2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 雙曲線 專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)86?雙曲線?專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

［A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.若直線y=3久-1與雙曲線C-.x2-my2=1的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)m的值

為

11

A艮

-9-3

93D.

c修2

2.若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線/+匕=1的離心率是（）

m

A.日或近B.V5C.苧D.f或亨

22

3.已知力,F2分別是雙曲線?—奈=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，過4且垂直于

x軸的直線與雙曲線的右支交于2,B兩點(diǎn)，若AABFi是正三角形，則此雙曲線的

漸近線方程是（）

A.y=±2xB.y=±V3xC.y=±V2xD.y=±V5x

22

4.（多選）已知雙曲線E:%—?=l（a>0）經(jīng)過點(diǎn)P（2V2,2），貝?。荩ǎ?/p>

A.E的實(shí)軸長(zhǎng)為2B.E的焦距為4V2

C.E的離心率為迎D.E的漸近線方程是y=±；久

5.（多選）已知曲線C的方程為些--=1,下列說法正確的是（）

mn

A.若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m>-n>0

B.曲線C可能是圓

C.若nm<0，則曲線C一定是雙曲線

D.若曲線C為雙曲線，則漸近線方程為y=±舊

6.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)2（-7,-6V2）,B（2V7,3）,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為

22

7.記雙曲線C:J—￡=l（a>>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x

與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值

22

8.若雙曲線C:%=l(a>>0)的一條漸近線被圓/+。_2)2=4所截得的

弦長(zhǎng)為2V3，則C的離心率為.

9.在①雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上；②雙曲線E的焦點(diǎn)在y軸上，這兩個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.

已知雙曲線C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且C經(jīng)過點(diǎn)4(0,遙),5(1,3)?

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若雙曲線E與雙曲線C的漸近線相同且E的焦距為4,求雙曲

線E的實(shí)軸長(zhǎng).

注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

[B級(jí)綜合運(yùn)用]

10.如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶一一唐?金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲

瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲

22

線C：%-云=l(a>>0)的右支與y軸及平行于X軸的兩條直線圍成的曲邊四

邊形4BMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體,如圖所示,若該金杯主體部分的上口外

直徑為竽,下底座外直徑為蜉,且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離

的2倍，則杯身最細(xì)之處的周長(zhǎng)為()

11.（多選）在△2BC中，|2B|=4,M為48的中點(diǎn)，且|IC4HCBI|=|CM|,

則下列說法中正確的是()

A.動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是雙曲線B.動(dòng)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的最大值為百

C.△ABC是鈍角三角形D.△ABC面積的最大值為2V3

12.已知％,均分別為雙曲線c：《-《=1的左、右焦點(diǎn)，P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)

ioy

原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),且IPQI=,則四邊形PAQ&的面積為.

22

13.已知％,F2分別是雙曲線E:a-g=l(a>0)的左、右焦點(diǎn)，過2的直線與

雙曲線E的左、右兩支分別交于2,B兩點(diǎn),^\BF2\-.\AB\-.\AF2\=5:12:13，則

XABF?的面積為.

14.已知雙曲線標(biāo)—9=l(a>0山>0)的左、右焦點(diǎn)分別為2,F2，點(diǎn)P在雙曲

線的右支上(點(diǎn)P不在％軸上),且|P%|=5|PF2|.

(1)用a表示|PFi|,IPF2I；

(2)若GPF2是鈍角,求雙曲線的離心率e的取值范圍.

[C級(jí)素養(yǎng)提升]

15.(多選)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為七,出，以。的實(shí)軸為直徑的圓記為D,過

Fi作D的切線與C交于M,N兩點(diǎn)，且COS^F1NF2，則C的離心率為()

3月

V-5艮

A-C

22D.2

16.已知雙曲線?-左=l(a>0力>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0).

(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y=%且c=2，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)以原點(diǎn)。為圓心，C為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為a,過a

作圓的切線，斜率為-V3,求雙曲線的離心率.

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.6-雙曲線-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】

［A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.若直線y=3%-1與雙曲線C\x2-my2=1的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)m的值

為/A

\(

11

AC

-9-3

9B.3D.

［解析］選A.雙曲線C:%2-my2=1的漸近線方程滿足％=±而y,因?yàn)橐粭l漸近線

與y=3%-1平行，所以漸近線方程為y=±3%，故m,故選A.

2.若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線/+些=1的離心率是（A）

m

A.苧或后B.V5C.乎D.f或日

［解析］選A.因?yàn)閙是2和8的等比中項(xiàng),所以m=4或TH=-4.

當(dāng)m=4時(shí)，方程為%2+？=1，表示橢圓，

所以a-2,b-1,c-y/a2-b2-V3,所以離心率為日；

當(dāng)TH=一4時(shí)，方程為/一*=1,表示雙曲線，所以a-1,b-2,c-

7a2+b2-V5,所以離心率為,故選A.

3.已知％,F2分別是雙曲線胃-/=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn),過后且垂直于

x軸的直線與雙曲線的右支交于2,B兩點(diǎn)，若是正三角形，則此雙曲線的

漸近線方程是（C）

A.y=±2xB.y=±V3xC.y=±V2xD.y=±V5x

［解析］選C.由題意得△Z&F1為直角三角形,且24%尸2=30°,

故可設(shè)=2m,貝—4m,|FIF2I=2c=2有m,如圖所示,

由雙曲線的定義得2a=\AFr\-\AF2\=4TH-27n=2TH,

所以a=m,c-V3m，所以b-V2m,所以?=V2,

所以雙曲線的漸近線方程為y=±V2x,故選C.

22

4.（多選）已知雙曲線后橐—?=l（a>0）經(jīng)過點(diǎn)P（2V2,2），則（BC）

A.E的實(shí)軸長(zhǎng)為2B.E的焦距為4V2

C.E的離心率為迎D.E的漸近線方程是丫=±］%

［解析］選BC.由題意感—：=1，得a=2,

即雙曲線E的方程為）一1=1.

所以雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)是4,焦距是4V2,

離心率為乎=V2,漸近線方程是y=±%.

故B,C正確，A,D錯(cuò)誤，故選BC.

5.（多選）已知曲線C的方程為些--=1,下列說法正確的是（BD）

mn

A.若曲線C為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則7ZI>-72>0

B.曲線C可能是圓

C.若nm<0，則曲線C一定是雙曲線

D.若曲線C為雙曲線，則漸近線方程為y=±&

22

［解析］選BD.因?yàn)榍€C的方程為匕-2=1,

mn

對(duì)于A:曲線C為焦點(diǎn)在“軸上的橢圓，則應(yīng)+4=1，即-n>zn>0，故A錯(cuò)誤;

—nm

對(duì)于B:當(dāng)TH=-71>0時(shí)，曲線C表示圓，故B正確；

對(duì)于C:若m——n—1,滿足mn<0,

曲線c為/+V=i，表示圓，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D:若《一?=1為雙曲線，則nm>0,

當(dāng)>0,時(shí)，好一=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，其漸近線方程為

tn>0mn

當(dāng)時(shí)’!一三=1表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線,其漸近線方程為y=±

，故D正確.故選BD.

6.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)4（-7,-6V2）,B（2V7,3）,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為白昌三1

［解析］設(shè)雙曲線方程為rnx2+ny2-l（mn<0）,

則卜7尸叱（一6肉…,解得『二十

（2V7）m+32n=1,（九=一五,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1-1=1.

7.記雙曲線4T=l（a>>0）的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2%

與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值2（滿足1<eW迷即可）.

［解析］由題意得，雙曲線C的漸近線方程為y^±-ax.

故只需。<三2,<<4,

可滿足條件“直線y=2%與C無(wú)公共點(diǎn)”，

所以e~~~Jl+*W所+4=V5.

因?yàn)閑>1,所以1<eW遍.

8.若雙曲線C京一a=1(。>。力>0)的一條漸近線被圓/+(y_2/=4所截得的

弦長(zhǎng)為2K，則c的離心率為2

［解析］設(shè)雙曲線4T=l(a>>0)的一條漸近線方程為bx+ay^O,

圓/+。一2)2=4的圓心為(0,2),半徑為2,

由題意得圓心到直線的距離為22-(⑹2=1=t黑，即1=竽，°2=402,可得

e2—^―4，即e=2.

9.在①雙曲線E的焦點(diǎn)在%軸上；②雙曲線E的焦點(diǎn)在y軸上，這兩個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.

已知雙曲線C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且C經(jīng)過點(diǎn)4(0,遙),5(1,3)?

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

［答案］解：設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為m%2+ny2=l,

6n=1,m=--

則解得

,m+9n=1,

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為！-y=l.

OL

(2)若雙曲線E與雙曲線C的漸近線相同且E的焦距為4,求雙曲

線E的實(shí)軸長(zhǎng).

注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

［答案］雙曲線C的漸近線方程為y=±8%.

22

選①，設(shè)雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為a—左=l(a>0,b>0),

r；=v3,_

所以LC=4,解得卜二12

、_b=V3.

[/=a2+b2,

所以雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為2.

選②，設(shè)雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為《-^=l(a>0,b>0),

(1=8，

所以，2c=4,解得a=W,b-1,

lc2=a2+b2,

所以雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為2V3.

[B級(jí)綜合運(yùn)用]

10.如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶一一唐?金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲

瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲

線C:：-擠=l(a>0山>0)的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四

邊形4BMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體,如圖所示,若該金杯主體部分的上口外

直徑為竽,下底座外直徑為穿,且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離

的2倍，則杯身最細(xì)之處的周長(zhǎng)為(C)

W7

A.2缶B.31TC.

［解析］選C,由題意可設(shè)M(533,2m),N(393,-m)，代入雙曲線方程可得

,259'259

與4川二12m_1

:;丁，即前一官一口

132

、藍(lán)_盾_L、前一官一匕

作差可得烏=解得=3,則a=g,所以杯身最細(xì)處的周長(zhǎng)為2伍.故選C.

aL4

11.（多選）在△ABC中，|2B|=4,M為48的中點(diǎn)，且|IC4HCBI|=|CM|,

則下列說法中正確的是（BD）

A.動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是雙曲線B.動(dòng)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的最大值為6

C.△ABC是鈍角二角形D.△ABC面積的最大值為2V3

［解析］選BD.因?yàn)閨|G4|-|CB||不是定值，所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡不是雙曲線，故A錯(cuò)誤.

以M為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)|CM|二r,此時(shí)點(diǎn)C在以M為圓心,r為半徑的動(dòng)圓上（除去%軸上兩點(diǎn)）.

由||C4HCB||=r知，點(diǎn)C在以4,B為焦點(diǎn)，a=；的雙曲線《―5=1（不包

括兩頂點(diǎn)）上且+/=（1）=4.

22n

設(shè)點(diǎn)C（x,y）,則%2+y2=r2，+y=1,則y2=r2（16一72）,當(dāng)「2=8時(shí)，

J/i_IL64

產(chǎn)最大，故0<|y|w百,0<W2次.當(dāng)r=2時(shí)，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為

SAABC

此時(shí)△ABC為直角三角形，故C錯(cuò)誤.故選BD.

12.已知片,4分別為雙曲線c：（—9=1的左、右焦點(diǎn)，P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)

原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且IPQI=，則四邊形P%Q出的面積為購(gòu)

［解析］如圖,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限.

因?yàn)镻,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，F(xiàn)i,F2也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以線段PQ與線段/止2互

相平分，所以四邊形PF1Q&是平行四邊形.又IPQI=F/2I,所以四邊形P%QF2

是矩形.

2

所以P&_LP&，所以|P%|2+\PF2\=IF/2E=100.①

又|P2|—|PF2l=2a=8,②

①-②2得|p%|?四21=18,所以四邊形PF1Q&的面積為18.

22

13.已知力,尸2分別是雙曲線/宣-l(a>0)的左、右焦點(diǎn)，過力的直線與

雙曲線E的左、右兩支分別交于4,B兩點(diǎn)，若|BF2l：|4B|:|”2l=5:12:13，則

△ABF2的面積為苦.

［解析］如圖，

因?yàn)閲?guó)&1：|43]:|2尸21=5:12:13，所以ZB1BF2.

設(shè)|B&I=5X,\AB\-12%，得=13%,

由|B%|一|B&I=-BAI，得12%+—5%=13%一|2%|,

所以|2%|=3%,貝"BFil=15%.

2

由|B2|2+\BF2\=|F/2『，得250/=4c2.

pfiFil-|BF2I=10%=2a,

(c2—a2+3,

所以a?-2,。2=5，久2=卷，

SfAABF2的面積S=?B||BF2l=30%2=看.

22

14.已知雙曲線a-奈=l(a>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為％，&，點(diǎn)P在雙曲

線的右支上(點(diǎn)P不在無(wú)軸上)，且|P%|=5|PF2|.

(1)用a表示|PFj,|P&|；

［答案］解：因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的右支上，

^\PF1\-\PF2\=2a.

1

-a

又|PFil=5|PF2|,聯(lián)立解得|PFil=|a,\PF2\2

(2)若匕F1PF2是鈍角，求雙曲線的曷心率e的取值范圍.

22

至。2+及-4C2—a-4ca

［答案］在APFFz中，由余弦定理得coszF］PF2=7^=2『=￡—ge2.

2x-ax-a-az55

因?yàn)橐?VCOSZF1PF2<0,所以一1V券一?/〈o,所以亭<e<1.

［C級(jí)素養(yǎng)提升］

15.(多選)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為％,&,以。的實(shí)軸為直徑的圓記為D,過

F1作D的切線與C交于M,N兩點(diǎn)，且cos乙Fig=1，則C的離心率為(AC)

ATB.日C.四D.包

2222

［解析］選AC.不妨假設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

5—5=l(a>01>0),%(—c,0),F2(C,O).當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)M,N在雙曲線兩支上時(shí)，

如圖1所示，

圖1

設(shè)過力的直線與圓D切于點(diǎn)P,連接0P,由題意知|0P|=a,又|。2|二c，所以

\F±P\=b.過點(diǎn)4作&Q1FIN,交FiN于點(diǎn)Q.由中位線的性質(zhì)，可得I&QI=

2\0P\-2a,\PQ\-b.因?yàn)閏osZ.F1NF2-|，所以sinzF1^VF2=g,故

\NF2\=^a,|QN|=|a,所以|N2|=\FrQ\+\QN\=2b+|a.由