函數(shù)及其性質(zhì)專項(xiàng)訓(xùn)練- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)專題：函數(shù)及其性質(zhì)

一、單選題

1.已知對(duì)數(shù)函數(shù)"x）=log“x,函數(shù)/（X）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原

來(lái)的3倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，再將g（x）的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象恰好

與函數(shù)f（x）的圖象重合，則a的值是（）

A.-B.-C.BD.G

233

2.設(shè)方程2'+x+3=0和方程log2X+x+3=0的根分另為。，q,設(shè)函數(shù)/（x）=（x+p）（x+q）,

則（）

A./（2）=/（0）＜/（3）B./（0）=/（3）＞/（2）

C./（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜/（3）＜/（2）

3.函數(shù)“X）的部分圖象大致如圖所示，則“X）的解析式可能為（）

B./(x)=eA-e-A-sinx

C.小人^^D.f(x)=e'-e-A+sinx

S1ILX

4.已知函數(shù)/(x)=e*—e"T-COSX若實(shí)數(shù)孫積成等差數(shù)列，且

/(%)+/(工2)+/(忍)=°，則玉+々+鼻=()

7C3兀

A.0B.—C.—D.3兀

22

5.若定義在R上的函數(shù)/(%),滿足y)=〃2x)+〃2y),且〃=則

/(0)+/(1)+/(2)+...+/(2024)=()

A.0B.-1C.2D.1

—丫

lg3-^+——2,-3<x<0

6.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?-3,3),且〃x)=“［若

1g---------------,0<x<3

I3-xx+3

3f［.r(x-2)］+2>0,貝ijx的取值范圍為()

A.(-3,2)B.(一3,0)5。,D5L2)

C.(-1.3)D.(-1,0)0(0,2)0(2,3)

7.已知函數(shù)“X)與g(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'⑺和g'(x)的定義域都為

R,"x)=-g(2-x),尸(x+2)=g，(x),且尸(1+力為奇函數(shù)，則下列等式一定正確的是()

A.42023)=0B./(2024)=0C./(2023)=0D./(2024)=0

8.設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?。，?duì)于函數(shù)圖象上一點(diǎn)(七,%),若集合

卜wR|Mx-尤。)+%4,Vxe只有1個(gè)元素，則稱函數(shù)“X)具有性質(zhì)4.下列函數(shù)中

具有性質(zhì)用的是()

A./(^)=|x-l|B./(x)=lgx

C.f(%)=x3D./(x)=—sin-^x

二、多選題

9.已知偶函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/gx+1］為奇函數(shù)，且/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，則下

列結(jié)論正確的是()

A.H<。B.U>0C.〃3)<0D.第］>0

10.已知定義域均為R的函數(shù)/(x)與g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為尸(x)與g'(x),且

g(3-x)=f(x+l)-2,g,(x+l)=r(x-l),函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(3,0)對(duì)稱，則()

A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱B.8是函數(shù)/(尤)的一個(gè)周期

C.g(5)=2D.g(-2020)+g(-2024)=-4

11.我們知道，函數(shù)>=/(幻的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心

4

對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)>=/(尤+")-人為奇函數(shù).已知函數(shù)=則下列結(jié)論

2+2

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

正確的有()

A.函數(shù)/(?的值域?yàn)?0,2]

B.函數(shù)了。)的圖象關(guān)于點(diǎn)(U)成中心對(duì)稱圖形

C.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f\x)的圖象關(guān)于直線尤=1對(duì)稱

D.若函數(shù)g(x)滿足>=g(x+D-1為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交

2024

點(diǎn)，記為4(%,%)?=1,2,,2024),則Z(%+%)=4048

i=l

三、填空題

12.已知“X)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，〃x)=-e力若/(ln2)=：,則。=.

O

13.寫出滿足下列條件①②③的一個(gè)函數(shù)：/(%)=.

①/(x)的定義域?yàn)镽；②xeR,f(r)=—f(x)；?0<Xl<x2,都有<弓工〈工.

\X1)f(x2)X2

14.歐拉函數(shù)。⑺(〃eN*)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)"，且與〃互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)

(公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù))，例如：姒3)=2,姒4)=2,則以8)=；

"2

若b"=一"八，則bn的最大值為_______.

。2

四、解答題

15.已知函數(shù)/a)=e2*+(2-a)e'-ax+7(aeR).

⑴討論函數(shù)“X）的單調(diào)性；

（2）若〃x）ZO恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

16.定義在R上的奇函數(shù)/（無(wú)）有最小正周期為2,且無(wú)?0,1）時(shí)，/（引=3.

4+1

⑴求“X）在上的解析式；

⑵判斷“X）在（0,1）上的單調(diào)性；

⑶當(dāng)2為何值時(shí)，方程，（尤）=X在x目-1』上有實(shí)數(shù)解.

17.已知函數(shù)f(x)=21n(x+l)-sinx.

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

⑴若“X)在(。,+8)上周期為2兀，求2的值;

(2)當(dāng);1=1時(shí)，判斷函數(shù)“X)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)：

⑶已知/(x"2(1-1)在xe[0,兀]上恒成立，求實(shí)數(shù)彳的取值范圍.

18.中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的民

間藝術(shù).在中國(guó)，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會(huì)生活，是名種民俗活動(dòng)

的重要組成部分，傳承視覺(jué)形象和造型格式，蘊(yùn)涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾

的社會(huì)認(rèn)知、道德觀念、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、生活理想和審美情趣.現(xiàn)有一張矩形卡片9CD,對(duì)角

線長(zhǎng)為f?為常數(shù))，從△岫)中裁出一個(gè)內(nèi)接正方形紙片EFG”,使得點(diǎn)E,5分別AB,

AD上，設(shè)=矩形紙片A5CD的面積為？，正方形紙片EFGH的面積

為S".

(1)當(dāng)&==時(shí)，求正方形紙片EFG”的邊長(zhǎng)(結(jié)果用f表示);

(2)當(dāng)a變化時(shí)，求去的最大值及對(duì)應(yīng)的a值.

19.設(shè)函數(shù)〃x)=任+依+缶/，其中。為常數(shù).對(duì)于給定的一組有序?qū)崝?shù)/，㈤，若

對(duì)任意4、x2eR,都有回_/(%)+回.［如_/(%)+間20,則稱意m)為/(x)的“和諧數(shù)

組”.

(1)若。=0,判斷數(shù)組(0,0)是否為f(x)的“和諧數(shù)組”，并說(shuō)明理由；

(2)若°=40，求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)；

(3)證明：若(6,7")為了(X)的“和諧數(shù)組”，則對(duì)任意xeR,都有丘-/(x)+相W0.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

1.D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換法則求出函數(shù)的解析式，由條件列方程，解方程求解即可

【詳解】因?yàn)閷⒑瘮?shù)/(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到

函數(shù)g(x)的圖象，

X

所以g(x)=k?g“即g(x)=logo尤一log03,

將g(x)的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式＞=logflx-loga3+2,

因?yàn)樗脠D象恰好與函數(shù)/(x)的圖象重合，

所以一log〃3+2=0,

所以。2=3,又。＞0且。片1,

解得＜7=6，

故選：D

2.B

【分析】畫出y=2',y=log2X,y=f-3的圖象，由反函數(shù)的性質(zhì)得更等=-］，結(jié)合二次

22

函數(shù)性質(zhì)即可得解.

【詳解】由2*+x+3=0得2,=-x-3,ilog2x+x+3=0^flog2x=-x-3,

所以令y=2ty=log/,y=-x-3,這3個(gè)函數(shù)圖象情況如下圖所示：

設(shè)y=2',y=一尤-3交于點(diǎn)B,y=log2x,y=-.x-3交于點(diǎn)C,

由于y=2，,y=log2x的圖象關(guān)于直線V=犬對(duì)稱,

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

注意至IJ函數(shù)/(力=(%+夕)(％+4)=工2+(夕+4卜+的的對(duì)稱軸為直線尤=-￡1^,gpx=1,

且二次函數(shù)/(x)的圖象是開口向上的拋物線方程，

從而〃0)=〃3)>)(2).

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于畫出>=2'?=1。8/,〉=-工-3的圖象，利用數(shù)形結(jié)合

再由反函數(shù)的對(duì)稱性得到方程的根或交點(diǎn).

3.A

【分析】結(jié)合圖象可知f(x)為奇函數(shù)且/(。)=。，在(。,+8)上先增后減.根據(jù)函數(shù)的奇偶性

和/(0)=0,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】由圖可知，/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(x)為奇函數(shù)，

且/(。)=。，在(0,+8)上先增后減.

A："x)="7，函數(shù)的定義域?yàn)镽,〃—)=二嗎=-/(現(xiàn)/(0)=0,故A符合題意；

e+ee+e

B：/(x)=e^-e--sinx,函數(shù)的定義域?yàn)镽,

fr(x)=ex+e~x-cosx,由兀>0,e%>1,-1<cosx<\,

則/'(x)=ex+e-x-cosx>2-1>0,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故B不符合題意；

C：〃x)=UZt,當(dāng)x=o時(shí)，sinx=0,函數(shù)顯然沒(méi)有意義，故C不符合題意；

sin%

D：f(x)=ex-e~x+smx,函數(shù)的定義域?yàn)镽,

f(x)=ex+e~x+cosx,由％>0,得e*>1,-1<COSX<1,

則"%)=e'+er+cos%>2-l>0,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：A

4.C

【分析】先由/(TI-X)+/(%)=e71^-ex+cos%+ex-e71^-cosx=0,得出/(%)關(guān)于對(duì)

稱；再由題意得出結(jié)果即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=e=eE—cos%,

所以/(兀一1)+/(%)=en~x-ex+cosx+e*—匕兀一"-cosx=0,

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

所以〃力關(guān)于［，。）對(duì)稱;

若實(shí)數(shù)尤1，%，x3成等差數(shù)列，則為+毛=2%,

又因?yàn)?（占）+/（吃）+/（尤3）=°，

713兀

月f以%2=萬(wàn),%+忍=兀，月f以玉+々+%3=

故選：C.

5.D

【分析】利用賦值法，先后求出f(o)=l,H=0,再令尸X—,得到/(^)+/(x-l)=O,

即可求解.

【詳解】令x=y=g,則有2〃1)/(0)=〃1)+/(1),

又〃1)=—1,.?."0)=1.令x=g,y=0.

則有=7?⑴+/(0)=-1+1=0,.?./&]=().

令了=＞；，則有2?2尸\/[]=/(2力+〃2犬一1).

Vf^=0,.\f(2x)+/(2x-l)=0,：.f(x)+f(x-l)=0,

：.f(0)+f(l)+f(2)+-+f(2024)

=/（0）+［/（l）+/（2）］+--+［/（2023）+/（2024）］=l+1012x0=l.

故選：D.

6.D

【分析】當(dāng)—3<x<0時(shí)，判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性可知/（力>-］；當(dāng)04x<3時(shí)，根據(jù)

單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/（x）單調(diào)遞增，可得/'（無(wú)）2-§,然后將原不等式轉(zhuǎn)

化為，'八即可得解?

【詳解】當(dāng)—3<x<0時(shí)，?。?/二-力+三，

［x+3）x-3

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/（X）在（-3,0）上單調(diào)遞減，

所以/（尤）>〃。）=-§;

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

當(dāng)0(x<3時(shí)，/(x)=lgf-^--11--^―,

<3-x)x+3

因?yàn)?二在［0,3)上單調(diào)遞增，y=lg”-l)為增函數(shù)，

所以>=坨［三-1］在［。,3)上單調(diào)遞增，

又>=一?W在［0,3)上為增函數(shù)，所以〃x)=lg［三-1］-2在［0,3)單調(diào)遞增，

7

所以〃尤)2/(0)=-耳.

綜上，〃尤)2-0在(-3,3)上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).

2［―3<x(%—2)<3

所以不等式3/口。-2)］+2>。0/1武》-2)］>-行0/\八，

3lx(x-2)^0

解得—l<x<3且XRO且》力2,即原不等式的解集為(-1,0)"0,2)"2,3).

故選：D

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解分段函數(shù)相關(guān)不等式時(shí)，需要根據(jù)自變量范圍進(jìn)行分類討論，利用單

調(diào)性求解即可.

7.C

【分析】首先對(duì)f(x)=-g(2-力兩邊求導(dǎo),得f(x)=g，(2—x),與分(x+2)=g〈x)聯(lián)立可

得：r(x)=r(4-x),這樣就知道了'(X)圖象關(guān)于X=2對(duì)稱，再由/'(1+X)為奇函數(shù),又

知道((x)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，這樣由雙對(duì)稱性質(zhì)可知/⑺是周期函數(shù)且周期為4,然

后即可用賦值法得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)/'(》)=-g(2—x)兩邊求導(dǎo)，得尸(x)=g'(2—x),

又由尸(x+2)=g，(x),得-(4r)=g，(2T),

所以f'(x)"'(4-x),可得(⑴=(⑶.

由「(i+x)為奇函數(shù)，得/”—%)=—/"+x),貝廳，(4一同=—/0一2),

令彳=。得：r(i)=—r(i)=r(i)=o,

則由上面兩式可得：-(￡)=-尸(％—2)=「。_4),即/'(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

則廣(2023)=/'(3)=f'(1)=0.

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

故選：c.

8.D

【分析】根據(jù)性質(zhì)《的定義，結(jié)合各個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可逐一判斷各選擇.

【詳解】根據(jù)題意，要滿足性質(zhì)4,則“X)的圖象不能在過(guò)點(diǎn)(1,/。))的直線的上方，且

這樣的直線只有一條；

對(duì)A：=的圖象，以及過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，過(guò)點(diǎn)。,0)的直線有無(wú)數(shù)條都滿足題意，故A錯(cuò)誤;

對(duì)B：/(x)=lgx的圖象，以及過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，不存在過(guò)點(diǎn)。,0)的直線，使得/(x)的圖象都在該直線的上方，故B錯(cuò)誤;

對(duì)C：〃x)=x3的圖象，以及過(guò)點(diǎn)(1,1)的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，不存在過(guò)點(diǎn)。,1)的直線，使得/(x)的圖象都在該直線的上方，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D：〃x)=-sin]x的圖象，以及過(guò)點(diǎn)。,-1)的直線，如下所示：

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

數(shù)形結(jié)合可知，存在唯一的一條過(guò)點(diǎn)(1,-1)的直線y=—l,即左=0,滿足題意，故D正確.

故選：D.

9.BD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)，首先推出函數(shù)為周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判

斷函數(shù)的符號(hào)，可得有關(guān)的結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?⑺為偶函數(shù)，所以〃-力=/(力;

因?yàn)?是R上的奇函數(shù)，所以/(1)=0,

且/的圖象是由了的圖象向左平移2個(gè)單位得到的，所以/I)的圖象關(guān)于

(2,0)點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)一步得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，即/(1+力=一/(1-耳.

所以〃X+2)=/(1+(1+X))=_/(1_(1+X))=_〃T)=_〃X),所以

/(x+4)=-/(x+2)=/(x).所以函數(shù)/O)是周期函數(shù)，且周期為4；

又/⑴在［0』上單調(diào)遞增，所以在［0』上，有/(x)<0.

故B對(duì)；/(3)=0,故C錯(cuò);

2+>0,故D對(duì).

故選：BD

10.ABD

【分析】根據(jù)題意，先由條件以及函數(shù)〃x)的對(duì)稱中心可得函數(shù)〃x)的周期，即可判斷

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

AB,再賦值計(jì)算，結(jié)合函數(shù)/(尤)的周期性以及對(duì)稱性，即可判斷CD

【詳解】因?yàn)間(3-x)=/(x+l)-2,令x+l=f,則x3-1,

即g(4T)=〃。一2,所以g(4-x)"(x)-2,

用(x—1)替換x可得g(5—x)=f(x—1)—2,即f(x-l)=g(5—x)+2,

5Lg\x+V)=f\x-V),則8(%+1)+。=/(*-1)+6,a,b^R,

所以g(x+l)+a=g(5—x)+2+b,令尤=2,可得g(3)+a=g(3)+2+6,

所以a=b+2,

再由g(3-x)=f(x+l)-2,令3-x=m,則〃=z3-x,

所以=—2,即g(x)=/(4-x)—2,

用(x+1)替換x,可得g(x+l)=/(3-x)—2,

且g(x+l)+a=/(x—l)+Z7,BP/(3—x)—2+?=/(A:-1)+Z?,

將“=6+2代入，可得/(3—x)=〃x—1),

所以函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故A正確；

又函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)加(3,0)對(duì)稱，即/(3-x)=-/(3+江

所以4x(3-1)=8是函數(shù)〃x)的一個(gè)周期，故B正確；

由g(3-x)=/(x+l)-2,令x=—2,則g⑸=〃-1)一2,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則/(-1)=/(3),

且函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(3,0)對(duì)稱，所以"3)=0,

貝lJg(5)=/(3)-2=0—2=-2,故C錯(cuò)誤；

由g(3-x)=f(x+1)-2,令x=2023可得g(-2020)=f(2024)-2,

令x=2027可得g(-2024)=/(2028)-2,

則g(-2020)+g(-2024)=f(2024)+f(2028)-4,

又8是函數(shù)/(x)的一個(gè)周期，且函數(shù)““關(guān)于直線尤=1對(duì)稱，

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

則f(2024)=/(0)=/(2),/(2028)=/(4),

又函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(3,0)對(duì)稱，即/(3-x)=-/(3+x),

令尤=1,貝1]/(2)=-/(4),所以f(2)+f(4)=0,

貝Ug(-2020)+g(-2024)=/(2)+/(4)-4=-1,故D正確；

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性以及周期性的綜合應(yīng)用，難度較大，解得

本題的關(guān)鍵在于求得函數(shù)7'(x)的對(duì)稱軸，從而確定其周期，即可得到結(jié)果.

11.BCD

【分析】借助指數(shù)函數(shù)的值域求解判斷A；利用給定定義計(jì)算判斷B；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

則結(jié)合對(duì)稱性判斷C；利用中心對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算判斷D.

【詳解】對(duì)于A,顯然了(%)的定義域?yàn)镽,2、＞0,則0＜不三＜2,即函數(shù)/(%)的值域

2X+2

為(0,2),A錯(cuò)誤；

421-V1_2T2*—1

對(duì)于B,令h(x)=f(x+1)-1=——；----1=—=-----1=--------，h(-x)=——--=—------=-h(x),

'2x+I+22X+11+2%1+2-工2'+1

即函數(shù)y=f(x+l)T是奇函數(shù)，因此函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)CM)成中心對(duì)稱圖形,B正確；

對(duì)于C,由選項(xiàng)B知，/(-^+l)-l=-[f(x+l)-l],即/(I-尤)+/(l+x)=2,

兩邊求導(dǎo)得一:a-?+r(i+%)=o,即r(i-x)=ra+%),

因此函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù);(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，C正確；

對(duì)于D,由函數(shù)g(x)滿足y=g(x+l)-l為奇函數(shù)，得函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對(duì)

稱，

由選項(xiàng)B知，函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)/(尤)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(LD對(duì)稱，

202420242024

因此￡(尤,.+%)=M=1012X2+1012X2=4048,D正確.

1=11=11=1

故選：BCD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)V=/(x)的定義域?yàn)?。，VxeD,

①存在常數(shù)a,b?Mf(x)+f(2a-x)=2b^f{a+x)+f(a-x)=2b,則函數(shù)y=/(x)圖象

關(guān)于點(diǎn)(“，b)對(duì)稱.

②存在常數(shù)a使得于(x)=/(2a-x)o/(?+x)=/(“-x),則函數(shù)y=/(%)圖象關(guān)于直線

x=a對(duì)稱.

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

12.3

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合指數(shù)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，代入求值，即可求得答案.

【詳解】由題意知/J）是奇函數(shù)，且當(dāng)尤＜0時(shí)，/（x）=-e",

,?1/Iin-Inf-'l1

?/（ln2）=-/（-ln2）=-/（ln-）=e2=e=g，

2o

故答案為：3

13.?。ù鸢覆晃ㄒ唬稳纭▁）=W，。，4為奇數(shù)，且1＜版＜2均可）

【分析】根據(jù)題意函數(shù)需分別滿足題中①②③的條件，且答案不唯一.

【詳解】由③知，/\、（不妨取x＞0時(shí)/（力＞。），

再x2

所以函數(shù)/用在（0,+8）上是增函數(shù)，函數(shù)少在（0,+8）上是減函數(shù)，

XX

又由①②，函數(shù)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽,

5

所以可取幕函數(shù)/（尤）=/.

故答案為：尤3（答案不唯一，形如〃x）=w，P，q為奇數(shù)，且1＜楙＜2均可）.

9

14.4-

4

【分析】由歐拉函數(shù)定義，確定18中與8互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)求。（8）,且。（2"）=2"|,應(yīng)用

作差法判斷切的單調(diào)性，即可求最大值.

【詳解】由題設(shè)。（2）=1,貝也8中與8互質(zhì)的數(shù)有L3,5,7,共4個(gè)數(shù)，故9⑻=4,

在12“中，與2"互質(zhì)的數(shù)為范圍內(nèi)的所有奇數(shù)，共2”T個(gè)，即。（2"）=2-,

22

nn〃幾2

所以("+1)2/2+1—

4=以2■廠尹則%也=

2"一寸2"

當(dāng)〃V2時(shí)2+1—2>0,當(dāng)心3時(shí)％bn<0,gpb1<b2<b3>b4>b5>

32_9

所以5的最大值為4=

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

9

故答案為：4,—

4

15.（1）答案見(jiàn)解析

（2）0<a<2e

【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)〃進(jìn)行討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)分析單調(diào)性即可；

（2）要使"力之0恒成立，則只需/（九）總之。恒成立，對(duì)〃進(jìn)行討論，并根據(jù)（1）中所得單

調(diào)性，即可分析符合的情況，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】（1）由/（x）=e2'+（2-。）e，-依+為（oeR）,

得/'（x）=2e"+（2-a）eA-a=（eA+l）（2ex-a）

①當(dāng)aVO時(shí),f,（x）=（eA+l）（2ex-?）>0,

所以“X）在（F,包）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>0時(shí)，令廣（x）=0,得x=ln￡,

當(dāng)時(shí)，r（x）<0,〃x）單調(diào)遞減；

當(dāng)xe卜咤,+8｝寸，f'（x）>0,/（尤）單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，/（X）在（f,w）上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時(shí)，”尤）在13n3上單調(diào)遞減，小）在[嗚,+[上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知：當(dāng)〃<0時(shí)，/（%）在（-00,+co）上單調(diào)遞增，

/f—=+（2--ax—+—<1+（2-a]-3+—=[—~l\a<0,

ya）a22\2J

所以當(dāng)。<0時(shí)不合題意.

②當(dāng)〃=0時(shí)，/（x）=e2x+2ex>0,符合題意.

③當(dāng)〃〉0時(shí)，f（x）min=f\\n.—\=a__-■—aln—+—,

要使〃力20恒成立，則只需/（九）1nhi>。恒成立，

a21〃枇、八*口口,aae

即nn：〃-----〃ln—I20,亦即：1-------In—I—20.

422422

ifi=l--^-ln-1+-|（（7>0）,則g'（Q）=_；_L<0,

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

于是g(4)在(。,+時(shí)上單調(diào)遞減；

又因?yàn)間(2e)=1-■|-111弓+_|=。，

所以當(dāng)0<“V2e時(shí)，g(a)>0,即/O。；當(dāng)a>2e時(shí)，g(a)<0,不合題意.

綜上可知。的取值范圍為0〈a42e.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒(能)成立問(wèn)題的解法：

若在區(qū)間。上有最值，則

(1)恒成立：Vxe￡>,/(x)>O?/(x)n]in>0；VxeZ),/(x)<0?>/(x)max<0；

(2)能成立：3xeD,f(x)>0<=>f(x)nm>0；(尤)<0o/(x)1nhi<0.

若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：a>f(x)(或。</(力)，則

(1)恒成立：。>/(力0。>/(彳)?^；<2</(X)?(Z</(^)n.n；

(2)能成立：a>/(^)<=>a>/(x)min；a</(x)oa</(x)1mx.

2X

---------,XG(-l,0)

4A+1I)

16.(l)/(x)=<0,xe{-l,0,l}

Y

-------,XG(0,l).

M+lv)

⑵在(0,1)上為減函數(shù)

⑶可W嗚*=o

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求解，

(2)由單調(diào)性的定義即可求解，

(3)由單調(diào)性求解函數(shù)的值域，即可求解.

【詳解】(1)/⑺是尤eR上的奇函數(shù)，?.."0)=0.

又2為最小正周期，.?J(l)=/(l_2)=/(-l)=_*l)=0.

2

1^X6(-1,0),則te(0,1)J(-x)=r=-=-/(x),:.f(x)=,

v7v74+14+14+1

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

2X

,XG（-1,O）

4X+1

/（x）=0,XG{-1,0,1}

2X

,xe（O,l）.

14%+1

（2』―2*2）+（2為母巧_2X2+2XI\（2玉_2巧）（]_2百+巧）

（2）設(shè)0<再<1，/（%i）~/（x2）=-----/：-----7-----=-----（7-----由

，（4'+1）（4巧+1）（4西+川4巧+1）

于0<%</<1，所以2七一2巧<0,1-2X,+X2<0,4司+1>0,4巧+1>0,

(2玉-2%2)(1-2%1+%2)

所以“為)-/伍)="平+*4*+1)>。=〃&)>“馬)

\/(x)在(0」)上為減函數(shù).

(3)“X)在(0,1)上為減函數(shù)，.?.工即/(x)e|

同理，X在(—1,0)上時(shí)，

又〃T)=/(O)=/(l)=O，

當(dāng)彳或X=。時(shí)，〃x)=九在內(nèi)有實(shí)數(shù)解.

17.(1)2=0

(2)一個(gè)零點(diǎn)

⑶H”）

【分析】(1)利用/(x)=/(x+2兀)恒成立，得至IJ2[ln(x+l)—ln(x+l+27t)]=O在xe(0,y)

上恒成立，即可求值；

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論xe],兀]、”[兀,+⑹，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性

定理研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)將問(wèn)題化為2e「sinx+21n(x+l)-220在xe[0,兀]上恒成立，構(gòu)造函數(shù)

g。)=2e*-sinx+2ln(x+1)-2,討論參數(shù)2并研究g(x)其單調(diào)性，進(jìn)而分區(qū)間判斷g(x)>0

是否恒成立求參數(shù)范圍.

【詳解】(1)由題意，在x?1一)上〃尤)=/(%+2兀),

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

所以/lln(x+l)-sinx=>lln(無(wú)+1+2兀)-sin(x+2ji),

gp2[ln(x+l)-ln(x+l+2兀)]=0在x￡(0,+oo)上恒成立,

又ln(x+l)vln(尤+1+2兀),故；1=0.

(2)當(dāng)；1=1時(shí)/(x)=ln(x+l)—sin%,貝Uf(x}=~~cosx,

x+1

71\1

當(dāng)工￡一,71時(shí)一cos尤20,-----〉0,所以尸(x)>0,即〃x)在方，兀J上單調(diào)遞增.

.2)x+1

又U喂+1/<0"⑺=ln(兀+1)>0,所以在加上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)；xw［7t,+oo)時(shí)y(x)=如(x+l)-sinx>如(兀+1)-1>0,所以在［兀,+8)上無(wú)零點(diǎn).

綜上，/(尤)在+81上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

(3)由7(%)22(l-e"),BP2ln(x+1)—sinx>2(1-ex),整理得2e“—sinL+Xln(x+l)—220,

2

令g(%)=2e“-sinx+Aln(x+1)-2,貝|gr(x)=2ex-cosxH-------,

x+1

當(dāng)2之0時(shí)，對(duì)任意工?0,可有cos%￡[—1,1],又2e，22,/—20,

x+1

所以g,x)>0,此時(shí)g(x)在[0,可上單調(diào)遞增,故g(x)*(0)=0,符合題意.

當(dāng)外<0時(shí)，令Mx)=g(x),貝iJ/z'OOuZe'+sinx-7~,

(x+1)

所以，在無(wú)?0,可上〃(%)>。恒成立,即從x)=g'(以在［0,可上單調(diào)遞增.

夕

又g'(o)=4+l,g'(兀)=2於+1+-

71+1

當(dāng)；1+12。，即-144<0時(shí)，在［0,兀|上有，(工注0,此時(shí)g(%)在［0,可上單調(diào)遞增,

g(x)Ng(O)=O,符合題意.

當(dāng)4+1<0,即2<—1時(shí)，若g'(%)>0,即一(兀+1乂2e"+l)<2<-l,

由零點(diǎn)存在定理，存在與?0,兀)使g'(Xo)=O,故xeQ%)上g，(x)<0,

所以g(x)在xe(0,x。)上遞減，此時(shí)g&)<g(O)=O,不合題意.

若/(兀)40,即24-(兀+1乂2e"+l),此時(shí)對(duì)Vxe［0,可恒有g(shù)，(x)M0且不恒為0.

即g(x)在［0,可上單調(diào)遞減，所以g㈤<g(0)=0,不合題意.

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

綜上，力的取值范圍是［-L拉）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:第三問(wèn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2ev-sin.r+AIn（尤+1）-220在xe［0,兀］上恒成立,

構(gòu)造中間函數(shù)研究函數(shù)符號(hào).

18.⑴（

tein

【分析】（1）設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a,則ZAEH=a,AB^tcosa,計(jì)算得到。=

2+sin2a

代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.

(2)確定S,J'‘in2a],5l^sin2?,計(jì)算3=；$山2[+-^+2,根據(jù)函數(shù)的

2(2+sin2cJ2邑2sin2c

單調(diào)性計(jì)算最值得到答案.

【詳解】（1）設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為。，則NAE"=a,AB=tcosa,

貝|3石=—AE=acosa,AB=AE+BE,tcosa=—^—+acosa,

sinasina

tcosa_tsinacosa_/sin2a

整理得到11+sinacosa2+sin2a，

--------Fcosa

sin。

.5兀

tsm——

當(dāng)a=ff時(shí),a=--------6t

..5K5

2+sin——

6

22

(2)sJ"sin2"],S}=tsina-cosa=tsinacosa=—t