海涅定理在函數(shù)極限證明中的應(yīng)用

第7頁（共13頁）海涅定理在函數(shù)極限證明中的應(yīng)用摘要：函數(shù)極限理論是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分.關(guān)于證明函數(shù)極限存在的方法探討具有十分重要的意義.本文給出了一些利用海涅定理證明函數(shù)極限存在性的應(yīng)用，將函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理.不僅給出了一類證明函數(shù)極限存在的方法，同時(shí)也加深了對函數(shù)極限和數(shù)列極限兩者間的關(guān)系的理解.關(guān)鍵詞：海涅定理；函數(shù)極限；數(shù)列極限Abstract:Thelimittheoryoffunctionsplaysanimportantroleinmathematicalanalysis.Studyonthemethodprovingexistenceoffunctionlimitisverymeaningful.Inthispaper,wegavesomeapplicationsforexistenceoffunctionlimitbyusingHeinetheoremanddealtwiththefunctionlimitproblemstothesequencelimitproblems.Thesenotonlygaveakindofthemethodforexistenceoffunctionlimit,butalsodeepenthecomprehensionabouttherelationshipbetweenthefunctionlimitandthesequencelimit.Keywords:Heinetheorem;functionlimit;sequencelimit數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨(dú)立定義的，但是兩者是有聯(lián)系的，而海涅定理就是溝通函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的橋梁，也是證明函數(shù)極限性質(zhì)和極限存在的判定定理的一個(gè)重要的理論指導(dǎo)，而且在關(guān)于函數(shù)的極限證明中也有應(yīng)用.除此之外還可以運(yùn)用海涅定理優(yōu)化極限的運(yùn)算，其意義在于把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理.海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關(guān)系.數(shù)列極限與函數(shù)極限其變量不管是離散地變化還是連續(xù)地變化，只要它們的變化趨勢相同，從極限的意義上來說，效果都是一樣的.因此數(shù)列極限和函數(shù)極限在一定條件下能相互轉(zhuǎn)化，而能夠建立起這種聯(lián)系的就是海涅定理.近幾年，一些學(xué)者對海涅定理的應(yīng)用及推廣進(jìn)行了一系列的研究.此外，一些學(xué)者利用海涅定理來證明一些函數(shù)的性質(zhì)、優(yōu)化極限的運(yùn)算等，見參考文獻(xiàn)[1-6].還有一些學(xué)者對海涅定理進(jìn)行進(jìn)一步推廣，見參考文獻(xiàn)[7-10].根據(jù)文獻(xiàn)[6，8,10]對海涅定理進(jìn)行歸類整理的.1預(yù)備知識(shí)定義1.1SKIPIF1<0函數(shù)在SKIPIF1<0點(diǎn)的極限的定義：設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點(diǎn)的附近（但可能除掉SKIPIF1<0點(diǎn)本身）有定義，又設(shè)SKIPIF1<0是一個(gè)定數(shù).如果對任意給定的SKIPIF1<0，一定存在SKIPIF1<0，使得當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，總有SKIPIF1<0，我們就稱SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點(diǎn)的極限，記為SKIPIF1<0（或者記為SKIPIF1<0）.這時(shí)也稱函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點(diǎn)極限存在，其極限是SKIPIF1<0.2海涅定理的證明及推廣定理2.1SKIPIF1<0海涅定理SKIPIF1<0的充分必要條件為對任何以SKIPIF1<0為極限的數(shù)列SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.證明先證必要性.由于SKIPIF1<0，所以對任意的SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.但是SKIPIF1<0，故對SKIPIF1<0，又可得正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，故上面的不等式可改寫為SKIPIF1<0.而對于適合這個(gè)不等式的SKIPIF1<0，其函數(shù)值SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.亦即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，這個(gè)不等式成立，這也就證明了數(shù)列SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為極限.再證充分性.用反證法，若SKIPIF1<0，則對某一個(gè)SKIPIF1<0，不能找到函數(shù)極限定義中的SKIPIF1<0，也就是對任意的SKIPIF1<0，都可以找到一點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；特別地，若取SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；…………從左邊一列可以看出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而右邊一列卻說數(shù)列SKIPIF1<0不以SKIPIF1<0為極限，與假設(shè)矛盾.充分性得證.等價(jià)類型的海涅定理：定理2.2SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有定義則SKIPIF1<0的充要條件是：對于任何以SKIPIF1<0為極限的數(shù)列SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.證明先證必要性.因?yàn)镾KIPIF1<0，則得到對任意的SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)有SKIPIF1<0.但是SKIPIF1<0，故對SKIPIF1<0，可得正整數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)有SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0.故上面的不等式可以改寫為SKIPIF1<0.亦即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，這個(gè)不等式成立，這也就證明了數(shù)列SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為極限.再證充分性.用反證法，假設(shè)SKIPIF1<0，則對于某一個(gè)SKIPIF1<0，不能找到函數(shù)極限定義中的SKIPIF1<0，也就是對任意SKIPIF1<0都能找到一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，使得SKIPIF1<0.特別地，當(dāng)取SKIPIF1<0時(shí)，得到SKIPIF1<0適合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從左邊一列可以看出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而右邊一列卻說數(shù)列SKIPIF1<0不以SKIPIF1<0為極限，與假設(shè)矛盾.充分性得證.定理2.3SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的某一鄰域SKIPIF1<0內(nèi)有定義，則函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0連續(xù)的充要條件是：對任何含于SKIPIF1<0且以SKIPIF1<0為極限的數(shù)列SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.定理2.4SKIPIF1<0設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的某空心右鄰域SKIPIF1<0有定義，則SKIPIF1<0的充要條件是：對任何以SKIPIF1<0為極限的單調(diào)遞減數(shù)列SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.定理2.5SKIPIF1<0設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的某空心左鄰域SKIPIF1<0有定義，則SKIPIF1<0的充要條件是：對任何以SKIPIF1<0為極限的單調(diào)遞增數(shù)列SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.3海涅定理的應(yīng)用3.1利用海涅定理對函數(shù)極限運(yùn)算法則、性質(zhì)及判定定理等的證明對于一些函數(shù)極限的性質(zhì)和定理等，無法用函數(shù)極限的定義證明或用函數(shù)的定義證明比較復(fù)雜時(shí)，就可以利用海涅定理將函數(shù)轉(zhuǎn)化成數(shù)列來證明.例3.1若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0且SKIPIF1<0皆存在，則有SKIPIF1<0.證明設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又設(shè)SKIPIF1<0是任意一個(gè)含于函數(shù)SKIPIF1<0的定義域且以SKIPIF1<0為極限的數(shù)列.那么SKIPIF1<0.由海涅定理的必要性可得SKIPIF1<0.而根據(jù)數(shù)列極限的運(yùn)算法則有SKIPIF1<0.又由于數(shù)列SKIPIF1<0的任意性和定理2.1的充分性得SKIPIF1<0.例3.2證明：若對任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0.證明任作一數(shù)列SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則由海涅定理知SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以由數(shù)列極限的迫斂性知SKIPIF1<0.又由海涅定理的充分性知SKIPIF1<0存在且收斂于SKIPIF1<0.例3.3若極限SKIPIF1<0存在，則此極限是唯一的.證明設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的極限，即SKIPIF1<0.作數(shù)列SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由海涅定理知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.由數(shù)列極限存在唯一性知SKIPIF1<0.3.2利用函數(shù)的性質(zhì)及海涅定理求數(shù)列的極限對于求數(shù)列的極限，有時(shí)直接求不好求，就可先求與之相對應(yīng)的函數(shù)極限，再利用函數(shù)的性質(zhì)和海涅定理求出數(shù)列的極限.1）求含有三角函數(shù)的數(shù)列極限例3.4求極限SKIPIF1<0.解因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0處連續(xù).當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由海涅定理可知SKIPIF1<0.例3.5求極限SKIPIF1<0.解設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0.由海涅定理可知，如果SKIPIF1<0存在，則一定有SKIPIF1<0.下面我們先求SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.再由海涅定理得SKIPIF1<0.2）求帶有積分的數(shù)列的極限例3.6求極限SKIPIF1<0.解因?yàn)镾KIPIF1<0.所以要求SKIPIF1<0，只要能求出SKIPIF1<0即可.由海涅定理可知SKIPIF1<0.再由洛必達(dá)法則可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0.3）求帶有抽象函數(shù)的數(shù)列極限例3.7設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0.解由海涅定理可知SKIPIF1<0.由導(dǎo)數(shù)的定義SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，于是就有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.4.3利用海涅定理判斷級數(shù)斂散性級數(shù)實(shí)質(zhì)是一個(gè)和式的極限，因此運(yùn)用海涅定理及其推論去判斷常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性是一種有效的方法.例3.8判斷級數(shù)SKIPIF1<0的斂散性.解構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0經(jīng)Taylor展開為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為同階無窮小，或SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，由海涅定理有SKIPIF1<0.因?yàn)榧墧?shù)SKIPIF1<0收斂，由第2比較準(zhǔn)則，所以級數(shù)SKIPIF1<0收斂.而SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0收斂.3.4海涅定理在判斷常量函數(shù)中的應(yīng)用1）判斷當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的極限為SKIPIF1<0的周期函數(shù)是否為常量函數(shù)例3.9證明若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的周期函數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.證明假設(shè)SKIPIF1<0，則存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0為周期函數(shù)，不妨設(shè)為SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.由作法知SKIPIF1<0.（3.1）又因?yàn)镾KIPIF1<0，由海涅定理有SKIPIF1<0.這與（3.1）矛盾，故SKIPIF1<0.2）給出函數(shù)之間的關(guān)系，判斷函數(shù)為常量函數(shù)例3.10設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上滿足方程SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0.證明假設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不恒為SKIPIF1<0，則必存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.又因SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0得到數(shù)列SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（3.2）又因SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，所以由海涅定理有SKIPIF1<0.這與（3.2）矛盾.因此，SKIPIF1<0.3.5利用海涅定理證明某些函數(shù)極限不存在即若可找到一個(gè)以SKIPIF1<0為極限的數(shù)列SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0不存在；或找到兩個(gè)都以SKIPIF1<0為極限的數(shù)列SKIPIF1<0與數(shù)列SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都存在而不相等，則SKIPIF1<0不存在.例3.11證明SKIPIF1<0不存在.證明取數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由海涅定理可知SKIPIF1<0不存在.例3.12證明函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)0不存在極限.證明取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.顯然SKIPIF1<0.則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.于是，函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)0處不存在極限.3.6利用海涅定理判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性利用海涅定理，可求得函數(shù)差、商的極限，從而可判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性.例3.13證明函數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為Dirichlet函數(shù)）在原點(diǎn)可導(dǎo)而在其他點(diǎn)處不可導(dǎo).證明因?yàn)镾KIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處可導(dǎo)且SKIPIF1