2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)（新高考卷）原卷+解析

專題02復(fù)數(shù)-2024年高考數(shù)學(xué)真題題源

解密（新高考卷）解析版

專題02復(fù)數(shù)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，2

共機(jī)復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算2023?新高考I卷，2

高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查，重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的運(yùn)

2024新高考I卷,2

算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算2022?新高考n卷，2

等，難度較低.

復(fù)數(shù)的幾何意義2023新高考n卷,1

復(fù)數(shù)的模2024?新高考II卷，1

’2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，但是需要一些運(yùn)算技巧，否則有些計(jì)算量。II卷考查復(fù)數(shù)的模

的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)考查。復(fù)數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含

義.（2）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法

及其幾何意義、復(fù)數(shù)的模。

試題精講

2

1.（2024新高考I卷-2）若——=l+i,貝!Jz=（）

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

2.（2024新高考II卷-1）已知z=-l-i,則目=（）

A.0B.1C.V2D.2

近年真題精選

1.（2022新高考I卷-2）若i（l—z）=l,貝!Jz+亍=（）

A.-2B.-1C.1D.2

1-i_

2.（2023新圖考I卷-2）已知Z=TK，則z-W=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

3.(2022新高考II卷,2)(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

4.(2023新高考n卷-1)在復(fù)平面內(nèi)，(l+3i)(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

必備知識(shí)速記

一、復(fù)數(shù)的概念

(1)1叫虛數(shù)單位，滿足『=-1,當(dāng)左eZ時(shí)，嚴(yán)=1,泮+1=7-，嚴(yán)+2=-1,嚴(yán)+3=7.

(2)形如0+歷(a,beR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作。+初eC.

①復(fù)數(shù)z=。+bi(a,6e7?)與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,6)一—對(duì)應(yīng)，.叫二的實(shí)部,b叫z的虛部；b=0=zeR,Z

點(diǎn)組成實(shí)軸；人w0,z叫虛數(shù)；且a=0,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸(不包括原點(diǎn)).兩個(gè)實(shí)

部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共朝復(fù)數(shù).

②兩個(gè)復(fù)數(shù)。+瓦,c+山(a,b,c,deR)相等:(兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn))

[b=a

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)。+加5,be?的模，也就是向量。Z的模，即有向線段②之的長度，其計(jì)算公式為

\z\=]a+bi|=y/a2+Z72,顯然，12耳口一加==/+廿.

二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則

1、復(fù)數(shù)運(yùn)算

(1)(a+bi)土(c+由)=(a±c)+(b土d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)\a-bi)=z-z=a2+b2=|z/

,(注意Z?=|z「)

2+2=2。

其中|2|=病]方，叫z的模；3=a-加是z=a+bi的共輾復(fù)數(shù)(a,6eR).

(3)a+bi_(a+bi)?(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i2+

c+di(c+di)?(c-di)c2+d2

實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)累運(yùn)算法則)都適用于復(fù)數(shù).

注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

以復(fù)數(shù)4/2分別對(duì)應(yīng)的向量西，區(qū)為鄰邊作平行四邊形0Z|ZZz,對(duì)角線oz表示的向量。Z就是復(fù)數(shù)

Z1+Zz所對(duì)應(yīng)的向量.Z]-z?對(duì)應(yīng)的向量是44.

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

（1）復(fù)數(shù)z=a+bi{a,beR）對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a,b）;

（2）復(fù)數(shù)z=a+6eR）對(duì)應(yīng)平面向量Oz;

（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).

（4）復(fù)數(shù)z=a+加（a,be?的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a㈤到原點(diǎn)的距離.

三、實(shí)系數(shù)一元二次方程

1、實(shí)系數(shù)一元二次方程辦2+區(qū)+。=0伍,加。€氏4/0）中的公=〃—4四為根的判別式，那么

一b+Jb~—4ac

（1）A>0o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根——--------；

A=0o方程有兩個(gè)相等的實(shí)根-二b

A<0o方程有兩個(gè)共軌虛根

求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：

①設(shè)z=X+W（x,yeR）化歸為實(shí)數(shù)方程來解決.

②把z看成一個(gè)未知數(shù)（而不是實(shí)部和虛部兩個(gè)未知數(shù)），用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來變形.

③對(duì)二次方程，直接用一元二次方程的求根公式.

2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

（1）當(dāng)A=/—4ac?0時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根滿足韋達(dá)定理

（2）當(dāng)A=〃—4ac<0時(shí)，方程的兩個(gè)共軟虛數(shù)根%、與，則

x、2（IZ-

—I|2（-b\74ac—bc

=

x{x2-Xx-Xx-|xj=［工J+~°

1/I）

綜上所述，無論方程的判別式4ac的符號(hào)如何，韋達(dá)定理都成立，于是韋達(dá)定理能被推廣到復(fù)數(shù)根的

情況，即實(shí)系數(shù)一元二次方程。/+及+。=0（。、b、?！昊鹎襛wO）的兩個(gè)根與系數(shù)滿足關(guān)系

aa

一、單選題

I.（2024?安徽蕪湖?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z=±l,且三是復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)，貝唯；的值是（）

1

A.V5B.3C.5D.9

2.（2024?北京?三模）已知復(fù)數(shù)l+i=E,則I在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2024?河南?三模）己知關(guān)于x的方程/+2工+3=0的一個(gè)根為x=a+歷（°,6eR）,則/+〃+°=

（）

A.4B.3C.2D.1

4.（2024?河南?三模）已知i為虛數(shù)單位，"2=（）

O-O

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

5.（2024?山東德州?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足：z-i（2+z）=0,貝”=（）

A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i

6.（2024?重慶三模）已知凡beR,（a+i）i=6-2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)2=a+bi的共輾復(fù)數(shù)為（）

A.-2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i

7.（2024?河南鄭州?三模）復(fù)數(shù)z=a+bi（a/eR且awO）,若（l+2i”為純虛數(shù)，貝ij（）

A.a=-2bB.a=2bC.2a=bD.2a=-b

8.（2024?四川遂寧?三模）若復(fù)數(shù)z=￡D（其中aeR,i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z-1在復(fù)平面內(nèi)

3-1

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.（2024?江蘇南通三模）已知z為復(fù)數(shù)，則“z-”是“Z、7”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

10.（2024?山東濰坊?三模）設(shè)復(fù)數(shù)2=5由［8+：］+方是純虛數(shù)，則。的值可以為（）

?！?兀「2023兀-2025兀

A.—B.—C.---------D.--------

4444

_|_7

11.（2024?黑龍江三模）若不7一而，貝”（7T）的虛部為（）

1-1

A.-1B.1C.3D.-3

12.(2024-貴州畢節(jié)三模)若復(fù)數(shù)2滿足(1+尸+15”=312。24-41,則|2|=()

A.1B.5C.7D.25

二、多選題

13.（2024?湖北荊州?三模）已知復(fù)數(shù)z=/-i+（加+i）i（meR）,則下列命題正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則加=±1

B.若z為實(shí)數(shù)，貝l]z=0

C.若Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線歹=2無上，則"7=-1

D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限

14.（2024,河北衡水,三模）復(fù)數(shù)z=cos[e-：]+isine,其中設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸，則

下列說法正確的是（）

A.當(dāng)心;時(shí)」卡坐B.當(dāng)心;時(shí)，…*

C.對(duì)任意處點(diǎn)戶均在第一象限D(zhuǎn).存在。，使得點(diǎn)P在第二象限

15.（2024?福建莆田?三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若z+z=0,貝lj±=iB.若zN=2目，則|z|二2

z

C.若Z]=z,貝|zi=zD.若|z+zJ=0,則句.亍+匕「=0

16.（2024?福建福州■三模）已知復(fù)數(shù)4/2滿足:Z++Z-=4,%-2i|=l,則()

A.㈤的最小值是1B.同的最大值是2

三

C.的最大值是3D.|z「Z21的最大值是4

句

三、填空題

17

17.（2024?山西臨汾?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足：—=2-3i,貝^二_____.

1+1

18.（2024?北京?三模）若手是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)0的值為________.

1-（21

?2024）

19.（2024?河南南陽?三模）若2=-----------，則曰=__________

1-i

20.（2024?安徽馬鞍山?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z-7=2（z+R=4,若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在第一象限,

貝ljz=.

專題02復(fù)數(shù)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，2

共機(jī)復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算2023?新高考I卷，2

高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查，重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的運(yùn)

2024新高考I卷,2

算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算2022?新高考n卷，2

等，難度較低.

復(fù)數(shù)的幾何意義2023新高考n卷,1

復(fù)數(shù)的模2024?新高考II卷，1

’2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，但是需要一些運(yùn)算技巧，否則有些計(jì)算量。II卷考查復(fù)數(shù)的模

的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)考查。復(fù)數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含

義.(2)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法

及其幾何意義、復(fù)數(shù)的模。

試題精講

2

1.(2024新高考I卷-2)若——=l+i,貝!Jz=()

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】c

【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?7~-14-^1=l+-^1=l+i,所以z=l+1^=l-i.

z-1z-1z-11

故選：C.

2.(2024新高考II卷-1)已知z=-l-i,貝卜()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.

［詳解］若Z=T-i,則目=JE+㈠)2=0.

故選：C.

近年真題精選

1.（2022新高考I卷-2）若i（l-z）=l,貝”+彳=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求z+T.

【詳解】由題設(shè)有l(wèi)-z-=3=-i,故z=l+i,故z+三=（l+i）+（l-i）=2,

11

故選：D

1-i_

2.（2023新高考I卷?2）已知2二」^,則2—三=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,再由共輾復(fù)數(shù)的概念得到乙從而解出.

【詳解】因?yàn)?不1-i=%"5=-彳2i=一1.所以-”,1，即ZT.

故選：A.

3.（2022新高考II卷2）（2+2i）（l-2i）=（）

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求（2+2i）（l-2i）.

【詳解】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

4.（2023新高考II卷-1）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因?yàn)椋?+3譏3-1）=3+。-琛=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

必備知識(shí)速記

一、復(fù)數(shù)的概念

(1)1叫虛數(shù)單位，滿足『=一1,當(dāng)左eZ時(shí)，嚴(yán)=1,產(chǎn)+1=7-，泮+2=-1,嚴(yán)+3=-j.

(2)形如.+歷(a,beR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作。+初eC.

①復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6eR)與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,6)一—對(duì)應(yīng)，.叫z的實(shí)部,6叫z的虛部；6=0=zeR,Z

點(diǎn)組成實(shí)軸；方大0/叫虛數(shù)；6/0且a=0,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸(不包括原點(diǎn)).兩個(gè)實(shí)

部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共輾復(fù)數(shù).

a=c

②兩個(gè)復(fù)數(shù)a+"c+山(”也。,〃€火)相等0匕,(兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn))

b=a

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)。+方?(見6￡K)的模，也就是向量了彳的模，即有向線段。彳的長度，其計(jì)算公式為

|zga+初|=+廿,顯然，|z\=\a-bi+Z?2,z-z=a2+Z?2.

二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則

1、復(fù)數(shù)運(yùn)算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(2)(Q+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)'(a-bi)=z-z=a2+b2=|z/

v(注意z2=|z『)

z+z=2。

其中|2|=」片+廿,叫z的模；3=a-從是z=a+歷的共輾復(fù)數(shù)Q6eR).

(3)a+bi_(a+bi)?(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i2+屋力0)

c+di(c+di)?(c-di)c2+d2

實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)塞運(yùn)算法則)都適用于復(fù)數(shù).

注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

以復(fù)數(shù)百且分別對(duì)應(yīng)的向量函，區(qū)為鄰邊作平行四邊形0Z|ZZz，對(duì)角線oz表示的向量。2就是復(fù)數(shù)

Z]+Z?所對(duì)應(yīng)的向量.Z]-Z2對(duì)應(yīng)的向量是44.

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b);

(2)復(fù)數(shù)z=Q+研生b￡R)對(duì)應(yīng)平面向量Oz;

（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).

（4）復(fù)數(shù)z=a+bi{a,beR）的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a,b）到原點(diǎn)的距離.

三、實(shí)系數(shù)一元二次方程

1、實(shí)系數(shù)一元二次方程辦2+區(qū)+。=0伍,“。€氏4/0）中的八=〃—4℃為根的判別式，那么

-b+yjb2-4ac

(1)A>0o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根

2a

（2）A=00方程有兩個(gè)相等的實(shí)根-2；

2a

（3）A<0O方程有兩個(gè)共朝虛根』士"上”上,

2a

求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：

①設(shè)z=x+yi（x,jeR）化歸為實(shí)數(shù)方程來解決.

②把z看成一個(gè)未知數(shù)（而不是實(shí)部和虛部兩個(gè)未知數(shù)），用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來變形.

③對(duì)二次方程，直接用一元二次方程的求根公式.

2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

(1)當(dāng)公=尸—4ac20時(shí),方程的兩個(gè)實(shí)根滿足韋達(dá)定理

bc

X]+%----，X^2——

aa

(2)當(dāng)A=/—<0時(shí),

4QC方程的兩個(gè)共軌虛數(shù)根再、x2,則

—b

x+x=再+%]=2Re再=——

x2a

2

y]4ac-bC

XrX2=X].X]=歸

2aa

綜上所述，無論方程的判別式〃—4ac的符號(hào)如何，韋達(dá)定理都成立，于是韋達(dá)定理能被推廣到復(fù)數(shù)根的

情況，即實(shí)系數(shù)一元二次方程辦2+區(qū)+。=0（a、b、ceR且awO）的兩個(gè)根與系數(shù)滿足關(guān)系

bc

西+馬二---，石12——

aa

一、單選題

1.（2024?安徽蕪湖?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z=±l,且三是復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)，貝建。的值是（）

1

A.V5B.3C.5D.9

【答案】C

【分析】先化簡復(fù)數(shù)2,再求出最后得解.

【詳解】；z="=2+i,

1

:.z=2-1,

.?.zN=（2+i）（2-i）=5.

故選:C

2.（2024?北京?三模）已知復(fù)數(shù)l+i=R,則［在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及共甄復(fù)數(shù)的定義得到z=即可求出結(jié)果.

■、*心、?4i—2/日笈［i—2（—2+i）（l—i）13.

【詳解】由1+1=—，得至!|z=L=^——--=--+-1,

z1+1222

1313

所以2=-5一字，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（-5，-5），

故選：c.

3.（2024?河南?三模）已知關(guān)于x的方程Y+2x+3=0的一個(gè)根為x=a+6i（a,6eR）,則

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】解復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程可得。及〃的值即可得解.

【詳解】由，+2x+3=0可得X=一2±」2212一±瓜

2

故4=-1,/=（土收）=2,即Q?+/+Q=1+2-1=2.

故選：C.

4.（2024?河南?三模）已知i為虛數(shù)單位，"*=（）

（1-iX

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算化簡即可.

0+i)3(W)2i(l+i)

【詳解】--------=-----------------=-----------=-1—1

(1-i)2-2i-2i

故選:D

5.（2024?山東德州?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足：z-i（2+z）=0,則2=)

A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i

【答案】B

【分析】由已知可得z=3,計(jì)算即可.

【詳解】由z-i(2+z)=o,可得(l-i)z=2i,

2i=加+D-_]+]

所以z=

1-i(l-i)(l+i)

故選：B.

6.（2024?重慶?三模）已知a/eR,（a+i）i=6-2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=a+歷的共輾復(fù)數(shù)為（）

A.-2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i

【答案】A

【分析】先利用復(fù)數(shù)相等求出。力，再由共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)概念即可求解.

【詳解】因?yàn)椋╝+i）i=ai+F=-1+ai=b-2i,

所以a=_2,6=T,故z=a+6i=_2—i,

所以復(fù)數(shù)2=。+歷的共朝復(fù)數(shù)為三=_2+i，

故選：A.

7.（2024?河南鄭州?三模）復(fù)數(shù)z="+bi（a,beR且"0）,若（l+2i）I為純虛數(shù)，貝lj（）

A.a=-2bB.a=2bC.2a=bD.2a=-b

【答案】A

【分析】求出0+2iR,根據(jù)（l+2i）7為純虛數(shù)即可求解.

[詳解](1+2i)彳=(1+2i)(a—?dú)v)=a+26+(2a—6)i,

因?yàn)椋╨+2i）7為純虛數(shù)，所以a+2b=0,2a-b*0,

所以。=-26.

故選：A.

8.（2024?四川遂寧?三模）若復(fù)數(shù)z==（其中aeR,i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z-l在復(fù)平面內(nèi)

3-1

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z,結(jié)合已知求出。值即可得解.

a+i_(a+i)(3+i)3"1(a+3)i

【詳解】依題意,TJ-(3-i)(3+i)-10+10

［3（2—1=011

由z為純虛數(shù)，得。八，解得復(fù)數(shù)z-l=-l+wi,

所以復(fù)數(shù)z-l在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-1,；）位于第二象限.

故選：B

9.（2024?江蘇南通?三模）已知z為復(fù)數(shù)，則"z=7'是"Z、/”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】A

【分析】正向可得zeR,則正向成立，反向利用待定系數(shù)法計(jì)算即可得。=0或6=0,則必要性不成立.

【詳解】若z=J，貝！JzeR,則z2=r,故充分性成立；

若22=/,設(shè)2=。+加,凡6￡11,貝!Jz2=a2+2Hi—z2=a2-2abi-b2,

則2ab=0,〃=0或6=0,.z與亍不一定相等，則必要性不成立，

則“z6"是”=/"的充分非必要條件，

故選：A

10.（2024?山東濰坊?三模）設(shè)復(fù)數(shù)z=sin［d+；］+2i是純虛數(shù)，則。的值可以為（）

兀c5兀-2023?！?025兀

A.-B.——C.---------D.--------

4444

【答案】c

【分析】根據(jù)題意得到sin，+；］=0,將四個(gè)選項(xiàng)代入檢驗(yàn)，得到答案.

【詳解】由題意得sin［+：］=0,

A選項(xiàng)，當(dāng)夕=2時(shí),sin住+父=1,不合題意，A錯(cuò)誤；

4（44）

B選項(xiàng)，當(dāng)6=當(dāng)時(shí)，sin俘+：〕=-!,不合要求，B錯(cuò)誤；

4I44J

"2023TI.（2023n無）.,,j,十士

C選項(xiàng)，當(dāng)。=一一時(shí)，sm--—+-=sm50n67r=n0,故C正確；

4<44J

D選項(xiàng)，當(dāng)6=型號(hào)時(shí)，sin［空管+力=1,D錯(cuò)誤.

4<44J

故選：C

?7

11.（2024?黑龍江?三模）若7一與，則z（彳-1）的虛部為（）

1-1

A.-1B.1C.3D.-3

【答案】A

【分析】先利用乘法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)z,然后化簡z（7-l）得3-i,即可求出其虛部.

【詳解】因?yàn)檠?i,所以z=-2+l-ii=-l+i,所以7=_1T,

1-1

所以z傳-l）=（_l+i）（-2-i）=3-i,貝！|ze-l）的虛部為_1.

故選：A

12.（2024?貴州畢節(jié)三模）若復(fù)數(shù)z滿足（l+i2+i）z=3i2°24-4i,則[z|=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡即可求出z=-4-3i,再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.

【詳解】因?yàn)椋?+肝+戶”=3干4一不，貝！|（l-l+ibz=3-4i,

故選：B.

二、多選題

13.（2024?湖北荊州三模）已知復(fù)數(shù)2=病一i+（"+i）i（機(jī)eR）,則下列命題正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則加=±1

B.若z為實(shí)數(shù)，則z=0

C.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上，則以=-1

D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限

【答案】BD

【分析】首先得到復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求出參數(shù)的值，即可判斷A、B,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何

意義判斷C、D.

【詳解】復(fù)數(shù)2=/-1+（加+）（加€2的實(shí)部為加2_1,虛部為%+1,

復(fù)數(shù)？在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（蘇+,

2

（m_]=（]

對(duì)于A：若z為純虛數(shù)，貝！|[二，解得加=1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若z為實(shí)數(shù)，則加+1=0,解得加=-1,則z=0,故B正確；

對(duì)于C：若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=2x上，

所以+1=解得以=_1或加故c錯(cuò)誤；

m-1<0-1<m<1

對(duì)于D：令?,不等式組無解,

m+1<0

所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限，故D正確.

故選:BD.

14.（2024?河北衡水?三模）復(fù)數(shù)z=cos]e-：j+isin6>,其中設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸，則

下列說法正確的是（）

JT

A.當(dāng)8時(shí),

C.對(duì)任意凡點(diǎn)尸均在第一象限D(zhuǎn).存在。，使得點(diǎn)P在第二象限

【答案】AC

【分析】當(dāng)時(shí)，代入計(jì)算可判斷A、B；由0<。<]判斷z的實(shí)部和虛部范圍可判斷C、D.

42

【詳解】當(dāng)。=:時(shí)，z=l+^i,故目=

，故A選項(xiàng)正確;

z=l-^i,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2

當(dāng)0<6<；時(shí),<0-^<<cos<1,0<sin0<1,

故對(duì)任意。，點(diǎn)尸均在第一象限，故C選項(xiàng)正確；

不存在凡使得點(diǎn)P在第二象限，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

15.（2024?福建莆田?三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若z+』=0,則三=iB.若zN=2目，則忖=2

z

C.若Z]=Z,貝|JZ]=2D.若|z+zj=o,貝I]Z[N+]z「=0

【答案】BCD

【分析】利用共軌復(fù)數(shù)的定義可判定A、C,利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則結(jié)合模長公式可判定B、D.

【詳解】對(duì)于A,由z+』=0,得三=-1,則A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,因?yàn)閦N=，，所以，=2|z|,解得忖=2或目=0（舍去），則B正確.

對(duì)于C,設(shè)z=a+6i（a,6eR,且abwO）,

則Z]=z=a-6i,所以Z]=a+6i=z,則C正確.

對(duì)于D,由|z+Z||=0,得Z]=-z

設(shè)z=a+bi(a,beR,且,則4?z=-z?z=-("+〃)，

|z|2=a2+b2,從而4?彳+匕『=0,則D正確.

故選：BCD

16.(2024?福建福州三模)已知復(fù)數(shù)滿足：上+6|+卜-6卜4,民-&=1,則()

A.㈤的最小值是1B.目的最大值是2

C.2的最大值是3D.歸I2|的最大值是4

zi一

【答案】ABC

【分析】對(duì)于A,設(shè)z=a+6i，z=c+di,依題意可得02+(d一2『=1,可知復(fù)數(shù)z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸在以C(0,2)

為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可判斷A；對(duì)于B,根據(jù)題意可得

^(a+^+b2+^a~y/3)2+b2=4,表示復(fù)數(shù)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。在以上6,0)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上，

根據(jù)圖形和同=團(tuán)可判斷B；對(duì)于C,根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模公式證明三=三，結(jié)合圖形求得

句句

1<|Z||<2,1<|Z2|<3,然后可判斷C；對(duì)于D,根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知?dú)w—2月尸0|,結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化

為求+1的最值，根據(jù)點(diǎn)尸在橢圓;+/=1上，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.

【詳解】設(shè)Z]=〃+歷/2=c+di,a,瓦c,dER,

對(duì)于A,因?yàn)?_21=卜+(4_2川=1,所以/+(d-2)2=l,

所以，復(fù)數(shù)Z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P在以C(0,2)為圓心，1為半徑的圓上，

由圖可知，點(diǎn)尸到原點(diǎn)的最小距離為1,即㈤的最小值是1,A正確；

對(duì)于B,因?yàn)椴?甸+,一碼=J(a+V3)2+Z>2+J(a-V3)2+Z>2=4,

所以，復(fù)數(shù)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。在以上6,0)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上，

由橢圓幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)。到原點(diǎn)的最大距離為2,即㈤的最大值為2,

又同=|聾|,所以同的最大值是2,B正確；

c+diac+bdad-be.

對(duì)于c,因?yàn)?/p>

4a