高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與專項訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-單調(diào)性、極值、最值題型戰(zhàn)法

第三章導(dǎo)數(shù)

3.2.1導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-單調(diào)性、極值、最值(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一求函數(shù)的單調(diào)性

一般地，從函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系；

函數(shù)/(%)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)/⑴正負(fù)的關(guān)系定義在區(qū)間份內(nèi)的函數(shù)y=/(%)：

/'(X)正負(fù)/(X)單調(diào)性

尸(x)>。單調(diào)遞增

r(x)＜。單調(diào)遞減

二求函數(shù)的極值

1.極值點與極值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為D,設(shè)xoGD,如果對于欣附近的任意不同于xo的x,都有

(1)?￥)<“TO),則稱X0為函數(shù)/(X)的一個極大值點，且/(X)在X0處取極大值；

(2)兀0>式次)，則稱X0為函數(shù)而0的一個極小值點，且40在出處取極小值.

極大值點與極小值點都稱為極值點,極大值與極小值都稱為極值.顯然，極大值點在其附近函數(shù)值

最大，極小值點在其附近函數(shù)值最小.

2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值

(1)極小值點與極小值

若函數(shù)y=/(x)在點的函數(shù)值/(a)比它在點附近其他點的函數(shù)值都小，/,(a)=0,而且在

點x=a附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,就把點a叫做函數(shù)y=/(x)的極小值點，/(a)叫做函數(shù)

y=/(x)的極小值.

(2)極大值點與極大值

若函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值/3)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f'(b)=O,而且在

點x=b附近的左側(cè)廣(x)>0,右側(cè)/(x)<0,就把點b叫做函數(shù)y=/(x)的極大值點，/(&)叫做函

數(shù)y=/(x)的極大值.

(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.

三求函數(shù)的最值

1.函數(shù)的最值

(1)一般地，如果函數(shù)y=Ax)在定義域內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，且函數(shù)存在最值，則函數(shù)的最值點一定是某個極

值點；

(2)如果函數(shù)＞=式無)的定義域為［a,b］且存在最值，函數(shù)y=/(x)在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，那么函數(shù)的最值點要么是

極值點，要么是區(qū)間端點a或A

2.求函數(shù)，(x)在閉區(qū)間［a,切上的最值的步驟

(1)求函數(shù)＞=/(尤)在區(qū)間(a,6)上的極值；

(2)將函數(shù)＞=/(尤)的各極值與端點處的函數(shù)值/(a),/S)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最

小直

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

典例1.函數(shù)＞=的單調(diào)遞增區(qū)間是()

X

A.UB.(e,+8)C.1o,jD.

(O'e)

變式1-1.已知函數(shù)則函數(shù)〃元)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A-「8,-彳)

JHTJB.7

C.(0,用D.隹+8

變式12函數(shù)/(x)=Y—3d+i的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-00,0)B.(0,2)C.(2,+oo)D.(-co,0)u(2,+oo)

變式1-3.函數(shù)W苫?.二的遞增區(qū)間是()

A.(0,2)B.

C.(-8,0),(2,+8)D.(-0),0)(2,-H?)

變式1-4.函數(shù)y=J的單調(diào)減區(qū)間是()

X

A.(-?,1]B.(l,+t?)

C.(0,1]D.(一8,0)和(0』

題型戰(zhàn)法二由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

典例2.若函數(shù)〃x)=ar+cosx在(-oo,+w)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1,1)B.[1,+8)C.(-1,+oo)D.(-1,0)

變式2-1.若函數(shù)/(x)=ln(x+l)-儂在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.B.y,T)C.(1,+°°)D.[1,+<?)

變式22若函數(shù)/(力=-丁-2依+3的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2),求。的取值范圍()

A.-6B.6C.6或一6D.(-6,6)

變式2-3.若函數(shù)〃幻=(一一3一4卜，在區(qū)間(-2,0)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[1,+<?)B.[0,+co)

C.(一8,。]D.(YO,1]

變式2-4.若函數(shù)"x)=lnx+"2_2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是()

1

A.(一8,一2)B.—,+ooC.(-2,+oo)D.(-8,+8)

8

題型戰(zhàn)法三含參的單調(diào)性討論(一根型)

典例3.設(shè)函數(shù)〃x)=e，-取-2,求例X)的單調(diào)區(qū)間.

變式3-1.已知函數(shù)〃力=葭+".討論了⑺的單調(diào)性;

變式32已知函數(shù)/已)=e，+(r+l)x(祇eR),討論外力的單調(diào)性.

k

變式33已知函數(shù)〃同=：-111-比丘R,討論函數(shù)/a)在區(qū)間(l,e)內(nèi)的單調(diào)性;

變式3-4.已知函數(shù)7■(x)=lnx+〃a,其中根eR,討論了⑴的單調(diào)性;

題型戰(zhàn)法四含參的單調(diào)性討論（二根型）

典例4.設(shè)函數(shù)其中aeR.討論的單調(diào)性.

變式4-1.已知函數(shù)〃尤）=gf-alnx-ax（a>0）,討論的單調(diào)性;

變式4-2.已知函數(shù)/（無）=aln尤+；/-（1+。）無，求函數(shù)“x）的單調(diào)區(qū)間;

變式4-3.設(shè)函數(shù)/（尤）=x2+（a-2）x-aln尤（aeR）,討論函數(shù)人》的單調(diào)性.

變式4-4.已知函數(shù)/。）=巴￡+出加，aeR.若“<e,求函數(shù)/⑺的單調(diào)區(qū)間.

X

題型戰(zhàn)法五求函數(shù)的極值點、極值

典例5.函數(shù)>=片3-2工+2的極小值點是()

O

214

A.2B.(2,--)C.-2D.(-2,y)

變式5-1.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=xe\則

A.1是f(x)的極小值點B.-1是f(x)的極小值點

C.1是f(x)的極大值點D.-1是f(x)的極大值點

變式5-2.函數(shù)y=x+](x<0)的極大值為()

A.-2B.2C.D.不存在

變式5-3.函數(shù)'=/_3犬—9x(—2<x<2)有()

A.極大值為5,無極小值B.極小值為-27,無極大值

C.極大值為5,極小值為-27D.極大值為5,極小值為-11

變式5-4.已知函數(shù)/(%)=爐-8x+61nx+l,則f(x)的極大值為()

A.10B.-6C.-7D.0

題型戰(zhàn)法六由函數(shù)的極值點'極值求參數(shù)

典例6.若函數(shù)/0)=1+"在％=-1處有極值，則()

A.ci=_1B.Q=

e

C.〃=一?D.4不存在

變式6-1.若x=1是函數(shù)/(%)=aln%+%的極值點，貝心的值是()

A.-1B.0C.1D.e

變式6-2.已知函數(shù)〃x）=M尤-of,在x=2處取得極大值，則實數(shù)c的值是

2

A.-B.2C.2或6D.6

變式6-3.已知負(fù)x）=gl+m—沒有極值，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[0,1]B.（-00,O]U[1,+oo）C.[0,2]D.（—oo,0]U[2,+oo）

變式6-4.若函數(shù)/（x）=x2-2x+alnx有兩個不同的極值點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.〃〉一B.—<Q<0C.—D.0<tz<—

2222

題型戰(zhàn)法七求函數(shù)的最值

典例7.函數(shù)/。）=三-3》+1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是（）

A.1,-1B.1,-17

C.3,-17D.9,19

變式7-1.函數(shù)/'（x）=lnx-x在（0,e]上的最大值為（）

A.-1B.1C.0D.e

變式7-2.函數(shù)〃力=丁-3》在區(qū)間[T2]上的最大值和最小值分別為（）

A.2和一2B.2和0C.0和-2D.1和0

JT

變式7-3.已知函數(shù)/'（x）=f+2sinx,xe0,-,則函數(shù)"尤）的最大值為（）

71

A.0B.2——

2

C.6.工D.g一￡

36

變式7-4.函數(shù)y=x+sinx在［0,句上的最大值為()

TT

A.—F1B.71C.71D.乃+1

2

題型戰(zhàn)法八由函數(shù)的最值求參數(shù)

17

典例8.函數(shù)/")=§_?+尤2-§在區(qū)間(a,q+3)內(nèi)既存在最大值也存在最小值，則a的取值范圍(

A.(-3,-2)B.(-3,-1)C.(-2,-1)D.(-2,0)

變式8-1.函數(shù)f(x)=x3-x2_x+a在區(qū)間［0,2］上的最大值是3,則。的值為()

A.3B.1

C.2D.-1

變式8-2.當(dāng)x=l時，函數(shù)/(x)=alnx+2取得最大值一2,則式⑵=()

X

A.—1B.—C.；D.1

22

變式8-3.函數(shù)小)=獷-而無，若小)在(0,9上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,+動B.(0,1)C.(fO)D.(-1,0)

變式8-4.函數(shù)/(耳=丁-3x在區(qū)間(-2,機(jī))上有最大值，則用的取值范圍是()

A.1,A/3jB.(T，3］

C.(-1,?D.(-1,2］

第三章導(dǎo)數(shù)

3.2.1導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-單調(diào)性、極值、最值(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一求函數(shù)的單調(diào)性

一般地，從函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系；

函數(shù)/'(X)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)/(無)正負(fù)的關(guān)系定義在區(qū)間(a,6)內(nèi)的函數(shù)y=f(x)：

f'(x)正負(fù)/(X)單調(diào)性

m>o單調(diào)遞增

m<o單調(diào)遞減

二求函數(shù)的極值

1.極值點與極值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為。，設(shè)xodD,如果對于xo附近的任意不同于xo

的x,都有

(1)Xx)</(xo),則稱尤0為函數(shù)7U)的一個極大值點，且_/U)在X0處取極大值；

(2)則稱X0為函數(shù)“￥)的一個極小值點，且/(X)在X0處取極小值.

極大值點與極小值點都稱為極值點,極大值與極小值都稱為極值.顯然，極大值點在

其附近函數(shù)值最大，極小值點在其附近函數(shù)值最小.

2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值

(1)極小值點與極小值

若函數(shù)y=/(%)在點x=。的函數(shù)值/(<2)比它在點x=。附近其他點的函數(shù)值都小,r(a)

=0,而且在點x=a附近的左側(cè)廣(x)<0,右側(cè)/'Q)>0,就把點。叫做函數(shù)y=/(x)

的極小值點，/3)叫做函數(shù)y=/(%)的極小值.

(2)極大值點與極大值

若函數(shù)y=/(x)在點x=b的函數(shù)值/(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,廣(份

=0,而且在點x=b附近的左側(cè)r(x)>0,右側(cè)r(x)<0,就把點b叫做函數(shù)y=/(x)

的極大值點，于(b)叫做函數(shù)y=/(x)的極大值.

(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.

三求函數(shù)的最值

1.函數(shù)的最值

(1)一般地，如果函數(shù)y=/U)在定義域內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，且函數(shù)存在最值，則函數(shù)的最值

點一定是某個極值點；

(2)如果函數(shù)y=/(x)的定義域為［a,b］且存在最值，函數(shù)y=/(x)在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，那么函數(shù)

的最值點要么是極值點，要么是區(qū)間端點?；駻

2.求函數(shù)/(%)在閉區(qū)間團(tuán)，加上的最值的步驟

⑴求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)上的極值；

(2)將函數(shù)y=/(x)的各極值與端點處的函數(shù)值/(a),/(b)比較，其中最大的一個是最大值，

最小的一個是最小值.

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

典例1.函數(shù)y=上士的單調(diào)遞增區(qū)間是()

X

A.100，：)B.(e,+℃)C.UD.(0,e)

【答案】D

【解析】

【分析】

求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到結(jié)果.

【詳解】

由題意得：函數(shù)>=皿的定義域為(0,+必)，y'=L及，

XX

.,.當(dāng)xe(0,e)時,/>0；當(dāng)xe(e,+oo)時,/<0；

.?一=(的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e).

故選：D.

變式1-1.已知函數(shù)〃尤)=lnx-則函數(shù)/("的單調(diào)遞增區(qū)間為()

d

c［。曰-

【答案】c

【解析】

【分析】

判斷定義域，求導(dǎo)函數(shù)，分析/'(力＞0的解，從而得單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】

定義域為(0,+8),/,(x)=--2x=-2r+1=0,

XX

解得彳=孝，當(dāng)/'(x)＞0時，0＜尤＜手，

所以〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0..

故選：C

變式12函數(shù)〃司=解_3寸+1的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-00,0)B.(0,2)C.(2,+oo)D.(F,0)D(2,+S)

【答案】B

【解析】

【分析】

求出尸(x),由尸(力＜0解出不等式可得答案.

【詳解】

6x=3x(x-2),由/'(x)＜0,解得0cx＜2

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)

故選：B

變式1-3.函數(shù)＞=/「的遞增區(qū)間是()

A.(0,2)B.(7,0)

C.(-℃,0),(2,+00)D.(-00,0)(2,+00)

【答案】A

【解析】

【分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/（x）=r（:12）,令廣（同＞0,即可求解函數(shù)的遞增區(qū)間.

【詳解】

由題意，函數(shù)〃力=/.1=《，可得/（司=一牛2）,

ee

令/'（x）＞。，即%（九一2）＜0,解得0＜xv2,

所以函數(shù)尸爐.二的遞增區(qū)間是（0,2）.

故選：A.

變式1-4.函數(shù)y=h的單調(diào)減區(qū)間是（）

X

A.B.（1,+℃）

C.（0,1]D.（一8,0）和（0』

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而令導(dǎo)函數(shù)小于0,最后求得答案.

【詳解】

由題意，X6（^＞,O）U（O,4W）,令y，＜0,解得：X＜1且XR0,即該函數(shù)

的減區(qū)間為（9,0）,（0』）,也可為（F,0）,（?！筣.

故選：D.

題型戰(zhàn)法二由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

典例2.若函數(shù)〃x）=Q+cos尤在（-co,4w）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-1,1）B.[1,包）C.（-1,+oo）D.（-1,0）

【答案】B

【解析】

【分析】

問題轉(zhuǎn)化為。上sinx在（-oo,yo）上恒成立，求出y=sinxw[-l,l],從而求出實數(shù)。的取

值范圍.

【詳解】

f'(x)=a-smx,由題意得：/(x)=a-sinx>0,

即a2sin尤在(-00,+?)上恒成立，

因為y=sinxe[-l,l],所以aZl恒成立，故實數(shù)a的取值范圍是[1,+8).

故選：B

變式2-1.若函數(shù)7'(x)=ln(x+l)-M在區(qū)間(0,+◎上單調(diào)遞減，則實數(shù)機(jī)的取值范圍

是()

A.(-co,-l|B.S,T)C.(1,+℃)D.[1,+℃)

【答案】D

【解析】

【分析】

函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，則導(dǎo)函數(shù)/(x)W0在區(qū)間(0,+8)上恒成立,分離參

數(shù)，即可求解.

【詳解】

解：/(%)=ln(x+V)-mx,f\x)=-m,貝!]/'(x)=<0在(0,+功上恒成立，即

機(jī)2」^恒成立，又〉=」7在(°，+°°)上單調(diào)遞減，故

x+1x+1x+1

所以機(jī)“，當(dāng)機(jī)=1時，導(dǎo)數(shù)不恒為0,

故選：D.

變式2-2.若函數(shù)"x)=f3_2依+3的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2),求。的取值范圍()

A.-6B.6C.6或一6D.(-6,6)

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意知八2)=T2-2a=0,解得。=-6,再檢驗單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2)即可

【詳解】

由題意知：f(x)=-3x2-2a,又單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2),f'(2)=-12-2a=0,解得

a=-6.

止匕時八x)=-3/+12,令((x)>0,解得xw(-2,2),即單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,2).

故選：A.

變式2-3.若函數(shù)〃》)=(尤2-奴-a)e，在區(qū)間(-2,0)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)”的取值范圍

是()

A.[1,+<?)B.[0,+8)

C.(-8,0]D.(-℃』]

【答案】B

【解析】

【分析】

求危)的導(dǎo)數(shù)制x),原問題等價于1f(x)V0在(-2,0)上恒成立，據(jù)此即可求出。的范

圍.

【詳解】

〃x)=(X?-ax—a^ex,/'(x)=e［尤?+(2—a)x—2a］=e“(x—a)(尤+2),

?.?xW(-2,0)時，er(x+2)>0,

.?.若在(一2,0)內(nèi)單調(diào)遞減，則在(-2,0)上恒成立,

即得aNx在(-2,0)恒成立，a>0.

故選：B.

變式24若函數(shù)/(x)=lnx+ax2-2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)。的

取值范圍是()

A.(-00,-2)B.--,+coC.(-2,+co)D.(-8,+oo)

8

【答案】D

【解析】

【分析】

把題意轉(zhuǎn)化為在上有解，設(shè)g(x)=-止,利用導(dǎo)數(shù)判斷

單調(diào)性，即可求解.

【詳解】

由/(%)=lnx+a%2_2可得：fr(x)=—+2ajc,

x

因為函數(shù)/(%)=lnx+a?-2在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,

所以八尤)>。在xe］；/上有解，即a>一止在上有解.

設(shè)g(尤)=-,由g'(x)=x-3>0在上恒成立，所以g(x)在

單調(diào)遞增，所以g12<g(x)<g⑴.

所以"ggJ-8.

故選：D

題型戰(zhàn)法三含參的單調(diào)性討論(一根型)

典例3設(shè)函數(shù)〃x)=e-奴-2,求〃力的單調(diào)區(qū)間.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，分成aV0和a>。兩種情況討論.

【詳解】

“X)的定義域為(-oo,+co),f'(x)=ex-a.

若aVO,則廣(x)>。，所以〃x)在(分，y)上單調(diào)遞增.

若a>0,貝I］當(dāng)xe(-oo』na)時，/(%)<0；當(dāng)xe(lna,+oo)時，/,(x)>0.

所以“尤)在(T°，In。)上單調(diào)遞減，在(Ina,+x)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)“V。時，函數(shù)〃x)在(口，收)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時，/(力在(72,足4)上單調(diào)遞減，在(Ina,*?)上單調(diào)遞增.

變式3-1.已知函數(shù)〃x)=葭+分.討論〃x)的單調(diào)性；

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

對“力求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)定義域，討論“40、a>0時/'(X)的符號，確定的單調(diào)

區(qū)間.

【詳解】

函數(shù)y=/(x)的定義域為R,且/3

①當(dāng)aVO時，/V)<0,函數(shù)>=/(%)在R上單調(diào)遞減;

②當(dāng)。>0時，令尸(無)<0,可得xv—lna；令尸(x)>0,可得x>—Ina,

此時，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(f，Tna),單調(diào)遞增區(qū)間為(-Ina,+8)；

變式32已知函數(shù)〃x)=e'+(/n+l)xWeR),討論〃x)的單調(diào)性.

【答案】答案見解析.

【解析】

【分析】

求?x)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)。的范圍討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)，從而判斷?r)單調(diào)性.

f'^x^-ex+m+l,

當(dāng)〃2+izo,即機(jī)2-1時，r(x)>。,〃尤)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃7+1<0,即m<-1時，

由/'(x)>0,得x>ln(-機(jī)-1),由/'(x)<0,得

〃x)在(ro,ln(-〃zT))上單調(diào)遞減，在(ln(Tw-l),+oo)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)加時，”力在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)機(jī)<-1時，尤)在(-co,ln(Tn-1))上單調(diào)遞減，在(ln(fj-l),+oo)上單調(diào)遞增.

變式3-3.已知函數(shù)〃引=:-10%-左，左eR,討論函數(shù)/(元)在區(qū)間(l,e)內(nèi)的單調(diào)性;

【答案】見解析

【解析】

【分析】

對,(X)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)左的取值范圍分類討論了(X)的單調(diào)性

/(x)=--Inx-A:,keR,xe(1,e)

(I)當(dāng)一左KI,艮|3左2—1時，x-^-k>x-l>Q

/./(x)<0，.二/(%)在(l,e)單調(diào)遞減

(II)當(dāng)-kNe,即上《-e時，x+^<x-e<0

??.廣。)>0,???/(%)在(l,e)單調(diào)遞增

(III)當(dāng)1〈一左ve,即一evVvl時,當(dāng)1<%〈一女時，fr(x)>0,/(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)-左。<e時，/z(x)<0,/(%)單調(diào)遞減

綜上所述，(I)當(dāng)kN-1時，/⑺在Q,e)單調(diào)遞減

（II）當(dāng)左Vy時,/（x）在Qe）單調(diào)遞增

（III）當(dāng)左＜-1時，AM在（1,-外單調(diào)遞增，在（-匕e）單調(diào)遞減

變式3-4.已知函數(shù)/（x）=lnx+〃zx,其中加eR,討論/*）的單調(diào)性;

【答案】當(dāng)“對時，AM在（0,+s）上單調(diào)遞增；

當(dāng)機(jī)＜0時，f（x）在（0,-工］上單調(diào)遞增，在「工,+/上單調(diào)遞減.

VmJ\m）

【解析】

【分析】

:（。=1+"吠（彳＞0），討論機(jī)20或加＜0判斷了（X）的單調(diào)性；

X

當(dāng)心0時，（（無）＞0當(dāng)x＞0恒成立，.??/（X）在（0,+◎上單調(diào)遞增；

當(dāng)機(jī)＜0時，令/'。）＞0,得。＜尤＜一工，令/。）＜0,得天＞-工，

mm

f（x）在（o,-工］上單調(diào)遞增，在+8］上單調(diào)遞減，

VmJ\m）

綜上所述：當(dāng)〃后0時，/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當(dāng)機(jī)＜0時，/（X）在（0,-工）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

\mJ\m）

題型戰(zhàn)法四含參的單調(diào)性討論（二根型）

典例4.設(shè)函數(shù)〃x）=*-a-lnx,其中。eR.討論〃尤）的單調(diào)性.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分公0,。＞0兩種情況討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得出函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】

解：（x）=Zax--=——-（x＞0）.

當(dāng)心0時,/'（力＜0,〃尤）在（0,+功內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)。＞0時，由/'（x）=0,有彳=忐.此時，當(dāng)xe

時,廣（耳＜0,〃x）單調(diào)

遞減;當(dāng)xe+8時，r（x）＞0,〃x）單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)aVO時，〃x）在（0,+動內(nèi)單調(diào)遞減,

/⑺在,女）

當(dāng)a>0時,內(nèi)單調(diào)遞減，在+8單調(diào)遞增.

變式4-1.已知函數(shù)=-alnx-av（a＞0）,討論的單調(diào)性；

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合。＞0,則A＞。，同時注意定義域?qū)ΩM(jìn)行取舍;

（X）=X------CL=_（/_ax_Q）,

令無）=0,x2—ax—a=0.

因為a＞0,貝?。?=4+4々＞0,即原方程有兩根設(shè)為%,%

尤＞0,所以二佇包土也＜0（舍去），“+J/+4”.

1222

e八“Ca+y/a2力,（、八、1/fa+yla2+4tz.力,（、八

貝！J當(dāng)0,----------時，r（x）＜0,當(dāng)---------,+8時，r（x）＞0

\7\7

“X）在［。,”亨上是減函數(shù)，在卜+,：+4。，+/上是增函數(shù).

變式4-2.已知函數(shù)〃x）=41nx+：尤2_0+a）x,求函數(shù)貝幻的單調(diào)區(qū)間；

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

求導(dǎo)數(shù)，然后對。進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)〃x）的單調(diào)區(qū)間;

解：求導(dǎo)可得可（元）=一一一）（x＞0）

X

①"W0時，令尸。）＜0可得X＜1,由于x＞0知0cxe1；令「（x）＞0,得X＞1

函數(shù)Ax）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（Ly）上單調(diào)遞增；

②0＜°＜1時，令尸（無）＜0可得a＜x＜l；令/'。）＞0,得x＞l或x＜a,由于x＞0知

0<x<a或x>l；

函數(shù)“X)在(a,l)上單調(diào)遞減，在(0M),(1,+◎上單調(diào)遞增；

③a=l時，f'(x)>0,函數(shù)>=/(尤)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

④。>1時，令/''(x)<0可得1<無<。；令/(x)>0,得或彳<1,由于無>0知。<x<l

或x>a

函數(shù)在(1M)上單調(diào)遞減，在(0,1),3內(nèi))上單調(diào)遞增；

變式4-3.設(shè)函數(shù)3(x)=wZ+(a-2)x-alnx(aeR),討論函數(shù)〃方的單調(diào)性.

【答案】討論過程見解析.

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合。的不同取值分類討論進(jìn)行求解即可.

由/(x)=x2+(a-2)x-aInx{x>0),

2x2+{a-2)x-a(2x+a)(x-l)

n=2x+(a-2)--=

xx尤

當(dāng)心0時,當(dāng)x>l時,/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<l時,/(x)<O,f(尤)單調(diào)遞

減;

當(dāng)〃<0時，-(x)=0=>%=-￡，或苫2=1,

當(dāng)。=-2時，廣(x)=2d),0,函數(shù)在x>0時，單調(diào)遞增,

X

當(dāng)a<-2時，-y>1,

當(dāng)o<x<i時，y'(x)>oj(尤)單調(diào)遞增,

當(dāng)l<x<—|時，/'(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減,

當(dāng)X〉-1時，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)—2<a<0時，—5<1，

當(dāng)。<X<—|時，/'(尤)>。,/(尤)單調(diào)遞增F

當(dāng)-時，/’(無)<0J(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>l時，/'(x)>o,/(x)單調(diào)遞增，

綜上所述：當(dāng)aNO時，/(X)在(1,”)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a=-2時，/⑴在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)”-2時，Ax)在(0,1)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在(-*+s)上單調(diào)遞增；

當(dāng)-2<。<0時，/(x)在(0,-女單調(diào)遞增，在(一|,D單調(diào)遞減，在(Ly)上單調(diào)遞增

【點睛】

關(guān)鍵點睛：根據(jù)一元二次方程兩根之間的大小關(guān)系分類討論是解題的關(guān)鍵.

變式4-4.已知函數(shù)/(*)=佇幺+。加，aeR.若a<e,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

X

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

求出函數(shù)7U)定義域并求出其導(dǎo)數(shù)/'(X),分aVl,l<a<e兩類確定不等式((尤)>。、

廣(無)<0的解集即可.

【詳解】

角畢：/(x)=―——+alnx,

x

，(⑴二(一)(一,

x

當(dāng)時，令r(%)<0,得：X>1;令廣(x)>。，得Ovxvl；

當(dāng)leave時，令r(%)〈0,得：Ovxvlna或%>1,

令/(%)>0,得Inavxvl；

因此，當(dāng)時，/(%)在(0,1)遞增，在(1,收)遞減；

當(dāng)leave時，/(%)在(O,lna),(l,+oo)遞減；在(Ina,1)遞增.

題型戰(zhàn)法五求函數(shù)的極值點、極值

典例5.函數(shù)>=底3-2彳+2的極小值點是()

6

214

A.2B.(2,C.-2D.(-2,T)

【答案】A

【解析】

【分析】

利用求導(dǎo)求函數(shù)的極小值.

【詳解】

解：由題意得:

.y——X，—2x+2

6

12c

y——x—2

2

令y'=0,貝！Jx=±2

當(dāng)xe(-s,-2)時，函數(shù)y=JV-2x+2單調(diào)遞增

當(dāng)尤e[-2,2]時，函數(shù)了=!V-2x+2單調(diào)遞減

6

當(dāng)X￡(2,4W)日寸，函數(shù)y=，%3一2尤+2單調(diào)遞增

故x=2時，取得極小值

故選:A

變式5-1.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=xe\則

A.1是f(x)的極小值點B.T是f(x)的極小值點

C.1是f(x)的極大值點D.-1是f(x)的極大值點

【答案】B

【解析】

【詳解】

試題分析：_f(x)=/+xd=(l+x)-/，當(dāng)/'(x)=0時，x=-l,當(dāng)x<-l時，

-「<0,當(dāng)時，/'(x)>0,所以當(dāng)丫=一1時，函數(shù)取得極小值，-1是函數(shù)

的極小值點，故選B.

考點：導(dǎo)數(shù)與極值

變式5-2.函數(shù),=尤+1(》<0)的極大值為()

A.-2B.2C.-jD.不存在

【答案】A

【解析】

【分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)符號，結(jié)合極值的定義得答案.

【詳解】

y'=l-[=三±令y'=o得x=-i或x=i(舍).

由于x<0,當(dāng)V>。時，x<-i,當(dāng)y'<0時，-i<x<o,

所以函數(shù)在(-?,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減.

故函數(shù)在尤=-1處取得極大值y=-2.

故選：A

變式5-3.函數(shù)了=尤3-31一9%(-2〈工<2)有()

A.極大值為5,無極小值B.極小值為-27,無極大值

C.極大值為5,極小值為-27D.極大值為5,極小值為-11

【答案】A

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)可求出結(jié)果.

【詳解】

y'=3x2-6x-9=3(尤—3)(x+l),

由y'>。，得-2<x<-l,由y'<0,得-l<x<2,

所以函數(shù)y=爐--9尤(-2<x<2)在(-2,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,2)上單調(diào)遞減,

所以y=三-3d—9x(-2<x<2)在尤=—1時，取得極大值5,無極小值.

故選：A

變式54已知函數(shù)〃x)=x2-8x+61nx+l,則〃x)的極大值為()

A.10B.—6C.-7D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的極大值.

【詳解】

函數(shù)〃元)的定義域為(0,+a)，

/'(X)=2X-8+@=2(XT)(X-3),

XX

令/(X)=。，解得X=1或X=3,

故

X(0」)1(L3)3(3,+8)

>0=0<0=0>0

/W單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以〃尤)的極大值為〃1)=-6,

故選：B.

題型戰(zhàn)法六由函數(shù)的極值點、極值求參數(shù)

典例6.若函數(shù)/a)=e*+ox在x=-l處有極值，則()

A.6z=-lB.〃=—

e

C.a=—eD.Q不存在

【答案】B

【解析】

【分析】

函數(shù)/(x)=e'+"在x=T處有極值，即八-1)=0,求解導(dǎo)數(shù)，代入x=-1即可求解.

【詳解】

解：因為函數(shù)/(x)=e，+ox,故/'(x)=e*+a

又函數(shù)/a)=e，+ax在x=T處有極值，故((-1)=J+a=0,

解得。=-2.經(jīng)檢驗滿足題意

e

故選：B.

變式6-1.若x=l是函數(shù)/(x)=alnx+x的極值點，則。的值是()

A.-1B.0C.1D.e

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)(⑴=0即可得解.

【詳解】

/(X)的定義域為(0,+(?)，

八元)，+1,

X

因為X=1是函數(shù)f(x)=alnx+x的極值點，

所以((1)=0,即。+1=0,所以。=一1,

1y—1

當(dāng)。=-1時，/'(無)=1一一=--,

XX

令廣(無)>。，得X>1,令尸(x)<0,得O<X<1,

所以/⑴在x=l處取得極小值，符合題意.

綜上所述：a=T.

故選：A

變式6-2.已知函數(shù)〃尤)=尤(尤-4,在x=2處取得極大值，則實數(shù)c的值是

2

A.-B.2C.2或6D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可得/(2)=0,解出C的值之后必須驗證是否符合函數(shù)在某一點取得極大值的

充分條件.

【詳解】

函數(shù)/(X)=X(x-c)2的導(dǎo)數(shù)為/'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),

由/(x)在工=2處有極大值，即有42)=0,即(c-2)(c-6)=。，

解得c=2或6,

若c=2時，/V)=0,可得x=2或|,

由/⑺在x=2處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，取得極小值，

若c=6,八元)=0,可得x=6或2,

由/⑴在、=2處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，取得極大值.

綜上可得c=6.

所以D選項是正確的.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)需注意驗證函數(shù)的單調(diào)

性，屬基礎(chǔ)題.

變式6-3.已知1x)=gx3+(q—i)/+x+i沒有極值，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.[0,1]B.(—8,O]U[1,+oo)C.[0,2]D.(—oo,0]U[2,+

00)

【答案】c

【解析】

【分析】

求導(dǎo)得廣(無)=/+2(。-1)汗+1,再解不等式[2(a-1)F-4W0即得解.

【詳解】

由/(x)=~x'+(a—1)%2+x+1/'(X)=尤？+2(a—1)尤+1,

根據(jù)題意得[2(〃-1)乎-4W0,解得0VaV2.

故選：C

變式6-4.若函數(shù)/(x)=f-2x+alnx有兩個不同的極值點，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.a>—B.—<。<0C.—D.0<di<—

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)有兩個零點可得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

：/(x)=/-2x+aIn尤有兩個不同的極值點，

尸(x)=2x-2+：=2廠一2x+"=0在?+8)有2個不同的零點,

2/-2x+a=0在(0,+8)有2個不同的零點，

[A=4-8(2>01

\n，解得。<。<弓.

>02

故選：D.

題型戰(zhàn)法七求函數(shù)的最值

典例7.函數(shù)/(尤)=尤3-3苫+1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是()

A.1,-1B.1,-17

C.3,-17D.9,19

【答案】C

【解析】

【分析】

先求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)得到極值，再求出端點值，比較得到最值.

【詳解】

/,(^)=3X2-3=3(X+1)(X-1),令/'(x)>0得：x>l或x<-l,令/'(x)<0得：

故在x=—l處取得極大值，在x=l處取得極小值，且〃-1)=-1+3+1=3,

/(-3)=-27+9+1=-17,/(0)=1,所以函數(shù)/(》)=尤3-3尤+1在閉區(qū)間［一3,0］上的最大

值、最小值分別是3,-17.

故選：C

變式7-1.函數(shù)/(x)=lnx-x在(0,e］上的最大值為()

A.-1B.1C.0D.e

【答案】A

【解析】

【分析】

對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值

【詳解】

由/(x)=lnx-x,得/'(尤)=」一1=匕4,

XX

當(dāng)0Vx<1時，f(x)>0,當(dāng)1<尤/(x)<0,

所以Ax)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,e］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時，Ax)取得最大值==

故選：A

變式72函數(shù)〃力=%3一3x在區(qū)間［-1,2］上的最大值和最小值分別為()

A.2和一2B.2和0C.0和一2D.1和0

【答案】A

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求得最大值和最小值.

【詳解】

f(x)=3^-3=3(%+l)(x-l),

所以“元)在區(qū)間(-1.1)上/(%)<0,/(x)遞減，在(1,2)上f(x)>O,/(x)遞增.

所以〃尤)的最小值為了⑴=1-3=-2,

/(-1)=-1+3=2,/(2)=8-6=2,

所以〃x)的最大值為2.

故選：A

jr

變式7-3.已知函數(shù)〃x)=-x+2sinx,xe0,-,則函數(shù)〃x)的最大值為()

7T

A.0B.2——

2

C.2D.7

36

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性判斷函數(shù)在已知區(qū)間的單調(diào)性，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)

行求解即可.

【詳解】

Vr(x)=-l+2cosx,.?.當(dāng)xe[O,$時，f(x)>OJ(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，/(x)<O,〃x)單調(diào)遞減，

"Xi=/閨=6-^.

故選：C.

變式7-4.函數(shù)y=x+sinx在[0,句上的最大值為()

TT

A.—b1B.71C.71D.7T+1

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究y=》+sinx的單調(diào)性，進(jìn)而求其最大值.

【詳解】

由題意，在［0,句上y=l+cosxNO,即廣尤+sinx單調(diào)遞增,

Xnax=^+sin乃=".

故選：B

題型戰(zhàn)法八由函數(shù)的最值求參數(shù)

17

典例8.若函數(shù)〃尤)=§尤3+f一§在區(qū)間ma+3)內(nèi)既存在最大值也存在最小值，則。

的取值范圍是()

A.(-3,-2)B.(-3,-1)C.(-2,-1)D.(-2,0)

【答案】A

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求出“X)在x=o處取得極小值〃o)=在x=-2處取得極大值〃-2)=彳,

再根據(jù)/(0)=-￡且/⑴=：,結(jié)合三次函數(shù)的圖象列不等式組I：：”：可求得結(jié)

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