2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《中心對稱》練習(xí)

專題二中心對稱

核心考點一兩個圖形關(guān)于某點中心對稱尋找對稱中心

01.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.若△4BC與△關(guān)于E點成中心對稱，則對稱中心E點的坐標(biāo)是,

小

核心考點二利用兩個圖形關(guān)于某點中心對稱作圖

02.如圖,防形ABCD和直角,AABE,^AEB=90。,將△48E繞點O旋轉(zhuǎn)180。得至I」ACDF.

(1)在圖中畫出點0和4CDF,并簡要說明作圖過程；

⑵若AE=12,AB=13,求EF的長.

BC

核心考點三中心對稱圖形與倍長類全等

03.如圖,RtAACB中,乙4cB=90°?。為AB的中點,AE=AO,BF=BO,OE=2VlOF=3,貝UAB的長為.

04.在正方形ABCD中，點F在AD延長線上,且DF=DC,,M為AB邊上一點,N為MD的中點，點E在線段CF上,

BN=NE,求證:BN1NE.

AD

專題三旋轉(zhuǎn)作圖問題基本方法(1)—中心對稱圖形

核心考點一利用中心對稱圖形的對稱中心構(gòu)造8字型全等得等線段

01.如圖，平行四邊形ABCD,E在AD邊上,且DE=CD,僅用無刻度直尺作圖并保留作圖痕跡，不寫畫法.

⑴在圖1中，畫出/C的角平分線；

⑵在圖2中，畫出NA的角平分線.

核心考點二利用中心對稱圖形的對稱中心得中點，再利用重心或者中位線的性質(zhì)

02.只用直尺(不帶刻度)作圖按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.

(1)我們知道，三角形的三條中線交于一點，如圖1,在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，作BC的中

點F;

⑵我們知道，三角形的三條高交于一點，如圖2,在由小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形

的頂點上，作△ABC的高AH.

圖1圖2

核心考點三利用過中心對稱圖形的對稱中心的直線分割面積

03.請用直尺按要求在網(wǎng)格中作圖，并標(biāo)明字母(輔助線可用虛線作出，以下作圖請勿超出網(wǎng)格范圍).

⑴作出平行四邊形ABDC;

(2)以AC為邊，作出正方形ACMN;

(3)作出一條同時平分平行四邊形ABDC與正方形ACMN面積的直線.

專題四旋轉(zhuǎn)作圖問題基本方法⑵——已知旋轉(zhuǎn)中心

核心考點一旋轉(zhuǎn)90。的線段，兩個端點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點連線即可

0L請用無刻度直尺畫出下列圖形，并保留作圖痕跡.

(1)將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到線段BD;A

(2)過C作線段AB的垂線段CE,垂足為E;

(3)作/ABD的角平分線BF.

02.如圖,△ABC中，NB=90。,點D為邊AC的中點,請按下列要求作圖,并解決問題.

(1)作點D關(guān)于BC的對稱點O;

(2)在(1)的條件下,將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°.

MXttt

①畫出旋轉(zhuǎn)后的AEFG(其中A,B,C三點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別是點

工二1二匚工二工

E,F,G）;B：z-?：：：：

：：tU^t：..：J..：...L.：.

②右NC=a,則/BGC=.（用含a的式子表三）“…jii?,

;:;

核心考點二旋轉(zhuǎn)180。的線段，兩個端點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點連線即可

03.如圖，在9x7網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1個單位長度，我們把每個小正方形的頂點稱為格點，A,B,C,

E,F均為格點，請按要求僅用一把無刻度的直尺作圖.

(1)將小ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180。得到△BAD,請畫出點O和4BAD;

(2)將格點線段EF平移至格點線段MN(點E,F的對應(yīng)點分別為M,N)，使得MN平分四邊形ABCD的面積，

請畫出線段MN；

(3)在線段AD上找一點P,使得/AOP=/BOD,請畫出點P.

專題五旋轉(zhuǎn)作圖問題基本方法⑶一尋找旋轉(zhuǎn)中心

方法總結(jié)：旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點連線的垂直平分線上

01.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,A(1,7),B(5,5),C(7,5),D(5,1).

(1)將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到對應(yīng)線段BE.當(dāng)BE與CD第一次平行時，畫出點A運動的路徑，并

直接寫出點A運動的路徑長；

⑵線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點旋轉(zhuǎn)一個

角度可以得到另一條線段，直接寫出這個旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).

02如圖,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A坐標(biāo)為(1,7),點B坐標(biāo)為(5,5),點C坐標(biāo)為(7,5),點P坐標(biāo)為(5,4).

⑴如圖1,將線段AB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到對應(yīng)線段A'B',畫出線段A'B1,并直接寫出線段AB掃過

的面積；

⑵如圖2,點D坐標(biāo)為(5,1),將線段AB繞著某一點旋轉(zhuǎn)一個角度得到線段CD,找出這個旋轉(zhuǎn)中心并寫出

旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).

AA

圖1圖3

03.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-2,-4),B(-6,-1),C(-2,-1).

(1)把仆ABC向左平移2個單位，再向上平移4個單位得小A】BiJ,試畫出圖形，并直接寫出點Ct的坐標(biāo)；

⑵把仆ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90。得小A2B2C2,試畫出圖形,并直接寫出點C2的坐標(biāo)；

(3)若⑵中的△可以看作由(1)中的△AiBiCi繞坐標(biāo)平面內(nèi)某一點P旋轉(zhuǎn)而得到，試在圖中標(biāo)出點

P的位置，并直接寫出旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)；

(4)若(1)中的△AiBiCi內(nèi)部有一點M(a,b),經(jīng)過(3)中的旋轉(zhuǎn)后與△/k&Cz中的點N對應(yīng)，請直接寫出點N

的坐標(biāo)(用含a,b的式子表示).

專題六旋轉(zhuǎn)作圖問題基本方法(4)—作圖與計算

01.如圖,正方形ABCD和直角△ABE,^AEB=90。,將△4BE繞點O旋轉(zhuǎn)180。得到△CDF.

(1)在圖中畫出點。和△CDF,并簡要說明作圖過程；

(2)若4E=12,AB=13,求EF的長.

02.如圖,E是正方形ABCD中CD邊上任意一點.

(1)以點A為中心,把△4DE順時針旋轉(zhuǎn)90。,，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；

⑵在BC邊上畫一點F,使△CFE的周長等于正方形ABCD的周長的一半，請簡要說明你取該點的理由.

03.已知正方形ABCD,點E是CD的中點，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖(保留作圖痕跡).

(1)在圖1中，分別畫出另外三邊的中點；

(2)在圖2中.連接AE,將△AEC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。,，畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形.

專題七旋轉(zhuǎn)作圖問題基本方法⑸一綜合訓(xùn)練

01.如圖，△ABC的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖.

⑴在圖1中，將線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BM,畫出線段BM；在小ABC內(nèi)部找一點P,使/

APC=2/ABC,連接PA,PC;

⑵在圖2中,M為線段AB的中點作M關(guān)于BC的對稱點O,再以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心,將4ABC順時針旋轉(zhuǎn)90。得

到AAiBia,畫出△A】BiCi(點A,B,C分別對應(yīng)點Ai,Bi,Ci力若/ABC的度數(shù)為a。，則NBB】C的

度數(shù)為(直接用含a的式子寫出答案).

圖1圖2

02.如圖，在9x9網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1個單位長度，我們把每個小正方形的頂點稱為格點，A,B,C,

D,E,F,P均為格點，請按要求僅用無刻度的直尺作圖.

(1)將ADEF繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△DiEiFx,請畫出△DxE】Fx;

⑵將小ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180。得到△BAG,請畫出點O和4BAG;

⑶將格點線段EF平移至格點線段MN(點E,F的對應(yīng)點分別為M,N),使得MN平分四邊形ACBG的面積,

請畫出線段MN(線段MN畫1條即可);

(4)在線段AG上找一點Q,使得NAOQ=NBOG,請畫出點Q.

03.請按以下要求用無刻度直尺作圖：

(1)如圖1,線段AB和線段AE關(guān)于點M成中心對稱,畫出點M;

⑵如圖2,將4ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90。得4AiBig,畫出△AtBxCx;

(3)如圖3,設(shè)/BAC=a,將4ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a得4A'B'C,畫出△A'B'C.

圖1圖2圖3

專題八旋轉(zhuǎn)模型（1）—手拉手①一遇90。構(gòu)造90。（新熱點）

核心考點一構(gòu)造等腰直角三角形得手拉手，利用對應(yīng)角和邊進行勾股計算

01.如圖,在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=45°,AB=AC,BDA/41CD=3,貝！AD=

02.如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點,且P4=2V3,PB=y[2,PC=4,則正方形ABCD的面積是.

核心考點二構(gòu)造等腰直角三角形得手拉手，結(jié)合共邊雙勾股計算

03.如圖,D是△4BC內(nèi)一點，Z.BDC=90。乃。==20,AC=21,AD=竽，則BC的長是____.

核心考點三構(gòu)造等腰直角三角形得手拉手，利用特殊角解三角形

04.如圖，若點O是等腰）RtAABC的斜邊AB的中點，M為BC下方一點，且。M=學(xué),CM=7,NBMC=45。,則

BM=

M

專題九旋轉(zhuǎn)模型⑵一手拉手②——遇（60。構(gòu)造60。

01如圖，已知△48c中，4=90°,AC=BC=VX將△4BC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60。到小ABC”的位置連接

CB,則CB的長為

02如圖在RtAABC中，ZACB=90°,分別以AC,AB為邊,作等邊△4CD和等邊△ABE.連接ED,并延長交BC于

點F,連接BD.若BDXBC,求々的值.

03.如圖,在四邊形ABCD中,AC,BD是對角線,AABC是等邊三角形，乙4DC=30°,AD=3,BD=4,則CD的長為

04.如圖，點D是等邊△48c內(nèi)部的一點，ZXDC=120°,AB2=19,^=|,則線段BD的長度是_____

B

專題十旋轉(zhuǎn)模型⑶一手拉手③一遇120。構(gòu)造120°

01.如圖，在△ABC中,N4CB=30°,AB=4c點P是△4BC內(nèi)一點，且.PA=2,PB=何,PC=3,求/APC的度數(shù)

02.如圖,等腰△ABC中,.NB4C=120°,AB=AC,,D是AB上一點,AD=2,BD=4,E是邊BC上的動點，若點E繞點

D逆時針旋轉(zhuǎn)30。的對應(yīng)點是F,連CF,則CF的最小值為.

03.如圖,AABC中,AB=AC,點P為AABC內(nèi)一點,乙4PB=ABAC=120°..若AP+BP=4,則PC的最小值為()

A

A.2B.2V3

C.V5D.3Rr

04.如圖,在△ABC中,^BAC=120。,AB+AC=a(a>0)將CB繞C順時針旋轉(zhuǎn)1120。得CD,當(dāng)DA的最小值為

削寸,a的值為.

/D

A

BC

專題十一旋轉(zhuǎn)模型⑷一夾半角與夾半角的構(gòu)造

01.如圖,等邊,AABC中,D,E為BC邊上的點,BD=2CE,ZDAE=30°,DE=3,貝!]CE的長為.

02如圖.直線1上依次有B,E,C,D四點且BE=2CD,,以BC為邊作等邊△4BC,連接AE,AD,若/DAE=30'DE

=5,則BE的長是.

03.如圖,在,△ABC中,點D是邊BC上一點,ND"=AB=45。,AB=6,BC=4Vx則4ABD的面積是.

04如圖，乙4。8=45。,PA1OA,PB1OB?連OP,C是CP上一點,(0C=PC,,連BC交OA于點D,若OD=4,AD=6,

則PB的值為.

ODA

專題十二旋轉(zhuǎn)模型（5）——構(gòu)造手拉手求最值

核心考點一構(gòu)造手拉手轉(zhuǎn)化為三邊關(guān)系最值

01.如圖，AABC中,AB=3,AC=4,以BC為邊向三角形外作等邊△BCD,,連AD,則當(dāng)/BAC=度時，AD有

最大值是.

核心考點二構(gòu)造手拉手轉(zhuǎn)化斜垂關(guān)系最值

02.點P為等邊△ABC內(nèi)一動點,連接PA,PB,PC,若/BPC=105。,則普的最小值是.

核心考點三構(gòu)造手拉手轉(zhuǎn)化兩點之間，線段最短

03.如圖,在RtAABC中,N4CB=90°,AC=2,AABC=30。,,點O為Rt△ABCC內(nèi)一點,連接AO,BO,CO,貝！jOA+

OB+OC的最小值為

核心考點四構(gòu)造手拉手得定點軌跡，轉(zhuǎn)化垂線段最短

04.如圖,AOBC中,UCB=90。,乙4=30°,AC=6,D是AB上的動點，以DC為斜邊作等腰直角.△DCE/CED=

90。,,點E和點A位于CD的兩側(cè),連接BE,則BE的最小值為.

專題十三旋轉(zhuǎn)模型(6)——中心對稱與中點線段倍長

01.如圖1,已知RtAABC^RtADCE,ZB=ZD=90°,BC=2AB.

⑴若AB=2,求點B到AC的距離；

⑵當(dāng)RtADCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連AE,取AE中點H,連BH,DH,如圖2,求證:BHXDH;

⑶在⑵的條件下,若AB=2,P是DE中點連接PH,當(dāng)RtADCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，直接寫出PH

的取值范圍.

圖1圖3

02如圖,分別以△A8C的邊AB,AC為底邊向外作等腰△與等腰△EAC,^ADB=a,AAEC=180。-a,F為B

C的中點,連接DF,EF.

(1)如圖1,作出.ACEF關(guān)于點F成中心對稱的圖形；

(2)如圖2,猜想DF與EF的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)a=60。時，連接DE交AC于M,FE交AC于N,設(shè)AM=a,MN=b,NC=c,請直接寫出a,b,c

之間的數(shù)量關(guān)系.

專題十四利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解幾何綜合題

01如圖1,在小ABC中，點D,E分另在AB,AC上,DE〃BC,BD=CE.

(1)求證:ZB=ZC,AD=AE;

(2)若/BAC=90。,把4ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點,連接MN,

PM,PN.

①判斷△PMN的形狀，并說明理由；

②把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請直接寫出△PMN的最大面積為t

BCBNC

圖1圖2

02.已知△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.

(1)如圖1,將4ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得△請直接寫出的長；

⑵如圖2,若把△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)a。角,其中0<a<90,直線.4?分別交AB,AC于點G,H,若小AGH恰

好為等腰三角形，求CH的長;

⑶如圖3,將小ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一周得△4記的,點M為邊41cl的中點，點N為AM的中點，試直接

寫出CN的最大值.

圖1圖2圖3

03.矩形ABCD中,AB=5,2。=3,,將矩形ABCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至矩形EFCG(其中A,B,D分別與E,F,G對

應(yīng)).

(1)如圖1,當(dāng)點G落在AB邊上時，直接寫出AG的長；

⑵如圖2,當(dāng)點G落在線段AE上時,AB與CG交于點H,求BH的長；

⑶如圖3,記O為矩形ABCD的對角線交點，S為AOGE的面積，直接寫出S的取值范圍.

04.給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形.

(1)以下四邊形中，是勾股四邊形的為.(填寫序號即可)

①矩形；②有一個角為直角的任意凸四邊形；③有一個角為(60。的菱形.

⑵如圖1,將△4BC繞頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)打。得到△EDC.

@n=60,ABAD=30。時，連接AD.求證：四邊形ABCD是勾股四邊形；

②如圖2,將DE繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)得到EF,連接BF,AE交于點P,連接CP若乙DEF=(180-n)°,

CP=4,4E=10,求AC的長度.

專題十五中心對稱與倍長類幾何綜合題

01.在△ABE和ACDE中,乙ABE=乙DCE=90°,AB=BE,CD=CE.

(1)連接AD,BC,點M,N分別為AD,BC的中點,連接MN.

①如圖1,當(dāng)B,E,C三點在一條直線上時,MN與BC關(guān)系是_____;

②如圖2,當(dāng)?shù)妊黂t△CDE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)時，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明你的結(jié)論；

如果不成立，請說明理由.

⑵如圖3,當(dāng)?shù)妊黂t△CDE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)時,連接AC,BD,點P,Q分別為BD,AC的中點,連接PQ,若.AB

=13,CD=5?則PQ的最大值是_，此時以A,