2019-2020學年新教材高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)第3課時不同函數(shù)增長的差異應用案鞏固提升新人教A版必修第一冊

PAGE1-第3課時不同函數(shù)增長的差異[A基礎達標]1．在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的圖象，正確的是()解析：選D.函數(shù)y＝ax與y＝logax的單調性相同，由此可排除C；直線y＝x＋a在y軸上的截距為a，則選項A中0<a<1，選項B中a>1，顯然y＝ax的圖象不符，排除A，B，故選D.2．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是()解析：選C.小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.故選C.3．某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析：選D.法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.法二：比較四個函數(shù)值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，經檢驗易知選D.4．據統(tǒng)計，某地區(qū)1月、2月、3月的用工人數(shù)分別為0.2萬、0.4萬、0.76萬，則該地區(qū)這三個月的用工人數(shù)y(萬人)關于月數(shù)x的函數(shù)關系式近似是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x解析：選C.對于A，當x＝3時，y＝0.6，與0.76差距較大，故排除A；對于B，當x＝3時，y＝1.5，與0.76差距較大，故排除B；對于D，當x＝3時，y＝0.2＋log163≈0.6，與0.76差距較大，故排除D，故選C.5．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對這三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是()A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：選B.由函數(shù)性質可知，在(4，＋∞)內，指數(shù)函數(shù)g(x)＝2x增長速度最快，對數(shù)函數(shù)h(x)＝log2x增長速度最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)．6．現(xiàn)測得(x，y)的兩組對應值分別為(1，2)，(2，5)，現(xiàn)有兩個待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應值為(3，10.2)，則應選用________作為函數(shù)模型．解析：把x＝1，2，3分別代入甲、乙兩個函數(shù)模型，經比較發(fā)現(xiàn)模型甲較好．答案：甲7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞)上增長較快的一個是________．解析：當x變大時，x比lnx增長要快，所以x2要比xlnx增長得要快．答案：y＝x28．生活經驗告訴我們，當水注入容器(設單位時間內進水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應________；B對應________；C對應________；D對應________．解析：A容器下粗上細，水高度的變化先慢后快，故與④對應；B容器為球形，水高度變化為快—慢—快，應與①對應；C，D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應是直線型，但C容器細，D容器粗，故水高度的變化為：C容器快，與③對應，D容器慢，與②對應．答案：④①③②9．畫出函數(shù)f(x)＝eq\r(x)與函數(shù)g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關系．解：函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示：根據圖象易得：當0≤x＜4時，f(x)>g(x)；當x＝4時，f(x)＝g(x)；當x>4時，f(x)<g(x)．10．每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會開展各種形式的植樹活動，某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米，計劃今后5年內擴大樹木面積，現(xiàn)有兩種方案如下：方案一：每年植樹1萬平方米；方案二：每年樹木面積比上一年增加9%.哪個方案較好？解：方案一：5年后樹木面積為10＋1×5＝15(萬平方米)．方案二：5年后樹木面積是10(1＋9%)5≈15.386(萬平方米)，因為15.386>15，所以方案二較好．[B能力提升]11．以下四種說法中，正確的是()A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對任意的x>0，xn>logaxC．對任意的x>0，ax>logaxD．不一定存在x0，當x>x0時，總有ax>xn>logax解析：選D.對于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度受冪指數(shù)及一次項系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項系數(shù)不確定，增長幅度不能比較；對于B、C，當0<a<1時，顯然不成立．當a>1，n>0時，一定存在x0，使得當x>x0時，總有ax>xn>logax，但若去掉限制條件“a>1，n>0”，則結論不成立．12．如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質的剩留量y與凈化時間t(月)的近似函數(shù)關系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的圖象．有以下說法：①第4個月時，剩留量就會低于eq\f(1,5)；②每月減少的有害物質質量都相等；③當剩留量為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)時，所經過的時間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.其中所有正確說法的序號是________．解析：由于函數(shù)的圖象經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,9)))，故函數(shù)的關系式為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(t).當t＝4時，y＝eq\f(16,81)<eq\f(1,5)，故①正確；當t＝1時，y＝eq\f(2,3)，減少eq\f(1,3)，當t＝2時，y＝eq\f(4,9)，減少eq\f(2,9)，故每月減少有害物質質量不相等，故②不正確；分別令y＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，解得t1＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,2)，t2＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,4)，t3＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,8)，t1＋t2＝t3，故③正確．答案：①③13．某國2013年至2016年國內生產總值(單位：萬億元)如下表所示：年份2013201420152016x(年份代碼)0123生產總值y(萬億元)8.20678.94429.593310.2398(1)畫出函數(shù)圖象，猜想y與x之間的函數(shù)關系，近似地寫出一個函數(shù)關系式；(2)利用得出的關系式求生產總值，與表中實際生產總值比較；(3)利用關系式預測2030年該國的國內生產總值．解：(1)畫出函數(shù)圖象，如圖所示．從函數(shù)的圖象可以看出，畫出的點近似地落在一條直線上，設所求的函數(shù)關系式為y＝kx＋b(k≠0)．把直線經過的兩點(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解得k＝0.6777，b＝8.2067.所以函數(shù)關系式為y＝0.6777x＋8.2067.(2)由得到的函數(shù)關系式計算出2014年和2015年的國內生產總值分別為0．6777×1＋8.2067＝8.8844(萬億元)，0．6777×2＋8.2067＝9.5621(萬億元)．與實際的生產總值相比，誤差不超過0.1萬億元．(3)2030年，即x＝17時，由(1)得y＝0.6777×17＋8.2067＝19.7276(萬億元)，即預測2030年該國的國內生產總值約為19.7276萬億元．14．某企業(yè)常年生產一種出口產品，根據預測可知，進入21世紀以來，該產品的產量平穩(wěn)增長．記2018年為第1年，且前4年中，第x年與年產量f(x)(萬件)之間的關系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x＋a.(1)找出你認為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取2018年和2020年的數(shù)據求出相應的解析式；(2)因遭受某國對該產品進行反傾銷的影響，2024年的年產量比預計減少30%，試根據所建立的函數(shù)模型，確定2024年的年產量．解：(1)符合條件的是f(x)＝ax＋b，若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此時f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與已知相差太大，不符合．若模型為f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x＋a，則f(x)是減函數(shù)，與已知不符合．由已知得eq\b\lc\{(\a\