2024-2025學年八年級數學上冊：三角形全等幾何模型（手拉手）專項練習

專題1.12三角形全等幾何模型（手拉手）（專項練習）

一、單選題

1.如圖，C為線段NE上一動點（不與點A,E重合），在/E同側分別作等邊三角形ABC

和等邊三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點、P,BE與CD交于點、Q,連結

PQ.以下結論錯誤的是（）

B

E

A.A405=60°B.AP=BQ

C.PQUED.DE=DP

2.如圖，在△0/8和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,zAOB=^COD=40°,連接

AC,BD交于點、M,連接（W,下列結論：

①AAOCMBOD；②AC=BD；③4Affl=40°；④河。平分A8A/C.

其中正確的個數為（）

A

A.4B.3C.2D.1

3.如圖，己知A42c與都是等邊三角形，點、B、C、。在同一條直線上，4D與BE

相交于點G,8E與/C相交于點尸，與CE相交于點況則下列結論①A4CD三△8CE

②乙4G2=60。③蝦=/?④△CW是等邊三角形⑤連CG,貝此2GC=ZDGC.其中正確

的個數是（）

試卷第1頁，共6頁

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

4.如圖，C為線段ZE上一動點（不與點/、E重合），在NE同側分別作正和正

xCDE,AD與BE交于點、O,AD與BC交于點、P,BE與C。交于點。，連接尸。.以下五個

結論：?AD=BE；@PQ//AE.③4P=3°；@DE=DP；⑤N/O8=60°.

恒成立的結論有.（把你認為正確的序號都填上）

5.已知：如圖，正方形N8C。中，對角線/C和5。相交于點O,E、/分別是邊力。、CD

上的點，若4E=4cm,CF=3cm,5.OELOF,連接斯，則￡尸的長為.

6.在A48C中，//。8=90。,/8=60。,N3=4,點。是直線8c上一動點，連接N。，在直

線的右側作等邊△NOE,連接CE,當線段CE的長度最小時，線段C。的長度為

7.如圖，在放ZV18C中，48c=90。，N8=3C,點。為三角形右側外一點.且乙BOC=

9

45°.連接4。，若A4C。的面積為三，則線段C。的長度為

O

試卷第2頁，共6頁

D

8.如圖，CA=CB,CD=CE,zACB=zDCE=50°,AD、BE交于點H,連接CH,則

ZCHE=

9.如圖，ZDAB=ZEAC=60°,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于O,4B和CD相

交于P,則的度數是

10.在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE

和正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長線交于點M,下列結論：

①BG=CE；@BG1CE；③AM是4AEG的中線；（4）zEAM=zABC.其中正確的

是.

試卷第3頁，共6頁

三、解答題

11.如圖，已知/BAD=NC4E,AB=AD,AC=AE,求證：ZB=ZD.

12.如圖，A48C和都是等邊三角形，連接CD.求證：AE=CD.

13.如圖，己知。3c是等腰直角三角形，動點尸在斜邊48所在的直線上，以PC為直角

邊作等腰直角△尸C0,其中NPCQ=90。，探究并解決下列問題：

(1)如圖1,若點尸在線段43上時，猜想尸T，PB"尸行三者之間的數量關系，并證明你

的結論；

(2)如圖2,若點尸在的延長線上，在(1)中所猜想的尸牙，PB。,PQ2三者之間的數量

關系仍然成立，請利用圖2進行證明.

14.如圖，4ACB和4DCE均為等腰三角形，ZACB=ZDCE=9O°,點A,D,E在同一條直

線上，連接BE.

(1)求證：AD=BE；

(2)若NCAE=15。，AD=4,求AB的長.

試卷第4頁，共6頁

15.在A48C中，=點。是直線3C上一點，連接40,以4D為邊向右作△4DE,

使得ZDAE=ABAC,連接CE.

⑴①如圖1,求證：AABD沿AACE；

②當點。在3c邊上時，請直接寫出A/8C,4CD,的面積(S/Bc，S./8,

S^ACE)所滿足的關系;

(2)當點。在3c的延長線上時，試探究。3C,"CD,的面積(S.ABC，SAACD,

S.ACE)所滿足的關系，并說明理由.

16.如圖，在A/BC中，ZC=90°,/C=8C,點。是48中點，AMON=90°,將NMON

⑴當NMON轉動至如圖一所示的位置時，連接CO,求證：^COD=^BOE；

(2)當/MCW轉動至如圖二所示的位置時，線段CD、CE、/C之間有怎樣的數量關系？請

說明理由.

17.如圖，“8C和A￡Q)都是等邊三角形，直線4E,BD交于點F.

試卷第5頁，共6頁

(1)如圖1,當/,C,。三點在同一直線上時，乙4必的度數為,線段/￡與AD的數

量關系為.

⑵如圖2,當AECD繞點C順時針旋轉a(O”eV36O。)時，(1)中的結論是否還成立？若

不成立，請說明理由：若成立，請就圖2給予證明.

(3)若4C=4,CD=3,當AECD繞點C順時針旋轉一周時，請直接寫出8。長的取值范

圍.

18.已知在中，AB=AC,過點8引一條射線。是8M上一點

【問題解決】

(1)如圖1,若N/8C=60。，射線8M在//3C內部，N4DB=60°,求證：ZBDC=60°,小

明同學展示的做法是：在即/上取一點￡使得=通過已知的條件，從而求得NBDC

的度數，請你幫助小明寫出證明過程；

【類比探究】

(2)如圖2,已知NABC=ZADB=30°.

①當射線8M在//8C內，求NADC的度數

②當射線8W在3c下方，如圖3所示，請問Z8OC的度數會變化嗎?若不變，請說明理由,

若改變，請求出的度數；

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】利用等邊三角形的性質，BCWDE,再根據平行線的性質得到NC3E=NDE0,于是

UOB=4DAC+乙BEC=4BEC+乙DEO=3EC=60°,得出A正確；^^ACQB=ACPA(ASA),

得出B正確；由AACDmABCE彳導乙CBE=5AC,加之乙1C2=〃)C￡=6O。，AC=BC,得到

ACQB=ACPA(ASA),再根據NPC0=6O。推出△PCQ為等邊三角形，又由乙P0C=zZ>C￡,

根據內錯角相等，兩直線平行，得出C正確；根據NCDE=60。，

ADQE=^ECQ+/LCEQ=60°+^CEQ,可矢口屏NCDE,得出D錯誤.

【詳解】解：,?,等邊人43。和等邊△CDE,

：.AC=BC,CD=CE,UCB=zJ)CE=60。,

；.UCB+乙BCD=ADCE+乙BCD,即AACD=^BCE,

在△/CD與△8CE中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

■■.AACD=ABCE(SAS),

：./-CBE=/-DAC,

又?：UCB=LDCE=60°,

.-.ABCD=60°,即乙4cp=N8CQ,

又;AC=BC,

在△CQ8與4CPA中，

'NACP=ZBCQ

<4C=BC,

APAC=ZCBQ

??.△CQBmACPA(ASA),

：.CP=CQ,

又???"C0=6O?？芍鱌C。為等邊三角形，

：.乙PQC=LDCE=60°,

■■.PQ//AE,

故C正確，

■.■ACQB=ACPA,

答案第1頁，共22頁

：.AP=BQ,

故B正確，

■：AD=BE,AP=BQ,

：.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

■：ADQE=AECQ+ACEQ=60°+ACEQ,乙CDE=60°,

：.^DQE^CDE,故D錯誤；

■：/-ACB=/-DCE=6Q°,

.■.^BCD=60°,

?.?等邊

AEDC=600=乙BCD,

：.BCHDE,

：./-CBE=/JJEO,

：.UOB=^DAC+^BEC=z.BEC+/.DEO=^DEC=60°,

故A正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，利用旋轉不變性，解題

的關鍵是找到不變量.

2.A

【分析】由題意易得NAOC=zBOD,然后根據三角形全等的性質及角平分線的判定定理可

進行求解.

【詳解】解：???NAOB=NCOD=40。，NAOD是公共角，

zCOD+zAOD=zBOA+zAOD,即zAOC=zBOD,

???OA=OB,OC=OD,

??.△AOCsABOD(SAS),

.?.AC=BD,zOAC=zOBD,zODB=zOCA,故①②正確；

過點。作OE1AC于點E,OF1BD于點F,BD與OA相交于點H,如圖所示：

答案第2頁，共22頁

???ZAHM=ZOHB,zAMB=180°-zAHM-zOAC,zBOA=180°-zOHB-zOBD,

,?.ZAMB=ZBOA=40°,

.-.ZOEC=ZOFD=90°,

???OC=OD,ZOCA=ZODB,

.?.AOEC=AOFD(AAS),

,?,OE=OF,

.?.OM平分NBMC,故③④正確；

所以正確的個數有4個；

故選A.

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定及角平分線的判定定理，熟練掌握全等三角

形的性質與判定及角平分線的判定定理是解題的關鍵.

3.D

【詳解】試題分析：功C￡=60。，

；/BCE=UCD,在△2CE和A4CD中，

■：BC=AC,^BCE=/-ACD,CE=CD,

:ABCE三5CD(SAS\故①正確；

???△BCE三AACD,

：./.CBF=/.CAH.

??ZBFC=UFG,

.?■Z.AGB=Z.ACB=60°,故②正確；

在△8CF和A4C7/中，乙CBF=￡CAH,BC=AC,乙BCF=UCH,

:ABCFmAACH(ASA),

：.CF=CH,BF=AH；故③正確；

■：CF=CH,乙4c77=60°,

.?.△CEH■是等邊三角形；故④正確；

連接CG,過C點作CM12E,作CN14D,

答案第3頁，共22頁

■.■ABCE=AACD,CM1BE,CN1AD,

：.CM=CN,

,?.GC平分NBGD,

；/BGC=3GC,故⑤正確.

故選：D.

A

考點：L全等三角形的判定與性質；2.等邊三角形的判定與性質.

4.①②③⑤

【分析】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，平行線的判定以及性

質.

①由于"3C和ACDE是等邊三角形，可知/C=8C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

從而利用SAS證出“DCgABEC,可推知4D=8E；②由“DC之ABEC得CD=CE,

ZDCP=NECQ=60。,/ADC=/BEC,得到△(?￡)產會△CE。，再根據推出為△尸C0等

邊三角形，又由/QPC=NBC4,根據內錯角相等，兩直線平行，可知②正確；③由①和②

可得出。尸=,即可證/尸=B。；④根據ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+CEQ,,

ZCDE=60°,可知乙DQEHCDE,DE>QE,S.DP=QE,得出DE>DP,可知④錯誤;

⑤利用等邊三角形的性質得出8C〃DE,再根據平行線的性質得到NCBE=NDE。，于是

ZAOB=ZDAC+NBEC=NBEC+ZDEO=ZDEC=60°,可知⑤正確.

【詳解】解：①???正”8C和正ACDE,

:.AC=BC,CD=CE,NACB=/DCE=60°,

N4CD=ZACB+/BCD,NBCE=ZDCE+/BCD,

:.NACD=/.BCE,

在△/DC和ABEC中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE

CD=CE

答案第4頁，共22頁

??.AADC^ABEC(SAS),

AD=BE,NADC=NBEC,

故①正確；

②又?.?CQ=CE,/DCP=/EC。=60。,NADC=NBEC,

.?.△CD尸絲△CE0(ASA).

CP=CQ,

ZCPQ=ZCQP=60°,

ZQPC=ZBCAf

??.PQ//AE,

故②正確；

③???△CD尸也△C￡Q,

；,DP=QE,

???△4QC知BEC

*'.AD=BE,

AD-DP=BE-QE,

:,AP=BQ,

故③正確；

@-.-DE>QE,且DP=QE,

DE>DP,

故④錯誤；

⑤?:NACB=NDCE=60°,

ZBCD=60°,

???△DCE是等邊三角形，

ZEDC=60°=NBCD,

BC//DE,

NCBE=NDEO

ZAOB=ZDAC+NBEC=NBEC+NDEO=NDEC=60°,

故⑤正確.

正確的有：①②③⑤.

答案第5頁，共22頁

故答案為：①②③⑤.

5.5cm##5厘米

【分析】根據正方形的性質及各角之間的關系得出乙4?！?功。尸，z.EOD=z.COF,利用全等

三角形的判定和性質得出入4￡。="）尸。，\DEO=NCFO,DE=FC=3cm,DF=AE=4cm,再由

勾股定理求解即可.

【詳解】解：???四邊形4BC。為正方形，對角線/C和AD相交于點。，

山。D=NCOD=90°,ZJDAO=/LADO=AODC=^OCD=45°,AO=DO=CO,

,-OELOF,

.^EOF=90°,

'.^AOE+Z-EOD=^EOD+^DOF=90°,2DOF+^EOD=LDOF+乙COF=90。,

；?，4OE=3OF,乙EOD=4OF,

在AAEO與AD中,

NAOE=NDOF

<AO=DO,

ZEAO=ZFDO

^\AEO=\DFO,

同理AnEOBACF。

.?.DE=FC=3cm,DF=AE=4cm,

連接瓦

EF=y/DE2+EF2=5cm,

故答案為：5cm.

【點睛】題目主要考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理解三角形等，理

解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

6.3

【分析】在/C的左側作等邊三角形/C/，連接CE、BF、FD、CF,再證明

答案第6頁，共22頁

^ADF^AEC,可得CE=DF,再利用_L3C時，。尸最短，從而可得答案.

【詳解】解：在/C的左側作等邊三角形4CF,連接C￡、BF、FD、CF,

■：ZACB=90°,NB=60°,則ABAC=30°,

則ZFAB=NFAC-ABAC=60°—30°=30°,

故點C、尸關于48對稱，

貝UNABF=NABC=60°,BF=BC=-AB=-x4=2,

22

MFC,4DE均為等邊三角形，

:.ZFAD+ZDAC=60°,ZDAC+ZEAC=60°,AF=AC,AD=AE,

NFAD=ZEAC,

NADF=AAEC(SAS),

DF=EC,

當。尸，BC時，。尸最小，

由ZABC=ZABF=60°,BC=BF=2,

4FBD=60°,ZDFB=30°,

i^BD=-BF=-x2=l,

22

故。的長度為8O+C8=l+2=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短，含30。

的直角三角形的性質，靈活運用以上知識解題是解題的關鍵.

7.2

2

【分析】過點3作交DC的延長線于點E,連接4E,由題意易得△￡8。是等腰直

角三角形，然后可證△BCD三△2E4則有r&DC=NA￡4=45。，AE=CD,進而根據三角形面

積公式可進行求解.

答案第7頁，共22頁

【詳解】解：過點5作交。。的延長線于點E,連接/及如圖所示:

???/ABE+ZEBC=4EBC+ZCBD=90°,

???/ABE=ZCBD,

??2BZ)C=45。，乙EBD=90。,

.?.△￡班是等腰直角三角形，

工(BDC=LBED=45。,BE=BD,

?：AB=BC,

SBCDzABAE(SAS),

???乙BDC=^BEA=45。,AE=CD,

??.AAED=AAEB+/BED=90°,

19

^S^ACD=-CD-AE=~,

：.CD2=~,

4

：.CD=--

2

故答案為:3.

【點睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質及等腰直角三角形的性質與判定，解題的關

鍵是構造旋轉型全等，抓住等腰直角三角形的特征.

8.65°

【分析】先判斷出MCDMASCE,再判斷出A4cM三A8CN即可得到CH平分,即可

得出結論.

【詳解】解：如圖，；ZACB=NDCE,

ZACD=ZBCE,

答案第8頁，共22頁

CA=CB

在A4CD和ABCE中，＜ZACD=/BCE

CD=CE

:.MCD=ABCE(SAS)；

過點。作。以_L40于"，CN1BE于N,

\-MCD=ABCE,

/CAM=/CBN,

ZCAM=/CBN

在ZUCM和MCN中，＜ZAMC=ZBNC=90°

AC=BC

\ACM二ABCN,

/.CM=CN,

CM=CN

在RtACMH與RtACNH中＜

\CH-CH

RtACMH=RtACNH(HL),

AMCH=ZNCH,

:.CH平分NAHE；

\'AACD=ABCEf

/CAD=ZCBE,

?「ZAFC=ABFH,

:.ZAHB=ZACB=50°f

:.ZAHE=lS00-50o=130°,

ACHE=-AAHE=-xl30°=65°,

22

故答案為：65°.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質以及角平分線的定義.此題難度適中，注意掌

握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用.

答案第9頁，共22頁

9.120

【分析】先得出NDAC=/EAB,進而利用ASA得出aADC工ZkAEB,進而得出乙E=4ACD,

再利用三角形內角和定理得出ZEAF=ZCOF=60°,即可得出答案.

【詳解】如圖所示：

vzDAB=zEAC=60°,

/.ZDAB+ZBAC=zBAC+zEAC,

.-.ZDAC=ZEAB,

在AADC和AAEB中，

'AD=AB

<NDAC=NEAB,

AC=AE

.-.△ADC^AABE(SAS),

.,.z.E=zACD,

XvzAFE=zOFC,

.-.ZEAF=ZCOF=60°,

.-.ZDOE=120°.

故答案是：120.

【點睛】考查了全等三角形的判定與性質以及三角形內角和定理等知識，根據已知得出

AADC=AAEB是解題關鍵.

10.①②③④

【分析】根據正方形的性質和SAS可證明A48G三A4EC,然后根據全等三角形的性質即可

判斷①；設BG、CE相交于點N,AC,8G相交于點K,如圖1,根據全等三角形對應角相

等可得G2,然后根據三角形的內角和定理可得NCNG=NC4G=90。，于是可判斷

②；過點￡作的延長線于P,過點G作GQ1/M于。，如圖2,根據余角的性質即

可判斷④；利用AAS即可證明A45X三可得EP=4H,同理可證G0=4W,從而得

答案第10頁，共22頁

到￡P=G。，再利用AAS可證明△EPAfeaGQW,可得￡"=GM,從而可判斷③，于是可

得答案.

【詳解】解：在正方形和NC尸G中，AB=AE,AC^AG,乙BAE=4CAG=9Q°,

:.4BAE+乙BAC=Z.CAG+/.BAC,

即Z,C4￡=48NG,

.?.△ABGmA4EC(SAS),

:.BG=CE,故①正確；

設2G、CE相交于點N,AC.2G相交于點K,如圖1,

圖1

■■■^ABG^AAEC,

.-.AACE=^AGB,

?:UKG—NKC,

；/CNG—CAG=90°,

■■.BGLCE,故②正確；

過點E作￡尸1期的延長線于P,過點G作GQUM于。，如圖2,

圖2

?:AHLBC,

：.AABH+^BAH=90°,

?./BAE=90°,

答案第11頁，共22頁

??/EAP+乙BAH=90。,

,"BH—EAP,即乙45C,故④正確；

?"HB=d=90。,AB=AE,

；.AABH三AEAP(AAS),

：.EP=AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

,:在4EPM和△G0M中，

2尸=ZMQG=90°

<ZEMP=ZGMQ,

EP=GQ

'.AEPM=AGQM(AAS\

:?EM=GM,

.?.，/是A4EG的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結論都正確.

故答案為：①②③④.

【點睛】本題考查了正方形的性質、三角形的內角和定理以及全等三角形的判定和性質，作

輔助線構造出全等三角形是難點，熟練掌握全等三角形的判定和性質是關鍵.

11.見解析

【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、AAS、ASA、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三

角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

利用SAS判定再根據全等三角形的對應邊相等，對應角相等，即可證得

/B=/D.

【詳解】證明：???4840=/C4E,

??.ABAC=ZDAE.

在^ABC和/XADE中,

AB=AD

<ABAC=ZDAE,

AC=AE

答案第12頁，共22頁

??,"Bg"DE(SAS).

ZB=ZD.

12.見解析

【分析】證明三△C5。即可解決.

【詳解】???八45。和△￡5。都是等邊三角形，

??.AB=CB,BE=BD,UBC=cDBE=6G。,

：.Z.ABC-乙4BD—DBE-^ABD,

^/.ABE=Z.CBD,

在AABE和△CAD中,

'AB=CB

<NABE=ZCBD,

BE=BD

-.AABE=ACBD(MS),

??AE=CD.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質等知識，掌握這兩部分知

識是關鍵.

13.(1)PB2+PA2=PQ2

(2)PB2+PA2=PQ2

【分析】(1)連接8。，根據等腰直角三角形的性質可得到A。尸之A。"。，進而得到

NPBQ=90°,PA=BQ,在Rt△尸50中利用勾股定理即可得到三邊的關系；

(2)連接2。，根據等腰直角三角形的性質可得到△。尸0AC20,進而得到/必。=90。,

PA=BQ,在中利用勾股定理即可得到三邊的關系；

【詳解】(1)解：結論：PB2+PA2=PQ2,理由如下：

如圖，連接2。,

圖1

答案第13頁，共22頁

?.7BC、△PC。均為等腰直角三角形，ZACB=ZPCQ=9。。,

：,CA=CB,CP=CQ,

???ZACP+NPCB=NPCB+ZBCQ=90°

???/ACP=/BCQ

在CP和△C30中，

CA=CB

<ZACP=ZBCQ,

CP=CQ

???尸名△C30(SAS)

:?PA=BQ,ZCAP=ZCBQ=45°f

??.ZPBQ=/ABC+ZCBQ=90°,

在RtAPS。中，

■.PB2+BQ1=PQ'

PB2+PA2=PQ2?

(2)如圖，連接5。，

圖2

；BC、均為等腰直角三角形，4cB=400=90。,

：,CA=CB,CP=CQ,

vZACB+NPCB=ZPCB+ZPCQ,

:./ACP=/BCQ,

在△€%尸和△C80中，

CA=CB

<ZACP=ZBCQ,

CP=CQ

???△CAP學△CBQ(SAS)

：,PA=BQ,ZCAP=ZCBQ=45°f

答案第14頁，共22頁

...AABQ=ZABC+ZCBQ=90°,即：ZPBQ=90°

在Rt△尸3。中，

?：P?+B0=PC

PB2+PA2=PQ2.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形下的全等模型，等腰直角三角形的性質，等角的余角相

等，全等三角形的判定與性質，勾股定理，合理構造輔助線是解決本題的關鍵.

14.（1）見解析;（2）8

【分析】（1）直接證明△/CD之即可得出結論；

（2）由（1）可進一步推出匹為直角三角形，且/E4B=30。，從而由43=22￡求解即

可.

【詳解】（1）???△ACB和ADCE均為等腰三角形，zACB=zDCE=90°,

:.NADC=NBCE,

在"CD與ABCE中,

AC=BC

<ZACD=NBCE

DC=EC

:.AACDABCE（SAS）,

AD=BE；

（2）???△48。是等腰直角三角形，

/ABC=45°,

由（1）可知，ZCAE=ZCBE=15°,BE=AD=4,

/ABE=/ABC+ZCBE=45°+15°=60°,

/ABE=/ACB=90°,

則在放中，/EAB=3。。,

AB=2BE=8.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，及含30。角的直角三角形的性質，根據“手拉

手”模型證明全等，并推導出直角三角形是解題關鍵.

15.（1）①證明見解析；②S.ABC=S.ACD+S.ACE，理由見解析

（2）SAACE=S^ABC+^^ACD,理由見解析

答案第15頁，共22頁

【分析】（1）①先證明再利用SAS證△45Z汪△4C￡即可；②利用全等

三角形的性質得到S.ABD=S.ACE，再由S=S?CD+S△皿即可得到結論;

(2)由已知條件可得證出，/\ABD咨AACE,推出=8“底，再由

S￡\ABD~S^ABC+S^ACD，即可得到%CE=^/\ABC+^/\ACD?

【詳解】(1)證明：①?：/BAC=/DAE,

???ABAC-/CAD=ZDAE-ACAD,即ABAD=/CAE.

在△43。和△4CE中，

AB=AC

</BAD=/CAE。

AD=AE

AABD^AACE(SAS).

(DS"BC=S&ACD+S”cE?理由如下：

?：△ABDQAACE,

.c—c

??°AABD~Q&ACE，

???^/\ABC=S叢ACD+S^ABD，

S&ABC=S"CD+S&ACE；

(2)解：ACE=S.BC+S/CD，理由如下：

ABAC=ZDAE,

ABAC+Z1=ADAE+Z1,BPABAD=ACAE.

在△48。和中，

AB=AC

<ABAD=NCAE

AD=AE

；."BD必ACE(SAS),

??凡ABD=S.ACE，

答案第16頁，共22頁

"S&ABD=St\ABC+^/\ACD，

S44CE=S&ABC+S&ACD?

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，熟知全等三角形的判定定理以及性質是

解題的關鍵.

16.⑴見解析

Q)CE-CD=AC.理由見解析

【分析】(1)結論：CD+CE=4C.連接OC.證明ACOD*BOE(ASA)；

(2)結論：CE-CD=AC,證明方法類似(1).

【詳解】(1)證明：?.?/C=8C,ZC=90°,AO=OB,

OCLAB,OC=AO=OB,

ZOCD=NB=45°,

ZMON=ZCOB=90°,

ZDOC=ZEOB,

在△COD和△BOE中，

AOCD=NB

<OC=OB,

NOCD=NBOE

“COD三.BOE(ASA).

(2)解：CE-CD=AC.

理由：連接。C.

答案第17頁，共22頁

EhM

A\

圖二

?；AC=BC,ZC=90°,AO=OB,

OC1AB,OC=AO=OB,

NOCD=NB=45°,

NDOC=NCBE=135°,

???AMON=NCOB=90°,

NDOC=NEOB,

在△CQD和中，

ZOCD=ZB

<OC=OB,

ZOCD=ZBOE

.-.△CO￡>=A5O￡,(ASA),

CD=BE,

:.CE-CD=CE-BE=BC=AC.

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是

正確尋找全等三角形解決問題.

17.(1)60°,AE=BD-,

(2)成立，理由見解析

(3)1<57?<7

【分析】本題考查了等邊三角形性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，以及旋轉的

性質，解答時證明三角形全等是關鍵.

(I)利用等邊三角形的性質證明A/CE名ABC。，結合三角形的外角就可以得出結論；

(2)同(1)中方法證明之ABCD,得出=N2=N3,再根據三角形的內角

和得出ZAFB=60°；

答案第18頁，共22頁

(3)當B、C、。三點共線時得出5。的最大和最小值，即可得出結論.

【詳解】(1)解：???△45。是等邊三角形，

:.AC=BC,ZACB=60°,

■「△EC。是等邊三角形，

/.CE=CD,ZDCE=60°,

/.ZACB=ZDCE=60°

ZACB+/BCE=ZDCE+/BCE,

即/ACE=ZBCD,

在和△BCD中，

AC=BC

</ACE=/B