2025屆高三數(shù)學一輪復習平面向量知識點總結

平面向量知識點復習

平面向量基礎復習一基本概念與線性運算

1.向量：既有又有的量叫做向量.

數(shù)量：只有沒有的量稱為數(shù)量.

2.向量的表示.

（1）幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向

線段的方向表示向量的方向.

（2）字母表示：向量可以用字母a,b,c,-表示（印刷用黑體a,b,c,書寫時

用a,b,c）.

3.模、零向量、單位向量.

向量AB的大小，稱為向量AB的長度（或稱模），記作________________./P（終點）

長度為的向量叫做零向量，記作；/

長度等于_______________個單位長度的向量，叫做單位向量./.

3起點）

把平面上的一切單位向量平移到共同的起點，那么這些向量的終點所構成圖形

是.

拓展到空間，把一切單位向量平移到共同的起點，那么這些向量的終點所構成圖形

是.

4.平行向量：方向的向量叫做平行向量.

（1）記法：向量江與B平行，記作.

（2）規(guī)定：零向量與任意向量________________.

由于任一組平行向量都可以平移到同直線上，所以平行向量也叫

做向量.要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的

平行和共線相混淆.

5.相等向量：長度_____________,且方向的向量叫做相等向量，記作

a=b.

6.相反向量：與向量a長度,方向的向量，叫做a

的向量，記作一本

7.向量的夾角

己知兩個非零向量a,b,0是平面上的任意一點，作OA=a,OB=b,

則=0（0°<9<180°）叫做向量石與另的夾角.

向量夾角9的范圍是,2與3同向時，夾角為；

a與b反向時，夾角為.

8.加法、減法、數(shù)乘（線性運算）

加法：以同一點。為起點的兩個已知向量出3,以。力,0B為鄰邊作平行四邊形OACB,

則以。為起點的向量OCCOC是平行四邊形04cB的對角線）就是向量N與3的

和.把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的法

則.歸納口訣為"共起點、對角線

已知非零向量a,b,在平面內(nèi)取任意一點4作AB=a,~BC=b,

則向量AC叫做日與另的和，記作a+b,即a+b=AB+BC=

AC.求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.這種求向量和的方法，稱

為向量加法的法則.

減法：

定義：向量a加上b的相反向量，叫做,與另的差，即d-b=a+（-ft）,

因此減去一個向量，相當于加上這個向量的向量，求兩個向

量_______________的運算，叫做向量的減法.

幾何意義：在平面內(nèi)任取一點。，作市=出OB=b,則向量a-b=BA,如圖

所示.

文字敘述：如果把兩個向量的.放在一起，那么

這兩個向量的差是以減向量的終點為____,被減向量

的終點為的向量.

數(shù)乘：

一般地，我們規(guī)定實數(shù)A與向量a的積是一個,這種運算

叫做向量的,記作,其長度與方向規(guī)定如下:

（1）Ua|=；

當.,時，與a的方向相同,

(2)Aa(a0)的方向:

當時，與d的方向相反.

特別地，當4=0時，Aa=；當4=-1時，（-1/=-a.

基礎練習：

1.如圖，。是正4ABC的中心，四邊形AOCD和四邊形AOBE均為

平行四邊形，則與DA相等的向量為,與OA平行

的向量為,與OA的模相等的向量

為.（均填圖中所畫出的向量）

2.在等邊三角形ABC中，向量四與近的夾角為

3,"a=必是？〃必的條件.

4.兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的條件.

5.若3為非零向量，AB=3e,CD=-5e,且\AD\=[BC\,則四邊形ABCD的形狀

是.

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，。是4C和BD的交點.

(1)AB+AD=；

(2)AC+CD+D0=；

(3)AB+AD+CD=；

(4)AC+BA+DA=.

7.如圖所示，0為正六邊形ABCDEF的中心，化簡下列向量.

(1)OA+OC=；

(2)~BC+~FE；

(3)OA+RE.

8.設E是平行四邊形ABCD外一點，如圖所示，化簡下列各式

(1)~DE+~EA=；

(2)~BE+AB+~EA=；

(3)~DE+CB+EC=；

(4)BA+DB+EC+AE=______________

9.在4ABe中，若|屈||前|=|荏一前I，

是________________

10.設兩個非零向量a與b不共線.若ka-\-b與a+kb共線，則

k=________________

11.若屈=3CD,則直線AB與直線CD的位置關系為.

12.已知a=2瓦—3葭,b=-6瓦*+4武，貝|—3a+2坂=

13.如圖，已知向量a,b,求作向量d+b.

14.如圖所示，已知向量a,b,c,df求作向量a-b,

c-d.

b

15.如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1,AB^a,BC^b,ACc,求:

(1)|a+b+c|；

16.已知a,b是兩個不共線的向量，設詬=j0+5&，BC=-2a+8b,

而=3值一均，則共線的三點是()

A.A,B,DB,A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

17.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為BC的中點，麗=2而，若AF=xAB+

18.如圖，設G為AABC的重心，過G的直線I分別交AB,4c于P,Q,若而=

m屈，AQ=nAC,求證：5+：=3?

BC

平面向量基礎復習二數(shù)量積與坐標運算

1.向量的數(shù)量積.

如果兩個非零向量a,b的夾角為0(O<0<n),那么我們把—叫做

向量a與向量b的數(shù)量積，記作a-b,即a.■b=\a\\b\cosd.

特別地，a-a簡記為a2.

規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0.

2.向量數(shù)量積的性質(zhì)

設2,3是非零向量，它們的夾角是e,e是與b方向相同的單位向量，則

(1)a-e=e-a.=|d|cos0.

(2)aT1I57*=___________

\a\\b\,N與I同向

當a//b時，a.-b—

、-|由回,a與3反向

特別地，a-d=\d\2或|a|=VI7!

(4)\a-b\\a\\b\.

(5)cos0=^

3.平面向量數(shù)量積的幾何意義.

設a,3是兩個非零向量，它們的夾角是e,3是與3方向相同的單位向量,

AB=a,CD=b,過荏的起點A和終點B,分別作CD所在直線的垂線，

垂足分別為A，Bi，得到不瓦，我們稱上述變換為向量N向向量

b,不瓦叫做向量a在向量b上的.記

為.

4.一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.

已知4(*1，yj,8(>2,%)，則荏=?

5.平面向量數(shù)量積的有關結論.

己知非零向量a=(%i，yi),b=(x2,y2)>2與3的夾角為9.

幾何表示坐標表示

數(shù)量積aub=\a\\b\cos0a-b=_______

模\a\=______\a\=________

夾角cos0=______cos0=__________

a_Lb的充

ab=0

要條件

,。與

|xiX2+yi”|W

同例的關k?姻MM

4(x彳+")便+只)

系

基礎練習：

1.在Rt△ABC中，ZC=90°,AC=4,貝!|荏?正等于（）

A.-16B.-8C.8D.16

2.設向量a,b,c滿足d+b+c=0,aA.b,|a|=1,|b|=2,則|c|2=（）

A.1B.2C,4D.5

3.已知I瓦5|=2E，I礪|=2,向量次，OB的夾角為30°,則以04,OB為鄰邊

的平行四邊形的兩條對角線中，較短一條的長度為（）

A.10B.V10C.2D.22

4.若向量五,，b的夾角為60°,\b\=4,(a+2b)■(a-3h)=—72,則同—(

A.2B.4C.6D.12

5.若向量a,b滿足：iai=1,(a+b)1d,(2a+13,則1b|=()

V2

A.2B.V2C.1D.

2

6.若㈤=3,同=2,a-b=5,貝（J江與石夾角的余弦值為.

7.若向量a,b滿足|3|=魚，\b\=l,a-（a+fe）=1,則向量a,b的夾角的大小

為.

8.在等腰AABC中，4=120。，則向量荏與方的夾角為.

9.已知向量N與3的夾角為30。,冏=遮，m=1,則|d+B|=

10.已知|a|=3,\b\=4,它們的夾角為150。，則a-b=.

11.已知口|=3,同=5,a-b=12,則向量a在向量b上的投影向量

為.

12.已知a是單位向量，向量質(zhì)另力菊滿足石-Z與己所成的角為60°,則回的

取值范圍是.

13.如圖，扇形的半徑為1,且就，礪，點C在弧AB上運動，

若擊=xOA+yOB,貝I2x+y的最小值是.

14.在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶

來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團的91朵“小雪花"匯聚成一朵代表全人

類"一起走向未來"的"大雪花"的意境驚艷了全世界，順次連接圖中各頂點可近似得到

正六邊ABCDEF.已知正六邊形的邊長為1,點P是其內(nèi)部一點（包含邊界），則

AP-AB的最大值是

15.設向量a=(1,0),b=Q,|),則下列結論中正確的是()

A.|a|=|b|B.a-b=-^

C.五一B與b垂直D.d//b

16.已知向量AB=(2,4),AC=(0,2),則|fiC等于()

A.(-2,-2)B.(2,2)

C.(1,1)D.(-1,-1)

17.已知向量a=b=(2,2),且a+另與江共線，那么a-b的值為()

A.1B.2C,3D.4

18.已知向量a=(1,3),b—(3,4),若(N—Zb)1b,則2=