2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列的綜合應(yīng)用 專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

課時(shí)過關(guān)檢測(cè)（三十三）

數(shù)列的綜合應(yīng)用【原卷版】

1.已知數(shù)列｛%｝,若斯+1=詼+即+2（〃GN*）,則稱數(shù)列｛斯｝為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列｛d｝

為“凸數(shù)列"，且乩=1,匕2=—2,則數(shù)列｛d｝的前2023項(xiàng)和為（）

A.14B.—5

C.1D.-1

2.若a,6是函數(shù)/（XlMx2—px+q3>0,q>0）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a,b,一2這三個(gè)

數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq=（）

A.17B.18

C.19D.20

3.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群.該塔

群隨山勢(shì)鑿石分階而建，依山勢(shì)自上而下，第一階1座，第二階3座，第三階3座，第四階

5座，第五階5座，從第五階開始塔的數(shù)目構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5,公差為2的等差數(shù)列，總計(jì)

108座，故名一百零八塔.則該塔的階數(shù)是（）

A.10B.11

C.12D.13

4.（多選）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué).如圖，有一列曲

線Po,Pl，P2,…,P?,已知尸0是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，Pk+1是對(duì)尸尢進(jìn)行如下操作

而得到的：將尸上的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將

中間部分的線段去掉（左=0,1,2,???）.記化,的周長(zhǎng)為品，面積為S“對(duì)于”EN,下列結(jié)論不

正確的是（）

尸1尸2P"

A.似:為等差數(shù)列B.榭為等比數(shù)列

C.3M>0,使￡〃<又D.3M>0,使S/M

5.定義〃個(gè)正數(shù)01，P2,…，P”的“均倒數(shù)”為上工一上-，若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)

列｛斯｝的前"項(xiàng)的“均倒數(shù)”為丘p則。2021=.

6.已知函數(shù)/（%）是定義在（0,+8）上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的正數(shù)x,y都有7（%.丁）=/（%）

+700,若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為斗，且滿足式5〃+2）=/（3）+/（如），則斯=.

7T

7.已知數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為S”滿足S“=a”2+加m，b均為常數(shù)），且°7=].設(shè)函

數(shù)於）=sin2x+2cos],記必=/（斯），則數(shù)列｛丹｝的前13項(xiàng)和為.

8.數(shù)列｛斯｝滿足:ai=l,點(diǎn)（",%+呢+1）在函數(shù)y=Ax+l的圖象上，其中無為常數(shù),

且k手0.

（1）若3。2，。4成等比數(shù)列,求上的值；

⑵當(dāng)k=3時(shí)，求數(shù)列｛斯｝的前2n項(xiàng)的和S2rt.

9.（多選）在數(shù)列｛④｝中，若即+%+i=3",則稱｛而為“和等比數(shù)列”.設(shè)S”為數(shù)列｛◎｝

的前w項(xiàng)和，且的=1,則下列對(duì)“和等比數(shù)列”的判斷中正確的有（）

、32020-132021—1

A.々2020=4B.412020=

32022—132°23—1

C.$2021=gD.S2021=g

10.已知數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為S”點(diǎn)（〃，3M1）在直線y=5上，若6〃=（—1）"斯，

數(shù)列｛兒｝的前n項(xiàng)和為Tn,則滿足IGIW20的”的最大值為.

11.已知數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為",且S"+i=4斯，wGN*,的=1.

（1）在下列三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明，并求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

①數(shù)列像是等差數(shù)列；

②數(shù)列｛an+1-2a?｝是等比數(shù)列；

③數(shù)列｛&+i-2S”｝是等比數(shù)列.

（2）記b“=不片，求數(shù)列｛父｝的前n項(xiàng)和T,,.

注：如果選擇多個(gè)結(jié)論分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

選結(jié)論②.

12.將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有1X12,2X6,3義4三種，其中3義4是這三

種分解中兩數(shù)差的絕對(duì)值最小的一種，我們稱3X4為12的最佳分解.當(dāng)pXq（p,qGN*）

2021

是正整數(shù)w的最佳分解時(shí)，我們定義函數(shù)/（〃）=|p—q|,例如加2）=|4—3|=1,則寸⑵）=

Z=1

（）

A.2i°u—lB.21011

C.21010-lD.21010

13.某同學(xué)在復(fù)習(xí)數(shù)列時(shí)，發(fā)現(xiàn)曾經(jīng)做過的一道題目因紙張被破壞，導(dǎo)致一個(gè)條件看不

清（即下題中“己知”后面的內(nèi)容看不清），但在（1）的后面保留了一個(gè)“答案：51，邑，S2成

等差數(shù)列”的記錄，具體如下：記等比數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和為％,已知.

S1,S1,

①判斷S2,S3的關(guān)系；（答案：S3,S2成等差數(shù)列）

幾、4

②若內(nèi)一的=3,記仇=不編，求證：bi+62H-----

（1）請(qǐng)?jiān)诒绢}條件的“已知”后面補(bǔ)充等比數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)M的值或公比q的值（只補(bǔ)充

其中一個(gè)值），并說明你的理由；

（2）利用（1）補(bǔ)充的條件，完成②的證明過程.

課時(shí)過關(guān)檢測(cè)（三十三）

數(shù)列的綜合應(yīng)用【解析版】

1.已知數(shù)列｛斯"若詼+1=斯+斯+2（〃￡N*）,則稱數(shù)列｛斯｝為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列｛兒｝

為“凸數(shù)列"，且加=1,"=—2,則數(shù)列｛為｝的前2023項(xiàng)和為（）

A.-4B.-5

C.1D.-1

解析：C由“凸數(shù)列”的定義及d=1,岳=—2,得/?3=-3,/?4=-1,Z?5=2,。6=

3,岳=1,88=—2,…，.,?數(shù)列｛瓦｝是周期為6的周期數(shù)列,且岳+岳+%+/+65+66=0,

于是數(shù)列｛勿｝的前2023項(xiàng)和等于加=1,故選C.

2.若mZ?是函數(shù)兀0=/一px+q⑦>0,夕>0）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且〃，b,一2這三個(gè)

數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則pq=（）

A.17B.18

C.19D.20

解析：D由題設(shè)知：a-\-b=p>0,ab=q>09a,b,—2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差

數(shù)列，則2=2?；蛉艘?=2〃或"+b=—4（舍）；a,b,一2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等

[ab=4,[ab=4,

比數(shù)列，則ab=4或-2。=廬（舍）或一2b=〃2（舍）；.?.｛。?或1。。解得

[a-2=2b[b-2=2a,

/a=4,1,2,

],1或t]或1C（舍）....p=5,9=4,則pq=20.故選D.

W=1g=4[b=~2

3.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群.該塔

群隨山勢(shì)鑿石分階而建，依山勢(shì)自上而下，第一階1座，第二階3座，第三階3座，第四階

5座，第五階5座，從第五階開始塔的數(shù)目構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5,公差為2的等差數(shù)列，總計(jì)

108座，故名一百零八塔.則該塔的階數(shù)是（）

A.10B.11

C.12D.13

解析：C由第一階1座，第二階3座，第三階3座，第四階5座，則前四階共12座.則

從第五階后共有108—12=96座.設(shè)第五階塔的數(shù)目為則勾=5,設(shè)從第五階開始自上

而下，每一層的塔的數(shù)目為金，由從第五階開始塔的數(shù)目構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5,公差為2的等

差數(shù)列.所以a”=ai+（w—l）d=5+2（w—1）=2〃+3,所以~=/+4〃，所以

由S"=/+4〃=96,解得w=8或“=—12（舍去）.所以該塔的階數(shù)是4+8=12.故選C.

4.（多選）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué).如圖，有一列曲

線Po,Pl，P2,…,P?,已知尸0是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，Pk+1是對(duì)尸尢進(jìn)行如下操作

而得到的：將尸上的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將

中間部分的線段去掉（左=0,1,2,???）.記B的周長(zhǎng)為〃，面積為S”對(duì)于“6N,下列結(jié)論不

正確的是（）

P。尸1尸2Pn

A.優(yōu):為等差數(shù)列B.榭為等比數(shù)列

C.3M>0,使D.3M>0,使

解析：ABC易知封閉曲線的周長(zhǎng)數(shù)列也}的首項(xiàng)L0=3,公比為小故冊(cè)=3X右〉.易

知的邊數(shù)為3義型，邊長(zhǎng)為上,故R+i的面積比Bt的面積增加了3義4?義（義312=*

所以$太+1=$尢+*乂面口=0,1,2一“），所以=—今px。".所以臺(tái)=

8小—3小義年）

所以不為等差數(shù)列也不為等比數(shù)列，所以A、B均錯(cuò)誤；當(dāng)w-+8

60xg}

時(shí)，&=3義停〉一+8,所以C錯(cuò)誤；而所以D正確.故選A、B、C.

5.定義幾個(gè)正數(shù)pi,P2,…，p〃的“均倒數(shù)”為，;,，若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)

pi十。2H----rpn

列｛%｝的前W項(xiàng)的“均倒數(shù)”為日T，則。2021=.

解析：設(shè)數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,由已知可得數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為

幾〃]

川+勿+…+4=M=2/Z+1'可得Sz=(2〃+1)〃=2層+幾，所以。2021=$2021-S2020=(2X2

0212+2021)-(2X20202+2020)=8083.

答案:8083

6.已知函數(shù)/(%)是定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的正數(shù)x,y都有7(%.丁)=/3)

+4)，若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為命,且滿足兀%+2)=八3)+大斯)，則詼=.

解析：由題意可得S〃+2=3斯，①

當(dāng)2時(shí)，S1T+2=3詼-1,②

則①一②，可得詼=3。〃-3?！?1,即2斯=3斯—1,所以2-=,，當(dāng)〃=1時(shí)，“1=1,所

3

以｛如｝是以1為首項(xiàng)，豺公比的等比數(shù)列，所以出=內(nèi)?尸

答案:3〃一1

7T

7.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃，滿足S〃=即2+而(〃，b均為常數(shù))，且〃7=].設(shè)函

數(shù)危尸sin2x+2cos與記％=/(斯)，則數(shù)列｛加｝的前13項(xiàng)和為.

2

解析：Sn=an+bn,???當(dāng)〃22時(shí)，有an=Sn—Sn-i=2an+b—a；又當(dāng)n=l時(shí)，有

===

S\a\a-\-b也適合上式，/.an=2an~\-b—a,又an+i—an2a為常數(shù)，二?數(shù)列｛斯｝是公差

兀x

為2。的等差數(shù)列，又?二斯+為4-〃=兀，\'fix)=smZx+Zcos^^sin2x+cosx+1,

yn+y14-n-+A^i4-?)=sin2斯+sin2〃i4-〃+cos念+cos〃i4-八+2=sin2?！?sin2(71—^)

+COS斯+COS(兀一斯)+2=2,又》7=/(。7)=1,???數(shù)列｛%｝的前13項(xiàng)和為八〃1)+黃。2)Hh/312)

+;(〃i3)=2X6+l=13.

答案：13

8.數(shù)列｛斯｝滿足：41=1,點(diǎn)(〃，斯+斯+1)在函數(shù),=履+1的圖象上，其中女為常數(shù)，

且20.

(1)若的，。2,。4成等比數(shù)列，求左的值;

(2)當(dāng)％=3時(shí)，求數(shù)列｛斯｝的前2〃項(xiàng)的和S2〃.

解：（1）由〃〃+〃鹿+1=版+1可得41+42=%+1,。2+。3=2左+1,。3+〃4=3左+1,

所以〃2=鼠。3=%+1,〃4=2%.

又。2,。4成等比數(shù)列，，星=。1〃4,即—=2鼠

又ZWO,故人=2.

=

（2）%=3時(shí)，an~\~ctn+i3n~\~1,.,.〃I+〃2=4,的+。4=10,…，〃2〃-1+。2〃=3（2"-1）+1,

4+6〃一20

S2?—4+10+…+6〃-2=2n=3n2~\~n.

9.（多選）在數(shù)列｛斯｝中，若斯+斯+1=3",則稱｛斯｝為“和等比數(shù)列”.設(shè)&為數(shù)列｛斯｝

的前〃項(xiàng)和，且的=1,則下列對(duì)“和等比數(shù)列”的判斷中正確的有（）

32。20_132021—1

A.42020=4B.^2020=4

32022_]J2023—1

C.S2021—gD?82021=g

解析：AC因?yàn)槠?斯+i=3",所以斯+I+〃"+2=3"+1兩式相減得斯+2—斯=2X3",

又。1=1,〃1+〃2=3,所以〃2=2,所以“2020=（。202。一。2018）+（。2018一42016）H^（。4一。2）

32020一]

+"2=2X（32+34+…+3?°埠+2=,故A正確,B錯(cuò)誤；S2021=。1+（。2+。3）+（。4

32022T

+a5）H-----I~（a2020+^202i）=l+（32+34H------1-32020）=g,故C正確，D錯(cuò)誤.故選A、

C.

10.已知數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為s”點(diǎn)(小章力在直線y=5上.若幻=(-1)“斯，

數(shù)列｛d｝的前n項(xiàng)和為Tn,則滿足IGIW20的”的最大值為.

解析：由題意知^一；［=性則S"=5,當(dāng)71—1時(shí)，471—S1—2；當(dāng)"N2時(shí)，a—Sn

3〃十122n

=n=

—S〃-1=3〃-1.而〃i=3Xl—1=2,符合上式，an3n—1,〃￡N*,:.bn=(—l)an(一

3(〃—1)

,!

l)(3n-l),.?.〃=—2+5—8+11-------卜(一1),(3〃-1),當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，Tn=2~(3n-

3幾—13M-1-1

1)=--y-,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，G=岸...要使|乙|《20,即一^—《20且當(dāng)(20,解得后13

且“GN*.

答案：13

11.已知數(shù)列｛?！埃那皐項(xiàng)和為S”且&+1=4斯，"GN*,ai—1.

(1)在下列三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明，并求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

①數(shù)列像是等差數(shù)列；

②數(shù)列｛%+i—2a”｝是等比數(shù)列；

③數(shù)列｛S〃+i—2Sn｝是等比數(shù)列.

S,9

(2)記兒=3L，求數(shù)列｛兒｝的前n項(xiàng)和Tn.

注：如果選擇多個(gè)結(jié)論分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：(1)選結(jié)論①.

因?yàn)?+1=4斯，6/1=1,所以〃2=3.

當(dāng)〃22時(shí)，Sz=4斯—1,兩式相減得，斯+1=4斯一4斯—1,

所以鼾=2竽一狎，即捐一%=第一狎，G2,所以數(shù)列用是等差數(shù)列.

1311

￡2空

又-

?1-2--------

2牙22424

所以竽1)="廿，所以詼=(〃+1>2〃-2.

選結(jié)論②.

因?yàn)?+1=4。〃，6/1=1,所以。2=3.

當(dāng)〃22時(shí)，S〃=4"〃—1,兩式相減得，飆+1=4斯一4斯—1,

所'以cin+i2a〃2(?！??！?1),〃22,

因?yàn)椤?—2〃1=1,所以｛斯+1—2斯｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹%

所以斯+1—2。”=2"一1,兩邊同時(shí)除以2#i得,瑞-"=1

所以慍是以俳=g為首項(xiàng)，9公差的等差數(shù)列，

所以器=舁：(〃-1)=空士所以廝=(w+l>2”-2.

選結(jié)論③.

因?yàn)镾“+I=4a”，<21=1,所以$2=4.

當(dāng)"》2時(shí)，Sn+1=4S?—4Sn-1,所以S”+i—2S"=2(S〃-2S〃-i),

因?yàn)镾—2S1=2,所以｛&+1-2SJ是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

所以S.+i—2S"=2",兩邊同時(shí)除以2"+L得弱一會(huì)與

所以松｝是以爭(zhēng)=；為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

所以或=舁3("—D=會(huì)所以Sn=n-2『i.

S〃+i

所以a~=5+l>2〃—2.

n4

n1

(2)由(1)得，Sn=n-2~,

訐”,S”+2("+2>2〃+i("+1>2"_%2"一1,「_L_I__

所決""—55+1-”.2〃-1.(72+1).2"—4-W.2"1(“+1>2"~4'[_n-2n1(n+l)-2"J,

11~111

所以〃…十

T=42?2i—3n-2"-1(n+l)-2n=4_廠("+1>2"」=4-

1

(〃+1).2"2

12.將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有IX12,2X6,3X4三種，其中3X4是這三

種分解中兩數(shù)差的絕對(duì)值最小的一種，我們稱3X4為12的最佳分解.當(dāng)pXq(p,qdN*)

2021

是正整數(shù)”的最佳分解時(shí)，我們定義函數(shù)為。=|0一外例如五12)=|4—3|=1,則>(2')=

尸1

A.—1B.21011

C.21010-1D.21010

2021

解析：A寸⑵)=/(2)+/(22)H----^22021)=|21-20|+|21-21|+|22-21|+|22-22|4------卜

i=\

I2101