BADC=9+4+16-2x3x4cos(BA,DC)=29-24cos<BA,DC),

因?yàn)槠矫嬲f與平面BCD的夾角為三，則當(dāng)〈54,。?！?］時(shí)，|4口=后,

當(dāng)〈BA,OC〉=與時(shí)，|AC|=4r,

所以AC的值可能為J萬，V41.

故選：AD

【類題演練3】（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是正方形,

AD=PD=2,ZPDC=120,PA=2&，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段AB上.

（l）5gAF=1,求證：C"EF；

⑵若F是AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，求平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）半.

4

【解析】（1）在正方形ABCD中，AD=CD,又AD=PD=2,.〔PD=CD=2

在,PCD中，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，DELPCOE平分/尸DC,

在RtZXCDE中，DE=CDcos60=1,

過E作EHJLC。交CO于H,連接FW,則=DEcos60=」，

2

在正方形ABCD中，AP=g,.,.四邊形AFHD是矩形，

:.CDLFH,又CD1EH,EHcFH=H,EH,FHu平面EFH,

\CDA平面EFH,又EFu平面

(2)AD=PD=2,PA=2>/2,.-.AD±PD,

在正方形ABCD中，ADLCD,

而CDcPD=O,C￡>,P￡>u平面PCD,

所以A￡>_L平面PCD,

又ADu平面ABCD,:.平面ABCD1平面PCD,

過。作DG_LOC交PC于點(diǎn)G,

由平面"CD4平面尸CD,平面ABCDc平面PCD=DC,ZX7u平面尸CD,

得，OG_L平面ABCD,

故ZHDCQG兩兩互相垂直，以。為原點(diǎn)，以"DCDG所在直線分別為％y,z軸,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則。（0,0,0）,4（2,0,0）,鞏2,2,0）（（0,2,0）,尸倒,-1,石）,

由(1)知：DH=Z)￡cos60=g,EH=OEsin60=咚,

24

產(chǎn)是A3上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，.?.AF=§AB=§,；.F

設(shè)平面的法向量為4=（%,為4）,

1A/3

4?DE5%+彳石0

故<,?。?2故y=-3,4=

4

nlDF=2xi+-y1=0

所以平面DEF的一個(gè)法向量々=（2,-3,73）,

同理：設(shè)平面ADP的法向量%=（元2，%/2）,

n2-DP=-y2+A/3Z2=0

，取Z2=1,故%=G,=0,

n2,DA=2X2=0

平面ADP的一個(gè)法向量"

設(shè)平面DEF與平面DR4所成的銳二面角的平面角為。，

-n

則2=B

cos0=Hl^l4

故平面DEF與平面DE4所成的銳二面角的余弦值為3.

4

題型4點(diǎn)到平面的距離

解題錦囊

求點(diǎn)面距常見的三種方法

（1）作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離；（2）等體積法；（3）向量法.其中向量法在

易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡便.

例5（2024?黑龍江?三模）如圖，在直三棱柱ABC-中，AB=AAl=^,AB±AC,。為AC的中

點(diǎn).

⑴證明：A瓦，平面4出。；

（2）若二面角A-BC-O的余弦值為正，求點(diǎn)A到平面BCD的距離.

4

【答案】⑴證明見解析

（2）點(diǎn)A到平面BCD的距離為逅.

2

【解析】（1）證明：由直三棱柱的性質(zhì)可知AA，A8,AA，AC,四邊形九4超出為平行四邊形,

又因?yàn)锳5=A4,,所以四邊形A41AB為正方形，所以A片，耳5,

因?yàn)锳A'AC,ABJ.AC,MAB=A,

所以ACJ■平面,

所以AC1AB1，

因?yàn)锳O//AC,

所以

又因?yàn)锳BcAO=A，\B,ADu平面48。

所以A片，平面A/。.

（2）以A為原點(diǎn)，AB,AC,AA所在直線分別為無軸、，軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AC=2a（a>0）,則A（0,0,0）,B（g,O,O）,C（0,2a,0）,D（O,a,君）,

所以AC=（O,2a,0）,BC=（-V3,2a,0）,CD=（0,-a,代），

所以平面ABC的一個(gè)法向量為加=（0,0,1）,

設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

n-BC-0[~y/3x+2ay=0

則，所以「，

n-CD=0[-ay+y/3z=0

取九=6,貝!Iy=丁，z=,

2a2

所以〃=石,;，坐,

2a2

設(shè)二面角A-的大小為巴

則Icos"=|cosm-Ai|0

4，解得a=l,

（3也、

所以玄=（0,2,0）,平面BCD的一個(gè)法向量〃=|豆二事

設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為d,

JG「3一屈

則同/3+9+32，

V44

所以點(diǎn)A到平面BCD的距離為好.

2

【類題演練1】在三棱錐S-ABC中，△4BC是邊長為4的正三角形，平面S/CL平面ABC,SA=SC=2小,

M,N分別為48,S3的中點(diǎn)，如圖所示.求點(diǎn)3到平面CMN的距離.

解：取/C的中點(diǎn)O,連接。S,OB,

"：SA=SC,AB=BC,：.AC±SO,AC±BO.

?.?平面S4CJ■平面48C,平面S/iCn平面N2C=/C,

；.$。，平面48。，又：臺(tái)。平面NBC,：.SO±BO.

如圖所示，分別以CM,OB,0s所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,

貝42(0,2小，0),C(-2,0,0),S(0,0,2^2),M(l,事,0),NQ,小，也).

：.CM=(3,小，0),血=(—1,0,6)，施=(—1,小,0).

設(shè)〃=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量，

CM-n=3x+y[3y=0f

則j

、MN?n=—x+3z=。,

取z=1,則y=—*\/6,n=(*\/2,—"\/6,1).

.?.點(diǎn)3到平面CMN的距離1=世半=羋.

【類題演練2】(2024?福建福州?一模)如圖，四邊形N8CD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)/在底面圓。上，圓O

的半徑為1，4/=若，點(diǎn)G是線段2尸的中點(diǎn).

(1)證明：EG〃平面04尸；

⑵若直線與圓柱底面所成角為45。，求點(diǎn)G到平面。環(huán)的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2)姮

10

【解析】(1)取■中點(diǎn)連接。M,GM,如圖所示：

\\,?\G為跳'中點(diǎn)，則GM//AB,又ABHDE,得GM//DE,

F

由DE=-AB,得GM=DE,

22

所以四邊形DEGM為平行四邊形，DM//EG,

又OWu平面ZM尸，EGZ平面ZM廣，所以EG//平面ZMF.

(2)因?yàn)?3=1,AF=6ZAFB=90,所以班'=Jy?_川=J4_3=L

因?yàn)榘薃_L平面AB尸，且直線。戶與圓柱底面所成角為45,

所以NAFD=45,則有AD=石.

如圖，以尸為原點(diǎn)，EB,E4分別為x,y軸，過歹垂直于底面的直線硒為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系尸-孫z,

ZJ

則有尸(O,O,O),A(O,￡O),B(LO,O),G@,O,O),D(O,市,/),C(I,O,/),Eg,與,6

FD=Z市網(wǎng),FE=與#,

FD-n=6y+^z=0

設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)