2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測(cè)

專練17函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測(cè)

［基礎(chǔ)強(qiáng)化］

一、選擇題

1.函數(shù)人x)=x一9是()

A.奇函數(shù)，且值域?yàn)?0,+8)

B.奇函數(shù)，且值域?yàn)镽

C.偶函數(shù)，且值域?yàn)?0,+8)

D.偶函數(shù)，且值域?yàn)镽

答案:B

解析：因?yàn)榘艘籜)=—=—(x—￡)=—/(x),所以y(x)為奇函數(shù)，排除C,D,又犬1)=0,所以排

除A,故選B.

2.若直線尤=a(a>0)分別與曲線y=2x+l,y=x+lnx相交于A,8兩點(diǎn)，則的最小值為()

A.1B.2C.y/2D./

答案:B

解析：由題可得A(〃，2〃+1),B(a,a+ina),

/.\AB\=|2tz+1—(tz+ln〃)|=|〃+1—Ina\.

令式無(wú))=x+l—Inx(x>0),則f(x)=l，當(dāng)0<r<l時(shí)，f(x)<0；當(dāng)尤>1時(shí)，/(x)>0,函數(shù)/(x)在(0,

1)上單調(diào)遞減，在(1,十8)上單調(diào)遞增，.?.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)八X)取得最小值，最小值為2>0,

A|AB|=|<7+l-lna\=a+l~\na,其最小值為2.

3.已知〃=兀°2,b=log冗2,c=cos2,則()

A.c<b<aB.b<c<a

C.c<a<bD.a<c<b

答案:A

解析：由指數(shù)函數(shù)y=*在R上單調(diào)遞增，

可得。=兀°2>兀。=1,由對(duì)數(shù)函數(shù)y=loge在(0,+8)上單調(diào)遞增，知0=k)g兀lv/?=log兀2<log兀兀=1,即

ITJT

0</?<1,因?yàn)椋?lt;2<兀，而函數(shù)y=cosx在手兀上單調(diào)遞減，

兀

所以一l=cos兀<c=cos2<cos2=0,即一l<c<0,所以“/?<〃，故選A.

4.函數(shù)兀r)=ln2x一土的圖象在點(diǎn)g,爬)處的切線方程為()

A.y=6x—5B.y=8x—6

C.y=4x~4D.y=10x—7

答案：A

解析：戒)=ln1—2=-2,因?yàn)榱?x)=：+［，所以了(；)=6,所以切線方程為y—(―2)=6。：一，

即y=6x—5,故選A.

5.函數(shù)y(%)=cosx+(x+l)sinx+1在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大值分別為()

7171—37171

A--2'2B->2

C.+2D.一苧,5+2

答案：D

解析：因?yàn)?x)=cosx+(x+l)sinx+1,所以了(兀)=—sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)-cosx.因?yàn)椋?,

271］,所以x+l>0.當(dāng)了(無(wú))>0時(shí)，解得go,5)U(y,271］；當(dāng)了(尤)<0時(shí)，解得,y).所以於)在［0,

5)上單調(diào)遞增，在g,y］上單調(diào)遞減，在目，2兀］上單調(diào)遞增.又八0)=2,靖)=5+2,/(y)=-y,

八2兀)=2,所以式x)的最大值為5+2,最小值為一竽.故選D.

6.已知函數(shù)五尤)是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為了(x),若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,都有對(duì)Xx)+4?>0

恒成立，且黃也)=1,則使無(wú)2Ax)<2成立的實(shí)數(shù)x的集合為()

A.(一8,一也)0(-72,+8)

B.(一也，地)

C.(一8,也)

D.(^2,+8)

答案：C

解析：設(shè)〃(冗)=工2/(工)，則hr(x)=^f(x)+2xfix)=x［xf(x)+2/(x)］,因?yàn)閤>0時(shí)，都有葉(%)+家工)>0恒成

立，所以"(x)>0,所以/?")=a氏)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又函數(shù)人幻是定義在R上的奇函數(shù)，所以以x)

=中元)也是定義在R上的奇函數(shù)，所以0代)：入2凡X)在(-8,0)上單調(diào)遞增,又函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,其

導(dǎo)函數(shù)為/。)，所以/?(%)=寺3)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)槲宓?=1,所以力(、「)=2fly［2)=2,所以逐工)<2

即〃(%)<欣\及),得％,故選C.

7.［2024?新課標(biāo)H卷］設(shè)函數(shù)/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2〃x.當(dāng)工￡(一1,1)時(shí)，曲線》=/(%)與>=

g(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，則。=()

A.-1B.1C.1D.2

答案：D

92

解析：方法一9.f(x)=a(x+l)—l9g(x)=cosx+2Q%,曲線丁=/(%)與y=g(x)在(一1,1)上恰有一個(gè)交

點(diǎn)，令〃(%)=/")—gQOMQX2—cos-1,，/z(x)在(一1,1)上恰有一個(gè)零點(diǎn).又易知/z(x)為(一1,1)上的

偶函數(shù)，/z(0)=0,即〃-2=0,.故選D.

方法二當(dāng)4=—1時(shí)，危)一g(x)=—A2—cos%—2,當(dāng)x￡(—1,1)時(shí)，?x)—g(x)<0,，曲線y=/(x)與

y=g(x)在(一1,1)上沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)時(shí)，fix)—g(x)=^X2—cosx—,當(dāng)x￡(—1,1)時(shí)，；3<0,—cosx<0,

???加)一g(%)<0，J曲線丁=段)與5=8(為在(一1,1)上沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)。=1時(shí)，於)一gOOn^—cos%,令加(x)=?x)—ga),則m(x)為偶函數(shù)，且在(一1,0)上單調(diào)遞減，

在(0,1)上單調(diào)遞增.又m(0)=—1<0,m(l)=l—cos1>0,m(—1)=1—cosl>0,由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知

根⑴在(一1,0)和(0,1)上各有1個(gè)零點(diǎn)，即曲線了=段)與〉=8任)在(一1,1)上有2個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.

當(dāng)〃=2時(shí)，人幻一式?=2/一cosx+1.令〃0)=%)一g(x),則〃(%)為偶函數(shù)，且在(一1,0)上單調(diào)遞減，

在(0,1)上單調(diào)遞增，又及(0)=0,???曲線)=兀￥)與y=g(x)在(-1,1)上只有1個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選D.

方法三1)2—1,g(x)=cosx+2ax,曲線>=/(%)與y=g(x)在(一1,1)上恰有一個(gè)交點(diǎn)，令

〃(%)=黃%)—g(x)=Q(—cosx+a—1,.??/z(x)在(一1,1)上恰有一個(gè)零點(diǎn).hr(x)=2ax+smx,令m(x)=2〃x+sin

cos1

x,貝I加(x)=2a+cosx,當(dāng)—2時(shí)，m'(%)>0在(-1,1)上恒成立，則"(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增.又

"(0)=0,?,?當(dāng)x￡(—1,0)時(shí)，/z(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，力⑴單調(diào)遞增，???/i(x)在x=0處取得極小值

cos1

也是最小值，.?./7(0)=0,即a—2=0,-2，下面分析。=—1時(shí)曲線y=/(x)與曲線y=g(無(wú))

的交點(diǎn)情況.當(dāng)。=—1時(shí)，f(x)—g(x)=一爐一cosx—2,當(dāng)尤e(—1,1)時(shí)，fix)—g(x)<Q,.,.曲線y=?x)與

y=g(x)在(一1,1)上沒(méi)有交點(diǎn).結(jié)合選項(xiàng)可知，D正確.故選D.

8.(多選)[2024.新課標(biāo)I卷]設(shè)函數(shù)次尤)=(x—1>(無(wú)一4),貝式)

A.x=3是犬尤)的極小值點(diǎn)

B.當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)勺)中)

C.當(dāng)l<x<2時(shí)，一4勺(2x—1)<0

D.當(dāng)一l<x<0時(shí)，月2—x)/x)

答案：ACD

解析：由題可得f(x)=2(x—l)(x—4)+。-1)2=3/—12x+9,令了(x)>0,即3f—12尤+9>0,得x<l或

x>3；令/(x)<0,得所以/(x)在(一8,1),(3,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，所以x=3

是兀r)的極小值點(diǎn)，A正確.當(dāng)0a<1時(shí)，odacl,所以五x)/x2),B錯(cuò)誤.當(dāng)1<X<2時(shí)，l<2x-l<3,

因?yàn)?U)在(1,3)上單調(diào)遞減，所以一4勺(2尤-1)<0,C正確.火2一的=(2—尤一1)2(2—x—4)=(x—l)2.(-x—

2),所以八2一x)—fix)—(x—1)2(—x—2—x+4)=(x—1)2(—2x+2),令(尤一1)2(—2x+2)>0,得x<l,所以當(dāng)一

l<x<0時(shí)，八2—無(wú))/x)成立，D正確，故選ACD.

f(x)—f(光)

9.(多選)[2024?山東荒澤期中]已知函數(shù)y=/(x)在R上可導(dǎo)且式0)=2,其導(dǎo)函數(shù)了(尤)滿足2-----------

>0.若函數(shù)g(x)滿足e*g(x)=/(x),則下列結(jié)論正項(xiàng)的是()

A.函數(shù)g(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增

B.x=2是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)

C.xWO時(shí)，不等式7U)W2e，恒成立

D.函數(shù)g(x)至多有兩個(gè)零點(diǎn)

答案：ABD

解析：：e'ga)=/(x),；.g(x)=/',

則g'(x)」------r--------

由已知可得，當(dāng)x>2時(shí)，/(X)—y(x)>0,

故y=g(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，選項(xiàng)A正確；

當(dāng)x<2時(shí)，/(%)—y(x)<0,...g'(x)<0,

故y=g(x)在(一8,2)上單調(diào)遞減，

故x=2是函數(shù)y=g(x)的極小值點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；

由y=g(x)在(一8,2)上單調(diào)遞減，則y=g(x)在(-8,0]上單調(diào)遞減，

由g(0)=工笠=2,得xWO時(shí)，g(x)\g(O)，

故工乎>2,故/(x)N2e￡,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

若g⑵<0,則y=g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn)，

若g(2)=0,則函數(shù)y=g(x)有1個(gè)零點(diǎn)，

若g(2)>0,則函數(shù)y=g(x)沒(méi)有零點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.

二、填空題

10.已知曲線/0)=3+/,則曲線在點(diǎn)(0,五0))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為.

答案：I

解析：由題意，得/(x)=e，+2x,所以/(0)=1.又式0)=1,所以曲線兀0在點(diǎn)(0,式0))處的切線方程為y

—1=1X(x—0),即x—y+l=O,所以該切線與x,y軸的交點(diǎn)分別為(一1,0),(0,1),所以該切線與坐標(biāo)

軸圍成的圖形的面積為3X1X1=1.

11.已知函數(shù)於:)=—4在x=2處取得極值，若〃zG[—1,1],則加%)的最小值為.

答案：一4

解析：：了(勸=—3/+26，由題意得了(2)=0,得a=3.

+6x,在(一1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

???當(dāng)加￡[—1,1]時(shí)犬㈤3:/(⑦二一4.

(兀一。)2,%W0

12.設(shè)函數(shù)次尤)=<1

x+一，x>0

、%

(1)當(dāng)〃=￡時(shí)，y(x)的最小值是；

(2)若月0)是加)的最小值，則〃的取值范圍是.

答案：(1)1(2)[0,巾]

解析：(1)當(dāng)(2=2時(shí),若xWO,則負(fù)尤)=(x—1)2》

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，則函數(shù)的最小值為;.

(2)由(1)知，當(dāng)無(wú)>0時(shí)，函數(shù)式x)22,此時(shí)的最小值為2,若a<0,則當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)五勸的最小值為

f(.a)=O,此時(shí)人0)不是最小值，不滿足條件.若。三0時(shí)，則當(dāng)xWO時(shí)，函數(shù)?r)=(x—“A為減函數(shù)，則當(dāng)

xWO時(shí),函數(shù)式功的最小值為X0)=片,要使的)是人功的最小值,則八0)=/W2,即OWaW巾,即實(shí)數(shù)a

的取值范圍是[0,].

[能力提升]

13.若x=-2是函數(shù)兀0二⑴+以一1)?廠1的極值點(diǎn)，則“r)的極小值為()

A.-1B.一2一

C.5e「3D.1

答案：A

解析：/(x)=exl[x2+(a+2)x+(z—1],

：尤=一2是函數(shù)人工)=(/+辦-De*—的極值點(diǎn)，

/./(—2)=0,—-'-fix')=(x2—x—1)e%-1,

?—e'—1(/+元-2)=e*-i(無(wú)一1)(尤+2),

.?.當(dāng)％e(—8,-2),(1,+8)時(shí)拳了)單調(diào)遞增,

氏0在(一2,1)上單調(diào)遞減，

；.危)極小值=犬1)=—1.

14.若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=e，的兩條切線，貝1()

A.eb<aB.Qa<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

答案：D

解析：方法一在曲線>=6工上任取一點(diǎn)P。，ez),對(duì)函數(shù)y=e*求導(dǎo)得y=e￡,

所以，曲線y=e”在點(diǎn)尸處的切線方程為y—e，=e<x—。,即y=eG+(l—。e。

由題意可知，點(diǎn)(。，b)在直線y=e，x+(l—。F上，可得b=ae，+(l—。el=(a+l~t)el,

令應(yīng)。=(a+l—t)e1,則/(。=(a-t)ef.

當(dāng)時(shí)，r(r)>0,此時(shí)函數(shù)4。單調(diào)遞增，

當(dāng)介。時(shí)，f(t)<0,此時(shí)函數(shù)火。單調(diào)遞減，

所以，X0max=X?)=e",

由題意可知，直線y=6與曲線y=X。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則b勺。)max=e",

當(dāng)t<a+l時(shí)，鄭>0,當(dāng)t>a+l時(shí)，X0<0,作出函數(shù)7(。的圖象如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)0<b<e"時(shí)，直線y=b與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選D.

方法二畫(huà)出函數(shù)曲線y=e*的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,b)在曲線下方和無(wú)軸上方時(shí)才

可以作出兩條切線.由此可知0<b<e。.故選D.

e%+2sinx

15.[2024?全國(guó)甲卷(理)]設(shè)函數(shù)兀0=]+7,則曲線尸危)在點(diǎn)(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成

的三角形的面積為()

A-6B,