2025年上海市實驗中學下學期高三年級二調(diào)考試數(shù)學試題試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025年上海市實驗中學下學期高三年級二調(diào)考試數(shù)學試題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里2.已知函數(shù)滿足,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.3.已知,,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.4.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高二丈,問:積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體,下底面寬3丈,長4丈,上棱長2丈,高2丈,問:它的體積是多少?”已知l丈為10尺,該楔體的三視圖如圖所示,其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,則該楔體的體積為()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺5.已知與之間的一組數(shù)據(jù):12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為,則的值為()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.56.是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖,平面ABCD,ABCD為正方形,且,E,F(xiàn)分別是線段PA,CD的中點,則異面直線EF與BD所成角的余弦值為()A. B. C. D.8.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知定義在上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上是減函數(shù),令,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.10.若為虛數(shù)單位,則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.12.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.直線xsinα+y+2=0的傾斜角的取值范圍是________________.14.設為橢圓在第一象限上的點,則的最小值為________.15.已知數(shù)列的前項和為,,,,則滿足的正整數(shù)的所有取值為__________.16.已知集合,,則__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)(1)求曲線和曲線圍成圖形的面積;(2)化簡求值:.18.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程;(2)已知點M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點,求的值.19.(12分)中國古代數(shù)學經(jīng)典《數(shù)書九章》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點D),交PC于N(異于點C).(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫出它每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為,向量,,且.(1)求角的大??;(2)若,求的值21.(12分)為增強學生的法治觀念,營造“學憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍,某學校開展了“憲法小衛(wèi)士”活動,并組織全校學生進行法律知識競賽.現(xiàn)從全校學生中隨機抽取50名學生,統(tǒng)計他們的競賽成績,已知這50名學生的競賽成績均在[50,100]內(nèi),并得到如下的頻數(shù)分布表:分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)51515123(1)將競賽成績在內(nèi)定義為“合格”,競賽成績在內(nèi)定義為“不合格”.請將下面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)?合格不合格合計高一新生12非高一新生6合計(2)在(1)的前提下,按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣,從這50名學生中抽取5名學生,再從這5名學生中隨機抽取2名學生,求這2名學生競賽成績都合格的概率.參考公式及數(shù)據(jù):,其中.22.(10分)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標系中取相同的長度單位,建立極坐標系,判斷直線為參數(shù))與圓的位置關(guān)系.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角,再結(jié)合AB可求,應用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.本題考查正弦定理的實際應用,關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.2.B【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.【詳解】設,則函數(shù)的導數(shù),,,即函數(shù)為減函數(shù),,,則不等式等價為,則不等式的解集為,即的解為,,由得或,解得或,故不等式的解集為.故選:.本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,考查學生分析問題解決問題的能力,是難題.3.D【解析】

與中間值1比較,可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù),再比較大?。驹斀狻?,,又,∴,即,∴.故選:D.本題考查冪和對數(shù)的大小比較,解題時能化為同底的化為同底數(shù)冪比較,或化為同底數(shù)對數(shù)比較,若是不同類型的數(shù),可借助中間值如0,1等比較.4.A【解析】由題意,將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體,作出幾何體的直觀圖如圖所示:

沿上棱兩端向底面作垂面,且使垂面與上棱垂直,

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱,

則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算,其中正確還原幾何體,利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關(guān)鍵.5.D【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù),可求解得到代入回歸方程,可得,再結(jié)合表格數(shù)據(jù),即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù),可得又,.解得故選:D本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質(zhì),考查了學生概念理解,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】所以(逆否命題)必要性成立當,不充分故是必要不充分條件,答案選B本題考查了充分必要條件,屬于簡單題.7.C【解析】

分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設.則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選:C本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8.C【解析】

討論當時,是否恒成立;討論當恒成立時,是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當時,,由開口向上,則恒成立;當恒成立時,若,則不恒成立,不符合題意,若時,要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時,一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.9.C【解析】

可設,根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到:,可設,,且,根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出,從而得出在上單調(diào)遞增,再根據(jù)對數(shù)的運算得到、、的大小關(guān)系,從而得到的大小關(guān)系.【詳解】解:因為,即,又,設,根據(jù)條件,,;若,,且,則:;在上是減函數(shù);;;在上是增函數(shù);所以,故選:C考查偶函數(shù)的定義,減函數(shù)及增函數(shù)的定義,根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程:設,通過條件比較與,函數(shù)的單調(diào)性的應用,屬于中檔題.10.B【解析】

由共軛復數(shù)的定義得到,通過三角函數(shù)值的正負,以及復數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得,因為,,所以在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限.故選:B本題考查了共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的幾何意義,考查了學生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】

分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為,在上為減函數(shù).A選項,的定義域為,在上為增函數(shù),不符合.B選項,的定義域為,不符合.C選項,的定義域為,在上為減函數(shù),符合.D選項,的定義域為,不符合.故選:C本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】

將雙曲線方程化為標準方程為,其漸近線方程為,化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A本題主要考查了雙曲線的標準方程,雙曲線的簡單性質(zhì)的應用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】因為sinα∈[-1,1],所以-sinα∈[-1,1],所以已知直線的斜率范圍為[-1,1],由傾斜角與斜率關(guān)系得傾斜角范圍是.答案:14.【解析】

利用橢圓的參數(shù)方程,將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題,利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì),以及求導數(shù)、單調(diào)性和極值,即可得到所求最小值.【詳解】解:設點,,其中,,由,,,可設,導數(shù)為,由,可得,可得或,由,,可得,即,可得,由可得函數(shù)遞減;由,可得函數(shù)遞增,可得時,函數(shù)取得最小值,且為,則的最小值為1.故答案為:1.本題考查橢圓參數(shù)方程的應用,利用三角函數(shù)的恒等變換和導數(shù)法求函數(shù)最值的方法,考查化簡變形能力和運算能力,屬于難題.15.20,21【解析】

由題意知數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗即可.【詳解】解:由題意知數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,則;.當時,,.當時,,.由此可知,滿足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為:20,21本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項和偶數(shù)項是解題的關(guān)鍵.16.【解析】

直接根據(jù)集合和集合求交集即可.【詳解】解:,,所以.故答案為:本題考查集合的交集運算,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】

(1)求曲線和曲線圍成的圖形面積,首先求出兩曲線交點的橫坐標0、1,然后求在區(qū)間上的定積分.(2)首先利用二倍角公式及兩角差的余弦公式計算出,然后再整體代入可得;【詳解】解:(1)聯(lián)立解得,,所以曲線和曲線圍成的圖形面積.(2)∴本題考查定積分求曲邊形的面積以及三角恒等變換的應用,屬于中檔題.18.(1)l:,C方程為;(2)=【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換.

(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應用求出結(jié)果.【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),兩式相加得到,進一步轉(zhuǎn)換為.直線l的極坐標方程為ρcos(θ+)=1,則轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.(2)將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入得到(t1和t2為P、Q對應的參數(shù)),所以,,所以=.本題考查參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.19.(1)證明見解析,是,,,,;(2)【解析】

(1)根據(jù)是球的直徑,則,又平面,得到,再由線面垂直的判定定理得到平面,,進而得到,再利用線面垂直的判定定理得到平面.(2)以A為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標系,設,由,解得,得到,從而得到,然后求得平面的一個法向量,代入公式求解.【詳解】(1)因為是球的直徑,則,又平面,∴,.∴平面,∴,∴平面.根據(jù)證明可知,四面體是鱉臑.它的每個面的直角分別是,,,.(2)如圖,以A為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標系,則,,,,.M為中點,從而.所以,設,則.由,得.由得,即.所以.設平面的一個法向量為.由.取,,,得到.記與平面所成角為θ,則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.20.(1)(2)【解析】

利用平面向量數(shù)量積的坐標表示和二倍角的余弦公式得到關(guān)于的方程,解方程即可求解;由知,在中利用余弦定理得到關(guān)于的方程,與方程聯(lián)立求出,進而求出,利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意得,,由二倍角的余弦公式可得,,又因為,所以,

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