2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：比例線段

比例線段

知識(shí)梳理

1.比例線段的有關(guān)概念

在比例式2=￡(a：b=c：d)中,a,d叫作外項(xiàng),b,c叫作內(nèi)項(xiàng),a,c叫作前項(xiàng),b,d叫作后項(xiàng)，d叫作第四比例項(xiàng)，如果

bd

b=c,那么b叫作a,d的比例中項(xiàng).

把線段AB分成兩條線段AC和BC,使絲=叵』叫作把線段AB黃金分割，C叫作線段AB的黃金分割點(diǎn).

AB2

2.比例性質(zhì)

(1)基本性質(zhì):2=Cad=be

bd

(2)合比性質(zhì)：?=￡=>?+&=￡±d

bdbd

(3)等比性質(zhì)：烏=￡=…=%(匕+d+…+riK0)na+c+…=4

bdnb+d-\—\-nb

3.平行線分線段成比例定理

(1)定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖所示：h\\l2\\l3.

貝!J絲=巫理=些區(qū)=江...

BCEFlACDF"ACDF'

(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

(3)定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角

形的第三邊.

典型例題

例1

已知下列各組數(shù)中，能成比例線段的是().

A.1,2,3,4B.1,2,4,8C.5,1,3,4D.4,5,6,7

解析要判斷四個(gè)數(shù)字是否能構(gòu)成比例線段.假設(shè)四個(gè)數(shù)字按從小到大排列為a,b,c,d,若要使得四個(gè)數(shù)字構(gòu)

成比例線段，則區(qū)=￡，經(jīng)檢驗(yàn)得B選項(xiàng)正確.

bd.

例2

已矣P2=2=￡,貝U2b—.

789a+3bc-

解析該題可以使用特殊值的方法.

因?yàn)?=2=￡

789

所以可以設(shè)a=7,b=8,c=9,

所以2b=2X8=旦.

a3bc73X8911

例3

如圖所示,在矩形ABCD中,EF，AD,AB=DE,且DE與DA的比是黃金比，下列式子不一定成立的是（）.

A.AE2=ED-ABB.DE2=AE-ADA,------------------------,D

C.EF2=BF-BCD.AB2=AE-BC

解析因?yàn)镈E與DA的比是黃金比，

所以理=近4BFC

DA2

又因?yàn)锳B=DE,假設(shè)DE=VS1W=2k,例3圖

所以AB=DC=ED=FC=V51k^E=BF=3，5k

所以經(jīng)檢驗(yàn)得A選項(xiàng)不一定成立.

例4

設(shè)若x:y:z=2:7:5,且x-2y+3z=6,求2xv3z—

X2y

解析設(shè)x=2k,y=7k,z=5k,

因?yàn)閤-2y+3z=6,

所以2k-14k+l5k=6,

所以k=2,

所以2xv3z_12fc=&

X2y4k27k5

雙基訓(xùn)練

1.下列四組數(shù)中，能構(gòu)成比例線段的是（）.

A.2,3,4,5B.1,2,4,8C.5,1,3,0D.1,2,5,7

2.已知2=則。=.

a3ab

AlB.&C.iD.7

437

3.已知@=能推出的比例是（）.

b5

ab—9na2b—14pab—1

A口.上一=2

a5b5b5ba9

4.已知某班64名同學(xué)分組，若分為甲、乙、丙三個(gè)小組，其人數(shù)比為4：5：7,后又有一個(gè)人加入乙組，則

后來(lái)乙、丙兩組人的人數(shù)比為（）.

A.3:4B.4:5C.5:6D.6:7

5.在等邊三角形中，邊長(zhǎng)與一邊上的高之比為（）.

A.V2:2B.2：V3C.V3：2D.3:2

6.如圖所示,C是線段AB上一點(diǎn),AC:CB=3:4,那么AB:BC=（）.

A.7:3B.4:7

C.3:7D.7:4

7.在比例尺為1：5000000的地圖上，量得上海到江西的距離是15cm,則兩地的實(shí)際距離為().

A.0.75kmB.7.5kmC.75kmD.750km

8.已知線段AB,點(diǎn)C為AB的黃金分割點(diǎn)，以BC與AB的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的矩形周長(zhǎng)為li,以CA為邊長(zhǎng)的正方

形的周長(zhǎng)為則li與L之間的關(guān)系式為().

A.Zi<l2B.Zi>l2C.Zt=l2D.Zi>12

9.點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，若AB=4,則AC=__.

10.已知a,b,c,d成比例線段，其中a=3,b=4,c=12,則d=.

11.一直角三角形中兩條直角邊比為a:b=其中斜邊長(zhǎng)為4,則這個(gè)三角形的面積為_(kāi)_.

12.x是6和5的比例中項(xiàng)，則x為_(kāi)_.

13.若血上=1則衛(wèi)=.

71471~

14.已知C是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，則AC:AB=__r

15.已知x是3x-3與3x+3的比例中項(xiàng)，則x的值為_(kāi)_.

16.已知線段a,b,c滿(mǎn)足關(guān)系式幺=￡，且b=8,則ac=_.

a8

17.已知AB=12,點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，則AC=__.

18.已知線段AB,在線段AB延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)C,且C4=工2民則線段CA與線段CB之比為.

3

19.已知工=2=2H0,則.

345xyz

20.已知產(chǎn)sxy4y2=0,貝!.

能力提升

21.已知區(qū)=幺W且d:(b-3d)#),!則下列結(jié)論正確的是().

bb2d

(1)g=￡;(2)-=—;(3)-=-——

bdbdbb3d

A.OB.lC.2D.3

22.若已知a:b:c=3:4:5,且a+2b+3c=26,貝！]2q3b3c=.

ab-

23.如圖所示,已知一個(gè)矩形ABCD中,=(煙1):2,E,F分別為DC,BC的黃金分割點(diǎn)(EC>DE,CF>BF),

則S=.

AEF-

24.如圖所示，已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PA>PB,若Si表示以PA為一邊的正方形面積，S2表示

長(zhǎng)是AB,寬是PB的矩形面積，則.S]52.(填或“=”)

第23題圖第24題圖

25.如圖所示，梯形ABCD中,E,F為DC的三等分點(diǎn)，且照=魚(yú)—若AE=4cm,則

26.如圖所示，一張矩形照片的長(zhǎng)和寬分別為15cm,10cm,照片放在一個(gè)相框中，已知相框?qū)挾葹?cm,則

相框內(nèi)構(gòu)成的兩個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬（填“是”或“不是”）比例線段.

拓展資源

27.已知a:b:c為非零整數(shù)，且滿(mǎn)足』=—=3=k,則一次函數(shù)y=kx+（l+k）的圖像一定經(jīng)過(guò)（）.

abc

A.第一、二、三象限B.第二、四象限

C.第一象限D(zhuǎn).第二象限

28.寬和長(zhǎng)的比是近」的矩形是黃金矩形，心理測(cè)試表明，黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)、勻稱(chēng)的

2

美感.現(xiàn)將小波同學(xué)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中折疊黃金矩形的方法歸納一下（如圖所示）.

第一步：作一個(gè)正方形ABCD；

第二步:分別取AD,BC的中點(diǎn)M,N,連接MN;

第三步：以N為圓心，ND長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線于E；

第四步:過(guò)E作