2025年高考數(shù)學大題復習訓練：隨機變量與分布列（解析）

專題20隨機變量與分布列

i.溫室是以采光覆蓋材料作為全部或部分圍護結(jié)構(gòu)材料，具有透光、避雨、保溫、控溫等功能，可在冬季

或其他不適宜露地植物生長的季節(jié)供栽培植物的建筑，而溫室蔬菜種植技術(shù)是一種比較常見的技術(shù)，它具

有較好的保溫性能，使人們在任何時間都可吃到反季節(jié)的蔬菜，深受大眾喜愛.溫室蔬菜生長和蔬菜產(chǎn)品衛(wèi)

生質(zhì)量要求的溫室內(nèi)土壤、灌溉水、環(huán)境空氣等環(huán)境質(zhì)量指標，其溫室蔬菜產(chǎn)地環(huán)境質(zhì)量等級劃定如表所

zK.

環(huán)境質(zhì)量等土壤各單項或綜合質(zhì)量灌溉水各單項或綜合質(zhì)量環(huán)境空氣各單項或綜合質(zhì)等級名

級指數(shù)指數(shù)量指數(shù)稱

1<0.7<0.5<0.6清潔

20.7?1.00.5?1.00.6?1.0尚清潔

3>1.0>1.0>1.0超標

各環(huán)境要素的綜合質(zhì)量指數(shù)超標，灌溉水、環(huán)境空氣可認為污染，土壤則應做進一步調(diào)研，若確對其所影

響的植物(生長發(fā)育、可食部分超標或用作飲料部分超標)或周圍環(huán)境(地下水、地表水、大氣等)有危

害，方能確定為污染.某鄉(xiāng)政府計劃對所管轄的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8個村發(fā)展溫室蔬菜

種植，對各村試驗溫室蔬菜壞境產(chǎn)地質(zhì)量監(jiān)測得到的相關數(shù)據(jù)如下：

1.21.05

1.031.0510

1.01U0、9

0.80.88

0.6-070.7470.69

0.40.510.5灌溉水

環(huán)境空氣

0.2

(1)若從這8個村中隨機抽取2個進行調(diào)查，求抽取的2個村應對土壤做進一步調(diào)研的概率；

(2)現(xiàn)有一技術(shù)人員在這8個村中隨機選取3個進行技術(shù)指導，記f為技術(shù)員選中村的環(huán)境空氣等級為尚清潔

的個數(shù)，求f的分布列和數(shù)學期望.

【答案】(*

(2)分布列見解析；數(shù)學期望E(f)=卷

O

【分析】(1)根據(jù)折線圖可得應對土壤做進一步調(diào)研的村子個數(shù)，結(jié)合組合數(shù)知識可求得基本事件總數(shù)和

滿足題意的基本事件個數(shù)，由古典概型概率公式可求得結(jié)果；

(2)根據(jù)折線圖可得環(huán)境空氣等級為尚清潔的村子個數(shù)，由此可得f所有可能的取值，由超幾何分布概率

公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學期望計算公式可求得期望值.

【詳解】(1)由折線圖可知：應對土壤做進一步調(diào)研的村共4個，

從8個村中隨機抽取2個進行調(diào)查，基本事件總數(shù)有C3=28個；

其中抽取的2個村應對土壤做進一步調(diào)研的基本事件個數(shù)有Cg=6個,

二所求概率p=白=白

Zo14

(2)由折線圖可知：環(huán)境空氣等級為尚清潔的村共有5個，貝代所有可能的取值為0,1,2,3,

???P(”。)-P(f=D=等「&=2)=詈

f的分布列為:

0123

115155

P

56562828

...數(shù)學期望E?=0X*+1XK+2XK+3X/=9.

JOUOZOZOO

2.2021年7月18日第30屆全國中學生生物學競賽在浙江省蕭山中學隆重舉行.為做好本次考試的評價

工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的成績?nèi)拷橛?/p>

40至100之間,將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組,制成了如

圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中小的值，并估計這50名學生成績的中位數(shù)；

(2)在這50名學生中用分層抽樣的方法從成績在[70,80),[80,90),[90,100]的三組中抽取了11人，再從這

11人中隨機抽取3人，記孑為3人中成績在[80,90)的人數(shù)，求f的分布列和數(shù)學期望；

【答案】⑴m=0.012；68

（2）分布列見解析；看

【分析】（1）由頻率之和為1,可構(gòu)建m的方程，求解m即可；令中位數(shù)為t,由［40,t］的頻率之和為0.5,

可構(gòu)建t的方程，求解t即可;

（2）先按抽樣比算出各層樣本數(shù)，接著我們發(fā)現(xiàn)《服從超幾何分布，寫出分布列，算出期望即可.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，（0.004+m+0.022+0.03+0.028+0.004）X10=1,

解得m=0.012,

設中位數(shù)為t,

0.004x10+0.022X10+(t-60)X0.03=0.5,解得t=68.

(2)???[70,80),[80,90),[90,100]三組的頻率之比為0.28:0.12:004=7:3:1,

.?.從[70,80),[80,90),[90,100]中分別抽取7人,3人，1人,

則m可取0,1,2,3,

p（/o）=fr提

p（t=i）=等

P(W=2)=警/

p(-)=fr+

故W的分布列為:

0123

562881

p

1655555165

故E0=0x言+1X||+2X￡+3X+=V

3.2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學高一年級舉辦了“亞

運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數(shù)如下:

班號1234

人數(shù)30402010

該年級在報名的同學中按分層抽樣的方式抽取10名同學參加競賽，每位參加競賽的同學從預設的10個題

目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學獲得一份獎品，假設每位同學的作答情況相互獨立.

(1)求各班參加競賽的人數(shù)；

(2)2班的小張同學被抽中參加競賽，若該同學在預設的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目數(shù)為

X,求X的分布列及數(shù)學期望.

【答案】⑴3,4,2,1

(2)分布列見解析，2.8

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣計算可得;

(2)根據(jù)超幾何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解;

【詳解】(1)各班報名人數(shù)總共100人，抽取10人，抽樣比為看,

故1—4班分別抽取30x5=3（人），40x=4（人），20X套=2（人），10x^=1（人）.

(2)由題意，X的可能取值為1,2,3,4,

1

PX

（=D=警=430'

犯專_

P（X=2）C21x3_3

島―210~109

35x3_1

「一:需210-2'

4.“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具

有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、

物理、化學、信息技術(shù)學科夏令營活動.

⑴若化學組的12名學員中恰有5人來自同一中學，從這12名學員中選取3人，f表示選取的人中來自該中

學的人數(shù)，求f的分布列和數(shù)學期望；

(2)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動.規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，

每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3,則取得本輪勝利，假設每輪答題結(jié)果互不影響.已知甲、乙兩

位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為Pi，P2,且Pi+P2=%如果甲、乙兩位同學想在此次答

題活動中取得6輪勝利，那么理論上至少要參加多少輪競賽？

【答案】(1)分布列見解析，E(D=]

(2)11輪

【分析】(1)根據(jù)超幾何分布列分布列計算數(shù)學期望即可;

(2)先求每輪答題中取得勝利的概率的最大值，再應用獨立重復實驗數(shù)學期望的范圍求出最少輪數(shù).

【詳解】(1)由題意可知珀勺可能取值有0、1、2、3,

P化=。)=m=%P(W=1)=雷

7「31

P-2）得/PQ=3）嚏與

所以，隨機變量S的分布列如下表所示:

0123

72171

p

44442222

所以E（D=OX^+1喘+2x?+3嗎=1

(2)他們在每輪答題中取得勝利的概率為

Q=c^pt（i-Pi）c|p1+0P洌P2（i-p2）+c|p?cipf

2

=2Plp2（P1+p2）-3（P1P2）2=|piP2-3（P1P2）,

41

由

o<<1o<p<1+p得<<

---2-2-「---

plpl33pl

2

則P1P2=P1G_P1)=(P1_P：=_(P1_|)+'因此PiP2eL，H，

☆t=PlP2e*,[,Q=|t-3t2=-3(t-^2+^于是當t=g時,Qmax=M

要使答題輪數(shù)取最小值，則每輪答題中取得勝利的概率取最大值號.

設他們小組在n輪答題中取得勝利的次數(shù)為X,則X?B(n,金，E(X)=如，

由E(X)26,即如26,解得nN10.125.

而nCN*,則nmm=ll，所以理論上至少要進行11輪答題.

5.在一個不透明袋子中放入除顏色外完全相同的2個白色球和2個黑色球，從中任意取出一個球，若是黑

色球，則用2個同樣的白色球替換黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，則把該白色球放回袋子中.

(1)求第4次恰好取完兩個黑色球的概率；

(2)若取到兩個黑色球或者取球數(shù)達到5次就停止取球，設停止取球時取球次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學

期望.

【答案】(1端

(2)分布列見解析，得

【分析】(1)前三次取球中有一次取到黑色球，則第4次取球恰好是第二次取到黑色球，求其概率即可；

(2)X的所有可能取值為2,3,4,5,分別求出對應的概率，然后利用期望的公式求解取球次數(shù)的數(shù)學期

望.

【詳解】(1)由題意知，前三次取球中有一次取到黑色球，故第4次取球恰好是第二次取到黑色球的概率P=

1Z4\21,1141,小211129

—X(—)X——X—X—X—F(—)X—X—=------.

2\5752255\2/251000

(2)由題意可知，X的所有可能取值為2,3,4,5,

、、?)、

PW(X—2r)=—1x—1=—1,P(X=3c)=—1x1—x—4H—,1x—1x—1=—13,P(nX=4)=--12-9-,

'72510k,2552251t)0、J1000

P(X=5)=1-[P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)]=澈,

故X的分布列為

X2345

113129641

P

10Too10001000

1,C13.4129IL6414311

E(X)=2X?+3x—+4x——+5x——=

100100010001000

6.某地乒乓球協(xié)會在年55歲?65歲的乒乓球運動愛好者中，進行一次“快樂兵兵”比賽，3人一組先進行預

賽，選出1名參賽人員進入正式比賽.已知甲、乙、丙在同一組，抽簽確定第一輪比賽次序為：甲對乙、甲

對丙、乙對丙，先累計獲勝2場的選手，進入正式比賽.若前三場比賽甲、乙、丙各勝負一場，則根據(jù)抽簽

確定由甲、乙加賽一場、勝者參加正式比賽.已知甲勝乙、甲勝丙、乙勝丙的概率分別為?!，■!，，各場比賽互

不影響且無平局.

⑴求甲進入正式比賽的概率；

(2)若比賽進行了四場結(jié)束，記甲獲勝的場數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

【答案】(喝

(2)分布列見解析，!

【分析】(1)分類討論由乘法公式計算即可；

(2)根據(jù)離散型隨機變量的分布列及期望公式計算即可.

【詳解】(1)由題意，可分為兩種情況，即分甲連勝兩場和前三場甲、乙、丙各勝負一場，第4場甲勝乙:

①甲連勝兩場的概率為gxg=攝；

②前三場甲、乙、丙各勝負一場，第4場甲勝乙的概率為(|x(xT+(x：x￡)x|=券，

則甲進入正式比賽的概率為卷+券=券

(2)由題意得若要比四場，則前3場甲、乙、丙必然各勝一場，

此時第四場甲對乙，故X的可能取值為1,2,

第四場甲輸，則P(X=1).,第四場甲贏，則P(X=2)=,,

故X的分布列為

7.為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少

年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽/PP”，參加各種學習活動，同時熱衷于參與四人

賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第

1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應名

次，從而得到相應的學習積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2、3名的得2分，獲得第4名的得1

分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2、3、4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不

能獲得學習積分.經(jīng)統(tǒng)計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分、2分、1分的概率分別為:，；，；，在第2局

424

四人賽中獲得2分、1分的概率分別為;，

(1)設小明每天獲得的得分為X,求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)若小明每天賽完20局，設小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為右每局是否贏得

比賽相互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？

【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學期望：

(2)在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大

【分析】(1)記事件人口=1,2,3)表示第一局獲得1分，事件BG=1,2)表示第二局獲得i分，X的可能值為

5,4,3,2,根據(jù)事件相互獨立求出X的分布列、數(shù)學期望；

(2)設小A每天贏得的局數(shù)為Y,則Y?B。。3),從而得到關于k的不等式組，解之即可得解.

【詳解】(1)記事件人々=1,2,3)表示第一局獲得1分，事件Bj(i=1,2)表示第二局獲得i分，

這些事件相互獨立，由條件知X的可能值為5,4,3,2.

P(X=5)=P(A3B2)=P(A3)P(B2)=沁=)；

P(x=4)=P(A3B1)+P(A2B2)=ix1+ixi=^;

P(X=3)=P(A2BD+P(A$2)=沁1^+1*1=套;7

133

-X---

P(X=2)=P(A$i)44

16

則其分布列為

X5432

1573

p

16161616

匚二?ll1A51c71c35213

所以E(X)=5x—+4x—+3x—+2x—=—=一

—16161616164

(2)設小明每天贏得的局數(shù)為Y,則易知Y?B(20,￡),

./i\kznx20-k

于是P(Y=k)=C0-G)?(()

20-k2嚙】?(廣?21-k

假設贏得k局的概率最大，則據(jù)條件得

20-k(廣

20!/l\k⑶20-k20!/l\k-1/3\21-k

k!-(20-k)!’'\4/-(k-l)!-(21-k)!"V47,\47

k20-kk+119-k

20!/l\/3\>20!/l\/3\

(k!-(20-k)!>\47,\47-(k+l)!-(19-k)!>\47'\4/

r11>13

整理得.??；耳%，解之得

、20—k4-k+14

又因為kez,所以k=5,

因此在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大.

8.食品安全問題越來越受到人們的重視.某超市在購進某種水果之前，要求食品安檢部門對每箱水果進行

三輪各項指標的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，這種水果才能在該超市銷售.已知每箱這種水果第一輪

檢測不合格的概率為：，第二輪檢測不合格的概率為占第三輪檢測不合格的概率為；，每輪檢測只有合格與

456

不合格兩種情況，且各輪檢測互不影響.

(1)求每箱這種水果能在該超市銷售的概率；

(2)若這種水果能在該超市銷售，則每箱可獲利300元，若不能在該超市銷售，則每箱虧損100元，現(xiàn)有4

箱這種水果，求這4箱水果總收益X的分布列和數(shù)學期望E(X).

【答案】(畤

(2)分布列見解析，E(X)=400

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合對立事件和對立事件概率的乘法公式運算求解即可；

(2)先確定水果總收益X的可能取值，然后由獨立重復試驗的概率公式可得分布列，再由期望公式直接計算

即可.

【詳解】(1)設每箱這種水果能在該超市銷售為事件A,

則P(A)=(1X(1X(1-1)=i,

即每箱這種水果能在該超市銷售的概率為去

(2)X的所有可能取值為1200,800,400,0,-400.

因為P(X=1200)=GV=《，

\2/16

P(X=800)=Cig)3xi-i

P(X=400)=O2X(1)2=1.

P(X=O)=CKNG)3=1,

P(X=-400)=C

所以x的分布列為

X12008004000-400

11311

P

1648416

所以E(X)=1200x—+800xi+400x-+0xi-400x—=400.

1648416

9.飛行棋是一種競技游戲，玩家用棋子在圖紙上按線路行棋，通過擲骰子決定行棋步數(shù).為增加游戲樂趣,

往往在線路格子中設置一些“前進”“后退”等獎懲環(huán)節(jié)，當骰子點數(shù)大于或等于到達終點的格數(shù)時，玩家順利

通關.已知甲、乙兩名玩家的棋子已經(jīng)接近終點，其位置如圖所示：

后退

終點

?3步

(1)求甲還需拋擲2次骰子才順利通關的概率；

(2)若甲、乙兩名玩家每人最多再投擲3次，且第3次無論是否通關，該玩家游戲結(jié)束.設甲、乙兩玩家再

投擲骰子的次數(shù)為X,匕分別求出X,丫的分布列和數(shù)學期望.

【答案】(噓

(2)分布列見解析；期望為E(X)=|J,E(Y)=￡

【分析】(1)由題意可知，甲拋擲的點數(shù)應小于4,所以分甲投1點，2點，或3點，分別求滿足條件的概

率，即可求解；(2)根據(jù)題意可知，隨機變量X,Y=1,2,3,根據(jù)隨機變量表示的意義，分別求概率，即可

求解分布列和數(shù)學期望.

【詳解】⑴甲第1次拋擲未到達終點，其點數(shù)應小于4

若第1次擲出的點數(shù)為1,根據(jù)游戲規(guī)則，棋子前進1步后可再前進1步，到達距離終點差2步的格子，第

2次擲出的點數(shù)大于1,即可順利通關，其概率為Pi=；x：=?

oo36

若第1次擲出的點數(shù)為2,棋子到達距離終點差2步的格子，第2次擲出的點數(shù)大于1,即可順利通關，其

概率為P2=；xJ5

6636

若第1次擲出的點數(shù)為3,根據(jù)游戲規(guī)則，棋子到達距離終點差1步的格子后需后退3步，又回到了原位,

第2次擲出的點數(shù)大于3,可順利通關，其概率為P3=；xJ5

oZ1Z

故甲拋擲2次骰子順利通關的概率為P=PI+P2+P3=9+9+W=?

36DO1Z36

(2)依題意得P(X=1)=*=；,P(X=2)=JP(X=3)=1—

OZDOZ5oDO

Y、21c、11,15,15,114.142

P(Y=1)=-=P(Y=2)=-x-+-x-+-x-+-x-=-,P(Y=3)=1---------=-

'763k7626666629vJ399

X123Y123

1135142

PP

23636399

■na1.o13,c5591".八,、a4,^217

一,

E—(X)=1x2—F2x—3F63x3—6=36E—(Y)=1x—F23x—F39x—9=—9

10.如圖，經(jīng)典的推箱子是一個古老的游戲，在一個狹小的倉庫中，該游戲要求把木箱放到指定的位置,

稍不小心就會出現(xiàn)箱子無法移動或者通道被堵住的情況，所以需要巧妙地利用有限的空間和通道，合理安

排移動的次序和位置，才能順利地完成任務，某學習小組在課外活動中為了培養(yǎng)組員的邏輯思維能力，開

展了推箱子的小游戲，已知組員小明在前四關中,每關通過的概率都是,，失敗的概率都是%且每關通過與

否互不影響.假定小明只有在失敗或四關全部通過時游戲才結(jié)束，X表示小明游戲結(jié)束時通過的關數(shù).

(1)求小明游戲結(jié)束時至少通過三關的概率;

(2)求X的分布列和數(shù)學期望E(X).

【答案】(底

(2)分布列見解析，期望為言

【分析】(1)分小明游戲結(jié)束時通過三關或四關，利用獨立事件的乘法公式求解；

(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,分別求得其相應概率，列出分布列，再求期望.

【詳解】（1）解：用A表示“小明游戲結(jié)束時至少通過三關”,

則P（A）=C）3*+（M

（2）X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

用Ak表示“小明通過第k關”，

則P（Ak）=*k=l,2,3,4,且A〉A2,A3,A4獨立.

故P(X=0)=P(A；)=i,

P(X=l)=P(A1Al)=|xi=A)

P(X=2)=P(AIA26=C)2XR1,

3

P(X=3)=P(AIA2A3')=C)十焉

P(X=4)=P(AiA2A3A4)=g)4=短，

X的分布列為

X01234

1392781

P

41664256256

所以E(X)=0x"lxV+2x^+3x^+4x^=525

2561

11.部分高校開展基礎學科招生改革試點工作（強基計劃）的校考由試點高校自主命題，?？歼^程中達到

筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié).已知4B兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否達到優(yōu)秀相

互獨立.若某考生報考A大學，每門科目達到優(yōu)秀的概率均為|,若該考生報考B大學，每門科目達到優(yōu)秀的

概率依次龍，”，其中。

（1）若n分別求出該考生報考A,B兩所大學在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達到優(yōu)秀的概率；

（2）強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優(yōu)秀科目個數(shù)的期望為依據(jù)作出決

策，該考生更有希望進入力大學的面試環(huán)節(jié)，求打的范圍.

【答案】（1）報考A大學恰好有一門筆試科目優(yōu)秀概率為普；報考B大學恰好有一門筆試科目優(yōu)秀概率為總

（2）（啕

【分析】(1)根據(jù)二項分布概率公式和獨立事件概率乘法公式依次求解即可;

(2)根據(jù)二項分布期望公式可求得E(X)；結(jié)合獨立事件概率乘法公式可求得離散型隨機變量Y的分布列,

進而由數(shù)學期望公式求得E(Y)；根據(jù)E(Y)<E(X)可求得n的范圍.

【詳解】(1)設該考生報考A大學恰好有一門筆試科目優(yōu)秀為事件A,

則P(A)=C“|X(|)2=^

該考生報考B大學恰好有一門筆試科目優(yōu)秀為事件B,

132322331279

=-X-X----X-=----

則P(B)45334536O

20

--

(2)該考生報考A大4學達5到優(yōu)秀科目的個數(shù)設為X,則X?E(X)=3x|=*

該考生報考B大學達到優(yōu)秀科目的個數(shù)設為Y,則Y所有可能的取值為0,1,2,3,

33

r

--XXl19(l-n)

(Y--v-

p(45-20—:

P(Y=D=；x-x(l-n)+-x-x(l-n)+-x-xn=-；

P(Y=2)=-x-x(l-n)+-x-xn+-x-xn=

,745v7454520

P(Y=3)=ix7xn=—；

'74510

???隨機變量Y的分布列:

Y0123

9(1—n)97n+2n

P

202020To

r?八,、c9(1—n),.9,7n+2,n13+20n

???E(Y)=0x—_-+1x—+o2x-----4-3ox—=---------；

―2020201020

???該考生更有希望進入A大學的面試環(huán)節(jié)，.?.￡&)<E(X),即巧言<■!，

解得：0<n<\,二11的范圍為(0,,).

12.在某個周末，甲、乙、丙、丁四名同學相約打臺球.四人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩

組，進行組內(nèi)一對一對打；②第一輪甲乙對打、丙丁對打；③每輪游戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在

下一輪游戲中對打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一輪游戲中對打；④每輪比賽均無平局出現(xiàn).已

知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為，甲勝丙、乙勝丁的概率均為|,甲勝丁的概率為|.

(1)設在前三輪比賽中，甲乙對打的次數(shù)為隨機變量X,求X的數(shù)學期望;

⑵求在第10輪比賽中，甲丙對打的概率.

【答案】（1瑞

譚

【分析】（1）根據(jù)游戲規(guī)則得到甲乙在第一輪對打，且在第二輪不對打，第三輪有可能對打，從而得到X

的可能值為1或2,其中第三輪對打為甲乙勝者組對打或甲乙敗者組對打，再結(jié)合條件即可求解;

（2）設在第n輪中，甲乙對打的概率為an，甲丙對打的概率為bn，甲丁對打的概率為Cn，根據(jù)題目條件求

得ai，bl和C1，再分類討論甲丙在勝者組對打或甲丙在敗者組對打，從而求得bn+1=3an+（cn，再由an+bn+

品=1結(jié)合數(shù)列通項公式的求法，求得上，即可求出bw

【詳解】（1）由題可知，甲乙在第一輪對打，且在第二輪不對打，所以X的可取值為1,2,

1,151

P(X=2)X-+-X

23100’

則P(X=1)=1-P(X=2)=券,

所以X的數(shù)學期望E（X）=lx提+2、品=黑.

（2）設在第n輪中，甲乙對打的概率為an，甲丙對打的概率為bn，甲丁對打的概率為Cn，

易知n>2,a1=lfb1=J=0,

1i-1-i

又an+bn+Cn=1,所以6+i^~an+~cn=---bn,

整理得bn+1-1=|an+|cn=-1(bn—I),

則數(shù)列｛bn-目是以bl—g=—（為首項，以一3為公比的等比數(shù)歹IL

即6_（=_1*（_目，所以bn=-,貝Ijbio=g+gx0,

故在第10輪比賽中，甲丙對打的概率為:+1x=卷=抖.

DD\Zz1300D1Z

13.電視劇《狂飆》顯示了以安欣為代表的政法人員與黑惡勢力進行斗爭的決心和信心，自播出便引起巨

大反響.為了了解觀眾對其的評價，某機構(gòu)隨機抽取了10位觀眾對其打分（滿分為10分），得到如下表格:

觀眾序號12345678910

評分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1

(1)求這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)；

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從觀眾中隨機抽取3人對《狂飆》進行評價，記抽取的3人中評分超過9.0的人數(shù)

為X,求X的分布列、數(shù)學期望與方差.

【答案】⑴9.1

(2)分布列答案見解析,E(X)=0.9,D(X)=0.63.

【分析】(1)先將數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合百分位數(shù)的計算公式，即可求解；

(2)根據(jù)題意，求得評分超過90的概率，得出X的所有取值，利用獨立重復試驗的概率公式求出概率,

得出分布列，進而求出期望和方差.

【詳解】(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大進行排列，

74,7.8,8385858.6,899.1,959.9,

因為75%x10=7.5,所以第8個數(shù)據(jù)為所求，

所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.1.

(2)樣本中評分超過9.0的有3個，

所以評分超過9.0的概率(頻率)為0.3,

依題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,且X?B(3,0.3),

貝ljP(X=0)=c?X0.73=0.343,

P(X=1)=C；x0.3x0.72=0,441,

P(X=2)=C；x0.32x0.7=0.189,

P(X=3)=C：x0.33=0.027,

所以X的分布列為

X0123

P0.3430.4410.1890.027

所以E(X)=3x0.3=0.9,

D(X)=3x0.3x0.7=0.63.

14.某工藝品加工廠加工某工藝品需要經(jīng)過a,b,c三道工序，且每道工序的加工都相互獨立，三道工序

加工合格率分別為p三道工序都合格的工藝品為特等品；恰有兩道工序合格的工藝品為一等品；恰

有一道工序合格的工藝品為二等品；其余為廢品.

(1)求加工一件工藝品不是廢品的概率；

(2)若每個工藝品為特等品可獲利300元，一等品可獲利100元，二等品將使工廠虧損20元，廢品將使工廠

虧損100元，記一件工藝品經(jīng)過三道工序后最終獲利X元，求X的分布列和數(shù)學期望.

【答案】唬；

(2)分布列見解析，數(shù)學期望為甘.

【分析】(1)三道工序都不合格為廢品，求事件的概率，利用對立事件，求不是廢品的概率;

(2)由X的取值，計算相應的概率，列出分布列，由公式求數(shù)學期望.

【詳解】(1)記“加工一件工藝品為廢品”為事件A,

則P(A)=(1-汴(1-力(1一

則加工一件工藝品不是廢品的的概率P(A)=1-P(A)=3

16

(2)由題意可知隨機變量X的所有可能取值為-100,-20,100,300,

P(X=-100)=5，

、

P(X=-2rc0)=-3x-1x-1+,1-x-1x-1+.1-x-1x-1=—5,

,742242242216

v、311,311,1117

PCX=100)=-X—x—I—x-x—I—X—X—=—,

'742242242216

2112

P(X=300)==a

15.大連市是國內(nèi)知名足球城市，足球氛圍濃厚.在2022年第22屆卡塔爾足球世界杯階段，大連二十四中

的同學們對世界杯某一分組內(nèi)的四支球隊進行出線情況分析.已知世界杯小組賽規(guī)則如下：小組內(nèi)四支球隊

之間進行單循環(huán)(每只球隊均與另外三只球隊進行一場比賽)；每場比賽勝者積3分，負者0分；若出現(xiàn)平

局，則比賽雙方各積1分.現(xiàn)假設組內(nèi)四支球隊戰(zhàn)勝或者負于對手的概率均為0.25,出現(xiàn)平局的概率為0.5.

(1)求某一只球隊在參加兩場比賽后積分X的分布列與數(shù)學期望;

(2)小組賽結(jié)束后，求四支球隊積分相同的概率.

【答案】(1)分布列見解析，|

⑵*

【分析】(1)球隊參加兩場比賽后積分X的取值為0,1,2,3,4,6,分別求出隨機變量對應的概率，可

得分布列，進而可得數(shù)學期望；

(2)求出6場比賽都出現(xiàn)平局的概率以及每支球隊3場比賽結(jié)果均為1勝1平1負的概率，再求和即可.

【詳解】(1)球隊參加兩場比賽后積分X的取值為0,1,2,3,4,6,

則P(X=0)=；x；=LP(X=1)-1x-1+.-1x-1=1

42244f

ill11,111

P(X=2)——x———P(X=3)-X-+-X-

22444448f

1-11

P(X=4)=ixi+ixi=iP(X=6)-X-=—，

4416

所以隨機變量x的分布列為:

X012346

111111

P

16448416

隨機變量X的數(shù)學期望:

11111

OX+1X+2X+3X+4X+6X

-一

4_4-8-4-

16

(2)由于小組賽共打6場比賽，每場比賽兩個球隊共積2分或者3分；

6場比賽總積分的所有情況為12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7種情況,

要使四支球隊積分相同，則總積分被4整除，所以每只球隊總積分為3分或者4分.

若每支球隊得3分：

則6場比賽都出現(xiàn)平局，其概率為：P,=~

若每支球隊得4分：則每支球隊3場比賽結(jié)果均為1勝1平1負，

其概率為：P2=lxixlxixixix6=4.

242442445

所以四支球隊積分相同的概率為P=Pl+P2=京+/=焉

16.在全國碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績通過了某重點大

學的初試，即將參加該重點大學組織的復試.已知甲，乙，丙三名同學通過復試的概率分別為g,pp,復

試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為七.

⑴求P的值；

(2)設甲，乙，丙三名同學中通過復試的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列.

【答案】(i)p=|

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件的乘法公式結(jié)合對立事件的概率，列式計算，可得答案.

(2)確定隨機變量X的取值，求得每個值對應的概率，即可得分布列.

【詳解】(1)因為甲，乙，丙三名同學都沒有通過復試的概率為七，

所以(1_9)x(1x(1—p)=2，則p=|.

(2)由題意知，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=卷，

P(X=l)=ix(l-i)X(l-1)+(l-l)x|x(l-|)+(l-l)X(l-1)x|=p

所以隨機變量X的分布列為

X0123

1151

P

123126

17.根據(jù)社會人口學研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有X個孩子的概率模型為:

X1230

aa(la(l

Pa

V

-p)-p)2

(其中a>0,0<p<1)

每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為T，且相互獨立，事件4表示一個家庭有i個孩子(i=0,l,2,3),事

件2表示一個家庭的男孩比女孩多(若一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多).

⑴若p=g,求a,并根據(jù)全概率公式(P(B)=P(BI4)P(4))求P(B)；

(2)是否存在p值，使得E(X)=￡請說明理由.

【答案】(l)a=V，P(B)，

(2)不存在，理由見解析

【分析】(1)由概率之和為1列出方程，求出a,計算出P(B|AD，P(B|A2),P(B|A3),然后利用全概率公式可

求得結(jié)果，

(2)假設存在p,使E(X)=j+2a+3a(l一p)=(由于，=p2-3p+1+3,兩式相乘后得5p3-6p2+2-

0,設/i(p)=5P3-6P2+2,利用導數(shù)可求出其最小值進行判斷.

【詳解】⑴當p=g時，P(A°)=：,P(AJ=2a,P(A2)=a,P(A3)=泉

貝吟+2a+a+；=1,解得a=春

由題意，得P(B|Ai)=Cix|,P(B|A2)=C4J,P(B|A3)=+砥().

由全概率公式，得P(B)=P(B|Ai)P(AJ=本+C瑟”+[cig)3+Clg)3]a(l-p)

aaa

=2i+4+2(1-P)-

又P='，a='，所以P(B)=

(2)由—Fa+a(l—p)+a(l—p>=1,得——p2—3p4---F3.

pap

假設存在p,使E(X)=-+2a+3a(l-p)=|.

P3

將上述兩式相乘，得(+5—3p=三—5p+5+5,

化簡，得5P3-6p2+2=0.

設/i(p)=5p3—6p2+2,則九(p)=15p2-12p=3p(5p—4).

由九'(p)V0,得0Vp<g,由九(p)>0,得一gvp<l,

則九(p)在(o,3上單調(diào)遞減，在Q1)上單調(diào)遞增，所以做P)的最小值為嗜)=色＞0,

所以不存在P0使得h(Po)=0.即不存在P值，使得E(X)=1

【點睛】關鍵點點睛：此題考查全概率公式的應用，考查離散型隨機變量的分布列，考查導數(shù)的應用，第

(2)問解題的關鍵是根據(jù)概率和為1,和期望公式列方程，化簡后利用導數(shù)解決，考查數(shù)學計算能力，屬

于較難題.

18.在二十大報告中，體育、健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設體育

強國是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課外活動，加強學生體質(zhì)健康，擬

舉行羽毛球團體賽，賽制采取3局2勝制，每局都是單打模式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上

場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根

據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊種子選手M對乙隊每名隊員的勝率均為|,甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員

的勝率均為今(注：比賽結(jié)果沒有平局)

(1)求甲隊最終2:1獲勝且種子選手M上場的概率；

(2)已知甲隊2:1獲得最終勝利，求種子選手M上場的概率.

【答案】嗚

?

【分析】(1)設事件Aj="種子選手M第i局上場”(i=1,2,3),事件B="甲隊最終2:1獲勝且種子選手M

上場”,求出P(AJ、P(B|Ai)(i=l,2,3)的值,利用全概率公式可求得P(B)的值；

(2)設事件A。="種子選手M未上場“，事件C="甲隊2:1獲得勝利”，計算出P(C)、P(A0C)的值，利用貝

葉斯公式可求得P(匹|C)的值.

【詳解】(1)解：設事件A]="種子選手M第i局上場”(i=1,2,3),

事件B="甲隊最終2:1獲勝且種子選手M上場”.

由全概率公式知,P(B)=P(B|Ai).P(A。+P(B|A2)-P(A2)+P(B|A3)-P(A3)

因為每名隊員上場順序隨機，故P(A。=3i=1,2,3),

“nlA、311.1111n/nlA、131,1111「/EA、1133

P(B|A1)=-x-x-+-xix-=-,P(B|A2)=-X-X-+-X-X-=?P(B|A3)=C^-x?x-=

所以P(B)=￡LP(B|Ai)P(Ai)=；xg+；xg+p標套

所以甲隊最終2:1獲勝且種子選手M上場的概率為

(2)解：設事件A。="種子選手M未上場“，事件C="甲隊2:1獲得勝利”，

P(Ao)=if=?==P(C|Ao)=C^xlxlxl=l,

P(C)=P(B)+P(C|A0).P(A°)=5+3x'宗

因為P①|(zhì)C)=^.

由(1)知P(匹C)=P(B)=套所以P(匹忙)=普=普=￡

所以，已知甲隊2:1獲得最終勝利，種子選手M上場的概率為5.

19.某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內(nèi)未售出，以每盒10元的

價格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統(tǒng)計了本店過去40天草莓的日銷售量(單位：十盒)，獲

得如下數(shù)據(jù):

日銷售量/十盒78910

天數(shù)812164

假設草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.

(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數(shù)為X(單位：十盒)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)以兩天內(nèi)銷售草莓獲得利潤較大為決策依據(jù)，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應選擇哪種？

【答案】⑴分布列見解析，數(shù)學期望17.44

(2)選擇每兩天進17十盒

【分析】