第07講行程問題(一)一次相遇及追擊問題(原卷版+解析)

第07講行程問題（一）一次相遇及追擊問題掌握行程問題中的一次相遇及追擊問題的多種模型必須要會畫行程圖，便于理解和計(jì)算模塊一：簡單的相遇及追擊問題基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動的，它研究的是物體速度、時(shí)間、行程三者之間的關(guān)系?；竟剑郝烦蹋剿俣取?xí)r間；路程÷時(shí)間＝速度；路程÷速度＝時(shí)間關(guān)鍵問題：確定行程過程中的位置相遇問題：速度和×相遇時(shí)間＝相遇路程（請寫出其他公式）追擊問題：追擊時(shí)間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）模塊二：火車過橋問題過橋問題a、完全過橋：指從車頭上橋，到車尾離橋的過程。因此這段時(shí)間里火車所走的總路程為一個(gè)橋長加上車長。如圖所示：橋長+車長b、完全在橋上：車尾上橋到車頭開始離橋的過程。因此這段時(shí)間里火車所走的總路程為一個(gè)橋長減去車長。如圖所示：車長橋長-車長橋長2、錯車問題a、人錯車相遇問題錯車過程為：人看到火車頭開始直到人看到車尾結(jié)束。相當(dāng)于車尾與人進(jìn)行相遇問題。基本公式：（車速+人速）×錯車時(shí)間=總路程（人看到車的車長）追及問題錯車過程為：車頭追上人開始直到車尾離開人結(jié)束。相當(dāng)于車尾與人進(jìn)行追及問題?；竟剑海ㄜ囁?人速）×錯車時(shí)間=路程差（人看到車的車長）b、車錯車相遇問題錯車過程為：兩車頭見面開始直到兩車尾見面結(jié)束。相當(dāng)于車尾與車尾進(jìn)行相遇問題。基本公式：（甲車速+乙車速）×錯車時(shí)間=總路程（兩車車長和）乙車甲車甲車追及問題錯車過程為：快車車頭與慢車車尾假面開始到快車車尾離開慢車車頭相當(dāng)于快車車尾與慢車車頭進(jìn)行追及問題。基本公式：（快車速-慢車速）×錯車時(shí)間=路程差（兩車車長和）慢車走的慢車慢車快車快車快車行駛路程模塊三：流水行船問題流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的題目，一般是勻速運(yùn)動的問題。這類問題的主要特點(diǎn)是，水速在船逆行和順行中的作用不同。

流水問題有如下兩個(gè)基本公式：

順?biāo)俣?船速+水速（1）

逆水速度=船速-水速（2）

這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r(shí)單位時(shí)間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時(shí)間里所行的路程；水速是指水在單位時(shí)間里流過的路程。

公式（1）表明，船順?biāo)叫袝r(shí)的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因?yàn)轫標(biāo)畷r(shí)，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時(shí)這艘船又在按著水的流動速度前進(jìn)，因此船相對地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和。

公式（2）表明，船逆水航行時(shí)的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。

根據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式（1）可得：

水速=順?biāo)俣?船速（3）

船速=順?biāo)俣?水速（4）

由公式（2）可得：

水速=船速-逆水速度（5）

船速=逆水速度+水速（6）

這就是說，只要知道了船在靜水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)。

另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣?，還可以求出船速和水速。因?yàn)轫標(biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問題的算法，可知：

船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2（7）

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2（8）模塊一：簡單的相遇及追擊問題例1．客車與貨車從A、B兩地同時(shí)相向而行，在距離中點(diǎn)30千米處相遇。已知兩車的速度比是3∶2，求A、B兩地之間的路程是多少千米？例2．在比例尺是的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是25cm，甲車每小時(shí)行駛54km，乙車每小時(shí)行駛46km，幾小時(shí)后相遇？例3．甲、乙兩站相距360千米，一列快車和一列慢車分別從兩站同時(shí)相對而行，3.6小時(shí)相遇。已知快車與慢車的速度比是3∶2，慢車每小時(shí)行多少千米？快車行完全程要幾小時(shí)？例4．小錢和小塘是同班同學(xué)且住在同一幢樓。早上7：40分，小錢出發(fā)騎車去學(xué)校，7：46分時(shí)追上一直勻速步行的小塘，這時(shí)想起未帶馬克筆，立即將速度提高到原來的2倍返回，到家拿好筆之后繼續(xù)出發(fā)去學(xué)校，結(jié)果兩人在8：00同時(shí)到達(dá)學(xué)校，已知小錢在家找筆花了6分鐘，那么小塘是幾時(shí)從家出發(fā)的？模塊二：火車過橋問題【例1】一列火車長200米，以每秒8米的速度通過一條隧道，從車頭進(jìn)洞到車尾離洞，一共用了40秒。這條隧道長多少米？【例2】兩人沿著鐵路線邊的小道，從兩地出發(fā)，兩人都以每秒1米的速度相對而行。一列火車開來，全列車從甲身邊開過用了10秒。3分后，乙遇到火車，全列火車從乙身邊開過只用了9秒。火車離開乙多少時(shí)間后兩人相遇？模塊三：流水行船問題例1．甲、乙兩船，甲船靜水速度是水速的11倍，乙船靜水速度是水速的7倍。兩船分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B之間往返航行，出發(fā)后6小時(shí)第一次相遇。如果A在B上游，那么第一次相遇后，再過幾小時(shí)兩船第二次相遇？例2．某人在河里游泳，逆流而上。他在A處丟失一只水壺，但向前又游了20分鐘后，才發(fā)現(xiàn)丟了水壺，立即返回追尋，在離A處1000米的地方追到。假定此人在靜水中的游泳速度為每分鐘30米，那么水流的速度為每分鐘多少米？1．一列快車全長米，每秒行米；一列慢車全長米，每秒行米。（1）兩列火車相向而行，從車頭相遇到車尾離開，要幾秒鐘？（2）兩列火車同向而行，從快車車頭追上慢車車尾到快車車尾追上慢車車頭，需要幾秒鐘？2．一架飛機(jī)從甲地開往乙地，原計(jì)劃每分鐘飛行9千米，現(xiàn)在按每分鐘12千米的速度飛行，結(jié)果比原計(jì)劃提前半小時(shí)到達(dá)，甲、乙兩地相距多少千米？3．甲、乙的速度之比為5∶2，它們在相距6千米的位置同時(shí)出發(fā)，同向而行，甲追上乙的時(shí)候，乙走了多少千米？4．在一幅比例尺為1∶1500000地圖上，量得A、B兩地的距離為16厘米，有兩輛汽車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，速度分別是55千米時(shí)和65千米時(shí)。兩車經(jīng)過多長時(shí)間相遇？5．在比例尺是1∶4000000的地圖上，量得甲、乙兩地相距20厘米，A、B兩列火車同時(shí)從甲、乙兩地相對開出，經(jīng)過2.5時(shí)相遇。A車和B車的速度分別是多少？6．甲乙兩地之間鐵路長300千米。一列客車和一列貨車分別從甲乙兩地出發(fā)。相向而行，貨車的速度與客車的速度比是。相遇時(shí)客車和貨車各行駛了多少千米？7．一條小河上，A在B上游150千米處。甲、乙兩船分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，若相向而行，3小時(shí)后相遇；若同向而行，15小時(shí)后甲被乙追上。則甲船的靜水速度是每小時(shí)多少千米？8．A、B兩地相距480km，甲走完全程需要6小時(shí)，乙走完全程需要12小時(shí)，現(xiàn)在甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)，相向而行，相遇之后甲立即返回，乙繼續(xù)向A地前進(jìn)，當(dāng)甲返回到A地時(shí)，乙距離A地多少千米？9．甲、乙兩船，甲船靜水速度是水速的11倍，乙船靜水速度是水速的7倍。在贛江上，甲船順流而下從A到B需要3小時(shí)，那么乙船逆流而上從B到A需要幾小時(shí)？10．一只小船運(yùn)木料，逆流而上，在途中掉下一塊木頭在水中，2分鐘后，小船掉頭追木頭，（不算掉頭時(shí)間）再經(jīng)過多少分鐘，船可以追上木頭？11．小新以每分鐘米的速度沿鐵道邊小路行走；（1）身后一輛火車以每分鐘米的速度超過他，從車頭追上小新到車尾離開共用時(shí)秒，那么車長多少米？（2）過了一會，另一輛貨車以每分鐘米的速度迎面開來，從與小新相遇到離開，共用時(shí)秒。那么車長是多少？12．方方以每分鐘60米的速度沿鐵路邊步行，一列長252米的貨車從對面而來，從他身邊通過用了12秒鐘，求列車的速度？13．有兩列同方向行駛的火車，快車每秒行米，慢車每秒行米。如果從兩車頭對齊開始算，則行20秒后快車超過慢車；如果從兩車尾對齊開始算，則行秒后快車超過慢車。那么，兩車長分別是多少？如果兩車相對行駛，兩車從車頭重疊起到車尾相離需要經(jīng)過多少時(shí)間？14．甲乙兩人分別從相距60千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B之間不斷往返騎車，已知甲騎車的速度是每小時(shí)21千米，乙騎車的速度是每小時(shí)9千米，問出發(fā)多長時(shí)間，甲第一次追上乙？再過多長時(shí)間甲第二次追上乙？15．在比例尺1∶2500000的地圖上量得A、B兩地相距4.8厘米。甲騎自行車以每小時(shí)12千米的速度從A地騎往B地，同時(shí)乙開車以每小時(shí)36千米的速度從B開往A地。兩人幾小時(shí)后相遇？16．甲、乙兩人以每分60米的速度同時(shí)、同地、同向步行出發(fā)。走15分鐘后甲返回原地取東西，而乙繼續(xù)前進(jìn)。甲取東西用去5分鐘的時(shí)間，然后改騎自行車以每分鐘360米的速度追乙，甲騎車多少分鐘才能追上乙？17．母親河上，碼頭A在B上游540千米處，甲、乙兩船分別從A、B同時(shí)出發(fā)，在兩碼頭之間往返運(yùn)送貨物。若甲、乙兩船的靜水速度分別為每小時(shí)50和40千米，水速為每小時(shí)10千米，則出發(fā)后甲、乙第二次迎面相遇地點(diǎn)離A多少千米？18．孔目江上，碼頭A在B上游600千米處，甲、乙兩船在A、B之間往返運(yùn)送貨物。若甲、乙兩船的靜水速度分別為每小時(shí)20和30千米，水速為每小時(shí)10千米，則兩船同時(shí)從A出發(fā)，經(jīng)過多少小時(shí)后甲第二次與乙迎面相遇？19．馬路上有一輛車身長為米的公共汽車由東向西行駛，車速為每小時(shí)千米。馬路一旁的人行道上有甲、乙兩名年輕人正在練長跑，甲由東向西跑，乙由西向東跑。某一時(shí)刻，汽車追上了甲，秒鐘后汽車離開了甲；半分鐘之后，汽車遇到了迎面跑來的乙；又過了秒鐘汽車離開了乙。問再過多少秒以后甲、乙兩人相遇？20．小明沿著長為100米的橋面步行。當(dāng)他走到橋頭A時(shí)，一列迎面駛來的火車車頭恰好也到達(dá)橋頭A。100秒鐘后，小明走到橋尾B，火車的車尾恰好也到達(dá)橋尾B。已知火車的速度是小明速度的3倍，則火車通過這座橋所用的時(shí)間是多少秒？（答案保留整數(shù)。）第07講行程問題（一）一次相遇及追擊問題掌握行程問題中的一次相遇及追擊問題的多種模型必須要會畫行程圖，便于理解和計(jì)算模塊一：簡單的相遇及追擊問題基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動的，它研究的是物體速度、時(shí)間、行程三者之間的關(guān)系?；竟剑郝烦蹋剿俣取?xí)r間；路程÷時(shí)間＝速度；路程÷速度＝時(shí)間關(guān)鍵問題：確定行程過程中的位置相遇問題：速度和×相遇時(shí)間＝相遇路程（請寫出其他公式）追擊問題：追擊時(shí)間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）模塊二：火車過橋問題過橋問題a、完全過橋：指從車頭上橋，到車尾離橋的過程。因此這段時(shí)間里火車所走的總路程為一個(gè)橋長加上車長。如圖所示：橋長+車長b、完全在橋上：車尾上橋到車頭開始離橋的過程。因此這段時(shí)間里火車所走的總路程為一個(gè)橋長減去車長。如圖所示：車長橋長-車長橋長2、錯車問題a、人錯車相遇問題錯車過程為：人看到火車頭開始直到人看到車尾結(jié)束。相當(dāng)于車尾與人進(jìn)行相遇問題?；竟剑海ㄜ囁?人速）×錯車時(shí)間=總路程（人看到車的車長）追及問題錯車過程為：車頭追上人開始直到車尾離開人結(jié)束。相當(dāng)于車尾與人進(jìn)行追及問題。基本公式：（車速-人速）×錯車時(shí)間=路程差（人看到車的車長）b、車錯車相遇問題錯車過程為：兩車頭見面開始直到兩車尾見面結(jié)束。相當(dāng)于車尾與車尾進(jìn)行相遇問題?；竟剑海总囁?乙車速）×錯車時(shí)間=總路程（兩車車長和）乙車甲車甲車追及問題錯車過程為：快車車頭與慢車車尾假面開始到快車車尾離開慢車車頭相當(dāng)于快車車尾與慢車車頭進(jìn)行追及問題?；竟剑海燔囁?慢車速）×錯車時(shí)間=路程差（兩車車長和）慢車走的慢車慢車快車快車快車行駛路程模塊三：流水行船問題流水問題是研究船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的題目，一般是勻速運(yùn)動的問題。這類問題的主要特點(diǎn)是，水速在船逆行和順行中的作用不同。

流水問題有如下兩個(gè)基本公式：

順?biāo)俣?船速+水速（1）

逆水速度=船速-水速（2）

這里，順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r(shí)單位時(shí)間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也就是船在靜水中單位時(shí)間里所行的路程；水速是指水在單位時(shí)間里流過的路程。

公式（1）表明，船順?biāo)叫袝r(shí)的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和。這是因?yàn)轫標(biāo)畷r(shí)，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時(shí)這艘船又在按著水的流動速度前進(jìn)，因此船相對地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和。

公式（2）表明，船逆水航行時(shí)的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差。

根據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式（1）可得：

水速=順?biāo)俣?船速（3）

船速=順?biāo)俣?水速（4）

由公式（2）可得：

水速=船速-逆水速度（5）

船速=逆水速度+水速（6）

這就是說，只要知道了船在靜水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)。

另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣?，還可以求出船速和水速。因?yàn)轫標(biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，根據(jù)和差問題的算法，可知：

船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2（7）

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2（8）模塊一：簡單的相遇及追擊問題例1．客車與貨車從A、B兩地同時(shí)相向而行，在距離中點(diǎn)30千米處相遇。已知兩車的速度比是3∶2，求A、B兩地之間的路程是多少千米？【答案】300千米【分析】A、B兩地之間的路程看作單位“1”，兩車相遇時(shí)，相遇時(shí)兩車的速度比就是所行的路程比，貨車行了全程的，到中點(diǎn)還有30千米，因此，30千米占全程的（），根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用30千米除以（）就是A、B兩地之間的路程?！驹斀狻?0÷（）＝30÷（）＝30÷（）＝30＝30×10＝300（千米）答：A、B兩地之間的路程是300千米?！军c(diǎn)睛】根據(jù)兩車的相遇點(diǎn)及所行的距離比，求出30千米占全程的幾分之幾是關(guān)鍵。例2．在比例尺是的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是25cm，甲車每小時(shí)行駛54km，乙車每小時(shí)行駛46km，幾小時(shí)后相遇？【答案】5小時(shí)【分析】先根據(jù)“實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺”代入數(shù)據(jù)，求出甲、乙兩地的路程；然后根據(jù)“路程÷速度之和＝相遇時(shí)間”，代入數(shù)據(jù)，列式解答即可?！驹斀狻浚?5×2000000＝50000000（cm）50000000cm＝500km＝500÷100＝5（小時(shí)）【點(diǎn)睛】此題關(guān)鍵是掌握圖上距離與實(shí)際距離的換算方法，理解速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系。例3．甲、乙兩站相距360千米，一列快車和一列慢車分別從兩站同時(shí)相對而行，3.6小時(shí)相遇。已知快車與慢車的速度比是3∶2，慢車每小時(shí)行多少千米？快車行完全程要幾小時(shí)？【答案】40千米；6小時(shí)【分析】先根據(jù)“路程÷時(shí)間＝速度和”求出快車和慢車的速度和；再把速度和按3∶2分配分別求出兩車的速度；最后根據(jù)“路程÷速度＝時(shí)間”求出快車行完全程的時(shí)間。【詳解】360÷3.6＝100（千米/時(shí)）100÷（3＋2）＝20（千米/時(shí)）快車的速度：20×3＝60（千米/時(shí)）慢車的速度20×2＝40（千米/時(shí)）360÷60＝6（小時(shí)）答：慢車每小時(shí)行40千米，快車行完全程要6小時(shí)?！军c(diǎn)睛】明確相遇問題中的數(shù)量關(guān)系式及按比分配的方法是解決此題的關(guān)鍵。例4．小錢和小塘是同班同學(xué)且住在同一幢樓。早上7：40分，小錢出發(fā)騎車去學(xué)校，7：46分時(shí)追上一直勻速步行的小塘，這時(shí)想起未帶馬克筆，立即將速度提高到原來的2倍返回，到家拿好筆之后繼續(xù)出發(fā)去學(xué)校，結(jié)果兩人在8：00同時(shí)到達(dá)學(xué)校，已知小錢在家找筆花了6分鐘，那么小塘是幾時(shí)從家出發(fā)的？【答案】7：25【分析】先求出小錢后面從家到學(xué)校需要的時(shí)間，再減去原來追上一直勻速步行的小塘的那一段路的時(shí)間，就可以得到從追上小塘那里開始到學(xué)校小錢需要花的時(shí)間，然后再求出小塘從那里開始到學(xué)校所花的時(shí)間，就可以得到同樣的路程小塘用的時(shí)間是小錢的幾倍，進(jìn)而可以求出小塘從家到學(xué)校的時(shí)間。【詳解】原來小錢的速度∶現(xiàn)在小錢的速度＝1∶2原來用的時(shí)間：現(xiàn)在用的時(shí)間＝2∶17時(shí)46分－7時(shí)40分＝6（分鐘）取馬克筆路上用的時(shí)間：6÷2＝3（分鐘）小錢在路上的時(shí)間：8時(shí)－7時(shí)40分－6分＝14（分鐘）拿好筆回學(xué)校的時(shí)間：14－6－3＝5（分鐘）第一次遇見小塘的地方到學(xué)校的時(shí)間：5－3＝2（分鐘）從第一次遇見小塘到學(xué)校的時(shí)間：8時(shí)－7時(shí)46分＝14（分鐘）14÷2＝7（分鐘）5×7＝35（分鐘）8時(shí)－35分＝25（分鐘）小塘從家里出發(fā)的時(shí)間：7：25答：小塘是7：25從家里出發(fā)的?！军c(diǎn)睛】此題需要學(xué)生讀懂題意，縷清思路，逐步分析。答：好馬20天能追上劣馬。模塊二：火車過橋問題【例1】一列火車長200米，以每秒8米的速度通過一條隧道，從車頭進(jìn)洞到車尾離洞，一共用了40秒。這條隧道長多少米？【解析】分析先求出車長與隧道長的和，然后求出隧道長?；疖噺能囶^進(jìn)洞到車尾離洞，共走車長+隧道長。這段路程是以每秒8米的速度行了40秒。解：（1）火車40秒所行路程：8×40=320（米）（2）隧道長度：320-200=120（米）答：這條隧道長120米。【例2】兩人沿著鐵路線邊的小道，從兩地出發(fā)，兩人都以每秒1米的速度相對而行。一列火車開來，全列車從甲身邊開過用了10秒。3分后，乙遇到火車，全列火車從乙身邊開過只用了9秒?；疖囯x開乙多少時(shí)間后兩人相遇？解：（1）求車速（車速-1）×10=10×車速-10=車長（車速+1）×9=9×車速+9=車長比較上面兩式可知車速是每秒19米。（2）A3到B3的路程，即車遇到乙時(shí)車與甲的路程差，也是甲與乙的相距距離。（19-1）×（10+190）=3420（米）（3）A4到B4的路程，即車從乙身邊過時(shí)甲乙之間的路程。3420-（1+1）×9=3402（米）（4）車離開乙后，甲乙兩人相遇的時(shí)間為3402÷（1+1）=1701（秒）答：火車離開乙1701秒后兩人相遇模塊三：流水行船問題例1．甲、乙兩船，甲船靜水速度是水速的11倍，乙船靜水速度是水速的7倍。兩船分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B之間往返航行，出發(fā)后6小時(shí)第一次相遇。如果A在B上游，那么第一次相遇后，再過幾小時(shí)兩船第二次相遇？【答案】13小時(shí)【分析】本題中的甲船的速度、乙船的速度、水的速度、A、B兩個(gè)碼頭之間的距離都不知道，只知道甲、乙兩船的速度和水速之間的關(guān)系，所以我們可以把水速設(shè)為1千米/小時(shí)，則甲船的速度是11×1＝11（千米/小時(shí)），乙船的速度是：7×1＝7（千米/小時(shí)），兩船出發(fā)后6小時(shí)第一次相遇，所以A、B兩個(gè)碼頭之間的距離是6×（11＋7）＝108（千米）甲、乙兩船相遇后，甲船還需要再行駛（108—12×6）÷12＝3（小時(shí)）到達(dá)B碼頭，乙船已經(jīng)離開B碼頭：（6＋3）×（7—1）＝54（千米），正好走了一半的路程，乙船還需要再行駛9小時(shí)才能到達(dá)A碼頭，甲船在這9小時(shí)的時(shí)間內(nèi)逆流而上行駛了：9×（11—1）＝90（千米），離A碼頭還有108—90＝18（千米），甲船繼續(xù)逆流而上，乙船順利而下，兩船變成了相遇問題，相遇時(shí)間＝18÷（11＋7）＝1（小時(shí)），所以第一次相遇與第二次相遇之間時(shí)間是：9＋3＋1＝13（小時(shí)）?！驹斀狻浚?08—12×6）÷12＋6＝（108—72）÷12＋6＝36÷12＋6＝3＋6＝9（小時(shí)）[108—9×（11—1）]÷（11＋7）＝[108—9×10]÷18＝[108—90]÷18＝18÷18＝1（小時(shí)）9＋3＋1＝13（小時(shí)）答：第一次相遇后，再過13小時(shí)兩船第二次相遇?！军c(diǎn)睛】我們可以把水速設(shè)為1千米/小時(shí)，甲、乙兩船的速度在變化，所以逐步分析兩船行駛的路程和速度。例2．某人在河里游泳，逆流而上。他在A處丟失一只水壺，但向前又游了20分鐘后，才發(fā)現(xiàn)丟了水壺，立即返回追尋，在離A處1000米的地方追到。假定此人在靜水中的游泳速度為每分鐘30米，那么水流的速度為每分鐘多少米？【答案】25米/分【分析】有題意可知：水壺的速度就是水流的速度，在A處丟失一只水壺后，水壺會順著水流的速度向下漂，人繼續(xù)逆流而上，人和水壺的速度和就是人在靜水中游泳的速度，所以20分鐘后，人和水壺之間是距離是：20×30＝600（米），此后人返回去追水壺，變成了追及問題，此時(shí)人的速度是人在靜水中的速度＋水流速度，水壺的速度還是水流速度，所以人和水壺的速度差還是人在靜水中的速度，即可求出人追上水壺的時(shí)間600÷30＝20（分鐘），水壺所走的路程是1000米，所用的時(shí)間是20＋20＝40（分鐘），進(jìn)而就可求出水壺的速度即水流的速度?！驹斀狻?0×30÷30＝20（分鐘）1000÷（20＋20）＝1000÷40＝25（米/分）答：水流的速度為每分鐘25米?！军c(diǎn)睛】此題關(guān)鍵是理清不管是人和水壺的速度差還是速度和都是人在靜水中的速度。1．一列快車全長米，每秒行米；一列慢車全長米，每秒行米。（1）兩列火車相向而行，從車頭相遇到車尾離開，要幾秒鐘？（2）兩列火車同向而行，從快車車頭追上慢車車尾到快車車尾追上慢車車頭，需要幾秒鐘？【答案】（1）19秒；（2）171秒【分析】（1）這是一個(gè)相遇錯車的過程，兩列車共走的路程是兩車車長之和。據(jù)此根據(jù)相遇時(shí)間＝路程和÷速度和求解即可；（2）這個(gè)一個(gè)超車過程，即追及問題。路程差為兩車的車長和，根據(jù)追及時(shí)間＝路程差÷速度差求解即可?！驹斀狻浚?）（250＋263）÷（15＋12）＝513÷27＝19（秒）答：兩列火車相向而行，從車頭相遇到車尾離開，要19秒。（2）（250＋263）÷（15－12）＝513÷3＝171（秒）答：從快車車頭追上慢車車尾到快車車尾追上慢車車頭，需要171秒?！军c(diǎn)睛】利用相遇、追及公式巧解火車行程問題。理解掌握公式相遇時(shí)間＝路程和÷速度和，追及時(shí)間＝路程差÷速度差。2．一架飛機(jī)從甲地開往乙地，原計(jì)劃每分鐘飛行9千米，現(xiàn)在按每分鐘12千米的速度飛行，結(jié)果比原計(jì)劃提前半小時(shí)到達(dá)，甲、乙兩地相距多少千米？【答案】1080千米【分析】速度×?xí)r間=路程，那么可用原計(jì)劃每分鐘飛行9千米乘30分鐘即可得到原計(jì)劃比現(xiàn)在慢飛行的路程，然后再用慢飛行的路程除以現(xiàn)在每分鐘比原計(jì)劃每分鐘快飛行的速度可得到現(xiàn)在飛行所需要的時(shí)間，最后再用現(xiàn)在飛行的時(shí)間乘現(xiàn)在飛行的速度即可得到甲、乙兩地相距的距離．【詳解】（30×9）÷（12﹣9）×12=270÷3×12=90×12=1080（千米）答：甲、乙兩地相距1080千米．3．甲、乙的速度之比為5∶2，它們在相距6千米的位置同時(shí)出發(fā)，同向而行，甲追上乙的時(shí)候，乙走了多少千米？【答案】4千米【分析】甲、乙的速度之比為5∶2，則假設(shè)甲的速度為每小時(shí)走5千米，乙的速度每小時(shí)走2千米，甲每小時(shí)比乙多走3千米，則甲要追上乙得多走6千米，甲追上乙的時(shí)候用時(shí)2小時(shí)，據(jù)此求出乙走了多少千米即可?！驹斀狻?（千米）答：甲追上乙的時(shí)候，乙走了4千米?！军c(diǎn)睛】本題考查行程問題、比的意義，解答本題的關(guān)鍵是利用假設(shè)法解題。4．在一幅比例尺為1∶1500000地圖上，量得A、B兩地的距離為16厘米，有兩輛汽車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，速度分別是55千米時(shí)和65千米時(shí)。兩車經(jīng)過多長時(shí)間相遇？【答案】2小時(shí)【分析】根據(jù)比例尺的意義可知：實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺，求出實(shí)際距離，然后再化成千米即可；再根據(jù)關(guān)系式：距離÷速度和＝相遇時(shí)間，解決問題?！驹斀狻緼、B兩地的實(shí)際距離：16÷＝16×1500000＝24000000（厘米）24000000厘米＝240千米240÷（55＋65）＝240÷120＝2（小時(shí)）答：兩車經(jīng)過2小時(shí)相遇?！军c(diǎn)睛】此題考查了比例尺以及速度、路程與時(shí)間之間的關(guān)系。5．在比例尺是1∶4000000的地圖上，量得甲、乙兩地相距20厘米，A、B兩列火車同時(shí)從甲、乙兩地相對開出，經(jīng)過2.5時(shí)相遇。A車和B車的速度分別是多少？【答案】A車的速度是192千米/時(shí)，B車的速度是128千米/時(shí)?！痉治觥繄D上距離和比例尺已知，依據(jù)“實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺”即可求出甲、乙兩地的實(shí)際距離；再據(jù)“路程÷相遇時(shí)間＝速度和”即可求出兩車的速度和，從而再利用按比例分配的方法即可分別求出兩車的速度．【詳解】兩地的實(shí)際距離：20÷＝80000000（厘米）＝800（千米）解：設(shè)B車的速度為x千米/小時(shí)（x＋1.5x）×2.5＝8002.5x×2.5＝8002.5x×2.5÷2.5＝800÷2.52.5x＝3202.5x÷2.5＝320÷2.5x＝1281.5×128＝192（千米/時(shí)）答：A車的速度是192千米/時(shí)，B車的速度是128千米/時(shí)?！军c(diǎn)睛】解答此題的主要依據(jù)是：實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺以及相遇問題中的基本數(shù)量關(guān)系“路程÷相遇時(shí)間＝速度和”，解答時(shí)要注意單位的換算。6．甲乙兩地之間鐵路長300千米。一列客車和一列貨車分別從甲乙兩地出發(fā)。相向而行，貨車的速度與客車的速度比是。相遇時(shí)客車和貨車各行駛了多少千米？【答案】180千米；120千米【分析】依據(jù)時(shí)間一定，路程和速度成正比，當(dāng)貨車的速度與客車的速度比是2∶3時(shí)可得：貨車和客車行駛的路程比是2∶3，把兩地間的距離看作單位“1”，依據(jù)按比例分配方法即可解答?！驹斀狻浚ㄇ祝ㄇ祝┐穑合嘤鰰r(shí)客車行駛了180千米，貨車行駛了120千米。【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是明確：當(dāng)貨車的速度與客車的速度比是2∶3時(shí)，貨車和客車行駛的路程比是2∶3。7．一條小河上，A在B上游150千米處。甲、乙兩船分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，若相向而行，3小時(shí)后相遇；若同向而行，15小時(shí)后甲被乙追上。則甲船的靜水速度是每小時(shí)多少千米？【答案】20千米/小時(shí)【分析】甲、乙兩船不管是相向而行還是同向而行，兩船的速度和與速度差都和水流速度無關(guān)。由相向而行，3小時(shí)后相遇，可以求出兩船的速度和，由同向而行，15小時(shí)后甲被乙追上，可以求出兩船的速度差，再根據(jù)和差問題即可求出甲船的速度?！驹斀狻克俣群停?50÷3＝50（千米/小時(shí)）速度差：150÷15＝10（千米/小時(shí)）甲船的速度：（50—10）÷2=40÷2＝20（千米/小時(shí)）答：甲船在靜水中的速度是20千米/小時(shí)。【點(diǎn)睛】此題關(guān)鍵是理清兩船的速度和與速度差都和水流速度無關(guān)。8．A、B兩地相距480km，甲走完全程需要6小時(shí)，乙走完全程需要12小時(shí)，現(xiàn)在甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)，相向而行，相遇之后甲立即返回，乙繼續(xù)向A地前進(jìn)，當(dāng)甲返回到A地時(shí)，乙距離A地多少千米？【答案】160【分析】先分別算出甲乙的速度，再算出甲乙相遇時(shí)用了幾個(gè)小時(shí)，再算出甲返回到A地時(shí)，距離乙從B地出發(fā)過去了幾個(gè)小時(shí)，用12減去這幾個(gè)小時(shí)再乘上乙的速度即可算出乙距離A地多少千米?！驹斀狻考椎乃俣龋?80÷6＝80（千米/時(shí)）乙的速度：480÷12＝40（千米/時(shí)）甲、乙相遇時(shí)間：480÷（80＋40）＝480÷120＝4（小時(shí)）乙距離出發(fā)的時(shí)間過去了：2×4＝8（小時(shí)）所以乙距離到達(dá)A地的時(shí)間還剩：12－8＝4（小時(shí)）所以乙距離A地的路程還剩：40×4＝160（千米）答：乙距離A地還有160千米。【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對問題的分析理解能力，對時(shí)間、路程、速度三者關(guān)系的熟練掌握程度。9．甲、乙兩船，甲船靜水速度是水速的11倍，乙船靜水速度是水速的7倍。在贛江上，甲船順流而下從A到B需要3小時(shí)，那么乙船逆流而上從B到A需要幾小時(shí)？【答案】6小時(shí)【分析】把從A到B的路程看做單位“1”，因?yàn)榧状樍鞫滦枰?小時(shí)，所以甲船順流速度是1÷3＝，甲船靜水速度是水速的11倍，因?yàn)轫樍魉俣龋酱伲o水速度）＋水速，所以甲船順流速度是水速的11＋1＝12倍，即可求出水速÷12＝，進(jìn)而也可以求出乙船在靜水中的速度，那么乙船逆流而上的時(shí)間也可以求出來了。【詳解】甲船順流速度：1÷3＝水速：÷（11＋1）＝÷12＝乙船逆流速度：×7－＝×（7－6）＝×6＝乙船逆流而上的時(shí)間：1÷＝6（小時(shí)）【點(diǎn)睛】此題把從A到B的路程看做單位“1”，運(yùn)用順流速度、逆流速度、船速、水速之間的倍數(shù)關(guān)系逐步解答。10．一只小船運(yùn)木料，逆流而上，在途中掉下一塊木頭在水中，2分鐘后，小船掉頭追木頭，（不算掉頭時(shí)間）再經(jīng)過多少分鐘，船可以追上木頭？【答案】2分鐘【分析】有題意可知：木頭的速度就是水流的速度，在A處掉下一塊木頭后，木頭會順著水流的速度向下漂，船繼續(xù)逆流而上，船和木頭的速度和就是船在靜水中的速度，所以2分鐘后，船和木頭之間是距離是：2×船速，此后船返回去追木頭，變成了追及問題，船的速度是船在靜水中的速度＋水流速度，木頭的速度還是水流速度，所以船和木頭的速度差還是船在靜水中的速度，即可求出船追上木頭的時(shí)間?！驹斀狻?分鐘后船和木頭之間的距離是：2×（船速—水速）＋2×水速＝2×船速小船追木頭的時(shí)間：2×船速÷（船速＋水速—水速）＝2（分鐘）答：再經(jīng)過2分鐘，船可以追上木頭。【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵理清兩點(diǎn)：木頭的速度就是水流的速度，船和木頭的速度差還是船在靜水中的速度。11．小新以每分鐘米的速度沿鐵道邊小路行走；（1）身后一輛火車以每分鐘米的速度超過他，從車頭追上小新到車尾離開共用時(shí)秒，那么車長多少米？（2）過了一會，另一輛貨車以每分鐘米的速度迎面開來，從與小新相遇到離開，共用時(shí)秒。那么車長是多少？【答案】（1）6米；（2）5.5米【分析】（1）這是一個(gè)追及過程，把小新看作只有速度而沒有車身長（長度是零）的火車。根據(jù)追及問題的基本關(guān)系式：（的車身長的車身長）÷（的車速的車速）＝從車頭追上到車尾離開的時(shí)間，在這里，的車身長車長（也就是小新）為，據(jù)此可求車長；（2）這是一個(gè)相遇錯車的過程，還是把小新看作只有速度而沒有車身長（長度是零）的火車。根據(jù)相遇問題的基本關(guān)系式，（的車身長的車身長）÷（的車速的車速）＝兩車從車頭相遇到車尾離開的時(shí)間，據(jù)此求解即可?！驹斀狻浚?）4秒＝分（100－10）×＝90×＝6（米）答：車長為6米。（2）（100＋10）×＝110×＝5.5（米）答：車長是5.5米?！军c(diǎn)睛】熟練掌握火車行程中的追及和相遇公式是解題關(guān)鍵。12．方方以每分鐘60米的速度沿鐵路邊步行，一列長252米的貨車從對面而來，從他身邊通過用了12秒鐘，求列車的速度？【答案】每秒20米【分析】因?yàn)槿伺c車是背向而行，列車的速度應(yīng)是252÷12減去人的速度，據(jù)此解答即可?！驹斀狻?52÷12－60÷60＝21－1＝20（米）答：列車的速度是每秒20米?！军c(diǎn)睛】解答本題重點(diǎn)要弄清252÷12是人與車的速度和。注意單位要統(tǒng)一。13．有兩列同方向行駛的火車，快車每秒行米，慢車每秒行米。如果從兩車頭對齊開始算，則行20秒后快車超過慢車；如果從兩車尾對齊開始算，則行秒后快車超過慢車。那么，兩車長分別是多少？如果兩車相對行駛，兩車從車頭重疊起到車尾相離需要經(jīng)過多少時(shí)間？【答案】240米；300米；10秒【分析】根據(jù)題意，畫圖如下：如從車頭對齊算，那么超車距離為快車車長；如從車尾對齊算，那么超車距離為慢車車長；如果兩車相對行駛，則錯車時(shí)間＝路程和÷速度和。【詳解】快車車長：（33－21）×20＝12×20＝240（米）慢車車長：（33－21）×25＝12×25＝300（米）錯車時(shí)間：（240＋300）÷（33＋21）＝540÷54＝10（秒）答：快車車長240米，慢車車長300米；如果兩車相對行駛，兩車從車頭重疊起到車尾相離需要經(jīng)過10秒?！军c(diǎn)睛】明確第一種情況追及路程和是快車車長；第二種情況追及路程和是慢車車長是解題關(guān)鍵。14．甲乙兩人分別從相距60千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B之間不斷往返騎車，已知甲騎車的速度是每小時(shí)21千米，乙騎車的速度是每小時(shí)9千米，問出發(fā)多長時(shí)間，甲第一次追上乙？再過多長時(shí)間甲第二次追上乙？【答案】5小時(shí)；10小時(shí)【分析】如圖：從線段圖很容易可以發(fā)現(xiàn)：甲第一次追上乙時(shí)，甲和乙的路程差是1個(gè)全程；甲第二次追上乙時(shí)，甲和乙的路程差是3個(gè)全程；據(jù)此用追及時(shí)間=追及路程÷速度差解答即可?！驹斀狻坑煞治隹傻茫旱谝淮巫飞希瑑扇说穆烦滩钍?個(gè)全程，時(shí)間：60÷（21－9）＝60÷12＝5（小時(shí)）從第一次追上到第二次追上，兩人的路程差是2個(gè)全程，時(shí)間：2×60÷（21－9）＝2×60÷12＝10（小時(shí)）答：出發(fā)5小時(shí)，甲第一次追上乙，再過10小時(shí)甲第二次追上乙?！军c(diǎn)睛】解答此類問題最基本的方法就是畫線段圖，尋找相同時(shí)間內(nèi)的路程關(guān)系。解答本題要明確，兩人從兩地出發(fā)，每相鄰的兩次追及之間，兩人的路程差恰好等于2個(gè)全程。15．在比例尺1∶2500000的地圖上量得A、B兩地相距4.8厘米。甲騎自行車以每小時(shí)12千米的速度從A地騎往B地，同時(shí)乙開車以每小時(shí)36千米的速度從B開往A地。兩人幾小時(shí)后相遇？【答案】2.5小時(shí)【分析】根據(jù)實(shí)際距離＝圖上距離∶比例尺，用4.8÷即可求出A、B兩地的實(shí)際距離，然后換算成千米；再根據(jù)相遇時(shí)間＝路程和÷速度和，用A、B兩地的實(shí)際距離除以甲、乙的速度和，即可求出兩人幾小時(shí)后相遇?！驹斀狻?.8÷＝4.8×2500000＝12000000（厘米）12000000厘米＝120千米120÷（12＋36）＝120÷48＝2.5（小時(shí)）答：兩人2.5小時(shí)后相遇?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了圖上距離和實(shí)際距離的換算以及相遇問題。16．甲、乙兩人以每分60米的速度同時(shí)、同地、同向步行出發(fā)。走15分鐘后甲返回原地取東西，而乙繼續(xù)前進(jìn)。甲取東西用去5分鐘的時(shí)間，然后改騎自行車以每分鐘360米的速度追乙，甲騎車多少分鐘才能追上乙？【答案】7分鐘【分析】由題意可知，甲返回原地時(shí)，已經(jīng)走了15×2＝30（分鐘），取東西用去5分鐘，共用了35分鐘，也是乙走的時(shí)間．即此時(shí)兩人相距60×35＝2100（米），之后甲每分中比乙多走360－60＝300（米），根據(jù)路程差÷速度差＝追及時(shí)間求出答案?！驹斀狻?0×（15×2＋5）÷（360－60）＝60×35÷300＝7（分鐘）答：甲騎車7分鐘才能追上乙?！军c(diǎn)睛】解答此題應(yīng)明確：路程差÷速度差＝追及時(shí)間。17．母親河上，碼頭A在B上游540千米處，甲、乙兩船分別從A、B同時(shí)出發(fā)，在兩碼頭之間往返運(yùn)送貨物。若甲、乙兩船的靜水速度分別為每小時(shí)50和40千米，水速為每小時(shí)10千米，則出發(fā)后甲、乙第二次迎面相遇地點(diǎn)離A多少千米？【答案】100千米【分析】剛開始甲船是順流而下，乙船是逆流而上，所以到甲船到達(dá)B碼頭時(shí)，乙船離B碼頭還有：540÷（50＋10）×（40—10）＝270（千米），此后甲、乙兩船都是逆流而上，乙到達(dá)A碼頭還需要270÷（40—10）＝9（小時(shí)），在這9小時(shí)的時(shí)間內(nèi)，甲船逆流行駛了9×（50—10）＝360（千米），這時(shí)乙船在A碼頭，甲、乙兩船之間的距離是540—360＝180（千米），乙船順流而下，甲船繼續(xù)逆流而上，兩船又變成了相遇問題，可以求出兩船第二次相遇的時(shí)間，進(jìn)而也可以求出第二次相遇的地點(diǎn)離A碼頭的距離。【詳解】甲船到達(dá)B碼頭時(shí)，乙船離A碼頭的距離：540—540÷（50＋10）×（40—10）＝540—540÷60×30＝540—9×30＝270（千米）乙船到達(dá)A碼頭時(shí)，甲船離A碼頭的距離：540—270÷（40—10）×（50—10）＝540—270÷30×40＝540—9×40＝180（千米）第二次迎面相遇地點(diǎn)離A的距離：180÷（50＋40）×50＝180÷90×50＝2×50＝100（千米）答：出發(fā)后甲、乙第二次迎面相遇地點(diǎn)離A100千米。【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是甲、乙兩船的速度在變化，所以要逐步分析船的行駛過程。18．孔目江上，碼頭A在B上游600千米處，甲、乙兩船在A、B之間往返運(yùn)送貨物。若甲、乙兩船的靜水速度