高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)歸類分析 關(guān)于線線、線面及面面平行的問題（真題為例）

關(guān)于線線、線面及面面平行的問題典型例題：例1.（年四川省文5分）下列命題正確的是【】A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行【答案】C?！究键c(diǎn)】立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)。【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯(cuò)；一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯(cuò)；故選項(xiàng)C正確。故選C。例2.（年浙江省文5分）設(shè)是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面【】A.若∥α，∥β，則a∥βB.若∥α，⊥β，則α⊥βC.若α⊥β，⊥α，則⊥βD.若α⊥β,∥α，則⊥β【答案】B?！究键c(diǎn)】線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質(zhì)?！窘馕觥坷妹婷娲怪钡呐卸ǘɡ砜勺C明B是正確的，對(duì)于其它選項(xiàng)，可利用舉反例法證明其是錯(cuò)誤命題：A，若∥α，∥β，則滿足題意的兩平面可能相交，排除A；B，若∥α，⊥β，則在平面α內(nèi)存在一條直線垂直于平面β，從而兩平面垂直，故B正確；C，若α⊥β，⊥α，則可能在平面β內(nèi)，排除C；D，若α⊥β,∥α，則可能與β平行，相交，排除D。故選B。例3.（年山東省文12分）如圖，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB=CD，EC⊥BD.(Ⅰ)求證：BE=DE；(Ⅱ)若∠BCD=1200，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM∥平面BEC.【答案】解：(Ⅰ)證明：取BD中點(diǎn)為O，連接OC，OE，∵BC=CD，∴CO⊥BD，又∵EC⊥BD，CO∩EC=C，∴BD⊥平面OCE.。又∵OE平面OCE.，∴BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分線?！郆E=DE。(Ⅱ)取AB中點(diǎn)N，連接MN，DN，∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴MN∥BE?！摺鰽BD是等邊三角形，∴DN⊥AB，∠ABD＝60°?！摺螧CD＝120°，BC=CD，∴∠CBD＝30°?！唷螦BC＝60°+30°＝90°，即BC⊥AB。∴ND∥BC。又∵M(jìn)N∩ND=N，BE∩BC=B，∴平面MND∥平面BEC。又∵DM平面MND，∴DM∥平面BEC?！究键c(diǎn)】線面垂直和平行的證明，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)?！窘馕觥?Ⅰ)要證BE=DE，只要證點(diǎn)E是BD垂直平分線上的點(diǎn)即可。故取BD中點(diǎn)為O，連接OC，OE，由已知證明BD⊥OE即可。(Ⅱ)要證DM∥平面BEC只要證明DM在一個(gè)平行于平面BEC的另一個(gè)平面上，故取AB中點(diǎn)N，連接MN，DN，證明平面MND∥平面BEC即可。例4.（年福建省理13分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD（I）求證：B1E⊥AD1；（II）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由；（III）若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長(zhǎng)．【答案】解：（I）如圖，以A為原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，0))，B1(a,0,1)?！鄀q\o(AD,\s\up6(→))1＝(0,1,1)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，1，－1))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(a,0,1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，0))?！遝q\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝－eq\f(a,2)×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1。（II）假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時(shí)eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0，－1，z0)。又設(shè)平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋z＝0，,\f(ax,2)＋y＝0.))取x＝1，得平面B1AE的一個(gè)法向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(a,2)，－a))。要使DP∥平面B1AE，只要n⊥eq\o(DP,\s\up6(→))，即eq\f(a,2)－az0＝0，解得z0＝eq\f(1,2)。又DP?平面B1AE，∴存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝eq\f(1,2)。（III）連接A1D，B1C，由長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C。又由（I）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝∴AD1⊥平面DCB1A1∴eq\o(AD1,\s\up6(→))是平面A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí)eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)。設(shè)eq\o(AD1,\s\up6(→))與n所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(n·\o(AD1,\s\up6(→)),|n||\o(AD1,\s\up6(→))|)＝?！叨娼茿－B1E－A1的大小為30°，∴|cosθ|＝cos30°，即＝eq\f(\r(3),2)，解得＝2，即AB的長(zhǎng)為2?！究键c(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定?！窘馕觥浚á瘢┯深}意及所給的圖形，以A為原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)AB＝a，給出圖形中各點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出向量eq\o(AD,\s\up6(→))1和eq\o(B1E,\s\up6(→))的坐標(biāo)，驗(yàn)證其數(shù)量積為0即可證出兩線段垂直。（II）由題意，可先假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP∥平面B