2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直課時(shí)作業(yè)36直線與平面垂直的性質(zhì)新人教A版必修第二冊

PAGE1-課時(shí)作業(yè)36直線與平面垂直的性質(zhì)知識點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)1.在圓柱的一個(gè)底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上)，過該點(diǎn)作另一個(gè)底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．異面D．相交或平行答案B解析∵圓柱的母線垂直于圓柱的底面，所作的垂線也垂直于底面，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，二者平行．2．直線l垂直于梯形ABCD的兩腰AB和CD，直線m垂直于AD和BC，則l與m的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．異面D．不確定答案D解析根據(jù)題意，l⊥平面ABCD，m可能在平面ABCD內(nèi)，也可能垂直平面ABCD，所以直線l與m可能平行、相交或異面，故選D.3．a(chǎn)，b是異面直線，直線l⊥a，l⊥b，直線m⊥a，m⊥b，則l與m的位置關(guān)系是________．答案l∥m解析將b平移至c，且使a與c相交，則a，c確定一個(gè)平面，記作平面α.∵l⊥b，m⊥b，∴l(xiāng)⊥c，m⊥c，又l⊥a，m⊥a，∴l(xiāng)⊥平面α，m⊥平面α，∴l(xiāng)∥m.4．如圖所示，已知α∩β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，a?α，a⊥AB.求證：a∥l.證明∵EA⊥α，EB⊥β，α∩β＝l，∴l(xiāng)⊥EA，l⊥EB.又∵EA∩EB＝E，EA?平面EAB，EB?平面EAB，∴l(xiāng)⊥平面EAB.又a?α，EA⊥α，∴a⊥EA.又a⊥AB，AB∩EA＝A，AB?平面EAB，EA?平面EAB，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.5．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.證明因?yàn)锳B⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因?yàn)锳D＝AP，E是PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.因?yàn)镸N⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.知識點(diǎn)二平行、垂直關(guān)系的綜合問題6.設(shè)a，b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是()A．存在唯一一條直線l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一一條直線l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一一個(gè)平面α，使得a?α，且b∥αD．存在唯一一個(gè)平面α，使得a?α，且b⊥α答案C解析過直線a上任意一點(diǎn)P，作b的平行線c，由a，c相交確定一個(gè)平面α.直線l只需垂直于平面α，就會與a，b都垂直，這樣的直線有無數(shù)條，故A錯誤．根據(jù)異面兩條直線所成角的定義，排除B.根據(jù)線面垂直的概念，排除D.故選C.7．給出下列命題：①a⊥α，b?α?a⊥b；②a⊥α，a∥b?b⊥α；③a⊥α，b∥α?a⊥b；④a⊥b，a⊥c，b?α，c?α?a⊥α；⑤a∥α，a⊥b?b⊥α；⑥a⊥α，b⊥a?b∥α.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．3B．4C．5D．6答案A解析因?yàn)閍⊥α，所以a垂直于平面α內(nèi)的任意直線，所以①正確．若兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面垂直，則另一條直線也與這個(gè)平面垂直，所以②正確．由線面垂直，線線、線面平行的性質(zhì)知，若a⊥α，b∥α，則a⊥b，所以③正確．由線面垂直的判定定理可知，④不正確．當(dāng)a∥α，a⊥b時(shí)，b可能與α平行、垂直、斜交或b在α內(nèi)，所以⑤不正確．當(dāng)a⊥α，b⊥a時(shí)，b可能與α平行，b也可能在α內(nèi)，故⑥不正確．一、選擇題1．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．異面D．不確定答案B解析∵△ABC所在平面為α，l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l(xiāng)⊥α，又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，∴m⊥α，∴l(xiāng)∥m.2．在△ABC所在的平面α外有一點(diǎn)P，且PA＝PB＝PC，則P在α內(nèi)的射影是△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．外心D．重心答案C解析設(shè)P在平面α內(nèi)的射影為O，易證△PAO≌△PBO≌△PCO?AO＝BO＝CO.3．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l答案D解析由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則交線平行于l，故選D.4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點(diǎn)A且垂直于平面ABC，動點(diǎn)P∈l，當(dāng)點(diǎn)P逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)A時(shí)，∠PCB的大小()A．變大B．變小C．不變D．有時(shí)變大有時(shí)變小答案C解析∵直線l⊥平面ABC，∴l(xiāng)⊥BC.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC，即∠PCB為直角，即∠PCB的大小與點(diǎn)P的位置無關(guān)，故選C.5．如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個(gè)條件是()A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH答案B解析因?yàn)镋G⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.二、填空題6．地面上有兩根旗桿，底端相距a米，它們的高分別是b米和c米(b>c)，則它們頂端的距離為________米．答案eq\r(a2＋b－c2)解析如圖，由于兩旗桿都與地面垂直，故兩旗桿AD與BC平行，且四邊形ABCD是直角梯形，設(shè)AD＝c米，BC＝b米，過D作DE⊥BC于E，則DE＝a米，CE＝(b－c)米，所以DC＝eq\r(a2＋b－c2)(米)．7．邊長為a的正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，將△AED，△BEF和△DCF分別沿DE，EF和DF折起使A，B，C重合于一點(diǎn)A′，則三棱錐A′－EFD的體積為________．答案eq\f(a3,24)解析以等腰直角三角形A′EF為底，DA′為高，易求三棱錐的體積．8．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動點(diǎn)．當(dāng)eq\f(CF,FD)＝________時(shí)，D1E⊥平面AB1F.答案1解析連接A1B，則A1B是D1E在平面ABB1A1內(nèi)的射影．∵AB1⊥A1B，AB1⊥BC，∴AB1⊥平面A1BED1.∵D1E?平面A1BED1，∴D1E⊥AB1.若D1E⊥平面AB1F，則D1E⊥AF.連接DE，∵AF⊥DD1，D1E∩DD1＝D1，∴AF⊥平面D1ED.又DE?平面D1ED，∴DE⊥AF.∵四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn)，∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AF，即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E⊥平面AB1F.∴當(dāng)eq\f(CF,FD)＝1時(shí)，D1E⊥平面AB1F.三、解答題9．如圖，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，且EF⊥AC.求證：eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).證明∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點(diǎn)．證明(1)∵四邊形ADD1A1為正方形，∴AD1⊥A1D.∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩C