結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化算法：模擬退火(SA)：模擬退火算法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化算法：模擬退火(SA)：模擬退火算法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1模擬退火算法簡(jiǎn)介1.11模擬退火算法的起源與應(yīng)用模擬退火算法（SimulatedAnnealing,SA）的靈感來(lái)源于固體物理學(xué)中的退火過(guò)程。在金屬加工中，退火是一種熱處理工藝，通過(guò)將金屬加熱到一定溫度，然后緩慢冷卻，以減少金屬內(nèi)部的應(yīng)力和缺陷，提高材料的性能。在優(yōu)化問(wèn)題中，模擬退火算法模擬了這一過(guò)程，通過(guò)在初始階段接受一些劣質(zhì)解（即能量較高的狀態(tài)），然后逐漸減少接受劣質(zhì)解的概率，最終達(dá)到全局最優(yōu)解或接近最優(yōu)解的狀態(tài)。模擬退火算法在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，包括但不限于：組合優(yōu)化問(wèn)題：如旅行商問(wèn)題（TSP）、圖著色問(wèn)題、背包問(wèn)題等。機(jī)器學(xué)習(xí)：在特征選擇、超參數(shù)優(yōu)化等場(chǎng)景中，模擬退火可以避免陷入局部最優(yōu)。電路板布局：在電子工程中，用于優(yōu)化電路板上元件的布局，以減少信號(hào)延遲和干擾。蛋白質(zhì)折疊：在生物信息學(xué)中，用于預(yù)測(cè)蛋白質(zhì)的三維結(jié)構(gòu)。1.22算法的基本原理與流程模擬退火算法的核心在于其接受準(zhǔn)則，即Metropolis準(zhǔn)則。在算法的每一步，都會(huì)生成一個(gè)新解，并根據(jù)新解與當(dāng)前解的優(yōu)劣關(guān)系以及當(dāng)前的溫度，決定是否接受新解。這一過(guò)程可以概括為以下步驟：初始化：設(shè)置初始解、初始溫度T和溫度衰減系數(shù)α。生成新解：在當(dāng)前解的鄰域內(nèi)隨機(jī)選擇一個(gè)新解。計(jì)算能量差：計(jì)算新解與當(dāng)前解的能量差ΔE。接受準(zhǔn)則：如果ΔE<0，則接受新解；如果ΔE>0，則以概率exp(-ΔE/T)接受新解。溫度更新：根據(jù)溫度衰減系數(shù)α更新溫度T。終止條件：當(dāng)溫度降至某一閾值或達(dá)到預(yù)設(shè)的迭代次數(shù)時(shí)，算法終止。1.2.1示例：使用Python實(shí)現(xiàn)模擬退火算法解決旅行商問(wèn)題（TSP）假設(shè)我們有以下城市坐標(biāo)數(shù)據(jù)：cities=[

(0,0),(1,2),(3,1),(5,4),(6,5),(4,3),(4,4),(2,2),(0,5),(1,1)

]下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的模擬退火算法實(shí)現(xiàn)：importrandom

importmath

#計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離

defdistance(city1,city2):

returnmath.sqrt((city1[0]-city2[0])**2+(city1[1]-city2[1])**2)

#計(jì)算路徑的總距離

deftotal_distance(path):

returnsum(distance(path[i],path[i-1])foriinrange(len(path)))

#生成初始解

definitial_solution(cities):

path=cities[:]

random.shuffle(path)

returnpath

#生成新解

defnew_solution(path):

new_path=path[:]

i,j=random.sample(range(len(path)),2)

new_path[i],new_path[j]=new_path[j],new_path[i]

returnnew_path

#模擬退火算法

defsimulated_annealing(cities,initial_temp=1000,cooling_rate=0.99,stopping_temp=1):

current_path=initial_solution(cities)

best_path=current_path[:]

T=initial_temp

whileT>stopping_temp:

new_path=new_solution(current_path)

delta=total_distance(new_path)-total_distance(current_path)

ifdelta<0orrandom.random()<math.exp(-delta/T):

current_path=new_path

iftotal_distance(current_path)<total_distance(best_path):

best_path=current_path[:]

T*=cooling_rate

returnbest_path

#使用模擬退火算法求解TSP

best_path=simulated_annealing(cities)

print("Bestpath:",best_path)

print("Totaldistance:",total_distance(best_path))在這個(gè)例子中，我們首先定義了計(jì)算兩點(diǎn)之間距離的函數(shù)distance和計(jì)算路徑總距離的函數(shù)total_distance。然后，我們生成了一個(gè)初始解，并在每一步中生成一個(gè)新解，通過(guò)Metropolis準(zhǔn)則決定是否接受新解。最后，當(dāng)溫度降至預(yù)設(shè)的閾值時(shí)，算法返回找到的最優(yōu)路徑。模擬退火算法通過(guò)控制溫度的下降速度和接受劣質(zhì)解的概率，能夠在一定程度上避免局部最優(yōu)解，從而在復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題中找到更優(yōu)的解。然而，算法的效率和效果很大程度上依賴于參數(shù)的選擇，如初始溫度、溫度衰減系數(shù)和終止溫度等。2熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)力學(xué)基礎(chǔ)2.11熱力學(xué)系統(tǒng)與能量狀態(tài)熱力學(xué)系統(tǒng)可以被理解為由大量粒子組成的集合，這些粒子的運(yùn)動(dòng)遵循特定的物理定律。在結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化的背景下，我們可以將結(jié)構(gòu)視為一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，其中的“粒子”是結(jié)構(gòu)的各個(gè)組成部分，如梁、柱或節(jié)點(diǎn)。每個(gè)粒子的能量狀態(tài)反映了其在結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力、應(yīng)變或位移，這些狀態(tài)可以被量化并用于評(píng)估結(jié)構(gòu)的整體性能。在熱力學(xué)中，系統(tǒng)的能量狀態(tài)可以通過(guò)其內(nèi)能（U）來(lái)描述，內(nèi)能是系統(tǒng)所有粒子能量的總和。對(duì)于結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化，內(nèi)能可以被看作是結(jié)構(gòu)所有組成部分的應(yīng)變能或應(yīng)力能的總和。在優(yōu)化過(guò)程中，目標(biāo)是找到一個(gè)能量狀態(tài)最低的結(jié)構(gòu)配置，這類似于熱力學(xué)系統(tǒng)在自然狀態(tài)下趨向于能量最低狀態(tài)。2.1.1示例假設(shè)我們有一個(gè)由三個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以處于不同的位置，從而影響結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能。我們可以定義一個(gè)函數(shù)來(lái)計(jì)算給定節(jié)點(diǎn)位置下的結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能：defcalculate_strain_energy(positions):

"""

計(jì)算給定節(jié)點(diǎn)位置下的結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能。

參數(shù):

positions(list):節(jié)點(diǎn)的位置列表。

返回:

float:結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能。

"""

#假設(shè)的應(yīng)變能計(jì)算公式

strain_energy=0.5*(positions[0]-positions[1])**2+0.5*(positions[1]-positions[2])**2+0.5*(positions[2]-positions[0])**2

returnstrain_energy2.22統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的玻爾茲曼分布玻爾茲曼分布是統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的一個(gè)基本概念，描述了在給定溫度下，熱力學(xué)系統(tǒng)中粒子處于不同能量狀態(tài)的概率。玻爾茲曼分布公式為：P其中，PE是粒子處于能量狀態(tài)E的概率，k是玻爾茲曼常數(shù)，T是系統(tǒng)的絕對(duì)溫度，Z在結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化中，玻爾茲曼分布可以被用來(lái)模擬結(jié)構(gòu)在不同配置下的“概率”，這里的“溫度”可以被看作是一個(gè)控制結(jié)構(gòu)探索其能量狀態(tài)空間的參數(shù)。通過(guò)調(diào)整溫度，我們可以控制結(jié)構(gòu)在優(yōu)化過(guò)程中接受較高能量狀態(tài)的可能性，從而避免陷入局部最優(yōu)解。2.2.1示例我們可以使用玻爾茲曼分布來(lái)決定在給定溫度下，是否接受一個(gè)能量較高的結(jié)構(gòu)配置。假設(shè)我們有一個(gè)當(dāng)前結(jié)構(gòu)配置和一個(gè)新配置，我們可以通過(guò)比較它們的能量狀態(tài)來(lái)決定是否接受新配置：importmath

defaccept_new_configuration(current_energy,new_energy,temperature):

"""

根據(jù)玻爾茲曼分布決定是否接受新配置。

參數(shù):

current_energy(float):當(dāng)前配置的能量狀態(tài)。

new_energy(float):新配置的能量狀態(tài)。

temperature(float):系統(tǒng)的溫度。

返回:

bool:是否接受新配置。

"""

ifnew_energy<current_energy:

#如果新配置的能量更低，總是接受

returnTrue

else:

#根據(jù)玻爾茲曼分布計(jì)算接受概率

probability=math.exp(-(new_energy-current_energy)/(temperature*8.617333262145e-5))#使用玻爾茲曼常數(shù)

returnrandom.random()<probability2.33熱力學(xué)與模擬退火的類比模擬退火算法（SimulatedAnnealing,SA）是一種啟發(fā)式全局優(yōu)化方法，其靈感來(lái)源于熱力學(xué)中的退火過(guò)程。在退火過(guò)程中，材料被加熱到高溫，然后緩慢冷卻，以達(dá)到材料內(nèi)部能量狀態(tài)的最小化。類似地，模擬退火算法通過(guò)在優(yōu)化過(guò)程中引入一個(gè)“溫度”參數(shù)，控制結(jié)構(gòu)探索其能量狀態(tài)空間的方式，從而避免陷入局部最優(yōu)解。在模擬退火算法中，初始溫度通常設(shè)置得較高，這意味著結(jié)構(gòu)有較高的概率接受能量較高的配置。隨著算法的進(jìn)行，溫度逐漸降低，結(jié)構(gòu)接受較高能量狀態(tài)的概率也隨之降低，最終趨向于接受能量最低的配置。這種溫度的逐漸降低過(guò)程被稱為“冷卻計(jì)劃”，是模擬退火算法的關(guān)鍵組成部分。2.3.1示例下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)，用于優(yōu)化結(jié)構(gòu)的配置：importrandom

defsimulated_annealing(initial_positions,initial_temperature,cooling_rate,steps):

"""

使用模擬退火算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)配置。

參數(shù):

initial_positions(list):初始節(jié)點(diǎn)位置。

initial_temperature(float):初始溫度。

cooling_rate(float):溫度冷卻率。

steps(int):迭代步數(shù)。

返回:

list:優(yōu)化后的節(jié)點(diǎn)位置。

"""

current_positions=initial_positions

current_energy=calculate_strain_energy(current_positions)

temperature=initial_temperature

forstepinrange(steps):

#生成新配置

new_positions=[pos+random.uniform(-1,1)forposincurrent_positions]

new_energy=calculate_strain_energy(new_positions)

#根據(jù)玻爾茲曼分布決定是否接受新配置

ifaccept_new_configuration(current_energy,new_energy,temperature):

current_positions=new_positions

current_energy=new_energy

#溫度冷卻

temperature*=1-cooling_rate

returncurrent_positions在這個(gè)示例中，我們首先定義了初始節(jié)點(diǎn)位置、初始溫度、冷卻率和迭代步數(shù)。然后，我們通過(guò)迭代過(guò)程生成新配置，并使用玻爾茲曼分布來(lái)決定是否接受這些配置。隨著迭代的進(jìn)行，溫度逐漸降低，最終我們得到一個(gè)優(yōu)化后的節(jié)點(diǎn)位置列表，這代表了結(jié)構(gòu)的一個(gè)更優(yōu)配置。通過(guò)上述示例，我們可以看到熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)力學(xué)基礎(chǔ)如何被應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化算法中，特別是模擬退火算法。這些原理不僅提供了算法設(shè)計(jì)的理論依據(jù)，也幫助我們理解算法在實(shí)際應(yīng)用中的行為和效果。3模擬退火算法的數(shù)學(xué)模型3.11目標(biāo)函數(shù)與能量函數(shù)在結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化中，模擬退火算法（SimulatedAnnealing,SA）通過(guò)定義一個(gè)能量函數(shù)來(lái)評(píng)估結(jié)構(gòu)的性能。這個(gè)能量函數(shù)通常與結(jié)構(gòu)的總重量、成本、應(yīng)力或應(yīng)變能等目標(biāo)相關(guān)。例如，假設(shè)我們有一個(gè)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題，目標(biāo)是最小化結(jié)構(gòu)的總重量，同時(shí)確保結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度滿足特定標(biāo)準(zhǔn)。我們可以定義能量函數(shù)Ex為結(jié)構(gòu)的總重量，其中x3.1.1示例假設(shè)一個(gè)簡(jiǎn)單的梁設(shè)計(jì)問(wèn)題，其中梁的寬度w和高度h是設(shè)計(jì)參數(shù)。能量函數(shù)可以定義為梁的體積，即Ew,h=w×h×L#定義能量函數(shù)

defenergy_function(w,h):

L=1#梁的長(zhǎng)度

returnw*h*L

#示例設(shè)計(jì)參數(shù)

w=0.1#梁的寬度

h=0.2#梁的高度

#計(jì)算能量

E=energy_function(w,h)

print(f"梁的體積（能量）:{E}")3.22接受概率的計(jì)算模擬退火算法中，接受概率P是根據(jù)能量函數(shù)的差值ΔE和當(dāng)前的溫度T來(lái)計(jì)算的。如果新的設(shè)計(jì)參數(shù)導(dǎo)致能量降低（即結(jié)構(gòu)性能改善），則新的參數(shù)總是被接受。如果新的設(shè)計(jì)參數(shù)導(dǎo)致能量增加，那么接受的概率為P3.2.1示例假設(shè)當(dāng)前設(shè)計(jì)參數(shù)為w,h=0.1,0.2，能量為E=0.02?？紤]一個(gè)新的設(shè)計(jì)參數(shù)w#計(jì)算能量差

Delta_E=energy_function(0.12,0.18)-energy_function(0.1,0.2)

#當(dāng)前溫度

T=1

#計(jì)算接受概率

importmath

P=math.exp(-Delta_E/T)

print(f"接受概率:{P}")3.33冷卻計(jì)劃與溫度參數(shù)冷卻計(jì)劃描述了溫度參數(shù)T隨時(shí)間的降低方式。常見(jiàn)的冷卻計(jì)劃包括線性冷卻和指數(shù)冷卻。線性冷卻中，溫度以恒定速率降低；而在指數(shù)冷卻中，溫度按照一個(gè)指數(shù)函數(shù)降低。溫度參數(shù)的選擇和冷卻計(jì)劃的設(shè)計(jì)對(duì)算法的收斂速度和最終解的質(zhì)量有重要影響。3.3.1示例假設(shè)我們使用指數(shù)冷卻計(jì)劃，初始溫度T0=100，冷卻系數(shù)α=#初始溫度

T_0=100

#冷卻系數(shù)

alpha=0.99

#迭代次數(shù)

iterations=10

#計(jì)算冷卻后的溫度

T=T_0

foriinrange(iterations):

T=alpha*T

print(f"迭代{i+1}后的溫度:{T}")通過(guò)上述示例，我們可以看到模擬退火算法如何通過(guò)定義能量函數(shù)、計(jì)算接受概率和設(shè)計(jì)冷卻計(jì)劃來(lái)優(yōu)化結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題。這些數(shù)學(xué)模型和參數(shù)的選擇對(duì)于算法的有效性和效率至關(guān)重要。4模擬退火算法的實(shí)現(xiàn)步驟4.11初始化參數(shù)與溫度模擬退火算法的初始化步驟至關(guān)重要，它包括設(shè)置初始溫度、冷卻速率、迭代次數(shù)等參數(shù)。這些參數(shù)的選擇直接影響算法的收斂速度和優(yōu)化效果。初始溫度：通常選擇一個(gè)較高的值，以確保在開始階段算法能夠接受較大的解空間跳躍。冷卻速率：即溫度下降的速度，一般設(shè)為一個(gè)小于1的正數(shù)，如0.95。迭代次數(shù)：每個(gè)溫度下進(jìn)行的迭代次數(shù)，用于充分探索當(dāng)前溫度下的解空間。4.1.1示例代碼#初始化參數(shù)

initial_temperature=1000

cooling_rate=0.95

max_iterations=1000

#當(dāng)前溫度

current_temperature=initial_temperature4.22生成初始解與評(píng)估初始解的生成可以隨機(jī)進(jìn)行，評(píng)估函數(shù)則根據(jù)具體問(wèn)題來(lái)定義，用于衡量解的質(zhì)量。在結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化中，評(píng)估函數(shù)可能涉及結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變、位移等物理量。4.2.1示例代碼importnumpyasnp

#生成隨機(jī)初始解

defgenerate_initial_solution():

returnnp.random.rand(10)#假設(shè)解是一個(gè)10維向量

#評(píng)估函數(shù)，以結(jié)構(gòu)應(yīng)力最小化為例

defevaluate_solution(solution):

#假設(shè)的評(píng)估過(guò)程

stress=np.sum(solution**2)#簡(jiǎn)化為解向量的平方和

returnstress

#生成并評(píng)估初始解

initial_solution=generate_initial_solution()

initial_stress=evaluate_solution(initial_solution)4.33迭代過(guò)程與解的更新在每個(gè)溫度下，算法通過(guò)迭代過(guò)程嘗試更新當(dāng)前解。迭代中，生成一個(gè)新的解，并使用Metropolis準(zhǔn)則決定是否接受新解。4.3.1示例代碼#迭代過(guò)程

for_inrange(max_iterations):

#生成新解

new_solution=initial_solution+np.random.normal(0,1,size=initial_solution.shape)

#評(píng)估新解

new_stress=evaluate_solution(new_solution)

#計(jì)算能量差

delta_stress=new_stress-initial_stress

#Metropolis準(zhǔn)則

ifdelta_stress<0ornp.random.rand()<np.exp(-delta_stress/current_temperature):

initial_solution=new_solution

initial_stress=new_stress4.44冷卻過(guò)程與終止條件冷卻過(guò)程是通過(guò)逐步降低溫度來(lái)實(shí)現(xiàn)的，直到達(dá)到終止溫度或滿足其他終止條件。溫度的降低使得算法逐漸從接受較大跳躍的解轉(zhuǎn)變?yōu)榻邮茌^小跳躍的解，最終收斂到全局最優(yōu)解或接近最優(yōu)解。4.4.1示例代碼#冷卻過(guò)程

whilecurrent_temperature>1:#假設(shè)終止溫度為1

#執(zhí)行迭代過(guò)程

for_inrange(max_iterations):

#...（迭代過(guò)程代碼）

#更新溫度

current_temperature*=cooling_rate4.4.2終止條件終止條件可以是溫度低于某一閾值，或是迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)設(shè)值，還可以是解的變化小于某一閾值。#終止條件示例：溫度低于終止溫度

termination_temperature=1

ifcurrent_temperature<=termination_temperature:

break以上代碼示例和描述詳細(xì)闡述了模擬退火算法在結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化中的實(shí)現(xiàn)步驟，從參數(shù)初始化到迭代過(guò)程，再到冷卻和終止條件的設(shè)定，為理解和應(yīng)用該算法提供了具體的操作指南。5模擬退火算法在結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化中的應(yīng)用5.11結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題的定義在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，優(yōu)化問(wèn)題通常涉及尋找結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的最優(yōu)解，以滿足特定的性能指標(biāo)，如最小化成本、重量或應(yīng)力，同時(shí)確保結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和安全性。這類問(wèn)題可以被形式化為一個(gè)數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題，其中目標(biāo)函數(shù)反映了性能指標(biāo)，而約束條件則確保了設(shè)計(jì)的可行性。5.1.1目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)通常表示為結(jié)構(gòu)的某個(gè)性能指標(biāo)，例如：-最小化重量：fx=i=1nwixi-其中，xi是設(shè)計(jì)變量，wi和ci分別是與每個(gè)設(shè)計(jì)變量相關(guān)的重量和成本系數(shù)，σix5.1.2約束條件約束條件確保結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)滿足特定的安全和性能標(biāo)準(zhǔn)，例如：-應(yīng)力約束：σix≤σmax-位移約束：其中，σmax和uma5.22模擬退火算法的適應(yīng)性分析模擬退火算法（SimulatedAnnealing,SA）是一種啟發(fā)式全局優(yōu)化方法，它模仿了物理退火過(guò)程，通過(guò)控制溫度參數(shù)來(lái)避免局部最優(yōu)解，從而尋找全局最優(yōu)解。在結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化中，SA算法的適應(yīng)性主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：處理復(fù)雜約束：SA算法能夠處理非線性、不連續(xù)和復(fù)雜的約束條件，這在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中是常見(jiàn)的。避免局部最優(yōu)：通過(guò)接受一定概率的劣解，SA算法能夠跳出局部最優(yōu)解，探索更廣泛的解空間。參數(shù)調(diào)整：SA算法中的溫度參數(shù)和冷卻策略可以靈活調(diào)整，以適應(yīng)不同類型的優(yōu)化問(wèn)題。5.2.1SA算法流程初始化：設(shè)置初始溫度T0，初始解x0，以及冷卻參數(shù)迭代：在當(dāng)前溫度下，隨機(jī)生成一個(gè)新的解x′，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值f接受或拒絕：如果fx′<fx，則接受新解；如果f冷卻：更新溫度T=αT，其中終止條件：當(dāng)溫度低于某個(gè)閾值或達(dá)到預(yù)設(shè)的迭代次數(shù)時(shí)，算法終止。5.33實(shí)例分析：橋梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化假設(shè)我們正在設(shè)計(jì)一座橋梁，目標(biāo)是最小化其總重量，同時(shí)確保橋梁在各種載荷下的應(yīng)力不超過(guò)允許的最大值。我們使用SA算法來(lái)優(yōu)化橋梁的截面尺寸。5.3.1數(shù)據(jù)樣例設(shè)計(jì)變量：橋梁的截面尺寸，如寬度w和高度h。目標(biāo)函數(shù)：橋梁的總重量fw,h=w×h×約束條件：橋梁的最大應(yīng)力σw5.3.2代碼示例importnumpyasnp

importrandom

#定義目標(biāo)函數(shù)

defobjective_function(w,h,L=100,rho=7850):

returnw*h*L*rho

#定義約束函數(shù)

defconstraint_function(w,h,F=1000000,E=200e9,I=lambdaw,h:w*h**3/12):

returnF*L/(4*E*I(w,h))

#模擬退火算法

defsimulated_annealing(initial_solution,initial_temperature,cooling_rate,max_iterations):

current_solution=initial_solution

current_energy=objective_function(*current_solution)

best_solution=current_solution

best_energy=current_energy

temperature=initial_temperature

foriinrange(max_iterations):

#生成新解

new_solution=[x+random.uniform(-1,1)forxincurrent_solution]

new_energy=objective_function(*new_solution)

#計(jì)算約束條件

ifconstraint_function(*new_solution)>150e6:

continue

#接受或拒絕新解

ifnew_energy<current_energyornp.exp((current_energy-new_energy)/temperature)>random.random():

current_solution=new_solution

current_energy=new_energy

#更新最優(yōu)解

ifcurrent_energy<best_energy:

best_solution=current_solution

best_energy=current_energy

#冷卻

temperature*=cooling_rate

returnbest_solution,best_energy

#初始化參數(shù)

initial_solution=[1,1]#初始截面尺寸

initial_temperature=1000

cooling_rate=0.99

max_iterations=1000

#運(yùn)行模擬退火算法

best_solution,best_energy=simulated_annealing(initial_solution,initial_temperature,cooling_rate,max_iterations)

print("最優(yōu)解：",best_solution)

print("最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值：",best_energy)5.3.3解釋在上述代碼中，我們定義了橋梁的總重量作為目標(biāo)函數(shù)，并定義了最大應(yīng)力作為約束條件。通過(guò)模擬退火算法，我們隨機(jī)生成新的截面尺寸，并根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值和約束條件來(lái)決定是否接受新解。隨著溫度的逐漸降低，算法傾向于接受更優(yōu)的解，最終找到滿足約束條件下的最小重量設(shè)計(jì)。通過(guò)這種方式，模擬退火算法在結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化中提供了一種有效的全局搜索策略，能夠處理復(fù)雜的約束條件，避免陷入局部最優(yōu)解，從而找到更優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。6模擬退火算法的優(yōu)缺點(diǎn)與改進(jìn)方法6.11算法的優(yōu)點(diǎn)與局限性6.1.1優(yōu)點(diǎn)全局優(yōu)化能力：模擬退火算法(SA)通過(guò)模擬物理退火過(guò)程，能夠在搜索空間中進(jìn)行廣泛的探索，從而避免陷入局部最優(yōu)解，具有較強(qiáng)的全局優(yōu)化能力。簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)：SA算法的原理直觀，實(shí)現(xiàn)起來(lái)相對(duì)簡(jiǎn)單，適用于多種優(yōu)化問(wèn)題。參數(shù)少：相比于其他復(fù)雜的優(yōu)化算法，SA算法的參數(shù)較少，主要是初始溫度、冷卻速率和終止溫度，這使得算法的調(diào)整相對(duì)容易。魯棒性：SA算法對(duì)初始解的選擇不敏感，且能夠處理非連續(xù)、非凸的優(yōu)化問(wèn)題，具有良好的魯棒性。6.1.2局限性收斂速度慢：SA算法為了確保全局搜索，通常需要較長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)達(dá)到收斂，這在處理大規(guī)模問(wèn)題時(shí)可能成為瓶頸。參數(shù)選擇困難：雖然SA算法的參數(shù)較少，但初始溫度、冷卻速率和終止溫度的選擇對(duì)算法性能有顯著影響，不恰當(dāng)?shù)膮?shù)設(shè)置可能導(dǎo)致搜索效率低下。計(jì)算資源消耗大：由于SA算法需要進(jìn)行大量的迭代和計(jì)算，因此在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)消耗大量的計(jì)算資源。6.22改進(jìn)策略：自適應(yīng)溫度調(diào)整6.2.1原理傳統(tǒng)的SA算法中，溫度的下降遵循一個(gè)固定的冷卻速率，這可能在某些情況下導(dǎo)致算法過(guò)早收斂或搜索效率低下。自適應(yīng)溫度調(diào)整策略通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整溫度參數(shù)，根據(jù)當(dāng)前搜索狀態(tài)和解的質(zhì)量來(lái)決定溫度的下降速度，從而提高算法的搜索效率和全局優(yōu)化能力。6.2.2實(shí)現(xiàn)示例假設(shè)我們正在使用SA算法優(yōu)化一個(gè)結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題，目標(biāo)是最小化結(jié)構(gòu)的總重量。以下是一個(gè)使用自適應(yīng)溫度調(diào)整策略的SA算法實(shí)現(xiàn)示例：importrandom

importmath

#定義目標(biāo)函數(shù)，這里簡(jiǎn)化為一個(gè)示例函數(shù)

defobjective_function(x):

returnx**2

#定義鄰域函數(shù)，生成當(dāng)前解的鄰域解

defneighborhood_function(x):

returnx+random.uniform(-1,1)

#初始解和溫度

current_solution=5.0

tempe