結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法：矩陣位移法：有限元法入門

結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法：矩陣位移法：有限元法入門1緒論1.1有限元法的歷史和發(fā)展有限元法（FiniteElementMethod,FEM）的起源可以追溯到20世紀(jì)40年代末，由工程師們?cè)诮鉀Q結(jié)構(gòu)工程問題時(shí)首次提出。這一方法的早期發(fā)展與航空工業(yè)緊密相關(guān)，特別是在飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析中。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速進(jìn)步，有限元法在50年代末至60年代初得到了顯著的推動(dòng)，成為解決復(fù)雜工程問題的有效工具。1.1.1歷史背景20世紀(jì)40年代：有限元法的概念初步形成，主要用于解決結(jié)構(gòu)力學(xué)中的問題。1956年：工程師Clough在《美國(guó)土木工程師學(xué)會(huì)期刊》上發(fā)表了一篇關(guān)于有限元法的文章，標(biāo)志著這一方法的正式提出。1960年代：隨著計(jì)算機(jī)的普及，有限元法開始廣泛應(yīng)用于各種工程領(lǐng)域，包括土木、機(jī)械、航空和汽車工業(yè)。1.1.2發(fā)展趨勢(shì)數(shù)值精度提升：從最初的線性單元到高階單元，有限元法的精度不斷提高。應(yīng)用范圍擴(kuò)展：從結(jié)構(gòu)力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、熱力學(xué)、電磁學(xué)等多個(gè)物理領(lǐng)域。軟件商業(yè)化：如ANSYS、ABAQUS、NASTRAN等專業(yè)有限元分析軟件的出現(xiàn)，使得有限元法的應(yīng)用更加普及和便捷。1.2有限元法的基本概念和應(yīng)用范圍有限元法是一種數(shù)值分析方法，用于求解偏微分方程，特別適用于工程結(jié)構(gòu)的分析。它將連續(xù)體離散化為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用一組節(jié)點(diǎn)來表示，通過在節(jié)點(diǎn)上求解未知量來近似整個(gè)結(jié)構(gòu)的行為。1.2.1基本概念離散化：將連續(xù)的結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)分解為有限數(shù)量的單元。節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧倪吔琰c(diǎn)，用于定義單元的幾何形狀和物理特性。單元：結(jié)構(gòu)的最小分析單元，可以是線、面或體。插值函數(shù)：用于在單元內(nèi)部從節(jié)點(diǎn)值推導(dǎo)出任意點(diǎn)的值。剛度矩陣：描述單元在不同載荷下變形特性的矩陣。載荷向量：表示作用在結(jié)構(gòu)上的外力和邊界條件。1.2.2應(yīng)用范圍結(jié)構(gòu)力學(xué)：分析結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。熱力學(xué)：模擬熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和熱輻射。流體力學(xué)：研究流體的流動(dòng)特性，如壓力、速度和溫度分布。電磁學(xué)：分析電磁場(chǎng)的分布和電磁波的傳播。生物醫(yī)學(xué)工程：模擬人體組織的力學(xué)行為，如骨骼、肌肉和血管的力學(xué)分析。1.3示例：簡(jiǎn)單梁的有限元分析假設(shè)我們有一根簡(jiǎn)單的梁，長(zhǎng)度為4米，兩端固定，中間受到1000牛頓的垂直載荷。我們將使用Python和NumPy庫(kù)來演示如何進(jìn)行有限元分析。importnumpyasnp

#定義梁的屬性

length=4.0#梁的長(zhǎng)度

E=200e9#彈性模量，單位：帕斯卡

I=0.05**4/12#慣性矩，單位：米^4

num_elements=4#單元數(shù)量

num_nodes=num_elements+1#節(jié)點(diǎn)數(shù)量

#定義節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

node_coords=np.linspace(0,length,num_nodes)

#定義單元連接

element_connectivity=np.array([[0,1],[1,2],[2,3],[3,4]])

#定義載荷

loads=np.zeros(num_nodes)

loads[2]=-1000#中間節(jié)點(diǎn)的垂直載荷

#定義邊界條件

boundary_conditions=np.zeros(num_nodes)

boundary_conditions[0]=1#第一個(gè)節(jié)點(diǎn)固定

boundary_conditions[-1]=1#最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)固定

#計(jì)算剛度矩陣

defstiffness_matrix(E,I,L):

"""計(jì)算單個(gè)梁?jiǎn)卧膭偠染仃?""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#組裝全局剛度矩陣

K=np.zeros((num_nodes*2,num_nodes*2))

foriinrange(num_elements):

L=node_coords[i+1]-node_coords[i]

k=stiffness_matrix(E,I,L)

nodes=element_connectivity[i]

K[2*nodes[0]:2*nodes[0]+2,2*nodes[0]:2*nodes[0]+2]+=k[:2,:2]

K[2*nodes[0]:2*nodes[0]+2,2*nodes[1]:2*nodes[1]+2]+=k[:2,2:]

K[2*nodes[1]:2*nodes[1]+2,2*nodes[0]:2*nodes[0]+2]+=k[2:,:2]

K[2*nodes[1]:2*nodes[1]+2,2*nodes[1]:2*nodes[1]+2]+=k[2:,2:]

#應(yīng)用邊界條件

K=np.delete(K,[0,1,-2,-1],axis=0)#刪除固定節(jié)點(diǎn)的行

K=np.delete(K,[0,1,-2,-1],axis=1)#刪除固定節(jié)點(diǎn)的列

loads=np.delete(loads,[0,1,-2,-1])#刪除固定節(jié)點(diǎn)的載荷

#求解位移

displacements=np.linalg.solve(K,loads)

#輸出結(jié)果

print("Displacements:",displacements)1.3.1代碼解釋定義梁的屬性：包括長(zhǎng)度、彈性模量、慣性矩、單元數(shù)量和節(jié)點(diǎn)數(shù)量。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和單元連接：定義了梁的幾何形狀。載荷和邊界條件：指定了作用在梁上的力和固定點(diǎn)。剛度矩陣計(jì)算：使用彈性模量、慣性矩和單元長(zhǎng)度計(jì)算單個(gè)梁?jiǎn)卧膭偠染仃?。組裝全局剛度矩陣：將所有單元的剛度矩陣組合成一個(gè)全局矩陣。應(yīng)用邊界條件：刪除固定節(jié)點(diǎn)的行和列，以及對(duì)應(yīng)的載荷。求解位移：使用線性代數(shù)求解位移向量。輸出結(jié)果：顯示梁的位移。通過這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們可以看到有限元法的基本流程，從定義結(jié)構(gòu)屬性到求解位移，每一步都遵循了有限元分析的基本原理。2能量原理與變分法在結(jié)構(gòu)力學(xué)的數(shù)值方法中，能量原理與變分法是有限元法的核心理論基礎(chǔ)。這一原理基于能量守恒的概念，通過最小化結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能來求解結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。在變分法的框架下，我們尋找使得總勢(shì)能達(dá)到極小值的位移場(chǎng)，這一過程通常涉及到泛函的極值問題。2.1能量原理2.1.1總勢(shì)能總勢(shì)能Π由內(nèi)部勢(shì)能U、外部勢(shì)能V和應(yīng)變能E組成，表達(dá)式為：Π內(nèi)部勢(shì)能U是由于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變產(chǎn)生的能量，外部勢(shì)能V是外力對(duì)結(jié)構(gòu)做功的能量，而應(yīng)變能E則是在邊界條件作用下結(jié)構(gòu)內(nèi)部積累的能量。2.1.2最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理指出，在靜力平衡狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能達(dá)到極小值。這意味著，當(dāng)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時(shí)，所有可能的位移場(chǎng)中，實(shí)際位移場(chǎng)使得總勢(shì)能最小。2.2變分法變分法是一種數(shù)學(xué)工具，用于求解泛函的極值問題。在有限元法中，我們使用變分法來尋找使得總勢(shì)能Π最小的位移場(chǎng)u。這一過程涉及到對(duì)泛函進(jìn)行變分，即求解泛函的變分導(dǎo)數(shù)δΠ2.2.1泛函變分考慮一個(gè)泛函Fu，其變分δδ其中，δu是位移場(chǎng)u的微小變化，?2.2.2應(yīng)用到結(jié)構(gòu)力學(xué)在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，我們應(yīng)用變分法來求解最小勢(shì)能原理。具體地，我們對(duì)總勢(shì)能Π進(jìn)行變分，得到變分導(dǎo)數(shù)δΠδ這一過程將產(chǎn)生一組微分方程，即結(jié)構(gòu)的平衡方程，以及一組邊界條件。2.3示例：一維桿件的有限元分析假設(shè)我們有一根一維的桿件，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面積為A，彈性模量為E。桿件受到兩端的力F作用，我們使用有限元法來求解桿件的位移。2.3.1離散化過程首先，將桿件離散化為n個(gè)單元，每個(gè)單元長(zhǎng)度為Δx=L2.3.2單元類型在本例中，我們使用一維桿單元，其剛度矩陣為K=k12.3.3代碼示例下面是一個(gè)使用Python進(jìn)行一維桿件有限元分析的簡(jiǎn)單示例：importnumpyasnp

#桿件參數(shù)

L=1.0#桿件長(zhǎng)度

A=0.01#截面積

E=200e9#彈性模量

F=1000.0#外力

#離散化參數(shù)

n=10#單元數(shù)量

delta_x=L/n#單元長(zhǎng)度

k=A*E/delta_x#單元?jiǎng)偠?/p>

#組裝全局剛度矩陣

K=np.zeros((n+1,n+1))

foriinrange(n):

K[i:i+2,i:i+2]+=k*np.array([[1,-1],[-1,1]])

#應(yīng)用邊界條件

K[0,:]=0

K[:,0]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#應(yīng)用力

F=np.zeros(n+1)

F[-1]=-F

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#輸出位移

print("位移向量：",U)2.3.4解釋在上述代碼中，我們首先定義了桿件的物理參數(shù)和離散化參數(shù)。然后，我們組裝了全局剛度矩陣K，并應(yīng)用了邊界條件（一端固定，一端受力）。最后，我們使用線性代數(shù)求解器求解了位移向量U。3離散化過程與單元類型在有限元法中，離散化過程是將連續(xù)的結(jié)構(gòu)分解為一系列離散的單元，每個(gè)單元可以視為一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，如彈簧、梁或殼體。單元類型的選擇取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀和物理特性。3.1離散化過程離散化過程包括：1.幾何離散化：將結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)單元。2.位移離散化：在每個(gè)單元內(nèi)，位移被表示為節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)。3.剛度矩陣計(jì)算：計(jì)算每個(gè)單元的剛度矩陣，然后組裝成全局剛度矩陣。3.2單元類型常見的單元類型包括：-一維桿單元：用于模擬桿件或梁。-二維平面單元：用于模擬平面結(jié)構(gòu)，如板或殼體。-三維實(shí)體單元：用于模擬三維結(jié)構(gòu)，如塊體或復(fù)雜幾何體。3.2.1示例：二維平面單元假設(shè)我們有一個(gè)平面結(jié)構(gòu)，由多個(gè)三角形單元組成。每個(gè)單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度（x和y方向的位移）。3.2.2單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)于每個(gè)三角形單元，其剛度矩陣K是一個(gè)6×3.2.3代碼示例下面是一個(gè)使用Python進(jìn)行二維平面結(jié)構(gòu)有限元分析的簡(jiǎn)單示例：importnumpyasnp

#單元參數(shù)

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

t=0.01#板厚

#材料屬性

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])

#單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

#單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)

elements=np.array([[0,1,2],[0,2,3]])

#組裝全局剛度矩陣

K=np.zeros((4*2,4*2))

foreleminelements:

x=nodes[elem,0]

y=nodes[elem,1]

B=np.array([[1,0,0,0,0,0],

[0,1,0,0,0,0],

[0,0,1,0,0,0],

[0,0,0,1,0,0],

[0,0,0,0,1,0],

[0,0,0,0,0,1]])

detJ=0.5*np.abs(np.dot(x,np.roll(y,-1))-np.dot(y,np.roll(x,-1)))

Ke=D*np.dot(np.dot(B.T,D),B)*detJ

foriinrange(3):

forjinrange(3):

K[2*elem[i]:2*elem[i]+2,2*elem[j]:2*elem[j]+2]+=Ke[2*i:2*i+2,2*j:2*j+2]

#應(yīng)用邊界條件

K[0,:]=0

K[:,0]=0

K[0,0]=1

#應(yīng)用力

F=np.zeros(4*2)

F[2]=-1000.0

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#輸出位移

print("位移向量：",U)3.2.4解釋在上述代碼中，我們首先定義了材料屬性和單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。然后，我們計(jì)算了每個(gè)三角形單元的剛度矩陣Ke，并組裝成全局剛度矩陣K。最后，我們應(yīng)用了邊界條件和外力，求解了位移向量U4矩陣位移法4.1剛度矩陣的建立在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，剛度矩陣是描述結(jié)構(gòu)在受力作用下變形行為的關(guān)鍵工具。它將結(jié)構(gòu)的力與位移關(guān)系以矩陣形式表達(dá)，使得復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分析問題可以通過線性代數(shù)的方法求解。剛度矩陣的建立基于能量原理，特別是最小勢(shì)能原理和虛功原理。4.1.1原理考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的彈簧系統(tǒng)，由兩個(gè)彈簧組成，每個(gè)彈簧的剛度為k。假設(shè)彈簧兩端的位移分別為u1和uU對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)，總內(nèi)能為兩個(gè)彈簧內(nèi)能之和。通過最小化總內(nèi)能，可以得到系統(tǒng)的平衡方程，進(jìn)而構(gòu)建剛度矩陣。4.1.2內(nèi)容對(duì)于更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，如梁、框架或三維實(shí)體，剛度矩陣的建立涉及以下步驟：離散化結(jié)構(gòu)：將結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)單元，每個(gè)單元可以是梁、四邊形、三角形或六面體等。單元?jiǎng)偠染仃嚕簩?duì)于每個(gè)單元，基于其幾何形狀、材料屬性和邊界條件，建立單元?jiǎng)偠染仃?。組裝整體剛度矩陣：將所有單元的剛度矩陣組裝成一個(gè)整體剛度矩陣，反映整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度特性。4.1.3示例假設(shè)我們有一個(gè)由兩個(gè)梁?jiǎn)卧M成的簡(jiǎn)單框架結(jié)構(gòu)，每個(gè)梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面面積為A，彈性模量為E，慣性矩為I。我們使用Python和NumPy庫(kù)來構(gòu)建這個(gè)框架的剛度矩陣。importnumpyasnp

#定義單元屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#截面面積，單位：m^2

I=0.001#慣性矩，單位：m^4

L=1#單元長(zhǎng)度，單位：m

#單元?jiǎng)偠染仃?/p>

k1=(E*A/L)*np.array([[1,-1],[-1,1]])

k2=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

#整體剛度矩陣

K=np.zeros((4,4))

K[:2,:2]+=k1

K[2:,2:]+=k2

#輸出整體剛度矩陣

print(K)這段代碼首先定義了梁?jiǎn)卧牟牧虾蛶缀螌傩?，然后分別計(jì)算了兩個(gè)單元的剛度矩陣。最后，通過將兩個(gè)單元的剛度矩陣相加，組裝成整體剛度矩陣。4.2位移與應(yīng)力的矩陣表示在矩陣位移法中，結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力都可以用矩陣來表示，這使得結(jié)構(gòu)分析過程更加系統(tǒng)化和數(shù)學(xué)化。4.2.1原理位移矩陣通常包含結(jié)構(gòu)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移分量，而應(yīng)力矩陣則表示每個(gè)單元內(nèi)部的應(yīng)力分布。這些矩陣的建立基于結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本方程，如平衡方程、幾何方程和物理方程。4.2.2內(nèi)容位移矩陣：對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)，位移矩陣u是一個(gè)n維向量，其中每個(gè)元素代表一個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移分量。應(yīng)力矩陣：應(yīng)力矩陣σ表示每個(gè)單元內(nèi)部的應(yīng)力分布，通常由單元的應(yīng)變矩陣ε和彈性矩陣D通過關(guān)系σ=4.2.3示例繼續(xù)使用上述框架結(jié)構(gòu)，我們來計(jì)算框架在特定位移下的應(yīng)力分布。假設(shè)框架的節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2分別在x方向上受到位移u1=0.001#定義位移向量

u=np.array([0.001,0.002,0,0])

#計(jì)算整體內(nèi)力向量

F=K@u

#計(jì)算單元應(yīng)變

#假設(shè)單元1和單元2的應(yīng)變矩陣分別為B1和B2

B1=np.array([[1,0],[-1,0]])

B2=np.array([[1,0,-1,0],[0,1,0,-1]])

#單元應(yīng)力

sigma1=(E*A)*B1@u[:2]

sigma2=(E*I)*B2@u[2:]

#輸出單元應(yīng)力

print(sigma1)

print(sigma2)在這個(gè)例子中，我們首先定義了節(jié)點(diǎn)的位移向量u，然后使用整體剛度矩陣K計(jì)算了整體內(nèi)力向量F。接著，通過單元的應(yīng)變矩陣B，計(jì)算了每個(gè)單元的應(yīng)力分布σ。通過以上示例，我們可以看到矩陣位移法在結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中的應(yīng)用，它不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，還提供了結(jié)構(gòu)響應(yīng)的清晰數(shù)學(xué)描述。5有限元分析步驟5.1前處理：模型建立與網(wǎng)格劃分在進(jìn)行有限元分析前，首先需要通過前處理階段來建立模型和進(jìn)行網(wǎng)格劃分。這一階段包括定義材料屬性、幾何形狀、邊界條件和載荷，以及將結(jié)構(gòu)離散化為有限數(shù)量的單元。5.1.1定義材料屬性和幾何形狀材料屬性如彈性模量、泊松比等，是計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的基礎(chǔ)。幾何形狀則定義了結(jié)構(gòu)的尺寸和形狀。5.1.2邊界條件和載荷邊界條件限制了結(jié)構(gòu)的位移或旋轉(zhuǎn)，而載荷則施加在結(jié)構(gòu)上，可以是力、壓力或溫度變化等。5.1.3網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分是將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散化為一系列小的、簡(jiǎn)單的形狀，如三角形、四邊形或六面體單元。單元的大小和形狀對(duì)分析的精度有直接影響。5.1.3.1示例：使用Python的FEniCS庫(kù)進(jìn)行網(wǎng)格劃分fromfenicsimport*

#創(chuàng)建一個(gè)矩形域

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),10,10)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(FunctionSpace(mesh,'P',1),Constant(0),boundary)

#定義材料屬性和載荷

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

f=Constant((0,-10))#垂直向下的力

#創(chuàng)建有限元模型

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=inner(nu*grad(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)5.2求解過程：方程求解與結(jié)果分析在有限元分析中，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)通過求解一組線性方程來獲得。這些方程通常表示為矩陣形式，其中包含了單元的剛度和載荷信息。5.2.1矩陣位移法矩陣位移法是有限元分析的核心，它基于結(jié)構(gòu)的平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，將結(jié)構(gòu)的響應(yīng)表示為節(jié)點(diǎn)位移的線性組合。5.2.2結(jié)果分析求解后，需要分析位移、應(yīng)力和應(yīng)變等結(jié)果，以評(píng)估結(jié)構(gòu)的性能。5.2.2.1示例：使用Python的Numpy庫(kù)求解線性方程importnumpyasnp

#創(chuàng)建一個(gè)3x3的剛度矩陣

K=np.array([[4,-1,0],[-1,4,-1],[0,-1,4]])

#創(chuàng)建一個(gè)3x1的載荷向量

F=np.array([1,2,3])

#應(yīng)用邊界條件，假設(shè)第一個(gè)節(jié)點(diǎn)固定

K[0,:]=0

K[:,0]=0

K[0,0]=1

F[0]=0

#求解位移向量

U=np.linalg.solve(K,F)

#輸出位移向量

print("節(jié)點(diǎn)位移:",U)5.3后處理：結(jié)果可視化與解釋后處理階段涉及將求解得到的數(shù)據(jù)可視化，以便于理解和解釋。這通常包括繪制位移、應(yīng)力和應(yīng)變的分布圖。5.3.1結(jié)果可視化使用可視化工具，如Paraview或Python的Matplotlib庫(kù)，可以生成直觀的圖形，幫助分析結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。5.3.2結(jié)果解釋基于可視化結(jié)果，分析人員可以評(píng)估結(jié)構(gòu)的性能，識(shí)別潛在的問題區(qū)域，并進(jìn)行必要的設(shè)計(jì)修改。5.3.2.1示例：使用Python的Matplotlib庫(kù)繪制位移分布importmatplotlib.pyplotasplt

#假設(shè)我們有以下節(jié)點(diǎn)位移數(shù)據(jù)

nodes=np.array([0,1,2,3,4])

displacements=np.array([0,0.1,0.2,0.3,0.4])

#繪制位移分布圖

plt.plot(nodes,displacements,marker='o')

plt.title('節(jié)點(diǎn)位移分布')

plt.xlabel('節(jié)點(diǎn)編號(hào)')

plt.ylabel('位移')

plt.grid(True)

plt.show()通過以上步驟，可以完成一個(gè)基本的有限元分析過程，從模型建立到結(jié)果分析和可視化。6平面梁的有限元分析6.1引言在結(jié)構(gòu)工程中，平面梁的分析是理解結(jié)構(gòu)行為的基礎(chǔ)。有限元法（FEM）提供了一種強(qiáng)大的工具，用于解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)的力學(xué)問題。本章節(jié)將詳細(xì)介紹如何使用有限元法對(duì)平面梁進(jìn)行分析，包括建立模型、求解過程以及結(jié)果解釋。6.2平面梁的有限元模型6.2.1節(jié)點(diǎn)與單元節(jié)點(diǎn)：梁的有限元模型由一系列節(jié)點(diǎn)組成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以有垂直和水平的位移。單元：?jiǎn)卧沁B接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的梁段，每個(gè)單元可以視為具有相同材料和截面屬性的簡(jiǎn)單梁。6.2.2邊界條件固定端：在梁的一端或兩端施加固定約束，限制所有位移。自由端：允許梁端自由位移，通常用于懸臂梁的分析。中間支座：限制特定方向的位移，如垂直位移。6.2.3載荷集中載荷：作用在梁的特定點(diǎn)上。分布載荷：沿梁的長(zhǎng)度均勻或非均勻分布。6.3求解過程6.3.1建立方程使用虛功原理和最小勢(shì)能原理，可以建立梁的平衡方程。對(duì)于每個(gè)單元，平衡方程可以表示為：[Ku]=[F]其中，[K]是剛度矩陣，[u]是位移向量，[F]是外力向量。6.3.2組裝總剛度矩陣將所有單元的剛度矩陣組裝成結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣。這一步驟涉及到局部坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。6.3.3應(yīng)用邊界條件修改總剛度矩陣和外力向量，以反映邊界條件。這通常涉及到矩陣的修改和向量的調(diào)整。6.3.4求解位移使用線性代數(shù)求解器，如numpy.linalg.solve，求解修改后的方程，得到節(jié)點(diǎn)位移。6.3.5計(jì)算內(nèi)力根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移，可以計(jì)算每個(gè)單元的內(nèi)力，包括彎矩和剪力。6.4示例：使用Python進(jìn)行平面梁的有限元分析假設(shè)我們有一根長(zhǎng)度為10米的簡(jiǎn)支梁，兩端固定，中間承受一個(gè)集中載荷1000N。我們將梁離散為10個(gè)單元，每個(gè)單元長(zhǎng)度為1米。importnumpyasnp

#定義單元?jiǎng)偠染仃?/p>

defunit_stiffness_matrix(E,I,L):

"""

計(jì)算單個(gè)梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚒?/p>

:paramE:材料的彈性模量

:paramI:截面的慣性矩

:paramL:單元的長(zhǎng)度

:return:4x4的剛度矩陣

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定義總剛度矩陣

defglobal_stiffness_matrix(units):

"""

組裝所有單元的剛度矩陣為總剛度矩陣。

:paramunits:單元列表，每個(gè)單元包含剛度矩陣和連接節(jié)點(diǎn)

:return:總剛度矩陣

"""

n=len(units)+1#節(jié)點(diǎn)數(shù)

K=np.zeros((2*n,2*n))

fori,unitinenumerate(units):

k=unit_stiffness_matrix(E=200e9,I=0.01,L=1)#假設(shè)E=200GPa,I=0.01m^4

nodes=[i,i+1]

forjinrange(4):

forkinrange(4):

K[2*nodes[j//2]+j%2,2*nodes[k//2]+k%2]+=k[j,k]

returnK

#定義外力向量

defglobal_force_vector(units,loads):

"""

組裝所有單元的外力向量。

:paramunits:單元列表

:paramloads:載荷列表，每個(gè)載荷包含作用點(diǎn)和力的大小

:return:總外力向量

"""

n=len(units)+1

F=np.zeros(2*n)

forloadinloads:

node,force=load

F[2*node]=force

returnF

#應(yīng)用邊界條件

defapply_boundary_conditions(K,F,fixed_nodes):

"""

修改總剛度矩陣和外力向量，以反映邊界條件。

:paramK:總剛度矩陣

:paramF:總外力向量

:paramfixed_nodes:固定節(jié)點(diǎn)列表

:return:修改后的剛度矩陣和外力向量

"""

fornodeinfixed_nodes:

K=np.delete(K,2*node,axis=0)

K=np.delete(K,2*node,axis=1)

F=np.delete(F,2*node)

returnK,F

#求解位移

defsolve_displacements(K,F):

"""

使用線性代數(shù)求解器求解位移。

:paramK:修改后的總剛度矩陣

:paramF:修改后的總外力向量

:return:位移向量

"""

u=np.linalg.solve(K,F)

returnu

#計(jì)算內(nèi)力

defcalculate_internal_forces(units,u):

"""

根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算每個(gè)單元的內(nèi)力。

:paramunits:單元列表

:paramu:位移向量

:return:內(nèi)力列表，每個(gè)內(nèi)力包含彎矩和剪力

"""

forces=[]

fori,unitinenumerate(units):

k=unit_stiffness_matrix(E=200e9,I=0.01,L=1)

nodes=[i,i+1]

u_local=np.array([u[2*nodes[0]],u[2*nodes[0]+1],u[2*nodes[1]],u[2*nodes[1]+1]])

f=np.dot(k,u_local)

forces.append(f)

returnforces

#主程序

if__name__=="__main__":

units=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]#單元列表，這里僅作為示例，實(shí)際應(yīng)用中需要具體定義

loads=[(5,-1000)]#載荷列表，作用在第5個(gè)節(jié)點(diǎn)，大小為-1000N

fixed_nodes=[0,10]#固定節(jié)點(diǎn)列表

K=global_stiffness_matrix(units)

F=global_force_vector(units,loads)

K,F=apply_boundary_conditions(K,F,fixed_nodes)

u=solve_displacements(K,F)

forces=calculate_internal_forces(units,u)

print("節(jié)點(diǎn)位移:",u)

print("單元內(nèi)力:",forces)6.4.1代碼解釋單元?jiǎng)偠染仃嚕焊鶕?jù)梁的材料屬性和幾何尺寸計(jì)算?？倓偠染仃嚕和ㄟ^組裝每個(gè)單元的剛度矩陣得到。外力向量：根據(jù)作用在梁上的載荷計(jì)算。邊界條件：通過刪除固定節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行和列來實(shí)現(xiàn)。位移求解：使用numpy.linalg.solve求解線性方程組。內(nèi)力計(jì)算：根據(jù)求得的位移向量，計(jì)算每個(gè)單元的內(nèi)力。6.5維結(jié)構(gòu)的有限元模擬6.5.1維結(jié)構(gòu)的建模三維結(jié)構(gòu)的有限元模型更加復(fù)雜，需要考慮三個(gè)方向的位移和六個(gè)自由度（三個(gè)平動(dòng)和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)）。6.5.2單元類型梁?jiǎn)卧河糜谀M長(zhǎng)細(xì)比大的結(jié)構(gòu)。殼單元：用于模擬薄板和殼體結(jié)構(gòu)。實(shí)體單元：用于模擬三維實(shí)體結(jié)構(gòu)。6.5.3求解過程三維結(jié)構(gòu)的有限元分析遵循與平面梁類似的過程，但涉及到更復(fù)雜的剛度矩陣和外力向量的計(jì)算。6.5.4示例：使用Python進(jìn)行三維結(jié)構(gòu)的有限元模擬由于三維結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，這里僅提供一個(gè)簡(jiǎn)化的示例，展示如何使用Python和numpy庫(kù)進(jìn)行三維梁的有限元分析。#三維梁?jiǎn)卧膭偠染仃?/p>

defunit_stiffness_matrix_3D(E,I,A,L,theta):

"""

計(jì)算三維梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚒?/p>

:paramE:材料的彈性模量

:paramI:截面的慣性矩

:paramA:截面的面積

:paramL:單元的長(zhǎng)度

:paramtheta:單元的旋轉(zhuǎn)角度

:return:6x6的剛度矩陣

"""

#這里省略了具體的計(jì)算公式，實(shí)際應(yīng)用中需要根據(jù)梁的幾何和材料屬性計(jì)算

k=np.zeros((6,6))

returnk

#主程序

if__name__=="__main__":

units_3D=[1,2,3,4,5]#三維單元列表，這里僅作為示例

loads_3D=[(2,-1000,0,0)]#載荷列表，作用在第2個(gè)節(jié)點(diǎn)，大小為-1000N，方向?yàn)閥軸

fixed_nodes_3D=[0,5]#固定節(jié)點(diǎn)列表

#假設(shè)所有單元的材料和幾何屬性相同

E=200e9#彈性模量

I=0.01#慣性矩

A=0.1#截面面積

L=1#單元長(zhǎng)度

K_3D=np.zeros((6*len(units_3D)+6,6*len(units_3D)+6))

fori,unitinenumerate(units_3D):

k=unit_stiffness_matrix_3D(E,I,A,L,0)#假設(shè)所有單元旋轉(zhuǎn)角度為0

nodes=[i,i+1]

forjinrange(6):

forkinrange(6):

K_3D[6*nodes[j//3]+j%3,6*nodes[k//3]+k%3]+=k[j,k]

F_3D=np.zeros(6*len(units_3D)+6)

forloadinloads_3D:

node,force_y,force_z,moment=load

F_3D[6*node+1]=force_y

F_3D[6*node+2]=force_z

F_3D[6*node+3]=moment

K_3D,F_3D=apply_boundary_conditions_3D(K_3D,F_3D,fixed_nodes_3D)

u_3D=solve_displacements_3D(K_3D,F_3D)

forces_3D=calculate_internal_forces_3D(units_3D,u_3D)

print("節(jié)點(diǎn)位移:",u_3D)

print("單元內(nèi)力:",forces_3D)6.5.5代碼解釋三維單元?jiǎng)偠染仃嚕焊鶕?jù)梁的材料屬性、幾何尺寸和旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算?？倓偠染仃嚕和ㄟ^組裝每個(gè)三維單元的剛度矩陣得到。外力向量：根據(jù)作用在三維結(jié)構(gòu)上的載荷計(jì)算。邊界條件：通過刪除固定節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行和列來實(shí)現(xiàn)，但需要考慮三個(gè)方向的位移和三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。位移求解：使用numpy.linalg.solve求解線性方程組。內(nèi)力計(jì)算：根據(jù)求得的位移向量，計(jì)算每個(gè)三維單元的內(nèi)力。6.6結(jié)論有限元法為結(jié)構(gòu)力學(xué)分析提供了一個(gè)強(qiáng)大的工具，通過將結(jié)構(gòu)離散為多個(gè)單元，可以精確地計(jì)算出結(jié)構(gòu)在各種載荷下的響應(yīng)。無論是平面梁還是三維結(jié)構(gòu)，有限元分析的基本步驟相似，但三維結(jié)構(gòu)的分析需要處理更復(fù)雜的單元類型和自由度。通過上述示例，我們可以看到如何使用Python和numpy庫(kù)進(jìn)行有限元分析，這為工程師提供了一個(gè)靈活且強(qiáng)大的分析平臺(tái)。7非線性有限元分析簡(jiǎn)介非線性有限元分析是結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法中的一個(gè)高級(jí)主題，它擴(kuò)展了線性有限元分析的范圍，以解決結(jié)構(gòu)在大變形、材料非線性、接觸和摩擦等復(fù)雜條件下的行為。非線性分析通常需要更復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算算法，以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在極端條件下的響應(yīng)。7.1材料非線性7.1.1原理材料非線性指的是材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不再遵循線性關(guān)系。在非線性材料中，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系可能隨應(yīng)變的增加而變化，例如，塑性材料在超過屈服點(diǎn)后會(huì)發(fā)生塑性變形，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線將不再是直線。7.1.2內(nèi)容在非線性有限元分析中，材料模型可以包括彈性、塑性、粘彈性、超彈性等。這些模型通過定義材料的本構(gòu)關(guān)系來描述材料的非線性行為。例如，塑性模型通常包括屈服準(zhǔn)則和硬化/軟化行為。7.2幾何非線性7.2.1原理幾何非線性考慮了結(jié)構(gòu)在大變形下的幾何變化，這在結(jié)構(gòu)的位移相對(duì)于其原始尺寸變得顯著時(shí)尤為重要。在幾何非線性分析中，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣需要在每一步迭代中更新，以反映當(dāng)前的幾何狀態(tài)。7.2.2內(nèi)容幾何非線性分析通常用于解決大位移、大應(yīng)變和大旋轉(zhuǎn)問題。在這些情況下，線性分析假設(shè)的“小變形”不再適用，需要采用非線性分析來準(zhǔn)確預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。7.3接觸和摩擦7.3.1原理接觸和摩擦是非線性有限元分析中的關(guān)鍵問題，特別是在多體系統(tǒng)中。接觸分析涉及兩個(gè)或多個(gè)物體之間的相互作用，而摩擦則描述了接觸面上的阻力。7.3.2內(nèi)容接觸和摩擦的處理通常需要定義接觸對(duì)、接觸類型（如滑動(dòng)或粘著）、摩擦系數(shù)等。在有限元軟件中，這些參數(shù)可以通過接觸算法來模擬，如拉格朗日乘子法或罰函數(shù)法。8動(dòng)力學(xué)與模態(tài)分析動(dòng)力學(xué)與模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法中的另一個(gè)重要領(lǐng)域，它關(guān)注結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的響應(yīng)和結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性。8.1動(dòng)力學(xué)分析8.1.1原理動(dòng)力學(xué)分析考慮了結(jié)構(gòu)在時(shí)間變化載荷下的響應(yīng)，包括慣性力和阻尼力的影響。它通常用于解決瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)問題，如沖擊、振動(dòng)和地震響應(yīng)。8.1.2內(nèi)容動(dòng)力學(xué)分析可以分為線性和非線性兩種。線性動(dòng)力學(xué)分析假設(shè)結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量矩陣是常數(shù)，而非線性動(dòng)力學(xué)分析則考慮了結(jié)構(gòu)剛度隨位移變化的情況。動(dòng)力學(xué)分析的求解通常涉及到時(shí)間積分方法，如Newmark方法或顯式時(shí)間積分方法。8.2模態(tài)分析8.2.1原理模態(tài)分析用于確定結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)形狀，即結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)模式。模態(tài)分析是動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)，它幫助工程師理解結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。8.2.2內(nèi)容模態(tài)分析通常包括求解結(jié)構(gòu)的特征值問題，以找到結(jié)構(gòu)的固有頻率和對(duì)應(yīng)的模態(tài)形狀。在有限元分析中，這通常涉及到求解質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的廣義特征值問題。8.2.3示例假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的單自由度系統(tǒng)，其質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為：#定義質(zhì)量矩陣和剛度矩陣

M=np.array([[1]])#質(zhì)量矩陣

K=np.array([[100]])#剛度矩陣

#求解特征值和特征向量

eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(np.linalg.inv(M)@K)

#輸出固有頻率（以Hz為單位）

natural_frequency=np.sqrt(eigenvalues)/(2*np.pi)

print("固有頻率:",natural_frequency)在這個(gè)例子中，我們使用了Python的NumPy庫(kù)來求解特征值問題。M和K分別代表質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，通過求解M的逆乘以K得到的矩陣的特征值，我們可以得到系統(tǒng)的固有頻率。8.3結(jié)論非線性有限元分析和動(dòng)力學(xué)與模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)力學(xué)數(shù)值方法中復(fù)雜但至關(guān)重要的部分。它們?cè)试S工程師在設(shè)計(jì)和分析結(jié)構(gòu)時(shí)考慮更廣泛的物理現(xiàn)象，從而提高結(jié)構(gòu)的安全性和性能。通過理解和應(yīng)用這些高級(jí)主題，可以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)在各種條件下的行為。9橋梁結(jié)構(gòu)的有限元分析案例9.1案例背景橋梁作為連接兩地的重要基礎(chǔ)設(shè)施，其結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和安全性至關(guān)重要。在設(shè)計(jì)和評(píng)估橋梁結(jié)構(gòu)時(shí)，有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種廣泛使用的數(shù)值分析工具，它能夠精確模擬橋梁在各種載荷下的行為，包括靜態(tài)載荷、動(dòng)態(tài)載荷以及環(huán)境影響。9.2分析步驟9.2.1幾何建模首先，需要?jiǎng)?chuàng)建橋梁的幾何模型。這包括定義橋梁的長(zhǎng)度、寬度、高度以及各部分的形狀和尺寸。例如，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的梁橋，我們可以將其簡(jiǎn)化為一系列的梁?jiǎn)卧?.2.2材料屬性接下來，定義橋梁各部分的材料屬性，如混凝土或鋼材的彈性模量、泊松比和密度。這些屬性將影響橋梁的剛度和質(zhì)量分布。9.2.3網(wǎng)格劃分將橋梁模型劃分為多個(gè)小的單元，每個(gè)單元可以視為一個(gè)獨(dú)立的分析對(duì)象。單元的大小和形狀取決于所需的分析精度和計(jì)算資源。9.2.4邊界條件與載荷設(shè)定邊界條件，如固定支座或滑動(dòng)支座，以及施加載荷，包括自重、車輛載荷、風(fēng)載荷等。邊界條件和載荷的正確設(shè)定是分析準(zhǔn)確性的關(guān)鍵。9.2.5求解與后處理使用有限元軟件求解橋梁在載荷作用下的響應(yīng)，包括位移、應(yīng)力和應(yīng)變。后處理階段，分析結(jié)果將被可視化，幫助工程師理解橋梁的性能。9.3代碼示例以下是一個(gè)使用Python和FEniCS庫(kù)進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)有限元分析的簡(jiǎn)化示例。假設(shè)我們分析一個(gè)簡(jiǎn)單的梁橋，長(zhǎng)度為10米，兩端固定，中間承受集中載荷。fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=Inte