工程力學(xué)全冊配套完整課件3

工程力學(xué)全冊配套完整課件3第一篇引言力系—作用于物體上的一群力。平衡—

物體相對于慣性參考系（如地面）

保持靜止或作勻速直線運動。任務(wù)：1.受力分析；2.力系的簡化；3.平衡條件的建立與平衡問題的求解?！?-1剛體和力的概念剛體

——

這樣的物體，在力的作用下，其內(nèi)部任意兩點的距離始終保持不變。

剛體是理想化的力學(xué)模型。圖示吊車梁的彎曲變形

一般不超過跨度（A、B間距離）的1/500，水平方向變形更小。因此，研究吊車梁的平衡規(guī)律時，變形是次要因素，可以略去。靜力學(xué)研究的物體是剛體，又稱為剛體靜力學(xué)，它是研究變形體力學(xué)的基礎(chǔ)。力——物體間的相互作用，這種作用使物體的運動狀態(tài)與形狀發(fā)生變化。盡管各種物體間的相互作用力的來源和性質(zhì)不同，但在力學(xué)中，將撇開力的物理本質(zhì)，只研究各種力的共同表現(xiàn)——力對物體產(chǎn)生的效應(yīng)。外效應(yīng)（運動） ：使物體的運動狀態(tài)改變內(nèi)效應(yīng)（變形）：使物體的形狀發(fā)生變化矢量的長度表示力的大??；矢量的方向表示力的方向；矢量的始端（點O）表示力的作用點。（矢量所沿著的直線表示力的作用線）力的三要素大??；方向；作用點力是矢量。FO常用粗體F

表示力矢量，而用

F

表示力的大小，若以

F

0

表示沿力作用方向的單位矢量，則

F=F

F

0

常用N和kN作力的單位符號。關(guān)于力的幾點說明當物體間的相互作用面積可以抽象為一個點（作用點），則力稱為集中力。否則，稱為分布力。力系——作用在物體上的一群力。力作用線在同一平面的力系叫平面力系，否則叫空間力系。若兩力系作用同一物體而效應(yīng)相同，則稱兩力系等效。合力（力）與分力（力系）等效?！?/p>

公理1力的平行四邊形法則

作用在物體上的同一點的兩個力，可以合成為一個合力。合力作用點也是該點，合力的大小和方向，由這兩個力為邊構(gòu)成的平行四邊形的對角線確定。

FR=F1

+F2(R

=F1

+F2)§1-2靜力學(xué)公理FRF1F2FRAF1F2FRF2F1FRF1F2FRF1F2☆公理2二力平衡條件作用在

剛體

上的兩個力，使剛體保持平衡的充分必要條件是：這兩個力大小相等，方向相反，且在同一直線上

即

F1=－F2F1F2F1F2F1F2在已知力系上加上或減去任意的平衡力系，不改變原力系對剛體的作用。（效應(yīng)不變）☆推理1力的可傳性作用于剛體上某點的力，可以沿著它的作用線移到剛體內(nèi)任意一點，并不改變該力對剛體的作用。☆公理3加減平衡力系原理☆推理2三力平衡匯交定理

作用于剛體上三個相互平衡的力，若其中兩個力的作用線匯交于一點，則此三力必在同一平面內(nèi)，且第三力的作用線通過匯交點?！罟?作用與反作用定理作用力與反作用力總是同時存在，兩力的大小相等、方向相反、沿著同一直線，分別作用在兩個相互作用的物體上。注意：本公理與公理2(二力平衡條件）的區(qū)別！PPTT’T☆公理5剛化原理變形體在某一力系作用下處于平衡，如將此變形體剛化為剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。剛體的平衡條件是變形體平衡的必要而非充分

條件?！?-3 約束和約束反力自由體：位移不受限制的物體。非自由體：位移受限制的物體。約束：對非自由體的某些位移起限制作用的周

圍物體。約束反力(反力)：約束對物體作用的力。注意：約束反力的方向必與該約束所能夠阻礙

的位移方向相反。在靜力學(xué)中，約束反力和物體受到的其它已知力（稱主動力）組成平衡力系，因此，可用平衡條件求出未知的約束反力。1.具有光滑接觸表面的約束光滑支承面對物體的約束反力，作用在接觸點處，方向沿接觸表面的公法線，并指向受力物體。稱為法向反力，用

FN

或N

表示。FNFNABFNAFNB2.柔性約束

繩索對物體

的約束反力，作用在接觸點，方向沿著繩索背離物體。當鏈條或膠帶繞在輪子上，對輪子

的約束反力沿輪緣的切線方向背離輪子。APAF’FPT2T1T2’T1’3.

光滑鉸鏈約束軸可以在孔內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，也可以沿孔的軸線移動；但軸承阻礙著軸沿徑向向外移動。（1）向心軸承3續(xù).

光滑鉸鏈約束方向不能確定的約束反力通常用兩個未知的正交分力X和Y表示。軸AYAXA約束反力的方向往往預(yù)先不能確定，但是，無論它朝向何方，其作用線必垂直于軸線并通過軸心。（1）向心軸承AYAXA(2)圓柱鉸鏈和固定鉸鏈支座圓柱鉸鏈由銷釘將兩個鉆有同樣大小孔的構(gòu)件連接而成。若鉸鏈連接中有一個固定在地面或機架上，則稱為固定鉸鏈支座。1、銷釘2、構(gòu)件3、固定部分(2續(xù))圓柱鉸鏈和固定鉸鏈支座CAB圖示構(gòu)件就是通過圓柱鉸鏈C和固定鉸鏈支座A和

B連接而成。圓柱鉸鏈簡稱鉸鏈。固定鉸鏈支座簡稱固定鉸支。鉸鏈和固定鉸支的構(gòu)造CCABBA

銷釘C銷釘B銷釘A固定在地面上的支架鉸鏈和固定鉸支的力學(xué)模型CABCABCABCACB一般不需考慮銷釘與哪邊結(jié)構(gòu)固連銷釘與右邊結(jié)構(gòu)固連

鉸鏈處和固定鉸支處的約束反力通常分析鉸鏈時把銷釘固連在某一構(gòu)件上，而分析固定鉸支時，把銷釘固連在支座上。YAXAYBXB銷釘與左邊結(jié)構(gòu)固連ABCYAXAYCXCYBXBYC’XC’YAXAYCXCYBXBYC’XC’YAXAYCXCYBXBYC’XC’

銷釘所受的約束反力需要分析銷釘?shù)氖芰r，才把銷釘從結(jié)構(gòu)中分離出來單獨研究。如前述結(jié)構(gòu)的銷釘CCBCAYAXAYC1XC1YBXBYC2’XC2’XC1’YC1’XC2YC2CYAXAYC1XC1YBXBYC2’XC2’XC1’YC1’XC2YC2CYAXAYC1XC1YBXBYC2’XC2’XC1’YC1’XC2YC2C向心軸承、鉸鏈和固定鉸鏈支座都可稱作光滑鉸鏈。光滑鉸鏈的特點是只限制兩物體徑向的相對位移，而不限制兩物體繞鉸鏈中心的相對轉(zhuǎn)動及沿軸向的位移。4.其它約束（1）滾動支座（輥軸支座）實物簡圖約束力（2）球鉸鏈實物簡圖約束力FxFzFy實物簡圖（3）止推軸承約束力FxFzFy√ק1-4物體的受力分析和受力圖在求解之前，首先要確定構(gòu)件受幾個力，及其位置和作用方向。此過程稱為物體的受力分析。力可分為兩類：主動力和被動力。把受力體從施力體中分離出來，單獨畫簡圖的過程叫取研究對象或取分離體。把受力體所受的所有力（外力）全畫出來的圖稱為受力圖。受力圖舉例例1-1

試畫出圖示重為P的石磙的受力圖。ABABFFPFAFBFPFAFBFPFAFBFPFAFBFPAB試畫出圖示自重為P，AC邊承受均布風力（單位長度上的力的載荷集度為q）的屋架的受力圖。PqYAXANBqABCABC例1-2

PqYAXANBPqYAXANBPqABBAD圖示梁AB自重為P，B端上一重物重Q，CD桿自重不計，試分別畫出桿

CD

和梁AB的受力圖。CDQFD’YAXA例1-3

PFDFCFDFCFD’YAXAPQFDFCFD’YAXAPPQDAQPCDAB二力構(gòu)件只有兩個著力點而處于平衡的物體叫二力體或二力構(gòu)件。二力構(gòu)件不論其形狀如何，其所受的兩個力的作用線，必沿著兩力作用點的連線。且看上例的CD桿是其它形狀的情形。見后續(xù)CDFDFCDCFDFCFDFCFDFCFDFCFDFCAC圖示為不計自重的三鉸剛架，試分別畫出剛架AC和剛架CB的受力圖。CBACCABP例1-4

FC’FC’FBFCYAXAFAFC’FC’FBFCYAXAFAYAXAPPFC’FC’FBFCFAACBCA圖示為不計自重的三鉸剛架，試分別畫出剛架AC、剛架CB及整體的受力圖。在本問題中，集中載荷P

作用在鉸C上。通常認為集中載荷是作用在C銷上的，下面就對研究對象的選取的三種情況分別討論。CABPQ例1-5

CBACYAXAPQ（1）銷C與剛架AC一起作為研究對象銷C與哪邊剛架一起作為研究對象，集中載荷P就畫在哪邊剛架的鉸C上。見后續(xù)QPCBAFCFC’YAXAPQFCFC’FCFC’YAXAPQFBFBFBACCB（2）銷C

與剛架CB

一起作為研究對象XCYCXC’YC’FBYAXAPQYBXB見后續(xù)理論力學(xué)

常常要求精確

畫出約束反力，

即這樣畫FBXCYCXC’YC’YAXAXCYCXC’YC’YAXAFBFBQPACBFB（3）專門分析銷C

的受力XC1YC1CBACYAXAPQ見后續(xù)FCF’CXC1’YC1’FBXC1YC1YAXAFCF’CXC1’YC1’XC1YC1YAXAFBFCF’C（4）整體受力圖從前面兩種情況的分析可見，應(yīng)盡量不要把銷與二力構(gòu)件放在一起作研究對象可使分析簡單。當然，對于作用集中載荷的鉸的兩邊構(gòu)件都為二力構(gòu)件時，以銷為對象往往比較方便。CABPQYAXAFBFB不計自重的三鉸剛架受力如圖，試分別畫出剛架AC、剛架CB、銷C及整體的受力圖。PFC1FC2PFC1’FC2’CFBFABCCABACFBFAFC1FC2FC1’FC2’FBFAFBFAFC1FC2FC1’FC2’FBFAFBFAENDPⅡⅠBCADKθE圖示的各桿與輪自重不計，物塊重P。按以下三種情況畫受力圖。例1-6見后續(xù)分別畫出各桿與各滑輪、銷釘B的受力圖。DBBACSDBSBDXCYCXBFA例1-6（1a）PⅡⅠBCADKθESDBSBDXCYCXBYBFAYBSDBSBDXCYCXBFAYB見后續(xù)DBACB分別畫出各桿與各滑輪、銷釘B的受力圖。例1-6（1b）SDB’XEYEXC’YC’SKⅡF1FBF2SDB’XEYEXC’YC’SKF1FBF2SDB’XEYEXC’YC’SKF1FBF2ECDKPⅡⅠBCADKθE見后續(xù)分別畫出各桿與各滑輪、銷釘B

的受力圖。例1-6（1c）BⅠXB1YB1FK’SBD’XB’YB’FB’XB1’YB1’BDBSDBSBDBACXCYCXBYBFAF1’XB1YB1FK’SBD’XB’YB’FB’XB1’YB1’F1’XB1YB1FK’SBD’XB’YB’FB’XB1’YB1’F1’PⅡⅠBCADKθE見后續(xù)畫出“銷釘B與滑輪Ⅰ一起”

的受力圖。BⅠF1’FK’XB’YB’SBD’FB’SBD’XB’YB’FB’XB1’YB1’BBⅠXB1YB1F1’FK’例1-6（2）PⅡⅠBCADKθE見后續(xù)畫出“桿

AB、Ⅰ、Ⅱ

滑輪鋼繩和重物一起”的受力圖。PⅡⅠBCAXCYCFASBD’FK’例1-6（3）PⅡⅠBCADKθE本題結(jié)束ACBKFASBD’FK’XCYCFASBD’FK’XCYC畫受力圖應(yīng)注意必須明確研究對象，即取好“隔離體”。正確確定研究對象的受力數(shù)目，特別要注意約束反力的方向。內(nèi)力成對出現(xiàn)，組成平衡力系，因此不必畫出，只需畫出全部外力。本章小結(jié)1.靜力學(xué)研究作用于物體上力系的平衡。具體研究以下三個問題。

（1）物體的受力分析；（2）力系的等效替換；（3）力系的平衡條件。2.力是物體間相互的機械作用，這種作用使物體的機械運動狀態(tài)發(fā)生變化（包括變形）。力的作用效應(yīng)由力的大小、方向和作用點決定，稱為力的三要素。力是矢量。作用在剛體上的力可以沿著作用線移動，這種力矢量是滑動矢量。本章小結(jié)（2）3.靜力學(xué)公理是力學(xué)的最基本、最普遍的客觀規(guī)律。

公理1

力的平行四邊形規(guī)則。

公理2

二力平衡條件

以上兩個公理,闡明了作用在一個物體上最簡單的

力系的合成規(guī)則及其平衡條件。

公理3

加減平衡力系原理。

這個公理是研究力系等效變換的依據(jù)。

公理4

作用和反作用定律。

這個公理闡明了兩個物體相互作用關(guān)系。

公理5剛化原理。

這個公理闡明了變形體平衡的必要條件。本章小結(jié)（3）4.約束和反約束力

限制非自由體某些位移的周圍物體，稱為約束。約束對非自由體施加的力稱為約束反力。約束反力的方向與該約束所能阻礙的位移方向相反。畫約束反力時，應(yīng)分別根據(jù)每個約束本身的特性來確定其約束反力的方向。5.物體的受力分析和受力圖是研究物體平衡和運動的前提。

畫物體受力圖時，首先要明確研究對象（即取分離體）。物體受的力分為主動力和約束力。當分析多個物體組成的系統(tǒng)受力時，要注意分清內(nèi)力與外力，內(nèi)力成對可不畫；還要注意作用力與反作用力之間的相互關(guān)系。本章結(jié)束§2-1匯交力系的合成現(xiàn)實生活中往往有許多力的作用線匯交于一點。我們把這樣的力系稱為匯交力系。幾何法設(shè)F1、F2、F3和F4為一組匯交力系作用于剛體上。xyzF1F2F3F4F1F2F3F4R12R123RabcdeF3R12F3R12F3R12R123R123R123R123F4F4F4F4稱多邊形abcde

為力多邊形，R為封閉邊。R=R123+F4=R12+F3+F4=F1+F2+F3+F4

推廣得： R

=F1+F2+…FN=ΣFiOxyz

ijkXiFiFi=X

ii+Y

ij+Z

ikR=F1+F2+…+FN=ΣF

i=(ΣXi)i+(ΣY

i)j+(ΣZ

i)k又由R=Rxi+

Ryj+Rz

k得：Rx=ΣX

i;Ry=ΣY

i;Rz=ΣZi顯然，合力的大小方向余弦cos(R,i)=R

x/R;

cos(R,

j)=R

y/R;cos(R,

k)=R

z/R

R

=把空間中的力Fi向三個坐標軸投影，

分別為Xi、Y

i和Zi。XiZiYiZiYiXiZiYi

解析法Oxyz§2-2匯交力系的平衡條件F1F2F3F1F2F3R12abcdF4R123F4設(shè)F1、F2、F3和F4為作用于剛體上的一組匯交力系，使剛體平衡。由二力平衡條件知：要使剛體保持平衡，需滿足

R123+

F4=0又因為R123=F1+F2+F3所以R=R123+

F4=F1+F2+F3+F4=0a力多邊形自行封閉了。O匯交力系平衡的解析條件：ΣX

i=0;ΣY

i=0;ΣZi=0推廣前述的證明可得匯交力系平衡的充要條件：

R

=F1+F2+…+FN=0即

ΣF

i=0匯交力系平衡的幾何條件：

力多邊形自行封閉。

結(jié)論由R

==0ABFhRαOP圖示石磙重P=20kN，半徑R=0.6m，障礙物高h=0.08m。求（1）水平力F=5kN時磙對地面和對障礙物的壓力；（2）欲將磙拉過障礙物F

沿什么方向拉最省力，此力為多大？例2-1解：(1)首先受力分析cosα=(R-h)/R

=0.866故α=30°再畫力多邊形(見后續(xù)）FAFB按比例量得：

FA=11.4kN，F(xiàn)B=10kNFPαPαFFFBFminFmin=Psin

=P/2=10kN(2)例2-1（續(xù)）FFFFBFAFBABFhRαOPFAFBENDABCEDααβP∑Z=0，

-Scos

-TP=0

，

S=-TP/cos

=-1414N∑X=0，

-TCsin

+TDsin

=0，

TC=TD∑Y=0，-TCcos

-TDcos

-Ssin

=0

TC

=Ssin

/(2

cos

)=559

NzxyTCS例2-2重為P

的物體受無重桿AB和繩索AC、AD

的支承（ACD位于同一水平面內(nèi)）。已知P=1000N,β=45°,CE=ED=12cm，EA=24cm，求繩索的拉力和桿所受到的力。TDSTCTDS受力分析，假定AB桿受拉。TPTDTCTPTP解：以節(jié)點A為研究對象,取坐標軸如圖?？芍?，AB桿受1414N的壓力；AC、AD均受559N的拉力。ENDxyO平面匯交力系的特殊情形1、力在軸上的投影

根據(jù)力在某軸上的投影等于力的模乘以力與投影軸正向間夾角的余弦。對于正交軸Oxy，有

F=Xi+Y

j必須注意，力在軸上的投影X、Y

為代數(shù)量（力與軸間的夾角為銳角時，其值為正），而力沿兩軸的分量是矢量。在兩軸相互不正交時，分力在數(shù)值上不等于投影。2、平面問題的平衡條件∑X=0，∑Y=0事實上，兩坐標軸并不要求一定相互垂直，只要兩軸不平行即可。（思考）XYFyFxF分力投影XYFyFx分力投影求圖示結(jié)構(gòu)支座A、B的反力。

各桿的自重忽略，且∠

ABC=∠BAC=30

。例2-3CABPFFBFA解：法一，取坐標軸如圖并做受力分析∑X=0,FAcos30°－FB

cos30°+F=0∑Y=0,(FA+FB

)Sin30°－P=0yxFBFAFBFAFBFA聯(lián)立求解，便可解出FA

和FB（這里暫不解）CABPFFBFA例2-3續(xù)法二，取坐標軸如圖x∑X=0,FB

cos30°－Pcos30°－Fcos60°=0∑Y=0,

FA

cos30°+Fcos60°－

Pcos30°=0y顯見，x

和y

軸并不相互正交，而求解反而方便了?！?-3力對點的矩nO1.力對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)用力對點的矩來度量a.平面力系的力對同平面中的點之矩hOABF假設(shè)力作用在圖示平面內(nèi)，且O點也在此平面內(nèi)，則力F對O點的矩為

MO

(F

)=±Fh

或：

MO

(F

)=±2△OAB

力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)為正，反之為負。

O——稱為矩心

h——稱為力臂單位：Nm或kNmhOABhOABhOABrFFnnnnhABMO(F)rhABMO(F)r空間力系中力對點的矩需用矢量表示：hABOzxyMO(F)矩的矢量記作MO(F)，且

MO

(F)=

r×F——定位矢量b.空間力系中的力對點的矩2）矢量的方位與力和矩心組成的平面的法向同，矩心為矢起端；3）矢量的指向確定了轉(zhuǎn)向，按右手法則。r1）矢量的模等于力矩的大??；hABMO(F)r顯然|M

O(F)|=Fh=2△OAB見后續(xù)F力對點的矩為零的條件：要使|MO(F)|=0，就有r×F=0，得：1）r=0或r

與F

共線，即力通過矩心；2）F=0力對點的矩采用行列式可得如下形式：由：

r

=xi+y

j+zk

和

F=X

i+Y

j+Z

k可得：=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k2.合力矩定理

設(shè)r

為矩心到匯交點的矢徑，R

為F1、F2、…、Fn的合力，即：R

=F1+F2+…+Fn

可得：MO

(R)=r×R=r×(F1+F2+…+Fn

)

=r×F1+r×

F2

+…+r×Fn

=MO

(F1)+MO

(F2)+…+MO

(F

n

)也就是：匯交力系的合力對點的矩等于該力系所有分力對同一點的矩的矢量和。證：§2-4力偶理論1.力偶與力偶矩力偶——由兩個等值、反向且不共線的平行力系組成。記作（F，F(xiàn)

’）這一矢量稱作力偶矩矢1）其長度表示力偶矩大??；dFF’BA兩個力組成的平面稱

力偶作用面兩個力間的垂距

d稱為

力偶臂空間力系因力偶作用面的方位可能各不相同，故把力偶用矢量表示。M2）方位與作用面法方向方位n同。3）指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋法則。nMdddMnMMnMMnM按前述的力偶三要素可知，力偶矩矢可以平行搬移，且不需確定矢的初端位置。為進一步說明力偶矩矢為自由矢，顯示力偶的等效性質(zhì)，可以證明：ndFF’BAMnM∵F=-F’顯見力偶矩的大小為M為自由矢M為自由矢M為自由矢M為自由矢Oa.力偶矩矢是自由矢力偶對空間任一點的矩都相等，即等于力偶矩矢。證：如圖求力偶（F，F(xiàn)’）對任意點，如O

點的矩。畫出O點到二力作用點A、B的矢徑所以，力偶對空間任意點的矩矢與矩心無關(guān)。b.平面力偶系的力偶若在所研究的問題中，所有的力偶都作用在同一平面內(nèi)，則稱為平面力偶系。FF’BACd將平面力偶系的力偶記作M(F,F’)，簡稱

M

。力偶矩為代數(shù)量即：M=±Fd=±2△ACB一般以逆時針為正，反之為負，單位與力矩相同。預(yù)備知識（兩平行力的合力）前面已經(jīng)證明了力偶矩矢為自由矢，后面將再從另一個角度說明力偶的性質(zhì)，使同學(xué)們有一個較直觀的理解。為此，先看看兩平行力的合力。以一對大小相等且同向的平行力為例。兩個方向相反的平行力有合力嗎？作用于剛體上的兩力偶，若它們的力偶矩矢相等，則此二力偶等效。——力偶等效定理2.力偶的性質(zhì)性質(zhì)一證：分兩部分加以證明（1）力偶作用面可平行移動而不改變力偶對剛體的效應(yīng)。（2）在同平面內(nèi)的兩力偶，若力偶矩相等，

兩力偶對剛體的作用彼此等效。等效eabdc證：設(shè)==-Fd力的作用線分別相交于a、b兩點，等效地移至a、b兩點，力=-2△acb∵兩三角形同底等高∴△aeb=△acb

得：=-Fd=的力偶臂也為d∴

F1=F將=-2△aeb和分別分解性質(zhì)一的實質(zhì)（1）力偶在其作用面內(nèi)只要力偶矩不變（即力與力偶臂的積不變），它就可以隨意的轉(zhuǎn)移，也可以增大力的同時減小力偶臂（或減小力的同時增大力偶臂），不改變它對剛體的作用效應(yīng)。（2）力偶的作用面可以隨意平行搬移，不改變它對剛體的作用效應(yīng)。性質(zhì)一實質(zhì)的圖解不同平面力偶等效

平行搬移性質(zhì)二

力偶不能與一個力相平衡。證：用反證法。即假設(shè)平衡力存在。1、平衡力與力偶作用面平行。由性質(zhì)一知總可以轉(zhuǎn)動力偶和平行搬移力偶作用面使三力有兩個交點，這與平衡匯交定理相矛盾。2、平衡力與力偶作用面不平行。仍由性質(zhì)一知總可以轉(zhuǎn)動力偶和平行搬移力偶作用面使力偶中的一個力與所謂的平衡力合成為一個大小及方位都與力偶的另一個力不同的力,這與二力平衡原理相矛盾。性質(zhì)三 力偶沒有合力。證：

仍用反證法，即假定力偶有合力，那么總可找到一個與此力大小相等，方向相反而作用線共線的力與此力平衡，即力與力偶相平衡。與性質(zhì)二矛盾。

性質(zhì)一、二和三告訴我們力偶只能與力偶等效而不能與單個力等效。力偶只能與力偶相平衡力偶只能與力偶相平衡力偶只能與力偶相平衡力偶只能與力偶相平衡3.力偶系的合成

任意個力偶可以合成為一個合力偶，這個合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=

M1+M2+…+Mn

=∑MiM1+M2+…+M

n=rBA×F1+rBA×F2+…+rBA×Fn=rBA×(F1+F2+…+Fn

)=rBA×R=MM1MnM2RBABA證：設(shè)有n個力偶，由性質(zhì)一,總可得到兩個匯交力系，匯交點分別為A和B。證畢。4.力偶系的平衡條件在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。

M=M1+M2+…+Mn

=∑Mi由合成結(jié)果可知：力偶系平衡的充分必要條件是力偶系的合力偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。平面力偶系平衡條件：三鉸剛架由兩直角剛架組成，AC部分上作用一力偶，其力偶矩為M，自重不計，且a:c=b:a，求A、B支座的反力。例2-4MACMbcaACBCBAC為對象，∑M=0,考慮CB部分為二力構(gòu)件，得：解： 由

a:c=b:a知：AC⊥CB，受力分析CBA

圖示機構(gòu)自重不記。圓輪上的銷子A放在搖桿BC上的光滑導(dǎo)槽內(nèi)。M

1=2kNm，OA=r=0.5m。圖示位置OA⊥OB，α=30°，且系統(tǒng)平衡。求作用于搖桿BC上力偶的矩M

2及O、B支座的反力。

AO

例2-5M2M

1αBACαBACOrM2M1解：受力分析ABAO

續(xù)例2-5

先以輪為對象，∑M=0，M1-FArsinα=0M2

BAC

AO

M

1再以搖桿為研究對象，由力偶平衡條件∑M=0，M2=4M1=8kNmM

1=2kNm，OA=r=0.5mEND本章小結(jié)1、匯交力系的合力（1）幾何法求合力

R=F1+F2+…FN=Σ

Fi（2）解析法求合力方向余弦cos(R,

i)=Rx/R

cos(R,

j)=Ry/R

cos(R,

k

)=Rz/R匯交力系平衡的充要條件：

R

=F1+F2+…FN=0即

ΣFi=0匯交力系平衡的幾何條件： 力多邊形自行封閉。匯交力系平衡的解析條件：

ΣXi=0;ΣYi=0;ΣZi=0本章小結(jié)（2）2、匯交力系的合力本章小結(jié)（3）3、力對點的矩MO

(F)=r×F——MO

(F)是定位矢量

|MO

(F)|=Fh=2△OAB4、合力矩定理匯交力系的合力對點的矩等于該力系所有分力對同一點的矩的矢量和。

MO

(R)=MO

(F1)+MO

(F2)+…+MO(Fn

)本章小結(jié)（4）5、力偶力偶——由兩個等值、反向且不共線的平行力系

組成。記作（F，F(xiàn)’）力偶對物體的作用效應(yīng)決定于力偶矩的大小、方位和轉(zhuǎn)向。(1)力偶等效定理：作用于剛體上的兩力偶，若它

們的力偶矩矢相等，則此二力偶等效。(2)力偶不能與一個力相平衡(3)力偶沒有合力。本章小結(jié)（5）6、力偶的合成與平衡任意個力偶可以合成為一個合力偶，這個合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。

M=M1+M2+…+M

n

=∑Mi

力偶系平衡的充分必要條件是力偶系的合力偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。本章結(jié)束認識平面力系認識平面力系1§3-1平面任意力系向平面內(nèi)一點簡化一、 力線的平移

作用于剛體上A點的力

F

的作用線可等效地平移到任意一點O，但須附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力對O點的矩。OdFF’F”dFF’F”FdMFAFF”F逆過程：平面內(nèi)的一個力和一個力偶總可以等效地被同平面內(nèi)的一個力替換，但作用線平移一段距離OMF’FdMF’dF位置由M

的轉(zhuǎn)向確定。力線平移的討論1力線平移的討論2圖中單手攻絲時，由于力系(F’,MO)的作用，不僅加工精度低，而且絲錐易折斷。二、平面任意力系向平面內(nèi)一點簡化設(shè)物體上只作用三個力F1、F2

和F3，它們組成平面任意力系，在平面內(nèi)任意取一O

點，分別將三力向此點簡化?！?/p>

力系的主矢——

力系對簡化中心的主矩O

點稱為簡化中心；R’=F1’+F2’+F3’;MO=M1+M2+M3;對于力的數(shù)目為

n

的平面任意力系，推廣為：右擊

三個按鈕作用相同簡化結(jié)果：平面任意力系向一點簡化，可得一個力和一個力偶，力的大小和方向等于主矢的大小和方向，力作用線通過簡化中心；力偶的矩等于主矩。力系的主矢的解析表達式為：xyOijR’MOMO注意：主矢與簡化中心無關(guān)，一般情況下主矩與簡化中心有關(guān)。AAAAA固定端支座簡化圖形AFAXAYAMAMAXAYAMAXAYAMAXAYAMA§3-2平面力系的簡化結(jié)果分析主矢不等于零，即 R’≠0主矩合成結(jié)果說明MO

=0合力R’此力為原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心。合力R大小等于

主矢MO

≠0此力為原力系的合力，合力的作用線距簡化中心的距離O合力矩定理平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。證： 由前表的第二種情況可知：合力對O點的矩為：

MO

(R)=Rd=MO∵主矩

MO

=∑MO

(F)∴MO

(R)=∑MO(F)RdMOR’MOR’MOR’MOR’MOR’水平梁AB受三角形分布載荷作用，載荷的最大載荷集度為q，梁長

l。求合力作用線的位置。xdxqx例3-1合力對A點的矩可由合力矩定理得：lABqx解：距A端為x的微段dx上作用力的大小為qx

dx三角形面積作用線過幾何中心hP其中qx

=qx/l設(shè)合力P到A點的距離h合力的大小為xdxqxhPxdxqxhP思考題水平梁AB受梯形分布載荷作用，載荷的最小載荷集度為q1，載荷的最大載荷集度為q2，梁長

l。求合力FR作用線的位置。lABq1q2FR見后續(xù)思考題lABq1q2FR1FR2FR將梯形分布載荷分解為均布載荷和三角形分布載荷。均布載荷三角形分布載荷

梯形載荷的合力由合力矩定理，有即已知q1，q2，

l。求FR作用線的位置h。解畢。平面力系的簡化結(jié)果分析（二）主矢等于零，即 R’=0主矩合成結(jié)果說明MO

≠

0合力偶此力偶為原力系的合力偶，由簡化結(jié)果彼此等效知：此情況下，主矩與簡化中心O無關(guān)。平衡MO

=0§3-3節(jié)將重點討論。即，主矢R’=0,這樣可知主矩與簡化中心D的位置無關(guān)，以B點為簡化中心有：MD=MB

=M-F3×1=1Nm，主矩MD=1Nm一平面力系如圖，已知，M=2(Nm)

，,求該力系向D點的簡化結(jié)果。例3-2F2F3F1MABCD3m1m1m1m1m解：§3-3平面力系的平衡條件平面任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和力系對任意點的主矩都等于零。即：R’=0,MO=0由：得平衡的解析條件：自重不計的簡支梁AB受力如圖，M=Pa。試求A和B支座的約束反力。例3-3MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐標軸如圖。XAXANBNBYAYA∑MA

(F)=0,NB·4a

－M

－P·2a

－q·2a·a=0∑X=0,XA

=0∑Y=0,YA－q·2a

－P+NB

=0，ABEnd∑X=0，

Fsin60°－3lq/2－XA=0XA=316.4

kN∑Y=0，F(xiàn)cos60°－P+YA

=0

YA=-100kN∑MA(F)=0，

MA

－3l

2

q/2－M+

3lFsin60°－Flsin30°=0

MA

=-789.2kNm

自重為P=100kN的T

字形剛架，l=1m，M=20kNm，F(xiàn)=400kN，q=20kN/m，試求固定端A的約束反力。ABDll3lqF60°MPYAXAPPXAXAYAYAMAMAMAMAMAMAMA例3-4解：AEnd當我們更換第三個方程，結(jié)果同?！芛=0,YA－q·2a

－P

－NB=0MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐標軸如圖。XAXANBNBYAYA∑MA

(F)=0,NB·4a－M－P·2a－q·2a·a=0∑X=0,XA=0AB∑Y=0,YA

－q·2a

－P

－NB=0YA

·4a－q·2a·3a

－

P·2a+M=0回憶例3-3∑MB=0,∑MB=0,∑MB=0,∑MB=0,為什么會有二力矩形式的平衡方程呢？這是因為，如果力系對點A的主矩等于零，則系統(tǒng)有兩種可能：（2）經(jīng)過A點的一個力。如果力系對點B的主矩也同時等于零，則系統(tǒng)仍有兩種可能：（2）經(jīng)過A點，同時又通過B點的一個力。如果再加上∑X=0，那么力系如有合力則力垂直于x軸，當附加軸不允許垂直于連線AB時，系統(tǒng)必為平衡力系。（1）平衡。（1）平衡。ABx平衡方程的三種形式基本二力矩三力矩

只要x

軸

不平行y軸只要AB聯(lián)線不與x軸垂直只要A、B、C

三點不共線形式限制條件平衡方程∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0∑X=0∑MA(F)=0∑MB(F)=0∑M

A

(F)=0∑M

B

(F)=0∑MC

(F)=0§3-4平面平行力系的平衡方程

平行力系是平面任意力系的一種特殊情形。于是，獨立的平衡方程數(shù)只有兩個∑Y=0∑MO

(F)=0或∑MA

(F)=0∑MB(F)=0A、B連線不與力平行。F1F2F3FN如選x

軸與各力垂直就有∑X≡0xyO（1）保證起重機在滿載和空載時都不至翻倒，求平衡載荷P3應(yīng)為多少？塔式起重機如圖，P1=700kN，P2=200kN，試問：例3-56m12m2m2mABP2P1P3NBNA（2）當P3=180kN時，求滿載時軌道A、B

給輪的反力。保證起重機在滿載和空載時都不至翻倒，求平衡載荷P3應(yīng)為多少？

P1=700kN，P2=200kN例3-5(續(xù)1)6m12m2m2mABP2P1P3NBNA解：滿載而不翻倒時，臨界情況下，NA

=0∑MB

=0,

P3min(6+2)+2P1－P2(12－2)=0

P3min=(10P2－2P1)/8=75kN當空載時，

P2=0，臨界情況下，NB=0∑MA=0,P3max(6－2)－2P1=0

P3max=2P1/4=350kN得：75kN≤P3≤350kN當P3=180kN時，求滿載時軌道A、B

給輪的反力。例3-5(續(xù)2)6m12m2m2mABP2P1P3NBNAP1=700kN，P2=200kN解：∑MA=0,

P3(6－2)－2P1－P2(12+2)+4NB

=0NB=(14P2+2

P1

－4P3)/4=870kN∑Y=0,NA+NB

－P3－P1

－P2=0

NA

=210kN用∑MB=0可以進行校驗?！?-5物體系的平衡·靜定和靜不定問題工程結(jié)構(gòu)大都是幾個物體組成的系統(tǒng)。物系平衡時，組成該系統(tǒng)的每個物體皆平衡。在平面任意力系的作用下，每個物體可寫出三個平衡方程，若物系由n

個物體組成，則可寫出3n

個獨立方程。（平行、匯交力系減少）當系統(tǒng)中的未知量個數(shù)等于獨立方程數(shù)，這樣的問題稱為靜定問題。為提高結(jié)構(gòu)堅固性，常常增加多余約束，使未知量個數(shù)超過獨立方程數(shù)，這樣的問題稱為靜不定或超靜定問題。P靜定和靜不定問題對比（1）本問題為平面匯交力系，獨立方程數(shù)為2個未知量的個數(shù)——（1）2個（2）3個P靜定和靜不定問題對比（2）XAYAMAXAYAMA本問題為平面任意力系，獨立方程數(shù)為3個未知量4個未知量3個未知量3個未知量4個XAYAN1N2NXAYAN靜定和靜不定問題對比（3）

獨立方程數(shù)6個

未知量

獨立方程數(shù)3個

未知量XAYAXBYBXAYAXBYBXCYCYC’XC’ABCAB6個4個LlHhABC

平衡吊實例（四根桿組成的四邊形為平行四邊形）以整體結(jié)構(gòu)為對象PNBQNCPNBQNCPNBQNC∑MC(F)=0，P(Lcos

+Hcos

)－NB(lcos

+hcos

)=0∑Y=0，P

－NB+Q

=0Q的大小即平衡物的重量，通過平衡物的作用來吊起重物，并可隨意搬移重物。

靜定物系平衡問題算例靈活選取研究對象，靈活選取平衡方程，一個方程求解一個未知量，可使問題的求解簡便。組合靜定梁一般可以先研究部分（簡單優(yōu)先），再研究整體結(jié)構(gòu)；也可先研究一部分，再研究另一部分。注意集中載荷作用在鉸接點的情況。當剛體（系統(tǒng)）沒有完全被約束而在主動力作用下處于平衡，則主動力必須滿足一定的關(guān)系或系統(tǒng)必須在適當?shù)奈恢貌拍鼙３制胶??？衫枚嘤嗟钠胶夥匠虂泶_定主動力必須滿足的關(guān)系或平衡位置。至§3-6平面桁架

無底圓柱形空桶放在光滑水平面上，內(nèi)放兩個重球，每個球重P、半徑r，圓桶半徑R

。不計摩擦和桶壁厚，求圓桶不至翻倒的最小重量G

min

。例3-6PPABGCD系統(tǒng)受力情況如圖?？紤]翻倒的臨界情況，PPGNN

無底圓柱形空桶放在光滑水平面上，內(nèi)放兩個重球，每個球重P、半徑r，圓桶半徑R

。不計摩擦和桶壁厚，求圓桶不至翻倒的最小重量G

min

。例3-6附屬PPCD系統(tǒng)受力情況如圖。G考慮翻倒的臨界情況，GminGminGmin待續(xù)此時G=Gmin

。圓桶除了與光滑面的接觸點外，都不受力。例3-6NAB分別畫出球及圓筒的受力圖。GminCDACDBPPFCFDFABFAB’FC’FD’NFRABCDPPFCFDCDGGminGminGminABNFRPPNFC’FD’FC’FD’FCFDFABFAB’FCFDFABFAB’待續(xù)GminCDFC’FD’FRab解1：分別以兩個球和圓桶為研究對象，畫受力圖。設(shè)BE=a

，AE=b。以兩球為對象，由EO例3-6續(xù)1FDABCDPPFCNR待續(xù)以桶為對象，由顯然，b=2(R-r)

。所以即例3-6續(xù)2解2：以兩個球為研究對象，→N=2P

以整體為研究對象，∑Y=0，N－P－P=0∑MO(F)=0，

(N－P)(2R－

r)－GminR－Pr=0abEFDABCDPPFCNCDGminABNFRPPOREND所以即靜定組合梁如圖，已知Q=10kN，P=20kN，p=5kN/m，q=6kN/m和2a=1m。梁自重不計，求A，B的支座反力。2a2a2a2aaa例3-7ABCDXAYAMApqQPNB畫出系統(tǒng)的受力圖。未知量有四個，必須拆分系統(tǒng)！見后續(xù)XAYAMANBXAYAMANB例3-7(續(xù)1)可見，AC段有5個未知量，CD段有3個未知量，可先研究CD段。AC2a2aaPpYC’XC’XAYAMABDCqQ2a2aaXCYCYCXCNBXCYCYC’XC’YC’XC’分別畫出AC段、CD段的受力圖。見后續(xù)解法一：1、以CD為對象例3-7(續(xù)2)=0

YC·

2a－Q

a+Q=10kN，q=6kN/m2a=1mBDCqQNB2a2aaYCXC見后續(xù)例3-7(續(xù)3)2、再以AC為對象由（1）知,X

C’=X

C=0,YC’

=YC=4kN∑X=0，X

A=0∑Y=0，YA－P

－

p·2a

－YC’=0

Y

A

=

P+p·2a+YC’=29(kN)∑M

A

(F)=0，MA－P·a

－p·2a·3a－YC’·4a=0

MA

=10+7.5+8=25.5(kN·m)P=20kN，p=5kN/m，2a=1mAC2a2aaPXAYApYC’XC’MA見后續(xù)例3-7(續(xù)4)可不必去求

XC、YC，而直接去研究整個系統(tǒng)。解法二：1、以CD為對象Q=10kN，q=6kN/m2a=1mBDCqQNB2a2aaYCXC由解得見后續(xù)例3-7(續(xù)5)2、以系統(tǒng)為研究對象，畫受力圖。p2a2a2a2aaaABCDqQPXAYAMANB由解得END圖示結(jié)構(gòu)，已知載荷F1、F2、M及尺寸a，且M=F1a，F(xiàn)2作用于銷釘上，求:

（1）固定端A的約束反力；

（2）銷釘B

對

AB

桿及T

形桿的作用力。例3-8aaaa/2a/2BDEACF1F2M首先進行受力分析，理清解題思路！共有11個未知量！aBAXBYBXAYAMAXBYBXAYAMAXBYBXAYAMAYB’XB’F2YB’XB’YB’XB’BECF1XC’YC’XBTXC’YC’XBTXC’YC’XBTYBTYBTYBTDCMXCYCXDYDXCYCXDYDXCYCXDYDBEACF1F2MD求固定端A的約束反力及銷釘B

對

AB

桿及T

形桿的作用力。如何確定解題方案？1、以CD為研究對象，列平衡方程。例3-8（續(xù)1）aaDCM∑MD(F)=0，YC·2a

-M=0YC

=F1/2XCYCXDYDaaaa/2a/2BEACF1F2MD見后續(xù)求固定端A的約束反力及銷釘B

對

AB

桿及T

形桿的作用力。[解]例3-8（續(xù)2）2、以T形桿為研究對象

Y’C=YC=F1/2BECaaa/2a/2F1∑Y=0,

YBT+YC’－F1=0

YBT

=F1

／2∑MC(F)=0,

XBT

a

－YBT

a－

F1a=0

XBT=3F1／2YBTXC’YC’XBTaaaa/2a/2BEACF1F2MD見后續(xù)前頁已算得：

XBT=3F1／2

YBT

=F1

／2XBT

和YBT

就是銷對T形桿的作用力3、以銷釘b為研究對象例3-8（續(xù)3）F2∑X=0,XB’－XBT’=0 XB’=3F1／2∑Y=0,YB’－YBT’－F2=0YB’=YBT’+F2=F2+F1

／2XB’和

YB’

是懸臂梁AB對銷的作用力。顯然， XBT’=XBT=3F1／2

YBT’=YBT=F1

／2YB’XB’aaaa/2a/2BEACF1F2MD見后續(xù)前頁已算得：XB’=3F1／2，

YB’=F2+F1

／2

顯然，XB=XB’=3F1／2

YB

=YB’=F2+F1

／2這就是銷對懸臂梁AB的作用力。以懸臂梁AB為研究對象例3-8（續(xù)4）aBA∑X=0,

XB－XA=0 XA=3F1／2∑Y=0, YA

－YB=0 YA

=F2+F1

／2∑MA(F)=0, MA+YB

a=0

MA

=-(F2+F1

／2)aXBYBXAYAMAaaaa/2a/2BEACF1F2MD解畢例3-9待續(xù)PABaaaaaDCQEH已知剛體系統(tǒng)尺寸與載荷如圖，AB、CD桿在其中點E處鉸接，CH、CD桿在點C處鉸接，鉸接在CD桿端的滑塊可沿水平軌道滑動。若系統(tǒng)在圖示位置平衡，試求力P與Q的關(guān)系。例3-9續(xù)未知量數(shù)共為如何確定解題步驟？待續(xù)11個！首先進行受力分析，理清解題思路！PBCHDQABEEDCXCYCNBXC’YC’NB’XE’YE’XEYEXAYAXD’YD’XDYDNDPABaaaaaDCQEHXCYCNBXC’YC’NB’XE’YE’XEYEXAYAXD’YD’XDYDNDCABED求系統(tǒng)平衡時，力P與Q的關(guān)系。例3-9續(xù)（1）研究系統(tǒng)，畫受力圖。PABaaaaaDCQEHXAYAND（2）研究CH桿，畫受力圖。PBCHXCYCNB待續(xù)求力P與Q的關(guān)系。[解]PABaaaaaDCQEHXAYAND已求得（3）研究CD與滑塊D系統(tǒng)，畫受力圖。DQECXC’YC’XE’YE’NDPBCHXCYCNB解得End例3-9續(xù)三鉸剛架如圖，自重不計，求支座A、B和中間鉸C的約束反力。例3-10pQaaaACB待續(xù)[解]例3-10（續(xù)1）pQaaaACBXAYAXBYB待續(xù)以整體結(jié)構(gòu)為研究對象，由以AC為研究對象例3-10（續(xù)2）QaaACXAYAXcYcEnd再以整體結(jié)構(gòu)為研究對象，由pQACBXAYAXBYB例3-11平面構(gòu)架由桿AB、DE及DB鉸接而成。已知重物重P，AC=CB=DC=CE=2l；定滑輪半徑為R，動滑輪半徑為r，且R=2r=l，θ=45o。桿和輪的重量皆不計，試求：A、E支座的約束反力及BD桿所受的力。見后續(xù)PⅡⅠBCADKθERr例3-11續(xù)

1PⅡⅠBCADKθERrFAFExFEy解：見后續(xù)(1)研究系統(tǒng)，受力如圖。解得FAFExFEyFAFExFEyFAFExFEy已知P，AC=CB=DC=CE=2l；R=2r=l，θ=45o。桿和輪的重量皆不計，求A、E支座反力及BD桿所受的力。例3-11續(xù)2PBFBxFByFKPⅡⅠBCADKθERr(2)研究兩滑輪、銷釘B和重物系統(tǒng)，受力如圖。已求得(3)研究DE桿，受力如圖。CDKEFK’FExFEyFDBFCyFCx得PFBxFByFKPF