2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)

(9)計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)

——2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)一站式復(fù)習(xí)之講義

【高考考情分析】

隨機(jī)抽樣的考查主要是三種抽樣方法，尤其是分層抽樣，一般以選擇題和填空題的形式出

現(xiàn)；對(duì)用樣本估計(jì)總體的考查主要是統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用、樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體，單獨(dú)命題時(shí)

以小題形式出現(xiàn)，也常作為解答題的一問(wèn)或一部分進(jìn)行考查，注意以社會(huì)現(xiàn)實(shí)為背景，著重考

查頻率分布表、頻率分布直方圖及樣本的數(shù)字特征的求解及應(yīng)用的試題.

回歸分析在高考中考查較多，主要考查求回歸方程、利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，一般以解答

題的形式出現(xiàn)，難度中等，有時(shí)也以小題形式出現(xiàn)，考查變量的相關(guān)性；對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，一

般以解答題中的一問(wèn)進(jìn)行考查，多與概率知識(shí)結(jié)合命題，特別是以社會(huì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為背景的統(tǒng)計(jì)、

統(tǒng)計(jì)案例與概率相結(jié)合的綜合題是今后命題的重點(diǎn)與難點(diǎn)，這與新課標(biāo)對(duì)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的

要求密切相關(guān).

隨機(jī)事件的概率單獨(dú)考查的概率較小，一般與其他知識(shí)綜合考查，其中互斥事件和對(duì)立事

件的概率是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，在與對(duì)立事件有關(guān)的題目中常利用“正難則反”的解題思想.

以小題和解答題形式呈現(xiàn)，當(dāng)以解答題形式呈現(xiàn)時(shí)，多與排列組合、分布列、期望與方差、統(tǒng)

計(jì)等知識(shí)綜合命題.

古典概型是高考的熱點(diǎn)，常以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，主要考查古典概型，在高考中

常與平面向量、集合、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)交匯命題，命題角度及背景新穎,

考查知識(shí)全面，能力要求較高.在備考中要注意古典概型與數(shù)學(xué)文化、實(shí)際生活密切聯(lián)系的問(wèn)

題，要加強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的訓(xùn)練.

離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差是高考的熱點(diǎn)，常以實(shí)際問(wèn)題為背景，與計(jì)數(shù)原

理、古典概型等知識(shí)相結(jié)合，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差，要特別注意二項(xiàng)分

布與超幾何分布問(wèn)題及利用期望與方差決策的問(wèn)題，主要以解答題的形式呈現(xiàn)，難度中等，近

兩年難度有加大的趨勢(shì)，更加重視對(duì)考生的實(shí)際應(yīng)用能力的考查，要重視對(duì)實(shí)際問(wèn)題背景的分

析與了解，要在審題、轉(zhuǎn)化、建模等問(wèn)題上下功夫，重視與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用.

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布是高考的熱點(diǎn)，主要考查：①條件概率、相互獨(dú)立事件的概

率的求法，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)滲透在解答題中；②獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、

二項(xiàng)分布、正態(tài)分布的應(yīng)用，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題以解答題的形式出現(xiàn).解題時(shí)注意對(duì)相關(guān)概念的理

解及相關(guān)公式的應(yīng)用.主要考查考生的數(shù)據(jù)分析能力.

兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及排列與組合的綜合應(yīng)用有時(shí)單獨(dú)考查，一般以小題的形式呈現(xiàn)；但更

多地與概率知識(shí)相結(jié)合考查，此時(shí)，小題形式、解答題形式均有出現(xiàn).題目主要以實(shí)際問(wèn)題為

背景，重點(diǎn)考查考生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力及邏輯推理素養(yǎng).

二項(xiàng)式定理是高考常考內(nèi)容，主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)

的系數(shù)等，難度為中低檔，命題形式單一.主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，考查運(yùn)算能力.

【基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)】

1.

名稱定義符號(hào)表示

若事件A發(fā)生，則事件3一定發(fā)生，這時(shí)稱事

包含關(guān)系B衛(wèi)A（或4口3）

件3包含事件A（或事件A包含于事件3）

如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,

相等關(guān)系A(chǔ)=B

即3衛(wèi)A且A衛(wèi)3,則稱事件A與事件3相等

事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)

并事件事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件

AB（或A+3）

（和事件）3中，則稱這個(gè)事件為事件A與事件5的并事

件（或和事件）

事件A與事件B同時(shí)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中

交事件的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件3中，則稱

ArB（或AB）

（積事件）這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件

（或積事件）

若A8為不可能事件，那么稱事件A與事件

互斥事件AB=0

B互斥

若A8為不可能事件，A3為必然事件，那A8=0且

對(duì)立事件

么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件A\JB=U（。為全集）

2.古典概率模型：將具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模

型，簡(jiǎn)稱古典概率：

（1）有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

3.古典概型的概率公式

（1）在基本事件總數(shù)為〃的古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是相等的，即每個(gè)基本

事件發(fā)生的概率都是

n

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

（2）對(duì)于古典概型，任何事件的概率為P（A）=基本事件的總數(shù)~

4.離散型隨機(jī)變量的分布列

（1）如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，按一定次

序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.

（2）一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為和々，…，孫-i%.X取每一個(gè)值

%（i=1,2,…,n）的概率P（X=七）=pj,則下表稱為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布

列.

XX]X2XiX”

PP1PlPiPn

5.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì):

（1）Pj...0,i=1,2,,n；

（2）P1+P2++Pt++P〃=1;

（3）P（X轟!JXXj）=Pi+pM++Pj（i<j^.i,JGN*）.

6.常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型

（1）兩點(diǎn)分布

若隨機(jī)變量X的分布列為

X01

pl-pp

則稱X服從兩點(diǎn)分布.

（2）超幾何分布

「k「n-k

一般地,在含有航件次品的N件產(chǎn)品中任取n件,其中恰有X件次品，則P(X=k)=M，JM

(左=0,1,2,,m),其中m=min{M,"},且“張N,n,M,NeN*,稱分布列

X01m

「〃一1「m^n—m

PCM'N-M

C；C；

為超幾何分布.

7.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X演%xiXn

pPlPzPiPn

(1)均值

稱E(X)=x0+/必++xiPi+為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨

機(jī)變量取值的平均水平.

(2)方差

2

稱D(X)=t(Xi-E(X))Pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏

1=1

離程度，并稱JD(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為b(x).

8.均值與方差的性質(zhì)

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b)=a2D(X).

9.兩點(diǎn)分布的均值、方差

若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,D(X)=p(l-p).

10.條件概率及其性質(zhì)

(1)一般地，設(shè)A,3為兩個(gè)事件，且P(A)>0,稱P(B|A)=4^為在事件A發(fā)生的條件

尸(A)

下，事件3發(fā)生的概率.

(2)條件概率的性質(zhì):

(i)0轟!JP(3|A)1；

(ii)如果5和C是兩個(gè)互斥事件,則P(8C\A)=P(B\A)+P(C\A).

1L全概率公式

一般地，設(shè)4,4，?，4是一組兩兩互斥的事件，AA4=Q，且

P(4)〉o,，=l,2,,n,則對(duì)任意的事件有P(8)=i：P(a)P(3|4),稱此公式為全

i=l

概率公式.

12.相互獨(dú)立事件

(1)對(duì)于事件A、B,若A的發(fā)生與3的發(fā)生互不影響，則稱A、5是相互獨(dú)立事件.

(2)若A與3相互獨(dú)立，則P(5|A)=P(5),P(AB)=P(B\A).P(A)=P(A).P(B).

(3)若A與3相互獨(dú)立，則A與豆，彳與3,彳與豆也都相互獨(dú)立.

(4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與3相互獨(dú)立.

13.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布

一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(咒重伯努

一般地，在相同條件下重復(fù)做的n利試驗(yàn))中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,

定

次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(也在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為2，

義

叫“重伯努利試驗(yàn))此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作

XB",p)

計(jì)用4。=1,2,,〃)表示第，次試驗(yàn)結(jié)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)

算生左次的概率為

果，貝I

公P(X=k)=C>\1-y-k(k=0,1,2,ri)

尸(4&4)=P(A)-P(&)P(A?)P

式

14.二項(xiàng)分布的均值與方差：若XB5,p),則E(X)=〃p,D(X)=np(l-p).

15.正態(tài)曲線的定義

(%-1

函數(shù)如式x)=S^2o-2

P,XG(-00+8)(其中實(shí)數(shù)〃和。。>0)為參數(shù))的圖象為正態(tài)分

布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.

16.正態(tài)曲線的特點(diǎn)

(1)曲線位于x軸上方且與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x="對(duì)稱；

(3)曲線在1=〃處達(dá)到峰值；

兀o

(4)曲線與x軸之間的面積為1；

(5)當(dāng)〃一定時(shí)，曲線隨著〃的變化而沿x軸移動(dòng)；

(6)當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由確定，a越小，曲線越“瘦高”；越大，曲線越“矮胖”.

17.正態(tài)分布的定義及表示

如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)。力3<3,隨機(jī)變量X滿足P(a<X,*)=t%b(x)dx,則稱X的分布為正

態(tài)分布，記作X~N(〃,/).

18.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)定義:一般地,設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體,從中逐個(gè)不放回地抽取水1W〃<N)

個(gè)個(gè)體作為樣本，如果每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單

隨機(jī)抽樣.

(2)最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有兩種：隨機(jī)數(shù)法和抽簽法.

19.分層抽樣

(1)定義：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)

立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.

(2)應(yīng)用范圍：總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成的.

樣本容量

(3)分層抽樣的關(guān)鍵是根據(jù)樣本特征的差異進(jìn)行分層，實(shí)質(zhì)是等比例抽樣，抽樣比=

總體容量

=各層所抽取的個(gè)體數(shù)

—各層個(gè)體數(shù)'

20.頻率分布表與頻率分布直方圖

頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：

(1)求極差，即求一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差;

(2)決定組距與組數(shù)；

（3）將數(shù)據(jù)分組；

（4）列頻率分布表，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)，每小組的頻數(shù)與樣本容量的比值

叫做這一小組的頻率，計(jì)算各小組的頻率，列出頻率分布表；

（5）畫(huà)頻率分布直方圖，依據(jù)頻率分布表畫(huà)出頻率分布直方圖，其中縱坐標(biāo)（小長(zhǎng)方形的高）

表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長(zhǎng)方形的面積，即每個(gè)小長(zhǎng)方形

的面積=組距x|g=頻率.

各個(gè)小長(zhǎng)方形面積的總和等于1.

21瀕率分布折線圖和總體密度曲線

（1）頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線

圖.

（2）總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作頻率分布直方圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，

相應(yīng)的頻率分布折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲

線.

22.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖

眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面

中位數(shù)中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間積相等的部分，分界線與X軸交點(diǎn)的橫

兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）坐標(biāo)

每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)

中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的大小.

方差：$2—亍J+（々一亍J++（X?-X）2

22

標(biāo)準(zhǔn)差：5=./—r（X；-X）+（X2-X）++（%n-

23.百分位數(shù)

（1）把100個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第2個(gè)和第2+1個(gè)數(shù)據(jù)分別為.可以發(fā)現(xiàn),

區(qū)間（。力）內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.一般地，我們?nèi)∵@兩個(gè)數(shù)

的平均數(shù)審=C,并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第2百分位數(shù)，或P%分位數(shù).

（2）一般地，一組數(shù)據(jù)的第2百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有2％的數(shù)據(jù)小

于或等于這個(gè)值，且至少有（100-P）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

（3）四分位數(shù)

常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)（即中位數(shù)），第75百分位數(shù).這三個(gè)分位數(shù)

把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一

四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.

24.變量間的相關(guān)關(guān)系

（1）常見(jiàn)的兩變量之間的關(guān)系有兩類(lèi)：一類(lèi)是函數(shù)關(guān)系，另一類(lèi)是相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，

相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.

（2）在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相

關(guān)，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).

25.兩個(gè)變量的線性相關(guān)

（1）從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱

兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

（2）回歸直線方程

①最小二乘法：通過(guò)求Q=S（y-。了的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)

的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.

②回歸方程：方程y=%+a是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)（七,%）,（9，%），…，

（乙，%）的回歸方程，其中a力是待定參數(shù).

Xx^-nxyi?i?

a=y-bx<b=i-;9--------，其中元=—Z七,9=—2%,（豆田稱為樣本

?鈔廠可

i=l

點(diǎn)的中心.

（3）相關(guān)系數(shù)廠

Jz（x,.-x）2Z（y,.-y）2

VZ=11=1

②當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)「＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

「的絕對(duì)值越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；廠的絕對(duì)值越接近于0,表明兩個(gè)變

量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.當(dāng)r的絕對(duì)值大于或等于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線

性相關(guān)關(guān)系.

（4）回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.在線性回歸模型

y=Zzx+a+e中，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差e共同確定，即自變量x只能解釋部分y

的變化，在統(tǒng)計(jì)中，我們把自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量.

26.分類(lèi)變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，像這樣的變量稱為分類(lèi)變量.

27.列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和匕它們的可

能取值分別為和｛%，%｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為:

%%總計(jì)

X]aba+b

工2Cdc+d

總計(jì)a+cb+da+b+c+d

n(ad-be)2

可構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量腔=其中〃=a+Z?+c+d為樣本容量.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

28.獨(dú)立性檢驗(yàn)

利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量K?來(lái)確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法稱

為兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).

兩個(gè)分類(lèi)變量X和￥是否有關(guān)系的判斷標(biāo)準(zhǔn)：

統(tǒng)計(jì)學(xué)研究表明：當(dāng)3.841時(shí)，認(rèn)為X與V無(wú)關(guān);

當(dāng)片＞3.841時(shí)，有95%的把握說(shuō)X與￥有關(guān);

當(dāng)片＞6.635時(shí)，有99%的把握說(shuō)X與Y有關(guān);

當(dāng)片＞10.828時(shí)，有99.9%的把握說(shuō)X與￥有關(guān).

29.排列與排列數(shù)

（1）排列：從〃個(gè)不同元素中取出加（加＜〃）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個(gè)

不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的一個(gè)排列.

（2）排列數(shù)：從〃個(gè)不同元素中取出加（加＜〃）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不

同元素中取出機(jī)個(gè)元素的排列數(shù)，記作A〉

30.組合與組合數(shù)

（1）組合：從〃個(gè)不同元素中取出加（加4"）個(gè)元素組成一組，叫做從〃個(gè)不同元素中取出加

個(gè)元素的一個(gè)組合.

（2）組合數(shù)：從〃個(gè)不同元素中取出皿相＜〃）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不

同元素中取出機(jī)個(gè)元素的組合數(shù)，記作C：.

31.二項(xiàng)式定理

公式（a+?〃=CK+C：L/i++CXV++C?"（"eN*）叫做二項(xiàng)式定理.公式中右邊的

多項(xiàng)式叫做（。+6）"的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中各項(xiàng)的系數(shù)C：（左=0,1,,"）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的

叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第Z+1項(xiàng).

32.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C：=C；T.

（2）增減性與最大值：對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)C；（r=0,l,2,M,當(dāng)「＜莖時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增

77+1〃

的；當(dāng)「〉號(hào)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的.當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的中間一項(xiàng)（第與+1項(xiàng)）

nn+1

的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即最大的二項(xiàng)式系數(shù)為c.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)（第〒

n-I-3n-1n+l

項(xiàng)和第皇項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，即最大的二項(xiàng)式系數(shù)為和c7.

（3）二項(xiàng)式系數(shù)的和：（。+6）”的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2"，即

C：+C；+C；++C；++C：=2".二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)的和，即C+C+C：+=C：+C；+C：+=2丁

【重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)】

1.古典概型的概率公式

(1)在基本事件總數(shù)為〃的古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是相等的，即每個(gè)基本

事件發(fā)生的概率都是

n

(2)對(duì)于古典概型，任何事件的概率為尸(A)="包上魯優(yōu)個(gè)數(shù)?

基本事件的總數(shù)

2.相互獨(dú)立事件

(1)對(duì)于事件A、B,若A的發(fā)生與3的發(fā)生互不影響，則稱A、3是相互獨(dú)立事件.

(2)若A與3相互獨(dú)立，則P(5|A)=P(5),P(AB)=P(B|A).P(A)=P(A).P(fi).

(3)若A與3相互獨(dú)立，則A與后，彳與3,彳與方也都相互獨(dú)立.

(4)若P(AB)=P(A)P(fi),則A與3相互獨(dú)立.

3.二項(xiàng)式定理

公式(a+?〃=CK+C：L/i++CXV++C?"("eN*)叫做二項(xiàng)式定理.公式中右邊的

多項(xiàng)式叫做(。+份"的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中各項(xiàng)的系數(shù)C：(左=0,1,,〃)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的

叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第Z+1項(xiàng).

4.均值與方差的性質(zhì)

(1)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b)=a2D(X).

5.條件概率及其性質(zhì)

(1)一般地，設(shè)A,3為兩個(gè)事件，且P(A)>0,稱尸(B|A)=2^為在事件A發(fā)生的條件

尸(A)

下，事件3發(fā)生的概率.

(2)條件概率的性質(zhì)：

(i)?(B|A)1；

(ii)如果B和B是兩個(gè)互斥事件,則P(8C|A)=P(8|A)+P(C|A).

【基本方法與技能復(fù)習(xí)】

1.求復(fù)雜的互斥事件概率的兩種方法

（1）直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式

計(jì)算.

（2）間接求法：先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P（A）=1-P（?求得，即運(yùn)用逆向思

維（正難則反），特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法會(huì)較簡(jiǎn)便.

2.求解古典概型問(wèn)題的技巧：

（1）樹(shù)狀圖法是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合于有順序的概率問(wèn)題及較復(fù)雜的概率問(wèn)題中

基本事件數(shù)的探求.另外在確定基本事件數(shù)時(shí)，可以看成是有序的，有時(shí)也可以看成是無(wú)序的.

（3）含有“至多”“至少”等類(lèi)型的概率問(wèn)題，從正面突破比較困難或者比較繁瑣時(shí)，考慮其

反面，即對(duì)立事件，應(yīng)用P（A）=1-P（否求解較好.

3.解決簡(jiǎn)單的排列與組合綜合問(wèn)題的步驟

（1）根據(jù)附加條件將要完成的事件分類(lèi).

（2）對(duì)每一類(lèi)型取出符合要求的元素組合再對(duì)取出的元素排列.

（3）由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算總數(shù).

4.由二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的特征求參數(shù)的思路

（1）已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第r+1項(xiàng)，由

特定項(xiàng)得出廠值，最后求出參數(shù)值.

（2）有關(guān)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等問(wèn)題，一般要利用通項(xiàng)，運(yùn)用方

程思想進(jìn)行求值，通過(guò)解不等式（組）求取值范圍.

5.離散型隨機(jī)變量分布列的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

（1）與排列組合有關(guān)的分布列的求法.可由排列組合、概率知識(shí)求出概率，再求出分布列.

（2）與頻率分布直方圖有關(guān)的分布列的求法.可由頻率估計(jì)概率，再求出分布列.

（3）與互斥事件有關(guān)的分布列的求法.弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出

分布列.

（4）與獨(dú)立事件（或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）有關(guān)的分布列的求法.先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個(gè)

概率，再列出分布列.

6.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系

（1）最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小

長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

7.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)原理只能解決兩個(gè)對(duì)象，且每個(gè)對(duì)象有兩類(lèi)屬性的問(wèn)題，所以對(duì)于一個(gè)實(shí)際

問(wèn)題，我們首先要確定能否用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想加以解決.

（2）如果確實(shí)屬于這類(lèi)問(wèn)題，要科學(xué)地抽取樣本，樣本容量要適當(dāng)，不可太??；

（3）根據(jù)數(shù)據(jù)列出2X2列聯(lián)表；

（4）提出假設(shè)名：所研究的兩類(lèi)對(duì)象（XI）無(wú)關(guān)；

n(ad-be#

(5)根據(jù)公式計(jì)算Q的值;

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

（6）比較觀測(cè)值上與臨界值表中相應(yīng)的檢驗(yàn)水平，根據(jù)小概率原理肯定或者否定假設(shè)，即判

斷x,y是否相關(guān).

8.利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的步驟

（1）審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的；

（2）分析完成這件事應(yīng)采用分類(lèi)、分步、先分類(lèi)后分步、先分步后分類(lèi)這四種方法中的哪一

種；

（3）弄清在每一類(lèi)或每一步中的方法種數(shù)；

（4）根據(jù)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù).

9.求解排列問(wèn)題的常用方法

（1）直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算.

（2）優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置.

（3）捆綁法：相鄰問(wèn)題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同

時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列.

（4）插空法：不相鄰問(wèn)題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再

將不相鄰的元素插在前面元素的排列空位中.

（5）先整體，后局部：“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中，先整體后局部.

（6）除法：對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

（7）間接法：正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.

10.利用相互獨(dú)立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路

（1）將待求事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的簡(jiǎn)單事件的和.

（2）將彼此互斥的簡(jiǎn)單事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知（易求）概率的相互獨(dú)立事件的積事件.

（3）代入概率的積公式求解.

11.建立回歸模型的基本步驟

（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量.

（2）畫(huà)出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）.

（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型（如觀察到散點(diǎn)大致分布在某條直線附近，則選用線性回歸

方程）.

（4）按一定規(guī)則（如最小二乘法）估計(jì)回歸方程中的參數(shù).

（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律

性等）.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

12.概率與統(tǒng)計(jì)解答題的解題策略

（1）準(zhǔn)確弄清問(wèn)題所涉及的事件有什么特點(diǎn)，事件之間有什么關(guān)系，如互斥、對(duì)立、獨(dú)立等；

（2）理清事件以什么形式發(fā)生，如同時(shí)發(fā)生、至少有幾個(gè)發(fā)生、至多有幾個(gè)發(fā)生、恰有幾個(gè)

發(fā)生等；

（3）明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無(wú)順序等；

（4）準(zhǔn)確選擇排列組合的方法來(lái)計(jì)算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù)，或根據(jù)概率計(jì)算公式和性

質(zhì)來(lái)計(jì)算事件的概率；

（5）確定隨機(jī)變量取值并求其對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列后再求期望;

（6）會(huì)套用求石、K?的公式求值，再作進(jìn)一步分析.

【典型例題復(fù)習(xí)】

1.[2023年新課標(biāo)n卷】某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣

方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別

有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）

A.C：〉C短種B.CQC以種

?（瑞（孰種D.C：QC鼠種

2.【2024年新課標(biāo)H卷】某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到

各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理如下表所示.

畝產(chǎn)[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于H00kg的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg到300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg到1000kg之間

3.【2024年新課標(biāo)I卷】（多選）（隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并

舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得

到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值元=2.1,樣本方差$2=。01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服

從正態(tài)分布N（1.8,012）,假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入y服從正態(tài)分布N（丁,S2）,則（若隨機(jī)變量

Z服從正態(tài)分布N（〃,4），則尸（Z<〃+b）a0.8413）（）

A.P(X>2)>0.2B,P(X>2)<0,5C,P(Y>2)>0.5D,P(Y>2)<0,8

4.[2023年新課標(biāo)I卷】某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8

門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有

種(用數(shù)字作答).

5.【2024年新課標(biāo)I卷】甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分

別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8.兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比

賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人

得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能

使用).則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

6.【2024年新課標(biāo)H卷】在如圖的4x4的方?格表中選4個(gè)方?格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方

格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之

和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

7.【2024年新課標(biāo)H卷】某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成.比賽具體規(guī)

則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)

為0分；若至少投中1次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每

次投籃投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和.

某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投

中與否相互獨(dú)立.

(1)若。=。4,4=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概

率.

(2)假設(shè)0<"q.

(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

答案以及解析

1.答案：D

解析：根據(jù)分層隨機(jī)抽樣方法，易知從初中部和高中部分別抽取40名和20名學(xué)生，根據(jù)分步

計(jì)數(shù)原理，得不同的抽樣結(jié)果共有C2-C禽種.故選D.

2.答案：C

解析：對(duì)于A,因?yàn)榍?組的頻率之和0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前4組的頻率之和

0.36+0.30=0.66>0.5,所以100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)所在的區(qū)間為口05。,1100),故A不正

確；

對(duì)于B,100塊稻田中畝產(chǎn)量低于HOOkg的稻田所占比例為包衛(wèi)需士型義100%=66%,故B

不正確；

對(duì)于C,因?yàn)?200-900=300,1150-950=200,所以100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至

300kg之間，故C正確；

對(duì)于D,100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值為

—x(925x6+975xl2+1025xl8+1075x30+1125x24+1175xl0)=1067(kg),故D不正確.

綜上所述，故選C.

3.答案：BC

解析：由題意可知，X~N(1.8,0」2),所以尸(X>2)〈尸(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)?0.8413,

所以P(X>2)<P(XNL9)=1—P(X<1.9)al—0.8413=0.1587<0.2,所以A錯(cuò)誤，B正確.因

為y~N(2.1,0」2),所以P(y<2.2)a0.8413,P(F>2)>P(F>2.1)=0.5,所以

P(2<Y<2.1)=P(2.1<F<2,2)=P(Y<2.2)-P(Y<2.1)?0.8413-0.5=0.3413,所以

P(y>2)=P(2<y<2,1)+P(y>2.1)^0.3413+0.5=0.8413>0,8,(另解：

P(y>2)=尸(F<2.2)^0.8413>0.8)所以C正確，D錯(cuò)誤.

綜上，選BC.

4.答案：64

解析：解法一：由題意，可分三類(lèi)：第一類(lèi)，體育類(lèi)選修課和藝術(shù)類(lèi)選修課各選修1門(mén)，有c；c；

種方案；第二類(lèi)，在體育類(lèi)選修課中選修1門(mén)，在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修2門(mén)，有C：C；種方案；

第三類(lèi)，在體育類(lèi)選修課中選修2門(mén)，在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修1門(mén)，有CjC；種方案.綜上，不

同的選課方案共有C；C；+C；C：+C；C；=64（種）.

解法二：若學(xué)生從這8門(mén)課中選修2門(mén)課，則有C；-Cj-Cj=16（種）選課方案；若學(xué)生從

這8門(mén)課中選修3門(mén)課，則有C；-C：-C；=48（種）選課方案.綜上，不同的選課方案共有

16+48=64（種）.

5.答案：—

解析：因?yàn)榧壮隹ㄆ?一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分最多為

3.

若甲的總得分為3,則甲出卡片3,5,7時(shí)都贏，所以只有1種組合：3-2,5-4,7-6,1-8.

若甲的總得分為2,有以下三類(lèi)情況：

第一類(lèi)，當(dāng)甲出卡片3和5時(shí)贏，只有1種組合，為3-2,5-4,1-6,7-8；

第二類(lèi)，當(dāng)甲出卡片3和7時(shí)贏，有3—2,7-4,1—6,5—8或3—2,7—4,1-8,5—6或3—2,

7—6,1-4,5—8,共3種組合；

第三類(lèi)，當(dāng)甲出卡片5和7時(shí)贏，＜5-2,