2022年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2022年山東省日照市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12個小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將符合題目要求選項(xiàng)的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上1.的相反數(shù)是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義可得結(jié)果．【詳解】因?yàn)?2+2=0，所以-2的相反數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求相反數(shù)，熟記相反數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．2.山東省第二十五屆運(yùn)動會將于2022年8月25日在日照市開幕，“全民健身與省運(yùn)同行”成為日照市當(dāng)前的運(yùn)動主題．在下列給出的運(yùn)動圖片中，是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，對各選項(xiàng)分析判斷即可得解；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．3.全民免費(fèi)接種新冠病毒疫苗是黨中央、國務(wù)院作出重大決策部署，通過接種疫苗，讓更多人獲得免疫力，盡早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全國31個?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計報告接種新冠病毒疫苗336905萬劑次．?dāng)?shù)據(jù)336905萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.0.336905×1010 B.3.36905×1010 C.3.36905×109 D.33.6905×109【答案】C【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．【詳解】解：336905萬=3369050000=3.36905×109．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4.下列運(yùn)算正確的是（）A.a6÷a2=a3 B.a4?a2=a6 C.（a2）3=a5 D.a3+a3=a6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方法則，進(jìn)行計算逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、a6÷a2=a4，故A不符合題意；B、a4?a2=a6，故B符合題意；C、（a2）3=a6，故C不符合題意；D、a3+a3=2a3，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5.在實(shí)數(shù)，x0（x≠0），cos30°，中，有理數(shù)的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：在實(shí)數(shù)，x0（x≠0）=1，，中，有理數(shù)是，x0=1，所以，有理數(shù)的個數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．6.如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點(diǎn)為E，當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為（）A.27° B.53° C.57° D.63°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知AE∥BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代換求出∠EAB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AED．詳解】解：如圖所示：∵AE∥BF，∴∠EAB=∠ABF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC=90°，∴∠ABF+27°=90°，∴∠ABF=63°，∴∠EAB=63°，∵AB∥CD，∴∠AED=∠EAB=63°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．7.下列說法正確的是（）A.一元一次方程的解是x=2B.在連續(xù)5次數(shù)學(xué)測試中，兩名同學(xué)的平均成績相同，則方差較大的同學(xué)的成績更穩(wěn)定C.從5名男生，2名女生中抽取3人參加活動，至少會有1名男生被抽中D.將一次函數(shù)y=-2x+5的圖象向上平移兩個單位，則平移后的函數(shù)解析式為y=-2x+1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元一次方程的解的概念，方差的意義，抽屜原理，一次函數(shù)圖象平移的規(guī)律逐項(xiàng)判斷．【詳解】解：一元一次方程的解是x=-2，故A錯誤，不符合題意；在連續(xù)5次數(shù)學(xué)測試中，兩名同學(xué)的平均成績相同，則方差較小的同學(xué)的成績更穩(wěn)定，故B錯誤，不符合題意；從5名男生，2名女生中抽取3人參加活動，至少會有1名男生被抽中，故C正確，符合題意；將一次函數(shù)y=-2x+5的圖象向上平移兩個單位，則平移后的函數(shù)解析式為y=-2x+7，故D錯誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解，方差的應(yīng)用，抽屜原理的應(yīng)用，一次函數(shù)圖象的平移等知識，解題的關(guān)鍵是掌握教材上相關(guān)的概念和定理．8.《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，根據(jù)“用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，由題意可得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．9.如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)B，連接OM，ON．若四邊形OMBN的面積為3，則k1-k2=（）A.3 B.-3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)M、N均是反比例函數(shù)（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象上，∴，∵矩形OABC的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)（k2是非零常數(shù)，x>0）的圖象上，∴S矩形OABC=k2，∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，∴k2-k1=3，∴k1-k2=-3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．10.如圖，幾何體是由六個相同的立方體構(gòu)成的，則該幾何體三視圖中面積最大的是（）A.主視圖 B.左視圖 C.俯視圖 D.主視圖和左視圖【答案】C【解析】【分析】從正面看，得到從左往右3列正方形的個數(shù)依次為1，2，1；從左面看得到從左往右3列正方形的個數(shù)依次為1，2，1；從上面看得到從左往右3列正方形的個數(shù)依次，2，2，1，依此畫出圖形即可判斷．【詳解】解：如圖所示主視圖和左視圖都是由4個正方形組成，俯視圖由5個正方形組成，所以俯視圖的面積最大．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-三視圖，正確畫出立體圖形的三視圖是解答本題的關(guān)鍵．11.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為，且經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）．下列結(jié)論：①3a+b=0；②若點(diǎn)，（3，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，則y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】由對稱軸為即可判斷①；根據(jù)點(diǎn)，（3，y2）到對稱軸的距離即可判斷②；由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），得出a-b+c=0，對稱軸，得出，代入即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及拋物線的對稱性即可判斷④．【詳解】解：∵對稱軸，∴b=-3a，∴3a+b=0，①正確；∵拋物線開口向上，點(diǎn)到對稱軸的距離小于點(diǎn)（3，y2）的距離，∴y1<y2，故②正確；∵經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），∴a-b+c=0，∵對稱軸，∴，∴，∴3c=4b，∴4b-3c=0，故③錯誤；∵對稱軸，∴點(diǎn)（0，c）的對稱點(diǎn)為（3，c），∵開口向上，∴y≤c時，0≤x≤3．故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E是對角線AC上一動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），過點(diǎn)E作EFBC，交AB于F，點(diǎn)P在線段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求確定A、C、B三個點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的長，進(jìn)而表示出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，最后根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意可得，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b則解得：∴直線AB的解析式為：y=x-4，∴x=y+4，設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n則解得：∴直線AC的解析式為：，∴，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為：y+4，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：，∴，∵EP=3PF，∴，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：，∵，∴．∴故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形性質(zhì)、求一次函數(shù)的解析式、不等式性質(zhì)等知識，根據(jù)題意表示出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4個小題，每小題3分，易分2分不需寫出解答過程，請將答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0，列不等式求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得：，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握被開方數(shù)大于或等于0．14.一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得AB=12cm，BC=5cm，則圓形鏡面的半徑為__________．【答案】【解析】【分析】連接AC，根據(jù)∠ABC=90°得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出AC即可．【詳解】解：連接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圓周角，∴AC是圓形鏡面的直徑，由勾股定理得：，所以圓形鏡面的半徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和勾股定理等知識點(diǎn)，能根據(jù)圓周角定理得出AC是圓形鏡面的直徑是解此題的關(guān)鍵．15.關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=變形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得x1+x2=-2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）2-2x1x2=，∴4m2-m=，∴m1=-，m2=，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞或m＜0時，∴m=不合題意，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，，．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是__________．【答案】2【解析】【分析】點(diǎn)F運(yùn)動所形成的圖象是一條直線，當(dāng)OF⊥F1F2時，垂線段OF最短，當(dāng)點(diǎn)F1在x軸上時，由勾股定理得：，進(jìn)而得，求得點(diǎn)F1的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)F2在y軸上時，求得點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（0，-4），最后根據(jù)待定系數(shù)法，求得直線F1F2的解析式為y=x-4，再由線段中垂線性質(zhì)得出，在Rt△OF1F2中，設(shè)點(diǎn)O到F1F2的距離為h，則根據(jù)面積法得，即，解得h=2，根據(jù)垂線段最短，即可得到線段OF的最小值為2．【詳解】解：∵將線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，∴∠APF=60°，PF=PA，∴△APF是等邊三角形，∴AP=AF，如圖，當(dāng)點(diǎn)F1在x軸上時，△P1AF1為等邊三角形，則P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，∴∠P1AO=30°，且AO=4，由勾股定理得：，∴，∴點(diǎn)F1的坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)點(diǎn)F2在y軸上時，∵△P2AF2為等邊三角形，AO⊥P2O，∴AO=F2O=4，∴點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（0，-4），∵，∴∠OF1F2=60°，∴點(diǎn)F運(yùn)動所形成的圖象是一條直線，∴當(dāng)OF⊥F1F2時，線段OF最短，設(shè)直線F1F2的解析式為y=kx+b，則，解得，∴直線F1F2的解析式為y=x-4，∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，∴，在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，設(shè)點(diǎn)O到F1F2的距離為h，則，∴，解得h=2，即線段OF的最小值為2，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法的運(yùn)用等，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及面積法求最短距離，解題時注意勾股定理、等邊三角形三線合一以及方程思想的靈活運(yùn)用．三、解答題：本題共6個小題，滿分72分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）先化簡再求值：，其中m=4．（2）解不等式組并將解集表示在所給的數(shù)軸上．【答案】（1）m2-4m+3，3；（2）2<x≤4，數(shù)軸見解析【解析】【分析】（1）直接將括號里面通分運(yùn)算，再利用分式的混合運(yùn)算法則化簡得出答案；（2）直接解不等式，進(jìn)而得出不等式組的解集，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：=（m-3）（m-1）=m2-4m+3，當(dāng)m=4時，原式=42-4×4+3=3；（2），解①得：x>2，解②得：x≤4，故不等式組的解集是：2<x≤4，解集在數(shù)軸上表示：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的化簡求值以及解一元一次不等式組，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．18.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓過頂點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）若，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接OD，CD，根據(jù)含30度角直角三角形的性質(zhì)得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根據(jù)等邊三角形的判定得出△ADC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根據(jù)切線的判定得出即可；（2）求出BD=AC=，BO=2DO，根據(jù)勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分別求出△BDO和扇形DOE的面積即可．【小問1詳解】證明：連接OD，CD，

∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°，∵D為AB的中點(diǎn)，∴BD=AD=AB，∴AD=AC，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠DCO=90°-60°=30°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠DCO=30°，∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°，即OD⊥AB，∵OD過圓心O，∴直線AB是⊙O的切線；小問2詳解】解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB，又∵AC=，∴BD=AC=，∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°，∴∠BOD=60°，BO=2DO，由勾股定理得：BO2=OD2+BD2，即（2OD）2=OD2+（）2，解得：OD=1（負(fù)數(shù)舍去），所以陰影部分的面積S=S△BDO-S扇形DOE=．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，扇形的面積計算等知識點(diǎn)，能熟記直角三角形的性質(zhì)、切線的判定和扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵．19.今年是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校組織學(xué)生觀看慶祝大會實(shí)況并進(jìn)行團(tuán)史學(xué)習(xí)．現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行團(tuán)史知識競賽，并將競賽成績（滿分100分）進(jìn)行整理（成績得分用a表示），其中60≤a<70記為“較差”，70≤a<80記為“一般”，80≤a<90記為“良好”，90≤a≤100記為“優(yōu)秀”，繪制了不完整的扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，回答如下問題：（1）x=________，y=________，并將直方圖補(bǔ)充完整；（2）已知90≤a≤100這組的具體成績?yōu)?3，94，99，91，100，94，96，98，則這8個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________，眾數(shù)是________；（3）若該校共有1200人，估計該校學(xué)生對團(tuán)史掌握程度達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)；（4）本次知識競賽超過95分的學(xué)生中有3名女生，1名男生，現(xiàn)從以上4人中隨機(jī)抽取2人去參加全市的團(tuán)史知識競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽中2名女生參加知識競賽的概率．【答案】（1）30%，16%，圖見解析（2）95、94（3）192人（4）【解析】【分析】（1）先求出被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，繼而可求得y、x的值；（2）將數(shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念求解即可；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中優(yōu)秀人數(shù)所占百分比即可；（4）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【小問1詳解】解：被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4÷8%=50（人），∴優(yōu)秀對應(yīng)的百分比，則一般對應(yīng)的人數(shù)為50-（4+23+8）=15（人），∴其對應(yīng)的百分比，補(bǔ)全圖形如下：故答案為：30%，16%．【小問2詳解】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為91，93，94，94，96，98，99，100，所以其中位數(shù)為，出現(xiàn)次數(shù)最多的是94，故眾數(shù)為94，故答案為：95，94；【小問3詳解】解：估計該校學(xué)生對團(tuán)史掌握程度達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為1200×16%=192（人）；答：估計該校學(xué)生對團(tuán)史掌握程度達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為192人．【小問4詳解】解：畫樹狀圖為：共有12種等可能情況，其中被抽取的2人恰好是女生的有6種結(jié)果，所以恰好抽中2名女生參加知識競賽的概率為．【點(diǎn)睛】此題考查了用列表法或樹狀圖法求概率、頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖、眾數(shù)、中位數(shù)、用樣本估計總體等知識，數(shù)形結(jié)合與用列表法或樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．20.2022年北京冬奧會的成功舉辦激發(fā)了人們對冰雪運(yùn)動的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學(xué)在C點(diǎn)測得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A點(diǎn)測得B點(diǎn)的俯角∠DAB=30°．若雪道AB長為270m，雪道BC長為260m．（1）求該滑雪場的高度h；（2）據(jù)了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設(shè)備來滿足對于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時造雪量比乙設(shè)備少35m3，且甲設(shè)備造雪150m3所用的時間與乙設(shè)備造雪500m3所用的時間相等．求甲、乙兩種設(shè)備每小時的造雪量．【答案】（1）235m（2）甲種設(shè)備每小時的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時的造雪量是50m3【解析】【分析】（1）過B作BF∥AD，過D過AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，可得，由BC的坡度i=1：2.4，設(shè)BE=tm，則CE=2.4tm，可得t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）；（2）設(shè)甲種設(shè)備每小時的造雪量是xm3，可得：，即方程并檢驗(yàn)可得甲種設(shè)備每小時的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時的造雪量是50m3．【小問1詳解】解：過B作BF∥AD，過A過AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，如圖：根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，∴，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，設(shè)BE=tm，則CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（負(fù)值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：該滑雪場的高度h為235m；【小問2詳解】設(shè)甲種設(shè)備每小時的造雪量是xm3，則乙種設(shè)備每小時的造雪量是（x+35）m3，根據(jù)題意得：，解得x=15，經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解，也符合題意，∴x+35=50，答：甲種設(shè)備每小時的造雪量是15m3，則乙種設(shè)備每小時的造雪量是50m3．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和列出分式方程．21.如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，以CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設(shè)CM=a，CN=b，若ab=8．（1）判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；（2）①當(dāng)a=b時，求∠ECF的度數(shù)；②當(dāng)a≠b時，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．【答案】（1）直角三角形，理由見解析（2）①45°；②成立，理由見解析【解析】【分析】（1）分別表示出AE，BF及EF，計算出AE2+BF2及EF2，從而得出結(jié)論；（2）①連接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，從而得出ME=EG=GF=NF，進(jìn)而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，從而得出結(jié)果；②將△BCF逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACD，連接DE，可推出DE=EF，進(jìn)而推出△DCF≌△FCE，進(jìn)一步得出結(jié)果．【小問1詳解】解：線段AE，EF，BF組成的是直角三角形，理由如下：∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，∴AE=AM=(4?a)，BE=(4?b)，∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32），AC=4，∴EF=AB-AE-BF=[4-（4-a）-（4-b）]，∵ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32），∴AE2+BF2=EF2，∴線段AE，EF，BF組成的是直角三角形；【小問2詳解】解：①如圖1，連接PC交EF于G，∵a=b，∴ME=AM=BN=NF，∵四邊形CNPM是矩形，∴矩形CNPM是正方形，∴PC平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠PEG=90°，∵CM=CN=PM=PN，∴PE=PF，∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2，∴PE=AE=PF=BF，∴ME=EG=FG=FN，∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°；②如圖2，仍然成立，理由如下：將△BCF逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACD，連接DE，∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF，∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°，∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，∵EF2=BF2+AE2，∴DE=EF，∵CD=CF，CE=CE