平面向量中的范圍與最值問題（十大題型）（原卷版）-2025數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含2024年高考試題+回歸教材）

拔高點(diǎn)突破01平面向量中的范圍與最值問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................5

題型一：利用三角向量不等式.....................................................5

題型二：定義法.................................................................6

題型三：基底法.................................................................6

題型四：幾何意義法.............................................................7

題型五：坐標(biāo)法.................................................................8

題型六：極化恒等式.............................................................9

題型七：矩形大法..............................................................10

題型八：等和線'等差線'等商線................................................10

題型九：平行四邊形大法........................................................12

題型十：向量對(duì)角線定理........................................................14

03過關(guān)測(cè)試....................................................................14

1/19

技巧一.平面向量范圍與最值問題常用方法：

(1)定義法

第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系

第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題

第三步：得出結(jié)論

(2)坐標(biāo)法

第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)

第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化

第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量

第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)

第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論

(4)幾何意義法

第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡

第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式

第三步：解得結(jié)果

技巧二.極化恒等式

(1)平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：

年+邸+|￡_邸=2(前2+|邸)

證明：不妨設(shè)48=。,40=1,則/C=a+B,DB=a-b

國:麗2=口/)2=時(shí)一辦3+同②

①②兩式相加得：

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國2+\DB\=2(時(shí)+麻卜成珂+回0

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：:伍+訐_伍一訐]-------極化恒等式

①平行四邊形模式：a-b=^\AC[-\DB^

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方

差的卜

②三角形模式：=(加?為8。的中點(diǎn))

技巧三.矩形大法

矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等已知點(diǎn)O是矩形/BCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn),

證明：OA2+OC2=OB-+OD2.

【證明】(坐標(biāo)法)設(shè)4B=a,4D=b,以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy,

則B(a,0),D(0,6),C(a,6),設(shè)。(x,y),則

OA2+OC1=(x2+/)+[(x-a)2+{y-Z?)2]

OB2+OD2=[(x-a)2+/]+[x2+(j/-&)2]

OA2+OC2=OB1+OD2

技巧四.等和線

(1)平面向量共線定理

已知厲=2礪+〃無，若力+〃=1,則4及。三點(diǎn)共線；反之亦然.

(2)等和線

平面內(nèi)一組基底與，礪及任一向量而，OP=WA+^dB^,^ieR),若點(diǎn)尸在直線A5上或者在平行

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于的直線上，則2+必=左(定值)，反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線48時(shí)，k=l；

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線之間時(shí)，左e(O,l)；

③當(dāng)直線AB在點(diǎn)。和等和線之間時(shí)，ke(l,+oo)；

④當(dāng)?shù)群途€過0點(diǎn)時(shí)，k=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，則定值左互為相反數(shù);

隊(duì)\

技巧五.平行四邊形大法

1、中線長(zhǎng)定理

2

2AO=|/8「+|/?！竉；四「

2、P為空間中任意一點(diǎn)，由中線長(zhǎng)定理得:

2

2PO=|P^|2+|PC|2-1|^C|2

2PO=|P￡>|2+|P5|2-||DS|2

兩式相減：\p^\+\PC^-(|PD|2+|ra|2)=~^BD^=2AB-AD

技巧六.向量對(duì)角線定理

------?2?2?2?2

就詼=(AD+BC)-(AB+CD)

一2

4/19

D

題型歸船總結(jié)

題型一：利用三角向量不等式

【典例1-1】已知曰+回=2,卜一*4,則同+間的范圍是—.

【典例1-2]（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）已知|"2訃,-@卜1,怩|=1,則向量小6的范圍是.

【變式1-1]已知同=i,W=2,同=3且貝中+3+q的最大值為（）

A.5.5B.5C.6.5D.6

【變式1-2]（2024?高三?浙江金華?開學(xué)考試）已知向量獲滿足|￡+石|=4,|￡_引=3,則向+年|的范圍

是（）

A.[3,5]B.[4,5]C.[3,4]D.[4,7]

【變式1-3]（2024?河北保定?二模）如圖，圓0和圓。2外切于點(diǎn)尸，A,B分別為圓。和圓仇上的動(dòng)點(diǎn),

已知圓。|和圓。2的半徑都為1,且莎.麗=—1，則|用+而『的最大值為（）

【變式1-4]已知平面向量弓，4滿足一,|=2,設(shè)萬=,+44,3=,+4,若1?小342，則的取值范

圍為.

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題型二：定義法

【典例2-1】已知向量入書滿足：|"4=4,「卜四瓦設(shè)15與￡+書的夾角為0，貝！jsind的最大值為

【典例2-21八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋.八角星紋常繪于彩陶盆和豆的

上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣.八角星紋以白彩的成,

黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺.八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長(zhǎng)，傳播范圍亦廣，在

長(zhǎng)江以南的時(shí)間稍晚的松澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋.圖2是圖1抽象出來的

圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形（如41CA）為等腰直角三角形，點(diǎn)。為圓心，中間部分是正方形且邊

長(zhǎng)為2,定點(diǎn)/,8所在位置如圖所示，則在.而的值為（）

圖2

C.10D.8

【變式2-1】已知點(diǎn)4B,C均位于單位圓（圓心為。，半徑為1）上，且/8=行,萬?次的最大值為

（）

A.41B.V3C.V2+1D.V3+1

【變式2-2】已知尸。，必V是半徑為5的圓O上的兩條動(dòng)弦，園=6,|加卜8,貝川兩+的最大值是（

題型三：基底法

【典例3-1】已知的內(nèi)角4RC的對(duì)邊分別為a,6,c,若/=］，。=2,。為45的中點(diǎn)，E為的

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中點(diǎn)，BC=3BF則赤.方的最大值為.

—1—

【典例3-2］在AABC中，N/=60。，BC=1,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為C。的中點(diǎn)，若BF>BC,則

AE-AF的最大值為.

【變式3-1］在。8c中，N/=60。，|數(shù)|=1,點(diǎn)。為N8的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為CO的中點(diǎn)，若設(shè)

L1UUI±LAUUL1______---------?1--------?__________

AB=a,AC=b,則存可用表示為若BFyBC,則荏.赤的最大值為

【變式3-2］在AA8C中，M是邊3C的中點(diǎn)，N是線段四的中點(diǎn).若”3C的面積為百，則

0

痂?京取曩個(gè)值時(shí)，則2BC=()

A.2B.873-12C.6D.4

【變式3-3］如圖，已知等腰15c中，|/邳二|幺。卜3,|SC|=4,點(diǎn)尸是邊3C上的動(dòng)點(diǎn),則

A.為定值10B.為定值6

C.為變量且有最大值為10D.為變量且有最小值為6

題型四：幾何意義法

【典例4-1】己知Z,會(huì)是同一平面上的3個(gè)向量，滿足同=3,忖=2后，a-b=-6,則向量?與3的夾角

為,若向量工_0與的夾角為弓，則，的最大值為.

【典例4-2】已知向量心行滿足同=煙=2,則B+可+卜-可的最小值是最大值是

【變式4-1］（2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測(cè)）已知。是“3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|劉卜2,OAAC^-\）

OCAC^1>則//8C的最大值為（）

7171_7171

A.—B.—C.-D.一

6432

【變式4-2］已知平面向量2b，3且忖=1,同=2.已知向量3與工所成的角為60。，且八吊邛

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對(duì)任意實(shí)數(shù)/恒成立，則卜+0+的最小值為（）

A.V3+1B.2eC.V3+V5D.275

【變式4-3】已知2,友工是平面向量，且工是單位向量，若非零向量Z與工的夾角為：，向量族滿足

?-4eJ+3=0-則卜-閘+區(qū)-司的最小值是（

A.V5-2B.V5-1C.

【變式4-4］（2024?山東青島?三模）已知向量￡,

貝I］卜的最小值為（）

A.V3-1B.V3C.

題型五：坐標(biāo)法

【典例5-1】（2024?河北滄州?一模）如圖，在等腰直角“8C中，斜邊/8=4逝，點(diǎn)。在以8C為直徑的

圓上運(yùn)動(dòng)，則|方+方|的最大值為（）

A.476B.8C.6石D.12

【典例5-2】已知友|=2,~AM^2MB＞若動(dòng)點(diǎn)尸，。與點(diǎn)N,M共面，且滿足|刀|=|夜

|加H兩I，則礪?破的最大值為（）

A.0B.1C.1D.2

【變式5-1】在梯形48。中，ABIICD,AB=2,AD=?，CD=I,/BAD=45°,P,。分別為線

段和線段/C上（包括線段端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則萬?海的最大值為（）

A.2A/5B.272C.V10D.3

jr

【變式5-2】在△A8C中，BC=2,/BAC=g,。為3c中點(diǎn)，在A42C所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸滿足

ULLLULUULUUUU____._____.

PBPD=PCPD，則/P8C的取大值為（）

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C.百

【變式5-3］在A48c中，AB=2BC=2,ZB=90°,P是以48為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則元?后的最

大值是（）

A.75+2275-2C.275D.4

題型六：極化恒等式

TT______

【典例6-1】已知。8c中，BC=4,A=~,若所在平面內(nèi)一點(diǎn)。滿足麗+祝+2。/=0,貝U

麗?祝的最大值為___.

【典例6-2】在△尸45中，AB=2y［3,ZAPB=^,點(diǎn)0滿足而=2（逅+誣），則逅?西的最大值為.

【變式6-1］在邊長(zhǎng)為2的正方形/BCD中，動(dòng)點(diǎn)P。在線段8。上，且|尸。|=2,則不.而的最小值為

（）

A.2B.V2C.ID.1

【變式6-2】點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形NBCDM邊上的動(dòng)點(diǎn)，則強(qiáng).麗的最大值為（）

1113

A.2B.—C.3D.—

【變式6-3】勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩

個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知

，8=2,P為弧/C（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則而.屈的范圍為—.

【變式6-4］（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里

慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以在高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為12,轉(zhuǎn)盤的直徑為

10,A,2為摩天輪在地面上的兩個(gè)底座，|工創(chuàng)=10,點(diǎn)尸為摩天輪的座艙，則刀.刀的范圍為.

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題型七：矩形大法

【典例7-1】已知圓4：/+/=9與。2：/+/=36,定點(diǎn)P(2,0),/、5分別在圓G和圓G上，

滿足上4，必，則線段的取值范圍是.

【典例9在平面內(nèi)’已知小砥，的二礫=1,其函+砥，若1研《，則

|次|的取值范圍是()

【變式7-1】已知圓。：k2+「=16,點(diǎn)尸(1,2),M、N為圓。上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且可乙麗=0若

PQ=PM+PN,則|而|的最小值為.

--1一

【變式7-2］設(shè)向量心b，己滿足|刈=他|=1,限b.,(5-c).(Z>-c)=0,則?的最小值是()

A.立士B.3二1■C.V3D.1

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題型八：等和線、等差線、等商線

【典例8-1】如圖，在“BC中，AN=^}NC,P是線段3N上一點(diǎn)，若衣=機(jī)屈+〃％,則機(jī)〃的最大值

為—.

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A

/ZP\

BC

_?__，__?_____LILU

【典例8-2］（多選題）（2024?遼寧葫蘆島?二模）已知向量0408,。尸滿足|。3|=2，

OAOB=0,而=X厲+〃礪.則下列說法正確的是（）

A.若點(diǎn)尸在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)義”取得最大值時(shí)，|而|的值為括

B.若點(diǎn)尸在直線N3上運(yùn)動(dòng)，刀在礪上的投影的數(shù)量的取值范圍是（-（」］

C.若點(diǎn)尸在以『=?為半徑且與直線相切的圓上，|浜|取得最大值時(shí)，彳+〃的值為3

D.若點(diǎn)P在以r=孚為半徑且與直線相切的圓上，幾+〃的范圍是［-1,3］

【變式8-1］如圖所示，8是NC的中點(diǎn)，礪=2礪,P是平行四邊形BC75E內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且

OP=xOA+yOB（x,yeR）,則當(dāng)y=2時(shí)，x的范圍是.

【變式8-2］如圖，點(diǎn)。是半徑為1的扇形圓弧Q上一點(diǎn)，且辛，若定=+y礪，則

工+收'的最大值是（）

A.1B.—C.VioD.4

2

【變式8-3】如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓。，P為圓。上任一點(diǎn)，若萬=x次+y就，則

尤+了的最大值為（）

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【變式8-4]（2024?河北滄州?三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)

的各個(gè)分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊“3C中，AB=2,以三條邊為直徑

向外作三個(gè)半圓，M是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若麗7=2萬+〃就，則彳+〃的最大值為（）

A*B.fC.13

D.-

2

【變式8-5]平行四邊形4BCD中，48=2,AD=\,以。為圓心作與直線相切的圓，尸為圓。上且

落在四邊形/BCD內(nèi)部任意一點(diǎn)，~AP=XAB+^AD,若4+〃>1,則角A的范圍為（）

a-[%]b-H）c-gTD.M

題型九：平行四邊形大法

【典例9』】如圖，圓。是半徑為1的圓，。/=；,,

設(shè)8,C為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則元.病的取值范圍

是___________.

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【典例9-2】如圖，C,。在半徑為1的。。上，線段是。。的直徑，則淺.淺的取值范圍是

【變式9-1］（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知。為單位向量，平面向量力3滿足|3+司=|＞即=1,16的取

值范圍是—.

【變式9-2］（2024?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）半徑為1的兩圓M和圓。外切于點(diǎn)P,點(diǎn)C是圓M上一點(diǎn),

點(diǎn)3是圓。上一點(diǎn)，則正.而的取值范圍為.

【變式9-3】設(shè)圓圓N的半徑分別為1,2,且兩圓外切于點(diǎn)P,點(diǎn)A,3分別是圓圓N上的兩

動(dòng)點(diǎn)，則成.方的取值范圍是（）

C.[-8,1]D.[—16,1]

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題型十：向量對(duì)角線定理

【典例10-1】已知平行四邊形/BCD,ABLBC,AB=BC=AD=2,CD=3,/C與8。交于點(diǎn)O,若

^a=OAOB,b=OBOC,c=OCOD,則()

A.a<b<cB,a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【典例10-2］如圖，在圓。中，若弦48=3,弦4C=5,則否?交的值是()

A.-8B.-1C.1D.8

A\\

B

【變式10-1】在四邊形/BCD中，ABLBC,4D_L8C若，AB=a,AD=b,則配?麗等于（）

A.b2-a2B.a2-b2C.a2+b2D.a2-b2

0

八-■八J\

1.如圖，“3C的三邊長(zhǎng)為|/3|=3,忸C|=7,|/C|=5,且點(diǎn)8,C分別在x軸，V軸正半軸上移動(dòng)，點(diǎn)A在

線段的右上方.設(shè)西=x^+y云（尤jeR）,記四=刀?反,N=x+y,分別考查M,N的所有可能結(jié)

果，貝I（）

A.M有最小值，N有最大值B.M有最大值，N有最小值

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C.M有最大值，N有最大值D.M有最小值，N有最小值

2.在矩形4BCD中，AB=2,40=3,P為矩形48co所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PN=1,則麗?定的最大

值是（）

A.9B.10C.11D.12

3.（2024?湖北黃岡?二模）已知G為單位向量，向量2滿足小3=3,-司=1,則同的最大值為（）

A.9B.3C.V10D.10

4.已知。為單位向量,向量3滿足濟(jì)。=3,悶-同=1,則同的最大值為（）

A.9B.2百C.VwD.8

5.如圖，在等腰梯形N3CD中，ABI/CD,AB=5,AD=4,OC=1,點(diǎn)E是線段45上一點(diǎn)，且滿足

AE=4EB,動(dòng)點(diǎn)尸在以E為圓心的半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，則麗.衣的最大值為（）

6.（2024?四川成者B-模擬預(yù)測(cè)）在矩形/BCD中，=5,/。=4,點(diǎn)￡是線段上一點(diǎn)，且滿足

/E=4E5.在平面4BCD中，動(dòng)點(diǎn)尸在以E為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則而.就的最大值為（）

A.741+4B.741-6C.2V13+4D.2713-6

7.（2024?貴州貴陽?三模）已知@=6,歷|=1,萬石=0,屬+刈+曰-刈=4,筋-63.2+5=0,貝/己-2|的最

大值為（）

4VHcn，ccn2Mc

AA.——+2B.4C.6D.——+2

33

8.已知非零平面向量1,B的夾角為:，且卜-可=1,則小0+2為的最大值為（）

A.-B.^1+1C.—D.—+2

3366

9.如圖，在矩形4BCZ）中，/B=2BC=4,4。與RD的交點(diǎn)為M,N為邊45上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則

麗?麗的最大值為（）

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A.2B.4C.10D.12

_,_,_,21

10-如圖所示，“3C中，點(diǎn)。是線段火的中點(diǎn)，￡是線段皿上的動(dòng)點(diǎn)，若—前,叫+]

的最小值（）

11.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).如圖甲是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成

的正六邊形剪紙窗花，如圖乙所示其外框是邊長(zhǎng)為4的正六邊形/BCD斯，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的

中心O,圓。的半徑為2,點(diǎn)尸在圓。上運(yùn)動(dòng)，則屋.赤的最小值為（）

乙

A.-8B.-4C.0D.4

12.已知點(diǎn)A、3在圓/+/=4上，且k2,P為圓O上任意一點(diǎn)，則方.而的最小值為（）

A.0B.-4C.-6D.-8

13.已知“3C是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，尸為平面N8C內(nèi)一點(diǎn)，則莎?（而+正）的最小值是（）

A?-2B.—8C.-3D.-6

14.已知向量近的夾角為g,且同=2慟=4,則F+/3"eR）的最小值是（）

A.V3B.3C.2百D.275

15.扇形的半徑為1,乙4。5=120。，點(diǎn)。在弧上運(yùn)動(dòng)，則行.。的最小值為（）

A.—B.0C.——D.-1

22

16.（多選題）在△0/5中，。4=1。5=2,44。5=120。，點(diǎn)?是等邊段5。（點(diǎn)。與。在45的兩側(cè)）邊

上的一動(dòng)點(diǎn)，若麗=工況+》礪，則有（）

1Q

A.當(dāng)x=7時(shí)，點(diǎn)。必在線段45的中點(diǎn)處B.x+V的最大t值是一

22

77

C.而?次的最小值是-1D.蘇.麗的范圍是-牙5

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17.（多選題）已知點(diǎn)/、B、尸在。C上，則下列命題中正確的是（）

A.\AC\=1,則就.刀的值是:

|U3|1

B.卜4=1,則衣.在的值是g

C.困卜洞=1,則萬.刀的范圍是-1,|

D.罔=|網(wǎng)=1,且Q=2加+〃/，則幾+〃的范圍是

18.（多選題）已知圓O半徑為2,弦42=2,點(diǎn)C為圓。上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

C.|oC-Z8-^o|e[0,4]D.滿足在.近=0的點(diǎn)C只有一個(gè)

19.（多選題）“圓事定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理:

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓。的半徑2,點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，

且。尸=0，弦/C,3。均過點(diǎn)P,則下列說法正確的是（）

B.方.歷的取值范圍是[-2叫

C.當(dāng)時(shí)，萬?麗為定值

D.困心阿的最大值為16